Junio

Física. Licenciatura en CC. Químicas
Examen final. 1 de Junio de 2004
Primer parcial:
Teoría 1. (3 puntos) Una esfera cae rodando sin deslizar por un plano inclinado. Realiza un diagrama detallado
con todas las fuerzas que actúan sobre la esfera. ¿Cuál o cuáles de ellas son responsables del movimiento de rotación?
¿Por qué? Discutir las distintas energías presentes durante el descenso.
- Diagrama o dibujo de fuerzas
(1 punto)
- Justificación del movimiento de rotación por efecto del rozamiento
- Estudio de los distintos términos de energía
(1 punto)
(1 punto)
Teoría 2. (2 puntos) ¿Qué se entiende por sistema de referencia NO inercial? Discutir la validez de la segunda
ley de Newton en este tipo de sistemas.
- Definición y características de un sistema de referencia NO inercial
(1 punto)
- Definición y características de las fuerzas ficticias. 2ª Ley de la Dinámica modificada
(1 punto)
Problema. Un futbolista lanza un balón de 400g de masa desde el suelo con una velocidad v0=20m/s formando
un ángulo de 45º con la horizontal.
(a) Determinar la altura máxima que alcanza el balón y en qué instante de tiempo ocurre.
Cuando pasa por este punto, una bola de nieve de 200g lanzada por un espectador desde la grada choca contra él y se
queda pegada. La velocidad de la bola en el momento del choque es de v1=10 m/s y forma un ángulo de 60º con la
horizontal como muestra el dibujo.
(b) Determinar la velocidad final (módulo y dirección) del balón tras el choque.
(c) A qué distancia del futbolista cae el balón al suelo
(d) Si la portería, situada a d=28 m del futbolista, tiene una altura h=2.4m ¿entrará el balón por ella?
Bola
v1
60º
Balón
v0
h
45º
d
Portería
SOLUCIÓN
a) Las ecuaciones del movimiento parabólico del balón desde su lanzamiento hasta el momento del choque son:
x = (v0cosα)t
y = (v0sena)t-gt2/2.
Donde se ha situado el origen del sistema de referencia en el punto de
lanzamiento y α = 45º. Para la altura máxima se debe cumplir que vy = 0, por tanto, t0=1.414 s e ymax=10 m (1 punto)
b) Un instante antes del choque, el balón posee una velocidad va= ( v0cosα,0) y la bola de nieve, vb= v1 (-cos60,-sen60).
Dado que el choque es inelástico y se realiza en dos dimensiones, px=cte y py= cte. En nuestro caso, esto quiere decir
que (m0+m1)Ux= v0cos45 − v1 cos60; (m0+m1)Uy= -v1 sen60 (1 punto). Después del choque, el conjunto balón-bola se
mueve con una velocidad U=8.28 m/s, con una dirección inicial que forma un ángulo de θ = -20.4º respecto del eje x y
sentido hacia la portería. (1 punto)
c) Tras el choque, el conjunto balón-bola describe otro movimiento parabólico de caída, con velocidad inicial U y con
origen en ymax. Las ecuaciones de esta trayectoria son:
x’ = (Ucosθ)t
y’ = ymax - (Usenθ)t - gt2/2. Para conocer el lugar de caída del conjunto bola-balón basta con imponer
que y’=0 lo que resulta en t’=1.1547 s y x’(t’)=8.9613 m. La distancia horizontal total recorrida por el balón con
(1 punto).
respecto al jugador será xtotal = x(t0) + x’(t’)=28.9613 m
d) Para saber si el balón entra en la portería bastaría con conocer la coordenada vertical del balón en el momento en el
que su coordenada horizontal coincide con la de la portería. Como ésta está situada a una distancia de 28 m en relación
con el jugador, x’portería=28-x(t0)=8 m. La ecuación de la trayectoria del balón tras el choque es (a partir de las
expresiones del apartado (c)): y’ = ymax - (x’tgθ) – (x’/Ucosθ)2g/2.
Cuando el balón se encuentra en la posición horizontal de la portería, la altura de aquél es y’balón=y’(x’portería)=10(8tg[20.4])-(8/8.28cos[20.4])2g/2=1.7118 m. Como 1.7118<2.4 m (altura de la portería) está claro que el balón entra en
la portería.
(1 punto)
Segundo parcial
Teoría 1. Definir las siguientes magnitudes termodinámicas indicando su sentido físico: trabajo, calor y energía
interna. Enunciar y explicar el primer principio de la Termodinámica
-
Definición y sentido físico del calor (0.5), trabajo (0.5) y energía interna (0.5)
-
Enunciado (0.5) y explicación (0.5) del primer principio de la Termodinámica
Teoría 2. Noción de campo y potencial eléctricos. Explica la relación entre ambos
-
Definición y características del concepto general de campo
eléctrico (1 punto) y de potencial eléctrico (1 punto)
-
Relación entre ambos (0.5 puntos)
Problema. Una estrella binaria está formada a su vez por dos estrellas
de masas M1 y M2 que giran en torno a un centro común siguiendo órbitas
circulares de radios R1 y R2. El centro común y las dos estrellas permanecen
alineados en todo momento, como indica el dibujo. Calcular:
M2
M1
R2
M2
(a) La fuerza gravitatoria existente entre ambas estrellas
R1
(b) Velocidad lineal y periodo de cada estrella en su orbita circular.
