Clase Nº1

Identificación y Control Adaptivo – 2006 – Martín Di Blasi
TEMA 1: SISTEMAS LINEALES
1.SISTEMAS CONTINUOS...................................................................... 1
2.SISTEMAS DISCRETOS ...................................................................... 1
3.MUESTREO Y DISCRETIZACIÓN A PARTIR DE LA RESPUESTA
IMPULSIVA .............................................................................................. 2
4.MODELO CON PERTURBACION ALEATORIA.................................. 4
1.SISTEMAS CONTINUOS
Representación del tipo Entrada-salida o convolucional (SLIT) de sistemas causales
( h(t ) = 0 ∀t < 0 ):
∞
∞
0
0
y (t ) = ∫ h(t − τ ) u(τ ) dτ = ∫ h(τ ) u(t − τ ) dτ
(1.1)
en donde h(t ) es la respuesta impulsiva del sistema.
Función de transferencia:
∞
H (s ) = ∫ h(t ).e − st dt
(1.2)
0
Ejemplo de sistema de primer orden con retardo:
K 0e − sT0
H (s ) =
1 + sT1
↔
− ( t −T0 )
⎛
⎞
T1
h(t ) = K 0 ⎜⎜ 1 − e
⎟⎟
⎝
⎠
t ≥ T0
(1.3)
2.SISTEMAS DISCRETOS
Representación del tipo Entrada-salida o convolucional (SLIT) de sistemas causales
( h[n] = 0 ∀n < 0 ):
∞
∞
k =0
k =0
y [n ] = ∑ h[k ] u[n − k ] =∑ u[k ] h[n − k ]
(2.1)
en donde h[n] es la respuesta impulsional del sistema.
Operador retraso y función de transferencia:
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q −1u[n ] = u[n − 1]
∞
∞
k =0
k =0
y [n ] = ∑ h[k ] u[n − k ] =∑ h[k ] q − k u[n ]
⎡∞
⎤
= ⎢ ∑ h[k ] q − k ⎥ u[n ] = H (q ) u[n ]
⎣ k =0
⎦
(2.2)
Utilizaremos indistintamente q o z.
La representación como modelo convolutivo también puede ser expresada en
función del la respuesta del sistema a la señal escalón, forma muy utilizada en
aplicaciones de control multivariable:
Y ( z ) = H ( z )U ( z ) =
(
)
H (z)
1 − z −1 U ( z )
−1
1− z
= G( z ) ∆U ( z )
(2.3)
∞
⇒ y [ n ] = ∑ g [ k ] ∆u [ n − k ]
k =0
siendo:
∆u[n ] = u[n ] − u[n − 1]
n
g [n ] = ∑ h[k ]
respuesta al escalón
(2.4)
k =0
En cualquier proceso que se quiera controlar, las variables independientes son las
entradas u[n], mientras que las variables dependientes son las salidas y[n]. Las
entradas son aquellas que pueden ser modificadas, ocasionando un cambio en el
proceso. También por ello las entradas se las denomina variables manipuladas
(MV-Manipulated Variables). Las salidas son aquellas variables que indican un
cambio en el proceso, pero no pueden modificarlo. También por ello las salidas con
denominadas variables controladas (CV-Controlled Variables) Las entradas pueden
ser modificadas por el operador o bién son perturbaciones que cambian
continuamente.
3.MUESTREO Y DISCRETIZACIÓN A PARTIR DE LA RESPUESTA
IMPULSIVA
La discretización nos permite obtener el modelo discreto de un sistema o proceso
como este será visto por un controlador digital, que recibe mediciones del proceso a
intervalos discretos y actualiza su nueva señal de control también a intervalos
discretos.
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El objetivo es entonces describir los cambios en las señales de muestra a muestra
sin importar el comportamiento entre ellas. Hay que recalcar que a pesar de que
estos modelos muestran el comportamiento en los puntos de muestreo, el proceso
físico sigue siendo continuo:
uS (t ) = u[n ]
nTs ≤ t ≤ (n + 1)Ts
(3.1)
∞
y s (t ) = ∫ h(τ ) us (t − τ ) dτ
(3.2)
0
∞
y [n ] = ∫ h(τ ) us (nT − τ ) dτ
0
⎡ kT
⎤
= ∑ ⎢ ∫ h(τ ) dτ ⎥ u[n − k ]
k =1 ⎢
⎥⎦
⎣( k −1)T
∞
(3.3)
∞
= ∑ h[k ] u[n − k ]
k =1
Definiendo la respuesta impulsiva de un sistema muestreado equivalente:
nT
h[n ] =
∫
h(t ) dt
(3.4)
( n −1)T
Nota: en los sistemas muestreados existe un retardo de al menos 1 muestra entre la
entrada y salida.
