Péndulo Simple - Ludifisica - Universidad Nacional de Colombia

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN
FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA
FÍSICA DE OSCILACIONES ONDAS Y ÓPTICA
MÓDULO # 2: OSCILACIONES MECÁNICAS –EJEMPLOS TÍPICOSDiego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H.
Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín
1
Temas






Introducción
Sistema Masa-Resorte
Péndulo Simple
Péndulo Físico
Otros ejemplos
Taller
Introducción
El estudio de las oscilaciones en resortes y péndulos facilita la comprensión de sistemas más complejos
como: oscilaciones en moléculas y átomos (espectroscopía), oscilaciones de estructuras como edificios y
puentes, incluso facilitan la comprensión de las oscilaciones electromagnéticas que son la base del estudio
de las telecomunicaciones (televisión, radio, telefonía celular,…).
En este módulo se hará el análisis con suficiente detalle las oscilaciones mecánicas libres correspondientes
a:



El sistema masa-resorte.
El péndulo simple.
El péndulo físico.
Sistema Masa-Resorte
En la Figura 1 se ilustra los estados en los que se puede encontrar el sistema masa-resorte (se considera
resorte ideal, es decir, con masa despreciable): longitud natural del resorte (A), masa acoplada y en
equilibrio (B) y masa desplazada del equilibrio (C). En la Figura 2 se ilustran los diagramas de fuerza de la
masa m en la situación de equilibrio y en la situación de no equilibrio. El marco de referencia elegido es el
techo y el sistema de coordenadas el eje Y apuntando hacia abajo con su origen en la posición de equilibrio
de la masa m.
Las fuerzas que actúan sobre la masa m son: la fuerza que le ejerce el planeta Tierra (el peso mg) y la
fuerza que le ejerce el resorte (en equilibrio es igual a kd y en la situación de no equilibrio es igual a
k  d + y  ). Se están despreciando las fuerzas que por ejemplo ejerce el aire sobre el cuerpo de masa m
(el empuje y la fuerza de fricción).
2
Figura 1
Figura 2
En la situación de equilibrio se aplica la primera ley de Newton,
   Fy = 0
mg - kd = 0
mg = kd
(1)
En la situación de no equilibrio se aplica la segunda ley de Newton,
+   Fy = m a y
3
mg - k  d + y = m a y (2)
Sabiendo que
ay =
d2 y
dt 2
y combinando las ecuaciones (1) y (2) se obtiene,
d2 y
k
+
y=0
2
dt
m
[1]
que corresponde a la ecuación diferencial del oscilador armónico con,
ω2 =
k
m
Es decir, se concluye que las oscilaciones del sistema masa-resorte son armónicas (MAS) con frecuencia
angular natural o propia igual a,
ω=
k
m
En donde k que corresponde a la constante del MAS, es igual la misma constante de rigidez del resorte
y m la masa del cuerpo que está acoplado a éste. El periodo P y la frecuencia propia en Hz de este
sistema son respectivamente,
P = 2π
m
k
[2]
1
2π
k
m
[3]
f=
Entre mayor sea la masa acoplada, menor es la frecuencia natural con que oscila, o lo que es lo mismo, más
se demora en hacer una oscilación completa. Entre mayor se k , es decir entre más rígido sea el resorte,
mayor es la frecuencia natural con la que oscila.
Las ecuaciones cinemáticas correspondientes son,
4
y = A sen  ω t + φo 
[4]
Vy = ωA cos  ω t + φo 
[5]
a y = - ω2A sen  ω t + φo  = - ω2 y
