PDF (Segunda parte: Funciones de transferencia)

SEGUNDA
PARTE
2.
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
2.1
Sistemas lineales
•
Sea un sistema G cualquiera
dráu1ico, etc.) afectado por
(variables de entrada), y en
lida o respuesta) dependiente
da.
(mecánico, e1~ctrico, hi cierto número de variables
el que se produce una sade las variables de entra
Entre los diversos valores que componen la entrada, uno
es generalmente de una importancia preponderante desde
el punto de vista del usuario.
Este valor es el que de
nominamos entrada del sistema, reservando para los restantes la designaci6n de entradas secundarias.
entrada
entradas
secunda•
rlas
..
r
No.
No.
No.
1
.2
3
..
•
~\\\t
sal ida
e
•
Fig. 2.1
La única hipótesis que estableceremos en relación con
el sistema G antes citado, es que su ecuaci6n diferen
cia1 es lineal y con coeficientes constantes.
Una forma MUy conocida para representar un sistema 1i
nea1 es mediante la re1aci6n entre su entrada y su sa
-24-
n-l
+
b
c(t)
d
+
n
dt - 1
e .. o
+
o
+ a n- 1
e.,. + b m- 1
+ b m r (1)
(2.1)
donde c(t) es la variable de salida y r(t) es la varia
ble de entrada y tOdas las "a" y "b" son constantes.
La ecuaci6n diferencial (2.1) da una representaci6n co~
pleta del comportamiento del sistema ,entre la entrada y
la salida.
Una vez especificada la entrada y las cond1ciones inicia
les, la respuesta se obtiene ,resolviendo la Ecuac16n ¿.1
Sin embargo, es evidente que la representaci6n de un si~
tema por su ecuaci6n diterencial es bastante engorrosa y
poco pr~ctica.
''
ES posible simplificar la representaci6n de los sistemas
lineales introduciendo la noci6n de "funci6n de transferencia ll •
:.\ ~~
Transformando por\frL~place los dos miembros de la ecuaci6n
¿.1 y suponiendo nulas las condiciones iniciales, tenemos:
s
-
n-l
+ ... e +
a
-
n-l
,-
,-
s
m-l
+
e e e
-25-
+
b
m-
1 s
+ b"m ) R( s )
(2 0 2)
Por definición, la funclón de transferencia de un Sistema es el cociente entre C(s) y R(s); por lo tanto:
=
( 2.3)
r Las caracterIsticas de un sistema lineal dependen unic~
mente de las propiedades de los elementos del sistema,
por esto la función de transferencia G(s) es una propie
dad exclusiva de los elementos del sistema, siendo in l dependiente de la entrada y de las condiciones iniciales .
~ Debe
destacarse que la función de transferencia no est~
definida para sistenns no lineales, aunque pueden definirse, con ciertas aproximaciones,lIfunciones de trans ferencia pseudolineales ll para tipos particulares de no
linealidades.
En los problemas de an~lisis, se conoce la función de transferencia del sistema y la transformada de la salida puede deducirse por la ecuación:
•
C{s} -
G{s} R {s}
•
La respuesta temporal de la salida se obtiene calculando la transformada de Laplace inversa de C(s).
Debe destacarse que el concepto de función de transfer e~
cia de un sistema lineal, como se ha definido en la ecua
ción (2.3) es ANALOGO al de ganancia de un amplificadorelectrónico.
e
A
_
,
s
S
e
e
-26-
1
(2.5)
donde es es la tensi6n de salida, ee la de entrada y A
es la ganancia en tensi6n del amplificador.
El siguiente ejemplo se propone para ilustrar como se
deducen las funciones de transferencia de un sistema
lineal de variable única •
•
é (t)
R
+
-•
i(t)
e
....
./
C ~I
0------------------------____________
e (t)
s
~_
Fig. 2.2
Red RLC en serie
,
EjemplO 2.1:
La ecuaci6n de malla del circuito RLC serie de la figura 2.2 es:
t
.
e (t) = R i(t)
e
+L
d "lt)
l
,
d t
+1
-
e
o
i( t) d t + e (O + )
s
{2.6)
•
donde es (O + les la tensi6n inicial entre las arma.duras
del condensador C.
Transformando por Laplace los dos miembros de la Ec -(2.6) Y suponiendo nulas las condiciones iniciales, te
nemos:
,
•
f'"
••
E (s) · = (R + L S
e
,•
•
-27-
+
1
es
) l( s )
(2.7)
la corriente i(t) cerno variable de s2.lic.a, la
de trRnsf~renciQ entr e Bc(~) e i(i · ) ~St
tom~mrlo
f U!1C 1.'6!l
.:
I(s)
1
=
R+LS+
E (s)
•
es
=
1
es
••
1+ R
e
s + L
e
(2.8)
s2
Si se consiaera la tensiOn E(s) (t) como salida, la fun
ciOn de transferencia entre ~e y ~s se obtiene susti
tuyendo:
=
··
E (s) =
s
1
I(s)
(2.9)
e s
en lA ecuac1.0n ¿.J, por lo tanto:
E (s)
s
E (s)
e
1
=
(2. 10)
1
1 + R e s + L e s2
~.~
Ecuaciones aiferenciales ae alqunos
sistemas
.
meca.nicos
--..