Ganancia de estado estacionario: dado un sistema de la forma
b1 z −1 + ... + bnb z − nb
Y ( z)
=
U ( z ) 1 + a1 z −1 + ... + ana z − na
(3.5)
tendrá una realización temporal en forma de ecuación en diferencias de la forma:
y[n] + a1 y[n − 1] + ... + ana y[n − na ] = b1u[n − 1] + ... + bnb u[n − nb ]
(3.6)
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Si el sistema es estable y su entrada es un escalón de magnitud u[n ] = u0 , la salida
luego de cierto tiempo alcanzará un valor constante y [n ] = y 0 que satisface la
siguiente relación:
y0 + a1 y0 + ... + ana y0 = b1u0 + ... + bnb u0
b1 + ... + bnb
y0
=
u0 1 + a1 + ... + ana
(3.7)
4.MODELO CON PERTURBACION ALEATORIA
Definición de un modelo completo:
y [n ] = H y ( z )u[n ] + He ( z )e[n ]
v [n]
∞
⎧
H
(
z
)
hy [n ] z − n
=
∑
⎪ y
⎪
n =1
⎨
∞
⎪H ( z ) = 1 + h [ n ] z − n
∑
e
⎪⎩ e
n =1
(4.1)
junto con la función densidad de probabilidades fe (.) de e[n].
En la definición del H y ( z ) se asume implícitamente la existencia de un retardo de
una muestra entre u e y.
Se asume generalmente que el ruido e(n) tiene una distribución gaussiana e
incorrelada temporalmente. De esta manera, la distribución fe (.) queda definida por
su media (asumida siempre cero) y su varianza.
La manera mas inmediata de parametrizar H y ( z ) y He ( z ) es representarlas como
funciones racionales y dejar que los coeficientes de los polinomios sean los
parámetros del modelo:
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y [n ] = H y ( z,θ y ) u[n ] + He ( z,θ e ) e[n ]
(4.2)
En la siguiente tabla se resumen las principales parametrizaciones:
ARX o de
Cuadrados
mínimos
A( z ) y[n] = B ( z )u[n] + e[n] ⎫
⎪⎪
A( z ) = 1 + a1 z −1 + ... + ana z − na ⎬
⎪
B( z ) = b1 z −1 + ... + bnb z − nb
⎪⎭
B( z )
⎧
⎪ H y ( z, θ y ) = A( z ) θ y = [a1 ,..., ana , b1 ,..., bnb ]
⎪
⎨
⎪ H ( q, θ ) = 1
θ e = [a1 ,..., ana ]
e
⎪⎩ e
A( z )
A( z ) y[n] = B( z )u[n] + C ( z )e[n]
B( z )
⎧
H
(
z
,
)
=
θ
y
y
⎪
A( z )
⎪
⎨
⎪ H ( q, θ ) = C ( z )
e
⎪⎩ e
A( z )
ARMAX
1
e[n ]
D( z )
C( z )
A( z )y [n ] = B( z )u[n ] +
e[n ]
D( z )
B( z )
C( z )
y [n ] =
u[ n ] +
e[n ]
F (z)
D( z )
B( z )
C( z )
A( z )y [n ] =
u[n ] +
e[n ]
F (z)
D( z )
A( z )y [n ] = B( z )u[n ] +
ARARX
ARARMAX
BOX JENKINS
FAMILIA
GENERAL
A veces la dinámica del sistema contiene un retardo de nk entonces algunos de los
primeros coeficientes de B(q) serán cero
B( z ) = bnk z − nk + ... + bnk +nb −1z − nk −nb +1 = q −nk B( z )
A( z )y [n ] = z − nk
B( z )
C( z )
u [n ] +
e[n ]
F (z)
D( z )
(4.3)
(4.4)
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