[6]
Video:
Variando la masa en el sistema masa-resorte.
Video:
Variando la constante de rigidez mediante la composición de dos resortes en paralelo.
Video:
Variando la constante de rigidez mediante la composición de dos resortes en serie.
Simulación:
Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente a Dinámica del MAS, Sistema masa-resorte. Para
acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 3. Se despliega la simulación de la
Figura 4. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados.
Figura 3
5
Figura 4
Ejemplo 1:
Encontrar el período natural de oscilación de los dos sistemas ilustrados en la Figura 5. Aquí,
k1 y k 2
corresponden a las constantes de rigidez de los resortes individuales, m corresponde a la masa del cuerpo
que está sujeto al sistema de resortes.
Figura 5
Solución:
El periodo con que oscila un sistema masa-resorte es según la ecuación [2],
P = 2π
m
k
[2]
Una solución es buscar en cada uno de los sistemas de la Figura 5 un sistema equivalente de constante
resultante k r . En otras palabras buscar la constante k r de un resorte que reemplace a los dos resortes
de constantes
P = 2π
k1 y k 2 de cada uno de los sistemas de la Figura 5 y que oscilará con un periodo igual a,
m
kr
(1)
Sistema 1: Resortes en serie.
A continuación se demostrará que si se tiene dos resortes de longitudes naturales L1 y L2 y constantes de
rigidez k1 y k 2 y se empalman en serie, es equivalente a tener un resorte de longitud natural L1 + L2 con
una constante de rigidez
k r que cumple,
1
1
1
=
+
kr
k1
k2
(2)
Demostración:
En la figura 6 se ilustra el sistema de resortes empalmados en serie. Como se están considerando resorte
ideales, sus masas son despreciables, y por lo tanto la fuerza Fr que se realiza sobre el resorte 1 se
transmite con la misma “intensidad” a través de éste y a través del resorte 2 estén o no en equilibrio: se
deja al lector para que mediante la aplicación de las leyes de Newton muestre esto (ayuda: elaborar el
diagrama de fueras de cada resorte).
Figura 6
6
Por lo tanto como,
d = d1 + d2
y de la aplicación dela ley de Hooke a cada resorte,
Fr = k1d1 = k 2 d 2 = k r d
7
Se obtiene,
1
1
1
=
+
kr
k1
k2
(2)
Si por ejemplo dos resortes de igual constante k se empalman en serie, la constante del conjunto de estos
dos resortes sólo es la mitad,
k
: es menos rígido.
2
De la ecuación (1) se deduce que la constante equivalente es,
kr =
k1k 2
k1 + k 2
y por lo tanto reemplazando en la ecuación (1) se obtiene para el periodo de oscilación del sistema
resultante,
P = 2π
m  k1 + k 2 
k 1k 2
Sistema 2: Resortes en paralelo
A continuación se demostrará que si se tiene dos resortes de longitudes naturales L1 y L2, con L1=L2, y
constantes de rigidez k1 y k 2 , y se empalman en paralelo, es equivalente a tener un resorte de longitud
natural L=L1=L2 con una constante de rigidez
k r = k1 + k 2
k r que cumple,
(2)
Si por ejemplo dos resortes de igual constante k y longitud L se empalman en paralelo, la constante del
conjunto de estos dos resortes es el doble, 2k : es más rígido.
Tarea: Se deja al lector éste análisis.
El periodo de oscilación de este sistema es,
P = 2π
m
k1 + k 2
Algo bien interesante:
8