~.~.l
Mo~imientb L1.neal
(figura
metida a una tuerza
x
F
......
r1"1
v
~.2)
de una masa so-
m -- masa
••
.....
..
a ..
-28-
F = fuerza
a
-
aceleraci6n
v
::
velocidad
X
- destllazamiento
.
.
I
La ecuaci6n fundamental de la
rnec~nica
dice que:
F=m.a
'.
¡
donde la aceleraci6n "a" es la pr1mera derivada, respec
to al tiempo de la velocidad "v" y la segunda derivada,
siempre respecto. al tiempo del desplazamiento X
2
d v
d x
a = d t =. d t 2
(2.12)
La ecuaci6n diferencial que describe la manera de compor
tarse la masa (fig. 2.2) "m" a la que se le aplica una fuerza P viene .qada por la expresi6n:
,
_d. x
2
F = m
dt
2.2.2
(2. 13)
2
Movimiento rectilIneo en Eresencia de un sistema
el~stico
•
FI
.
F
K
m
•
x
--------------~
Pig. 2.3
•
Est~
caracterizado por un~ fuerza p' de . sentido contrario
a P, desarrollada por el sistema el~stico. El valor de pI depende de las caracterIsticas mecánicas del resorte
(muelle) y del desplazamiento X.
•
•
donde K
FI = K • x
= constante. el~sti
(2.14)
ca.
La condici6n de equilibrio din&mico se tendr! cuando F - F' = m.a de donde:
F
2.2.3
=
m. a
+ F' =
+K
m
•
x
(20 1 S)
Movlmlento rectiflneo en presencia de un rozamiento de tipo viscoso
•
F"
F
f
m
x
Fig. 2.4
Este movimiento se caracteriza por una fuerza F" de sentido contrario? F, cuyo valor depende de la velo cidad y del medio viscoso en el cual la masa se despl~
za:
F" = f • v
donde f = coeficiente del medio vis
coso y
(2.16)
v = velocidad de la m.sa
-30•
la ecuación diferencial
to en el caso anterior!
ser~,
F=m. a+FII =m
por tanto, como se ha vis
dx
+f. V=m
(2. 17)
d t
2.2.4
Movimiento rectilfneo en presencia de un sis tema el~stico y de un rozamiento de tipo vis coso.
-
.
K
FI
F
..
m
..
V
FII
.
x
Fig. 2.5
F.ste movimiento esta caracterizado por una fuerza F" de
tipo viscoso y una fuerza F' de tipo el~stico.
Se
tendr~
por tanto:
F ... FI=m. a+FII
de donde
F-K
•
X=m
d
2
x
.~
d t
+
f
d,x
d t
En lJeneral se puede conclu!r c'Jiciendo que la suma de las
fuerzas aplicadas es equilibrada por la suma de las fuer
zas de inercia (m dV/dt) con las de rozamiento viscoso.(f.v.)
-31-
(2.18)
¿.¿.~
Movlmlento Clrcuiar
Ai estudlar el rnOVlmlento clrcuiar y comparario con ei
rectlilneo se puede pasar dei uno ai otro haClendo aigunas sustltucl0nes.
La tuerza F (tuerza motrlz) se sustltuye por el. par "c"
(producto ae loa fuerza "F" por ei brazo de aCC10n): loa
masa se sustltuye por ei mOMento de lnerCla "1": loa ve
iocldad "V" se sustltuye por loa veiocldaa anCjul.ar "ú)";ei despiazamlento "X" se sustltuye por ei deSpl.aZamlen
to angul.ar .. g "
-
~
_ - - - - - - -- - - ._ _ , .
I
,_~.
_ __
- - - ---
e
w
Flg. 2.6
teniendo en cuenta lo dicho para el movimiento recti11neo
se puede an4logame~te expresar el movimiento circular.
e
= I
dw
dt
(2. 19)
Si se quiere sustituir la velocidad por el ángulo recorri
do se tendrá:
(2.20)
2.2.6
Movimiento circular en Eresencia de un rozamiento viscoso y un par antagonista de tipo el~stico
d2
G
Al par motr1z e lo equilibran, además del término 1 = d t 2
como en 2.2.5 el par elástico e' = K e y el par de roza-
-32-
miento e" - f
de
dt
c=
2.2.6.1
d t
Analogía entre las magnitudes mecánicas y lasmagnitudes eléctricas.
