Primer Cuatrimestre — 2010 Práctica 1: La recta real Sucesiones

CÁLCULO AVANZADO
Primer Cuatrimestre — 2010
Práctica 1: La recta real
1. Sea A ⊆ R un conjunto no vacío y acotado superiormente, y sea s ∈ R. Entonces
¨
s es una cota superior de A, y
s = sup A ⇐⇒
para todo " > 0 existe a ∈ A tal que s − " < a ≤ s.
2. Para cada x ∈ R sea A x = {m ∈ Z : m ≤ x}.
(a) Es A x 6= ∅ y se trata de un conjunto acotado superiormente. Mostrar que A x
posee un máximo. Ese número la parte entera de x y lo notamos bxc.
(b) Muestre que:
(i) 0 ≤ x − bxc < 1 para todo x ∈ R;
(ii) bxc = x ⇐⇒ x ∈ Z;
(iii) bxc = mı́n{k ∈ Z : x < k + 1};
(iv) bx + yc ≤ bxc + b yc + 1;
(v) x < y =⇒ bxc ≤ b yc.
3. (a) Si x, y ∈ R son tales que y − x > 1, entonces existe un entero k tal que
x < k < y.
(b) Si x, y ∈ R son tales que x < y, entonces existe r ∈ Q tal que x < r < y.
(c) Si r, s ∈ Q son distintos, entonces existe un número irracional entre r y s.
(d) Si x, y ∈ R son distintos, entonces existe un número irracional entre x e y.
4. (a) Para todo x ∈ R existe una sucesión (qn )n∈N ⊆ Q que es estríctamente
decreciente, tal que qn ≥ x para todo n ∈ N y con lı́mn→∞ qn = x.
(b) Enuncie y pruebe un resultado similar, pero con una sucesión estrictamente
creciente de números racionales.
5. Sean x = (x 1 , . . . , x m ) ∈ Rm y " > 0. Existe q = (q1 , . . . , qm ) ∈ Qm tal que
Pm
2 1/2
kx − qk =
< ".
i=1 (x i − qi )
6. El conjunto A = { 2mn : m ∈ Z, n ∈ N} es denso en R. ¿Qué puede decir del
conjunto A b = { bmn : m ∈ Z, n ∈ N} si b ∈ (1, +∞)?
Sucesiones
7. Sean (an )n∈N , (bn )n∈N y (cn )n∈N tres sucesiones de números reales tales que
• existe n0 ∈ N tal que para todo n ≥ n0 es an ≤ bn ≤ cn , y
• lı́mn→∞ an y lı́mn→∞ bn existen y tienen el mismo valor `.
Entonces lı́mn→∞ bn = `.
8. (a) Sea (an )n∈N una sucesión monótona de números reales.
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Cálculo Avanzado — Primer Cuatrimestre — 2010
Práctica 1
(i) (an )n∈N converge sii es acotada.
(ii) Si (an )n∈N posee una subsucesión convergente con límite `, entonces ella
misma converge al mismo límite.
(b) Toda subsucesión de una sucesión convergente es convergente.
(c) Dé un ejemplo de una sucesion (an )n∈N tal que lı́mn→∞ |an − an+1 | = 0 y que
no converja.
(d) ¿Qué puede decir de una sucesión (an )n∈N tal que es lı́mn→∞ |an − an+p | = 0
para todo p ∈ N.
Límite superior e inferior
9. Sea (an )n∈N una sucesión acotada de números reales. Para cada n ∈ N sea
An = {ak : k ≥ n} y pongamos λn = sup An y γn = ı́nf An .
(a) La sucesiones (λn )n∈N es decreciente y (γn )n∈N es creciente, y ambas convergen. Llamamos límite superior de (an )n∈N al límite β = lı́mn→∞ λn , y límite
inferior de (an )n∈N al límite α = lı́mn→∞ γn .
(b) Sea " > 0. A la derecha de β + " y a la izquierda de α − " hay finitos términos
de la sucesión (an )n∈N .
10. Encuentre el límite superior e inferior de las siguiemtes sucesiones:
(a) 1, 3, −1, 1, 3, −1, 1, 3, −1, . . . ;
(b) (−1)n 2 + 3n ;
(c) 1 − 1n sin π2 n;
(d) (sn )n∈N con s1 = 0 y s2 n =
(e) 3n − b 3n c.
s2n−1
2 , s2n+1
=
1
2
+ s2 n para cada n ≥ 1;
11. Sea (an )n∈N una sucesión acotada de números reales.
(a) α = lı́m supn→∞ an sii para cada " > 0 se tiene que
• existe n0 ∈ N tal que para para todo n ≥ n0 es an < α + ", y
• para todo n ∈ N existe m ≥ n tal que am > α − ".
(b) α = lı́m supn→∞ an sii
• existe una subsucesión (an j ) j∈N de (an )n∈N tal que lı́m j→∞ an j = α, y
• si (an0j ) j∈N es una subsucesión convergente de (an )n∈N , es lı́m j→∞ an0j ≤ α.
12. Sea (an )n∈N una sucesión acotada de números reales. Entonces
lı́m an = ` ⇐⇒ lı́m sup an = lı́m inf an = `
n→∞
n→∞
n→∞
13. Sean (an )n∈N y (bn )n∈N sucesiones acotadas de números reales. Entonces:
(a) lı́m supn→∞ (an + bn ) ≤ lı́m supn→∞ an + lı́m supn→∞ bn ;
(b) lı́m supn→∞ an bn ≤ lı́m supn→∞ an · lı́m supn→∞ bn si an , bn ≥ 0 para casi todo
n ∈ N;
(c) lı́m supn→∞ can = c · lı́m supn→∞ an si c > 0.
14. Sea (an )n∈N una sucesión de números reales positivos.
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Práctica 1
(a) Se tiene que
lı́m inf
n→∞
p
p
an+1
an+1
≤ lı́m inf n an ≤ lı́m sup n an ≤ lı́m sup
.
n→∞
an
an
n→∞
n→∞
(b) Si existe lı́mn→∞ an+1 an = A ∈ R, entonces lı́mn→∞
p
n
(c) Calcule lı́mn→∞
p
n
an = A.
n!
n .
Desarrollos b-arios
15. Sea b ∈ N tal que b ≥ 2. Sean x, y ∈ [0, 1] y sean
Xx
Xy
i
i
x=
,
y
=
i
i
b
b
i≥1
i≥1
sus desarrollos b-arios. Supongamos además que el desarrollo de y tiene infinitos
términos, de manera que existen infinitos índices i ∈ N tales que yi 6= 0, y sea n ∈ N
tal que x i = yi para todo i < n.
(a) Si x n < yn , entonces x < y.
(b) Si el desarrollo de x también es infinito, el orden entre x e y es el mismo que
el de los primeros términos de sus desarrollos en los que difieren.
(c) Si z ∈ [x, y], entonces el desarrollo b-ario de z tiene dígitos zi = x i = yi para
todo i < n.
16. Encuentre los desarrollos en las bases 2, 3 y 16 de los números 2.25, 10.7, 27
y 255.
Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano
1781–1848, Austria/República checa
Bolzano publicó en 1817 la primer prueba completa del teorema de los
valores intermedios y, en ese trabajo, dio por primera vez la definición de
lo que hoy entendemos por límite y sucesión de Cauchy.
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