Los resortes en serie se distribuyen la deformación,
d = d1 + d2
F = F1 = F2

Los resortes en paralelo se distribuyen la fuerza,
Fr = F1 + F2
d = d1 = d2
Péndulo Simple
Se define el péndulo simple como una masa puntual que pende de un hilo inextensible. En la Figura 7 se
ilustra una posición general de un péndulo simple oscilando; en la misma figura se representa las fuerzas
que actúan sobre la masa pendular: el marco de referencia elegido es el techo y el sistema de coordenadas
elegido de acuerdo a la simetría es el que corresponde a ejes que tienen las direcciones de la aceleración
tangencial y de la aceleración centrípeta de la masa.
Figura 7
Aplicando la segunda ley de Newton, se obtiene,
  FN = ma N
2
 dθ 
 F - mg cos θ = m   L
 dt 
  FT = ma T  -mg senθ = m
d 2θ
L
dt 2
(1)
(2)
9
En estas ecuaciones F corresponde a la tensión en la cuerda, g es la aceleración de la gravedad, m es la
masa pendular, θ es la posición (elongación) angular,
d 2θ
dθ
es la velocidad angular,
dt
dt 2
es la aceleración
angular y L es la longitud pendular.
De la ecuación (2) se obtiene,
d 2θ
g
+ senθ = 0
2
dt
L
De la ecuación (2) se obtiene,
d 2θ
g
+ senθ = 0
2
dt
L
Esta ecuación diferencial NO es lineal, y por lo tanto el péndulo simple no oscila con MAS. Sin embargo
θ , por tanto,
para pequeñas oscilaciones, senθ
d 2θ
g
+ θ=0
2
dt
L
[7]
es decir, para pequeñas amplitudes (pequeñas oscilaciones) el movimiento pendular es armónico. La
frecuencia angular propia de oscilación de este sistema es,
ω=
g
L
y el periodo y la frecuencia propia en Hz son,
L
g
[8]
1 g
2π L
[9]
P = 2π
f=
10
y No dependen de la masa pendular.
La cinemática del movimiento pendular para pequeñas oscilaciones es en función de las variables angulares
(elongación angular θ , velocidad angular ω y aceleración angular α ),
θ = θo sen  ω t + φo 
dθ
= ω θo cos  ω t + φo 
dt
Ω =
α=
d 2θ
= - ω2θ 0 sen  ω t + φo  = - ω2θ
2
dt
[10]
[11]
[12]
Video:
Independencia del período de oscilación de un péndulo simple de la masa pendular.
Video:
Dependencia del período de oscilación de un péndulo simple de la longitud del hilo.
Simulación:
Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente a Dinámica del MAS, Péndulo simple. Para
acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 8. Se despliega la simulación de la
Figura 9. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados.
11
Figura 8
Figura 9
Ejemplo 2:
Un péndulo simple tiene una masa de 0,250 kg y una longitud de 1,00 m. Se desplaza un ángulo de 15,0º y se
suelta. Calcular: (a) su rapidez máxima, (b) la aceleración angular máxima, (c) la máxima fuerza de
restitución.
Solución:
Una representación de la escena física y del diagrama de fueras sobre la masa pendular se ilustra en la
Figura 7. También allí se observa el sistema de coordenadas elegido; como marco de referencia se escogió
el techo.
Con la condición inicial dada la masa pendular oscila con una amplitud angular
θo = 15,0o que podría
considerarse pequeña y por lo tanto las oscilaciones serán armónicas: las siguientes ecuaciones cinemáticas
están dadas por las ecuaciones [10], [11] y [12],
θ = θo sen  ω t + φo 
Ω =
α=
[10]
dθ
= ω θo cos  ω t + φo 
dt
d 2θ
= - ω2θo sen  ω t + φo  = - ω2θ
dt 2
[11]
[12]
(a) La rapidez angular máxima se presenta cuando la masa pendular pasa por la posición de equilibrio y es
igual a,
Ωmax = ω θo
(1)
Se debe tener la precaución de no olvidar expresar las variables angulares en radianes,
θ o = 15,0o ×
3,14rad
= 0,261rad
180o
El periodo, ecuación [8],
P = 2π
L
g
P = 6,28 rad 
1,00 m
 2, 01 s
m
9,80 2
s
La frecuencia angular,
ω=
2π
P
12
ω=
6.28 rad
rad
 3,12
2,01 s
s
Reemplazando en (1),
rad
rad
× 0,261 rad = 0,814
s
s
Ω max = 3,12
La rapidez lineal máxima es,
Vmax = Ωmax L
Vmax = 0,814
rad
× 1,00 m
s
Vmax = 0,814
m
s
(b) La aceleración angular máxima se presenta cuando la masa pendular se encuentra en algunos de los
extremos de la oscilación y es igual a,
α = ω2θo
(2)
Reemplazando valores,
2
αmax
rad 
rad