Al tratar las magnitudes mecánicas como eléctricas se simplifican en el estudio de los sistemas mecánicos.
Se debe notar que la analogía es puramente formal, es decir, debida a las semejanzas entre las fórmulas de ambos sistemas.
La analogía permite traducir el sistema mecánico a eléc
trico. Este se resuelve con las reglas de electrotec -nia y después se vuelve al sistema mecánico.
Las analogías de la tabla sirven para los sistemas mecá
nicos de traslación y de rotación.
r-------------..,----------Magnitudes Mecáni
Magnitudes
cas para los sistemas Rectilíneos
..
.
-------------;
Mecán!
MAGNITUDES
ELEeTRIeAS
cas para los sistemas de Rotación
•
Fuerza
F
Velocidad
V
desplazam.
X
masa
M
elastic. S=1/K
coeficiente
de rozam.
f
viscoso
Par
e
Veloc.Angl.
desplaz.Angl.
moment.inerc.
mód.de torso
rozamiento
giratorio.
W
-33-
G
1
K
f
•
Tensión
V
I
corriente
Q
carga
inductancia L
capacidad
e
resistencia R
2.3
~cuaC1ones
d1terenC1ales de algunos slstemas
eléctr1Cos.
C1rcu1to capac1t1Vo.
•I
e
8----111---
0
,
v
F 19. 'l.. 7
Una expres16n que relac10na la corr1ente - i" de carga
con l.a tensibn "V" es la slgu1ente:
i =
dv
d t
e
(2.22)
despejando de esta ecuac10n es poslhle obtener la tenslCm "V" en flmc16n de la corrlente "i }Jara una deter
minada capacidad J un tiempo dado •
11
•
dv
de 2.22
inteqrando se
•
d
•
•
I
1
I
Y
e
t
dv=-dt
e
tendr~:
v
JdV
Vo
v
ft~
-
d t
o
-
-e1
f
t
id t
o
siendo Vo la tensión inicial.
(2.23)
+ vo
-34-
•
J
•
2.3.2
Circuito inductivo
v
...
kM;
o
o
•
I
~
Fig. 2.7a
La expresi6n característica que relaciona la corriente
-i- con la tens16n "V es la siguiente:
ff
d i
V = L
operando como en
lntegrando se
(2.24)
caso anterior se
eL
de 2 • .1.4
d t
•
:
d, i
d t
v
-
=
L
d i
•
'
podr~
V
= L
escribir:
d t
tendr~:
•
I
¡I
d
•
I
-
-
1
L
o
•
I
-
-
1
L
f
t
Vd t
o
t
J
o
Vd t
+
•
I
o
(2.25)
Slendo 10 la corriente lnlClaL •
.1..3.3
Clrculto OhmlCO
Para este Clrculto La reLaclCn entre La tensiOn y La co
rriente es LlneaL:
v = Ui
-35,
v
()~----+I
R
1...----0
•
I
Fig. 2.8
2.3.4
CircuiLo con RLC (circuito oscilante,fig.2.8a)
En este circuito la tensión instant6nea 1 del generador
se equilibran con los VR, VL y Ve'
Se pueden expresar
as1:
e = VR + VL + Ve
en donde:
•
.-----1-1_ . . .1---...
e
= Ri
R
di
V = L at
L
V
"-J
.
•
t
Ve =.Lf·dt
e o
I
Fig. 2.8a
Se tendrá por tanto:
•
2.3.5
d •
. e=Ri+L --1.
d t
+-1..
e
J
t
i d t
(2.26)
o
Ecuaci6n diferencial de un motor de corriente
continua.
La ecuación diferencial de un motor de corriente continua (fig.2.9), considerando s610 el circuito del indu cido, ha de ser una relación entre el desplazamiento an
guIar 8 (magnitud de ~alida) y la tensión del inducido
Va (magnitud de entrada).
Para lograr esta relación conviene dibujar el circuito
eléctrico equivalente del circuito del inducido dejando
las magnitudes mecánicas, como indica la figura 2.9.
-36-
El circuito eléctrico equivalente de la fig.2.10 se po
drá expresar~
di
a
a
.
V
=
L
.
v
=
R
i
,
V
= V R + V L + e; pero
L
d t
r
a
..
J-------------_ _ ___________
Fig.
e = K
w
por tanto tendrá:
. di
·
a
Va= R ¡a + L · '
+ K W'
dt
e
rara las magnitudes mecánicas
la f.d.t. será . semejante a la
del capitulo , 2.26
e
Recordando que Cm expresada
en t~rminos el~ctricos viene
dada por~
e
= (K i ) · J
m
M c
a
(2.27)
Va
tVr
•
I
a
IV
t
e
de donde
KM= constante electromecánica
del motor
. -37-
L
Fig. 2.10
i c = corriente de excitaci6n
e
=
,el,2,~ +
1
f
d t2
M
el,
~
(2.28 )
d t
Ta~bi6n
para el circuito de excitaci6n (fig.2.11) conviene trazar el circuito equivalente (fig.2.12)
Por lo tanto se podrá expresar:
ve
•
(2.29)
•
El circuito mecánico se puede expresar:
em
•
=
1
dt
+
2
f
de
$
•
I
(2.30)
•
d t
..