(c) Mínima energía necesaria para deshacer esta estrella binaria
separando una de ellas hasta el infinito.
M1
(d) Si R1=5R2, determinar la relación entre M1 y M2
SOLUCIÓN
(a) La fuerza gravitatoria entre ambas estrellas es Fg=GM1M2/(R1+R2)2.
(1 punto)
(b) Dado que ambas estrellas describen órbitas circulares estables, para cada una de ellas, podemos igualar su fuerza
centrífuga y gravitatoria. Para el caso de la masa M1, esto significa que Fcf,1=M1v12/R1=Fg. De esta igualdad se deduce
que v1=(GM2R1)1/2/(R1+R2). Del mismo modo, para M2, tenemos que v2=(GM1R2)1/2/(R1+R2). (1 punto)
Si ambas estrellas se mantienen siempre alineadas con un centro común, significa que las dos giran con la misma
velocidad angular, ω, puesto que recorren los mismos espacios angulares para el mismo tiempo. Así T1=T2=T=2π/ω y
además ω = v/R (trayectoria circular). Utilizando, por ejemplo, los datos de M1: T=2πR1/v1=2π(R1 + R2)( R1/GM2)1/2
(1 punto)
(c) La energía necesaria para separar una de las estrellas de la otra y llevarla hasta el infinito no es ni más ni menos que
(1 punto)
su energía potencial: E = Ep = -GM1M2/(R1+R2)
(d) Para calcular la relación entre ambas masas basta con igualar, por ejemplo, las respectivas fuerzas centrífugas que
sufren ambas estrellas: Fcf,1=M1ω12R1=Fg= Fcf,2=M2ω22R2. Como ω1 = ω2 llegamos al resultado final: M1R1 = M2R2. Con
(1 punto)
los datos del problema, M1/ M2=1/5.
Tercer Parcial
Teoría 1. Describe el comportamiento de un material dieléctrico en presencia de un campo eléctrico.
Polarización
-
Explicación del fenómeno de la polarización (1 punto)
-
El campo eléctrico en el interior de un dieléctrico: apantallamiento (1 punto)
Teoría 2. Concepto de capacidad eléctrica. Deducir la expresión para la capacidad equivalente a una asociación
de dos condensadores en serie
-
Origen y explicación del almacenamiento de carga en la superficie de un metal (0.5 puntos)
-
Definición razonada del concepto de capacidad eléctrica (0.5 puntos)
-
Demostración de la asociación de condensadores en serie (1 punto)
Teoría 3. Describe el comportamiento de una partícula cargada negativamente que se mueve rectilíneamente con
velocidad constante y entra en una región del espacio donde existe un campo magnético perpendicular a la velocidad de
la partícula. Indicar las características de la fuerza que sufre la partícula y de la trayectoria descrita.
-
Obtención cualitativa de la expresión de la fuerza de Lorentz (0.25 puntos) y enunciado (0.25 puntos)
-
Explicación de los efectos provocados por dicha fuerza en la trayectoria de la carga eléctrica (0.5 puntos)
Problema 1. Un sistema consiste en un hilo rectilíneo indefinido y una espira rectangular inmóvil dos de cuyos
lados son paralelos al hilo, estando el más cercano a una distancia d,
como indica el dibujo. Por el hilo circula una corriente variable con el
tiempo según la expresión I(t)=4t3+3.
a
(a) Aplicando el teorema de Ampère, deducir la expresión que da
el campo creado por el hilo rectilíneo. Indicar no sólo el módulo sino
también su dirección y sentido en cualquier punto del espacio.
(b) Determinar la fuerza electromotriz y la corriente inducidas en
la espira cuadrada e indicar claramente en un dibujo su sentido. La
resistencia eléctrica de la espira es R
I(t)
b
d
(c) Calcular la fuerza neta que actúa sobre la espira.
SOLUCIÓN
(a) Para aplicar el teorema de Ampère rodeamos el conductor rectilíneo con un contorno cerrado circular L de radio r.
Como las líneas del campo magnético creado por dicha corriente rectilínea también son círculos cerrados, B tiene la
misma dirección que los elementos infinitesimales dl del contorno cerrado L. Asimismo, B se mantiene constante en
todos los dl puesto que hemos elegido un círculo como contorno L. De este modo la circulación de B a lo largo de L es
B·2πr. Según el teorema de Ampère, esta circulación (independientemente del contorno cerrado elegido) es siempre
(0.5 puntos)
igual a μ0I, donde I es la corriente encerrada por el contorno. Así, B= μ0I /2πr.