=  3,12
  0,261 rad  = 2,54 2
s 
s

Nota: no confundirse con el manejo de rad, rad2 y rad3, ya que dimensionalmente son la unidad: en otras
palabras ω se mide en s-1 y α en s-2.
(c) La magnitud de la máxima fuerza de restitución es,
Ftangencial, max  m a tangencial, max
Ftangencial,max = m αmax L
Ftangencial,max = 0,250 kg × 2,54
Ftangencial,max = 0,635 N
rad
× 1,00 m
s2
13
Ejemplo 3
En el techo de un ascensor se cuelgan un sistema masa-resorte y un péndulo simple. Comparar los periodos
de oscilación de estos sistemas oscilantes cuando el ascensor está en reposo respecto al edificio, con los
valores de éstos cuando el ascensor está: (a) subiendo con velocidad constante, (b) bajando con velocidad
constante, (c) subiendo con aceleración constante a < g , (b) bajando con aceleración constante a < g , (e)
en caída libre.
14
Solución:
Figura 10
En la Figura 10 se ilustra una representación de la escena física. El piso del edificio es un marco de
referencia inercial, mientras que el ascensor solo es marco de referencia inercial cuando se mueve con
velocidad constante respecto al edificio.
En primera instancia se analizará la situación en la cual el ascensor sube con aceleración a < g . Respecto al
ascensor, que es un marco de referencia NO inercial la gravedad medida denominada gravedad “aparente” o
mejor gravedad “efectiva”, gefect , cuyo valor se puede obtener mediante el uso de la relaciones de
movimiento relativo. Para comprender bien esto, supóngase la masa m en caída libre dentro del ascensor:
a mo' = a mo - a o' o
En donde,
a m o es la aceleración de la masa m respecto a O, a m o' es la aceleración de m respecto a O’
(gravedad “efectiva” y es la medida en marco de referencia no inercial),
a o o' es la aceleración de O
respecto a O’,
a m o = - g ˆj (aceleración de la masa m respecto al edificio, que es un marco de referencia inercial)
a o ' o = + a ˆj (aceleración del ascensor respecto al edificio)
Por lo tanto la aceleración de m respecto al ascensor es,
a m o' = - g ˆj - a ˆj ”
15
a m o' = -  g + a
 ˆj
siendo entonces la gravedad efectiva igual a,
gefect = g + a
Por lo tanto el periodo del péndulo se ve afectado, siendo para el ascensor en reposo,
P = 2π
L
g
y en el ascenso subiendo con aceleración a,
P = 2π
L
g efec
P = 2π
L
g+a
Es decir el periodo se ve disminuido y por lo tanto la frecuencia aumenta.
Para los casos en los que el ascensor sube o baja con velocidad constante, sería una situación equivalente a
cuando el ascensor está en reposo (marco de referencia inercial), y la gravedad medida sería la “real”: el
periodo no cambia respecto a su valor con el ascensor en reposo.
Cuando el ascensor baja con aceleración a < g ,
P = 2π
L
g-a
y si el ascensor baja en caída libre el péndulo no oscila, P   .
Tarea: Analizar el caso del sistema masa-resorte.
Péndulo Físico
Un péndulo compuesto (o péndulo físico) es cualquier cuerpo rígido que puede oscilar alrededor de un eje
horizontal bajo la acción de la fuerza de gravedad. En la Figura 11 se ilustra una posición general de un
péndulo compuesto oscilando. En la misma figura se representa las fuerzas que actúan sobre el cuerpo
rígido (se han despreciado el torque de fricción en el eje, el rozamiento con el aire y la fuerza
arquimediana). El marco de referencia elegido es el piso sobre el que se ubica el soporte del péndulo; el
sistema de coordenadas es el normal-tangencial.
Figura 11
La distancia desde el punto de apoyo O hasta al centro de gravedad del cuerpo es igual a
de inercia del cuerpo rígido respecto a un eje que pasa por O es
b . Si el momento
I o , la segunda ley de Newton de rotación
da como resultado,
 τ o = Io
d 2θ
dt 2
- mg b senθ = Io
d 2θ
dt 2
d 2θ
mg b
+
senθ = 0
2
dt
Io
Se debe observar que la fuerza de reacción R que ejerce el pivote en O sobre el cuerpo rígido no hace
torque, por lo que no aparece en la ecuación. Además, también es necesario resaltar que esta ecuación
diferencial no es lineal, y por lo tanto el péndulo físico no oscila con MAS. Sin embargo, para pequeñas
θ , por tanto,
oscilaciones, senθ
16
d 2θ
mg b
+
θ=0
2
dt
Io
[13]
17
es decir, para pequeñas amplitudes (pequeñas oscilaciones) el movimiento pendular es armónico. La
frecuencia angular propia de oscilación de este sistema es,
ω=
mgb
Io
y el periodo y la frecuencia propia en Hz son,