V
R
r
R
ve
ve
L
~
e
Fig. 2.12
Fig. 2.11
-3R-
I
•
Paso de las ecuaciones di f erenciales (cap.?2l
a 2.3 G) a la F.n.T. {funci6n de transferencia~
2.4
La f.d.t. la podemos obtener sustituyendo e n la ecuaci6n
difere ncial los s!mbolos de derivadas n-ésima por Sn y
los símbolos de integral m-ésima por (l)m (LAPLACE5.
-S
Calculemos la f.d.t. ne los sistemas cuya ecuuci6n dife
rcncial hemos obtenido en las páginas anteriores.
Movimiento "lineal (fig. 2.2)
2.4.1
Salida
Entrada
sustituyendo F = m
F = m
(2. 13)
desplazarliento
fuerza
-
~
-
F
5
2
X
1
=
~.
I
m •
5
2.4.2
(2.15)
Hovimiento lineal cn prescncia de un sistcr:m
elastico (fig.2.3)
F
-
-
2
""' d x
m' ,. , + K x
d t2
sustituyendo F = m
F •
2.4.3
(2. 17)
"
l'
x
= __.____
_
1
F
2
m
+
5
5
2
x
K x
(f. d t.)
K
"
Movimiento rectilíneo en Eresencia de un rozamiento viscoso (fig.2.1)
F=
dx
f d
t
sustituyendo F = m •
2
5
F = (m 52
Salida
Entrada
+
desplazamiento
=
fuerza
-39-
-
)(
F
1"
--,_.~---
- m 52
+f
5
X
+
+
f
5
x;
f 5) X
(f. d.t e
)
2.4.4
Movimiento rectilíneo en resencia de un sistema elástico de tipo viscoso fig.2.5)
de 2.10 sustituyendo
F
=ms
2
x+fsx+kx
x = -_...:._.
1
---
-
F
2.4.5
(f.d.t.)
+fs+k
Bovimiento circular (fig.2.6)
(2.20)
2.4.6
ms
2
2
Cm=ls
o
O;
Cm
_
-
l...
(r6rmula 2.20)
l.
(f. d. t. )
I s2
Movimiento circular en presencia de un roza.miento viscoso y un par antagonista de tipo
elástico.
Cm=ls
2
e +
ke + fs0;
1
.• _- =
Cm
• •• •
ls
2
•
+k+fs
En los circuitos eléctricos se tendrá:
2.1.7
Para el condensador (fig.2.7)
,
dv
d t
i= C···I
{2.22}
Salida
Entrada
sustituyendo
tensión
corriente
v
=
v
=
=
v
--i
=
i =
es v
1
.. - =
CS
1
C
••
1
JI
I
CS
i
•
-v
I
=
e s
(f.d.t.)
-40-
2.4.8
Para la inductancia (fig.2.7~
d i
V = L
d t
,
-
V
•
S L I ,.
-
--
t
1
=
V
SL
(f.d.t.)
--,
(f.d.t.)
-l
-
•
I
-
1
Vd t ;
L
1
V·,
SL
1 =
V
•
= SL
D
2.4.9
rara el circuito oscilante (fig:.2.Ga)
t
Rt+L~! +.L
e
e =
__
.
I = ___
E
1_ _
R
Ji
-
d t; E=Ri+SLi+ 1
o
Se
1
~
+S
_ _ _ _ _ __ _
(f.d.t.)
1
+s"'"d
L
Para los circuitos siguientes la f.dt. será:
2.4.10
Figura 2.13
R
, --c=J---r------o
V
e
•
1
V
4
se
..
Fig. 2.13
V
s
-
I
I
1
se,
R + 1
se
t.
Vs
I
V
e
v
=. .
1
e
1
= ..
I
t
I
P
P
+S R e
-41-
•
I
~.
t - +S R 'e
V
e
s
I
2.4.11. (Fig.2.14)
R
V
vs
SL
e
Fig. 2. 14
V
=
s
SL
V
R+SL
e
=
V
e
SL
•
R ,
1 +SL
R
1
V
V
SL
s
-
e
R
1
+
S L
R
2.4.12. (Fig. 2.15)
V
- V
s
- V
e
R
V
e
1
e 1
+
+
S
S
e
e , R2
(R
2
V
1
TS
o--------------------L-----------o
C
o
Fig.2.15
V
V
s
1
+
S
e
R
=
e
-
-42-
2
1
s
+
R )
2