(b) Al situar una espira rectangular en las cercanías de la corriente rectilínea, el campo magnético B crea un flujo de
líneas a través de ella. Para calcular dicho flujo, tomaremos tiras infinitesimalmente pequeñas de área dS=b·dr paralelas
a la corriente rectilínea. El flujo magnético a través de una de ellas será dΦ=B·dS= (μ0I /2πr) b·dr. El flujo total será la
integral extendida a toda la espira. Esto quiere decir que debemos sumar (integrar) el flujo a través de todas las tiras que
se sitúan entre una distancia r =d y r’=d+a, respecto de la corriente rectilínea. De este modo, el flujo total será:
r uur d + a ⎛ μ 0 I ⎞
μ0 I
⎛d +a⎞
Φ = ∫∫ B·dS = ∫ ⎜
b ln ⎜
⎟
⎟ b·dr =
2π r ⎠
2π
⎝ d ⎠
d ⎝
(0.25 puntos)
Como la corriente eléctrica I depende del tiempo (I=4t3+3), el flujo también será dependiente del tiempo y por tanto
aparecerá un voltaje y una corriente inducida en la espira. Para calcular el voltaje inducido basta con aplicar la ley de
Faraday-Lenz: Vind=-dΦ/dt. El resultado es Vind=-(6t2μ0b/π)ln[(d+a)/d]
(0.25 puntos)
En este ejemplo el flujo magnético es monótonamente creciente y según la ley de Lenz, el sentido de la corriente
inducida (Iind = Vind/R) será tal que intente contrarrestar dicho aumento. Para ello, la corriente inducida circulará según
el sentido antihorario (así el “campo magnético inducido” reducirá el valor de B)
(0.5 puntos)
(c) Al inducirse una corriente eléctrica en la espira, los cuatro lados de la misma sufrirán la acción del campo magnético
del hilo rectilíneo. Esto se traduce en la aparición de otras tantas fuerzas magnéticas sobre la espira. Para el cálculo de
r
estas fuerzas se aplica la expresión Fmag =
uur r
I ind dl × B cuyos resultados en los lados de la espira son los
(
∫
)
conductor
siguientes:
b
Fizda = ∫
0
μ 0 II ind
μ II
dl = 0 ind b
2π d
2π d
d +a
Fsup erior = Finf erior =
∫
d
μ 0 II ind
μ 0 II ind
b
dl =
2π d
2π ( d + a )
0
b
Fizda = ∫
μ 0 II ind
μ II
⎛d +a⎞
dr = 0 ind ln ⎜
⎟
2π r
2π
⎝ d ⎠
Dado que las fuerzas sobre los lados superior e inferior son iguales salvo el sentido, únicamente restan las fuerzas sobre
los lados de la izquierda (fuerza repulsiva) y el de la derecha (fuerza atractiva). La fuerza neta (repulsiva) será:
Ftotal =
μ 0 II ind
μ 0 II ind
μ II
b−
b = 0 ind ba
2π d
2π ( d + a )
2π
(1 punto)
Problema 2. En el dibujo adjunto se presenta un circuito de
corriente continua. Determinar:
B
(a) La corriente que circula por cada rama, indicando
claramente su sentido.
ε1
(b) La diferencia de potencial entre los puntos A y B
I1
I3
(c) La potencia disipada en R1 y la generada en ε3
Resolver el problema simbólicamente y sustituir en las
expresiones finales los siguientes valores numéricos:
ε1=50V, ε2=10V, ε3=25V
R4
I2
ε2
R1
R2
ε3
R3
A
R1=10Ω, R2=5Ω , R3=20 Ω, R4=15 Ω
SOLUCIÓN
(a) Para el cálculo de las intensidades eléctricas que recorren cada rama del circuito se han propuesto inicialmente los
sentidos de I1, I2 e I3 indicados en la figura. Asimismo, en la resolución de este apartado se empleará el sentido horario
de circulación (también indicado en la figura). Las leyes de Kirchhoff aplicadas al nudo superior y a las mallas de la
izquierda y de la derecha son:
+I1-I2-I3=0
+R4I3+R1I1=-ε1 - ε2
(izda.)
+R2I2+R3I2-R4I3=-ε3 + ε2
(dcha.)
Los resultados son: I1= -3.39A, I2= -1.648A e I3= -1.742A. Los signos negativos indican que los sentidos de las
corrientes resultan ser contrarios a los propuestos.
(0.75 puntos por el planteamiento correcto de las
ecuaciones y 0.75 puntos por la resolución correcta de las ecuaciones)
(b) La diferencia de potencial entre los puntos A y B se puede calcular indistintamente a lo largo de diversos caminos.
Por ejemplo, se puede utilizar el que va de A a la fuente de alimentación ε1, luego a R2 y finalmente a B. En este caso,
VA-VB= ε1+R2I2 =58.24V
(0.5 puntos)
B
(c) La potencia disipada en R1 es simplemente P1=R1I12 = 114.92W
de alimentación ε3, P3=ε3I2=41.2W
(0.25 puntos)
(0.25 puntos) y la potencia generada por la fuente