Io
mgb
[14]
1 mgb
2π Io
[15]
P = 2π
f=
Aplicando el teorema de ejes paralelos,
Io = ICM + mb2
en donde
I CM es el momento de inercia del cuerpo rígido respecto a un eje que pasa por el centro de
masa y es paralelo al eje que pasa por O.
Aplicando la definición de radio de giro,
2
ICM = m RCM
En donde
R CM corresponde al radio de giro del cuerpo rígido respecto al CM.
Por lo tanto,
2
Io = mRCM
+ mb2
Y reemplazando en la ecuación [14],
P = 2π
2
R CM
+ b2
gb
[16]
Tarea: ¿Cuál es la interpretación física del radio de giro?
18
Tabla de radios de giro de algunos cuerpos homogéneos y con simetría
Cuerpo
Anillo
2
R CM
= R2
Disco
2
R CM
=
1 2
R
2
2
R CM
=
1 2
R
2
0
Cilindro
Placa rectangular
2
R CM
=
1
a 2 + b 2 
12
19
Varilla
2
R CM
=
1 2
L
12
Esfera hueca
2
R CM
=
2 2
R
3
Esfera maciza
2
R CM
=
2 2
R
5
Longitud de péndulo simple equivalente ( Le ):
Es la longitud que debe tener un péndulo simple para que oscile con el mismo periodo de un péndulo físico.
Para calcularla basta con igualar las ecuaciones [8] y [16] y se obtiene,
Le =
2
R CM
+b 2
b
[17]
Las ecuaciones cinemáticas del péndulo físico son las mismas que para el péndulo simple,
θ = θo sen  ω t + φo 
Ω =
dθ
= ω θo cos  ω t + φo 
dt
d 2θ
α = 2 = - ω2θ 0 sen  ω t + φo  = - ω2θ
dt
20
[10]
[11]
[12]
Ejemplo 4:
Un aro circular de radio R se cuelga sobre el filo de un cuchillo. Demostrar que su período de oscilación es
el mismo que el de un péndulo simple de longitud 2R.
Solución:
La longitud de péndulo simple equivalentes, ecuación [17] es,
Le =
2
R CM
+b 2
b
y por lo tanto en este caso,
R2 + R2
Le =
R
Le = 2R
Es decir un péndulo simple de longitud igual a dos veces el radio del anillo oscila con igual periodo que éste.
Ejemplo 5:
Una varilla delgada tiene una masa M y una longitud L. Uno de los extremos de la varilla se sujeta en un
pivote fijo y la varilla oscila alrededor del pivote con oscilaciones pequeñas. Encontrar la frecuencia de
estas oscilaciones. Si se apoya una partícula de masa M al extremo final de la varilla, ¿cuál será su nuevo
periodo?
Solución:
En la Figura 12 se ilustran las dos situaciones físicas: a la izquierda la varilla y a la derecha la varilla con
otra masa en su extremo inferior.
21
Figura 12
Periodo de la varilla:
De la ecuación [16],
P = 2π
2
R CM
+ b2
gb
L2
L
+  
12  2 
P = 2π
L
g 
2
P = 2π
2
2L
3g
Periodo de la varilla con masa en su extremo:
De la ecuación [14] se obtiene,
P = 2π
Io
m g b
(1)
en donde las primas significa los valores de esas magnitudes para el nuevo sistema: varilla + partícula en su
extremo. Así:
m = M + M = 2M
(2)
Io = Io,varilla + Io,particula
(3)
22
Pero según el teorema de ejes paralelos,
Io,varilla = ICM,varilla
L
+ M 
2
2
Io,varilla =
1
L
ML2 + M  
12
2
Io,varilla =
1
ML2
3
2
(4)
Como para la partícula que se ubicó en el extremo de varilla,
Io,particula = ML2 y reemplazando (4) en (3), se
obtiene,
Io =
1
ML2 + ML2
3
Io =
4
ML2
3
(5)
Ahora se ubicará la posición del nuevo CM. Este es equivalente al CM de dos partículas, una ubicada en el
CM de la varilla y la otra ubicada en el extremo de la varilla, por lo tanto,
L
M   + ML
2
b =
M+M
b =
3
L
4
(6)
Reemplazando (2), (5) y (6) en (1),
P=
4π 2L
3 g
Otros ejemplos de sistemas oscilando con MAS
Ejemplo 6:
23
Un bloque de madera cuya densidad relativa respecto al agua es ρ tiene dimensiones a, b, c. Mientras está
flotando en el agua con el lado a vertical, se le empuja hacia abajo y se le suelta. Hallar el período de las
oscilaciones resultantes ¿Es armónico el movimiento?
Solución:
En la Figura 13 se ilustra la escena física. El marco de referencia puede ser la el recipiente que contiene el
agua y el sistema de coordenadas elegidos es el eje Y con origen O en la superficie del agua. En la misma
figura se ilustra el diagrama de fuerzas: mg es el peso del bloque y E y E’ las correspondientes fuerzas
arquimedianas (se ha despreciado la fuerza de rozamiento de viscosidad).
Figura 13
Aplicando la primera ley de Newton en la situación de equilibrio,
 Fy = 0  mg - E = 0
El principio de Arquímedes expresa que el empuje E es igual al peso del fluido desalojado,
E=  d  b  c ρa g
En donde
ρa es la densidad del agua, por lo tanto,
mg =  d  b  c ρa g
(1)
Aplicando la segunda ley de Newton en la situación de No equilibrio,
  Fy = m
d2 y
d2 y


