= ∫ ∫

Identidad de Lagrange
Sea la ecuación diferencial lineal de segundo orden homogénea de la forma:
[p(x)·y']' - q(x)·y + λ·w(x)·y = 0.
definida en el intervalo [α,β]. Las funciones p(x), p'(x), q(x) y w(x) son funciones
reales continuas en dicho intervalo cerrado, con la característica supletoria de que
las funciones p(x) y w(x) son positivas para todos los valores de x de ese intervalo
cerrado; λ es un parámetro. Por simplicidad de notación, se llamará operador L:
d 
d(•) 
L [• ] = −
p(x)·
+ q(x)·( •)

dx 
dx 
que, como puede comprobarse, es un operador diferencial lineal. Si a1 y a2 son
constantes:
L[a 1·y1(x) + a2·y2(x)] = a1·L[y1(x) + a2·L(y2(x)]
Con esta notación, la ecuación diferencial se puede reescribir como:
L[y(x)]= λ·w(x)·y(x)
Definición 1.- Sean las funciones u(x) y v(x), en el caso más general funciones
complejas de una variable real x, continuas en el intervalo cerrado [α,β]. Se define
como producto escalar de estas dos funciones, y se expresa como <u,v>, a la
integral
u, v =
β
∫α u(x) ⋅ v(x) ⋅ dx
siendo v(x) la compleja conjugada de v(x).
Es fácil comprobar las siguientes propiedades, en base a la definición del producto
escalar:
a) u(x), v(x ) = u(x ), v(x)
b) u(x), v(x) = v(x), u(x)
c) u1 + u2 , v = u1 , v + u2 , v
d) u, v1 + v2 = u, v1 + u, v2
e) Si k ∈ R o C, entonces k ⋅ u, v = k ⋅ u, v
f) Si k ∈ R o C, entonces u, k ⋅ v = k ⋅ u, v
g) Si u(x) y v(x) son funciones reales, entonces u, v = v, u
IDENTIDAD DE LAGRANGE
Sean dos funciones u(x) y v(x), continuas y con derivadas continuas hasta las de segundo
orden en el intervalo [α,β]. Se va a continuación a determinar el producto escalar de u(x) por
L[v(x)], siendo L el operador diferencial definido previamente
u, L(v) =
β
∫α u(x) ⋅ L (v(x)) ⋅ dx
integrando por partes dos veces, se llega a que:
u, L(v) = (− u ⋅ v ′ ⋅ p + u′ ⋅ v ⋅ p )βα + L(u), v
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Ahora se debe preguntar, ¿en qué condiciones se verifica que u, L(v) = L(u), v ?.
Para ello es necesario que
p(β) ⋅ (− u(β) ⋅ v ′(β) + u′(β) ⋅ v(β)) − p(α) ⋅ (− u(α) ⋅ v′(α) + u′(α) ⋅ v(α))
sea nulo.
Se pueden considerar cinco casos (los tres últimos se comentan en una nota all
final).
Caso 1)
que u(x) y v(x) verifiquen las condiciones de contorno (problema de
Sturm-Liouville homogéneo):
a1·y(α) + b1·y’(α) = 0
a2·y(β) + b2·y’(β) = 0,
donde a1, a 2, b1, y b2 son constantes reales
Caso 2)
que, siendo p(α) = p(β), u(x) y v(x) verifiquen que (problema
periódico)
y(α) - y(β) = 0
y’(α) - y’(β) = 0
En todos estos casos se verifica la identidad
u, L(v) = L(u), v
que se conoce con el nombre de identidad de Lagrange.
Definición 2.- Se llama autovalor al número real o complejo λ que permite que
exista una solución de la ecuación diferencial distinta de la trivial en el intervalo
[α,β], verificando las condiciones de contorno. Las funciones solución se denominan
autofunciones.
Teorema 1.- Los autovalores son números reales.
Si yk (x) es una autofunción, asociada al autovalor λk , se verifica que L[yk (x)]=
λk ·w(x)·yk (x), y además cumple las condiciones de contorno: por tanto, se cumple
la identidad de Lagrange:
yk , L(yk ) = L(yk ), yk
o lo que es lo mismo
yk , λ k ⋅ w ⋅ yk = λ k ⋅ w ⋅ yk , yk
y teniendo en cuenta las propiedades del producto escalar de dos funciones
λk ⋅ yk , w ⋅ yk = λk ⋅ w ⋅ yk , yk
no es difícil comprobar que yk , w ⋅ yk = w ⋅ yk , yk , pues w(x) es una función real
y además, como yk (x) ≠ 0 y w(x) > 0 ∀ x ∈ [α,β], yk , w ⋅ yk > 0 . Por consiguiente,
se llega a que λk = λk , es decir los autovalores son números reales.
Teorema 2.- Las autofunciones son funciones reales.
La demostración es inmediata. La compleja conjugada de una autofunción también
lo será y estará asociada al mismo autovalor real. La combinación lineal de ambas,
teniendo en cuenta la linealidad de las condiciones de contorno, también será
autofunción. Luego tanto la parte real como la imaginaria serán autofunciones
reales.
Teorema 3.- Las autofunciones, asociadas a autovalores distintos, son ortogonales
en el intervalo [α,β] respecto a la función de ponderación w(x).
Sea yk (x) una autofunción de la ecuación diferencial L[yk (x)]= λk ·w(x)·yk (x). A su
vez yr(x) sea la autofunción asociada al autovalor λr, es decir L[yr(x)]=
λr·w(x)·yr(x), con λr ≠ λk . Según lo visto,
yk , L(yr ) = L(yk ), yr
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o lo que es lo mismo
yk , λ r ⋅ w ⋅ yr = λk ⋅ w ⋅ yk , yr
y teniendo en cuenta las propiedades del producto escalar de dos autofunciones y
como los autovalores y autofunciones son reales
λr ⋅ yk , w ⋅ yr = λk ⋅ w ⋅ yk , yr
de otra forma,
(λr − λ k ) ⋅ yk , w ⋅ yr = 0
de donde se deduce que
yk , w ⋅ yr = 0
o lo que es lo mismo
β
∫α w(x) ⋅ yk (x) ⋅ yr (x) ⋅ dx = 0
que indica la ortogonalidad de las autofunciones respecto a la función de
ponderación.
Nota.- También se verifica la identidad de Lagrange en los siguientes problemas
singulares de Sturm-Liouville
Caso 3)
que u(x) y v(x) verifiquen que
a1·y(α) + b1·y’(α) = 0
y además p(β) = 0
Caso 4)
que u(x) y v(x) verifiquen que
a2·y(β) + b2·y’(β) = 0
y además p(α) = 0
Caso 5)
p(α) = p(β) = 0
Esto significa que, si existen soluciones no singulares en el intervalo [α,β] asociadas
a valores distintos de λ, éstas son ortogonales en dicho intervalo.
Por ejemplo:
- La ecuación de Legendre: (1 - x2)·y” –2·x·y’ + λ·y = 0 con x ∈ [-1,1], con la
condición de y(-1) = 1, y(1) = 1 , tiene como autovalores λn = n·(n+1) con n ∈ N y
las autofunciones son los polinomios de Legendre, que son ortogonales en el
intervalo [-1,1]. Los polinomios de Legendre son:
• 1,
• x,
• (3·x2 – 1)/2,
• (5·x3 – 3·x)/2,
• (35·x4 – 30·x2 +3)/8,
• (65·x5 – 70·x5 +15·x)/8,
• (231·x6 - 315·x4 + 105·x2 – 5)/16,
• etc...
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