mg
E
=
m
dt 2
dt 2
24
Aplicando el principio de Arquímedes,
E' =  d + y b  c ρa g
Y por lo tanto,
mg -  d + y  b  c  ρa g = m
d2 y
dt 2
(2)
Reemplazando (1) en (2),
d2 y
-  b  c  ρa g y = m 2
dt
y como,
m =  a  b  c ρc
en donde
ρc es la densidad del cuerpo, se obtiene,
ρ g
d2 y
+ a y= 0
2
dt
ρc a
que corresponde a la ecuación diferencial del oscilador armónico. Es decir el bloque oscila con MAS y con
una frecuencia angular natural igual a,
ω=
ρa g
ρc a
ω=
g
ρa
siendo,
ρ=
ρc
ρa
y su periodo de oscilación es,
P = 2π
a
ρ
g
25
Sería como el periodo de un péndulo simple con longitud equivalente,
Le = aρ
Ejemplo 7:
La Figura 14 muestra una barra uniforme que se apoya sobre dos cilindros que giran en sentidos contrarios.
El coeficiente de fricción entre la barra y los cilindros es μ . Mostrar que el efecto neto de las fuerzas de
fricción es una fuerza restauradora lineal y que la frecuencia angular natural con que oscila el centro de
masa de la barra será igual a:
ω=
2μ
g
a
Solución:
Figura 14
En la misma figura se ilustra el diagrama de fuerzas tanto en situación de equilibrio como de NO equilibrio.
El marco de referencia puede ser el piso y el sistema de coordenadas elegido es XY con origen en la
posición de equilibrio de la barra.
Las ecuaciones correspondientes a las leyes de newton en la situación de No equilibrio son,
  Fx = m
d2 x
d2 x

f
f
=
m
1
2
dt 2
dt 2
  Fy = 0  N1 + N2 - mg = 0

a

a

= 0  -  N1    x  +  N 2    x  = 0
2

2

CM
(1)
(2)
(3)
Adicionalmente,
f1 = μN1
(4)
f2 = μN2
(5)
De (1), (2), (3), (4) y (5) se obtiene,
d2x
2μg
+
x=0
2
dt
a
Que corresponde a un MAS con frecuencia angular propia,
ω=
2μ
g
a
y su periodo de oscilación es,
P = 2π
a
2μg
Es decir su periodo es el mismo que el de un péndulo simple cuya longitud equivalentes es,
Le =
a
2μ
26
Taller
1.
Se cuelga un resorte del techo de un ascensor en reposo. Su longitud natural es de igual a 30,0 cm y su
constante elástica de 500 N/m. Se coloca un cuerpo en el extremo libre del resorte y éste se estira
10,0 cm, quedando en reposo. Un pasajero observa que, durante algunos segundos la posición en la que el
cuerpo queda en reposo respecto de él corresponde a un estiramiento del resorte de 13,0 cm.
Entonces, en ese lapso, ¿cuál es la aceleración del ascensor respecto a la planta baja del edificio?
Rp. 3,00 m/s2
2. Un bloque de 25,0 kg se cuelga de una serie de resortes como se indica en la Figura 15: k1= 8,00 kN/m,
k2= 12,00 kN/m, k3= 16,00 kN/m, k4=6,00 kN/m, k5= 24,00 kN/m y k6= 3,00 kN/m. Para cada uno los
arreglos de resortes determinar para sus oscilaciones de amplitud 3,00 cm: (a) el periodo, (b) la
frecuencia, (c) la rapidez máxima, (d) la aceleración máxima.
Rp. (a) 0,517 s y 0,356 s (b) 1,93 Hz y 2,81 Hz (c) 0,365 m.s-1 y 0,530 m.s-1 (d) 4,43 m.s-2 y 9,36 m.s-2
Figura 15
3. Un péndulo simple tiene una longitud de 5,00 m. (a) ¿Cuál es el periodo del MAS de este péndulo si está
colgado de un elevador que acelera hacia arriba a 5,00 m.s-2?, (b) ¿cuál es su periodo si el elevador
acelera hacia abajo a 5,00 m.s-2?, y (c) ¿cuál es el periodo para este péndulo si es puesto en un camión
que acelera horizontalmente a 5,00 m.s-2?
Rp. (a) 3,65 s, (b) 6,41 s, (c) 4,24 s.
4. Un péndulo físico consiste de una barra de masa despreciable de longitud 2L que oscila en torno a un
eje a través de su centro, Figura 16. Una masa m1 se une al extremo inferior de la barra y una masa m 2
al extremo superior. ¿Cuál es el periodo de este péndulo?
Rp.
P=2π
L  m1 + m 2 


g  m1 - m 2 
Figura 16
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5. Una partícula de masa m resbala dentro de una superficie semiesférica de fricción despreciable y de
radio R. Mostrar que si ésta se suelta muy cerca de la posición de equilibrio, oscilará armónicamente
con una frecuencia angular propia igual a la de un péndulo simple de longitud R.
6. Un carro consiste en un cuerpo y cuatro ruedas sobre ejes con fricción despreciable. El cuerpo tiene
una masa m. Las ruedas son discos uniformes de masa M y radio R. Suponer que el carro puede oscilar
sin deslizarse bajo la acción de un resorte de constante de rigidez k, Figura 17. Si se toma en cuenta el
momento de inercia de las ruedas, mostrar que las oscilaciones del carro son armónicas con frecuencia
natural,
f=
1
k
2π m + 6M
Ayuda: En la Figura 17 se ilustra el diagrama de fuerzas cuando el carro se desplaza hacia X creciente.
f es la fuerza de fricción sobre cada rueda. Tener en cuenta que si cada rueda rota θ , el carro se
desplaza x = Rθ .
Figura 17
FIN.
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