Potenciación y Radicación

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
Potenciación
La potenciación o exponenciación es una multiplicación de varios
factores iguales, al igual que la multiplicación es una suma de varios
sumandos iguales.
En la nomenclatura de la potenciación se diferencian dos partes, la
base y el exponente, que se escribe en forma de superíndice. El
exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica por
sí misma:
Una de las definiciones de la potenciación, por recursión, es la
siguiente:
x1 = x
Si en la segunda expresión se toma a=1, se tiene que x¹ = x•x0. Al
dividir los dos términos de la igualdad por x (que se puede hacer
siempre que x sea distinto de 0), queda que x0=1.
Así que cualquier número (salvo el 0) elevado a 0 da 1. El caso
particular de 00, en principio, no está definido. Sin embargo, también
se puede definir como 1 si nos atenemos a la idea de producto vació o
simplemente por analogía con el resto de números.
Para convertir una base con exponente negativo a positivo se pone la
inversa de la base, es decir que la potencia pasa con exponente positivo.
Propiedades de la potenciación
Las propiedades de la potenciación son las siguientes:
Potencia de potencia
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y exponente
igual a la multiplicación de los primeros exponentes.
Multiplicación de potencias de igual base
La multiplicación de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de
base a y exponente igual a la suma de los mismos exponentes.
División de potencias de igual base
La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y
exponente igual a la resta de los exponentes respectivos.
Propiedad distributiva
La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero
no lo es con respecto a la suma ni a la resta.
En general:
En particular:
(a + b)m = am + bm
(a − b)m = am − bm
Se cumple en los siguientes casos:
Si m=1.
Si, entre a y b, uno es igual a 0 y el otro igual a 1, siempre que m sea distinto de 0.
Si a y b son iguales a 0 y m≠0.
Propiedad conmutativa
La propiedad conmutativa no se cumple para la potenciación, exceptuando
aquellos casos en que base y exponente son el mismo número / la misma cifra o
equivalentes.
En general:
En particular:
ab = ba Si y sólo si a=b.
Potencia de exponente 0
Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1.
a0 = 1 si se cumple que
Potencia de exponente 1
Toda potencia de base a y exponente 1 es igual a a.
a1 = a
Potencia de base 10
Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como
unidades posee el exponente.
101 = 10
como también pues ser un conjuntos de números potenciados o elevados a un
exponente
106 = 1000000
104 = 10000
Gráfico
gráfico de Y = X2El gráfico de una potencia par tiene la forma de una parábola. Su
extremo está en el punto (0, 0), a menos que el gráfico sea trasladado. Su sentido
de crecimiento es positivo en ambas direcciones
Radicación
La radicación es la operación inversa de la potenciación. Supongamos que nos dan
un número a y nos piden calcular otro, tal que, multiplicado por si mismo un
número b de veces nos da el número a.
Por ejemplo: calcular qué número multiplicado por si mismo 2 veces da 196. Ese
número es 14.
El número que está dentro de la raíz se llama radicando, el grado de la raíz se llama
índice del radical, el resultado se llama raíz.
Podemos considerar la radicación como un caso particular de la potenciación. En
efecto, la raíz cuadrada de un número (por ejemplo a) es igual que a1/2, del mismo
modo la raíz cúbica de a es a1/3 y en general, la raíz enésima de un número a es
a1/n.
La mejor forma de resolver los ejercicios de operaciones con raíces es convertir las
raíces a potencias y operar teniendo en cuenta las propiedades dadas para la
operación de potenciación.
Raíz cuadrada
1- Para calcular la raíz cuadrada de un número se comienza separando el número
en grupos de dos cifras, empezando por la derecha
Por ejemplo: 5560164 lo separaríamos 5'56'01'64
2- A continuación se calcula un número entero que elevado al cuadrado sea igual (o
lo más próximo al número del primer grupo, empezando por la izquierda).
En nuestro ejemplo el primer número es 5 y el numero entero que elevado al
cuadrado se acerca más a 5 es 2. 2 es la primera cifra de la raíz.
3- después se eleva al cuadrado esta cifra y se resta del número del primer grupo
En nuestro ejemplo 22 = 4 y restándolo del número del primer grupo que es 5, sale
5 -4 = 1
4- A continuación ponemos al lado del resto anterior el número del siguiente grupo
En nuestro ejemplo nos quedaría 156
5- después multiplicamos por 2 el número que hemos calculado hasta el momento
de la raíz.
En nuestro ejemplo seria 2 * 2 = 4
6- A continuación tenemos que buscar un número que multiplicado por el número
que resulta de multiplicar por 10 el número anterior y sumarle el número que
estamos buscando se acerque lo más posible al número que tenemos como resto.
Ese número será el siguiente número de la raíz.
En nuestro ejemplo el número seria 3 porque 43 * 3 = 129 que es el número que se
aproxima más a 156 y la raíz seria 23...
7- Ahora tenemos que volver a calcular el resto restando el numero obtenido del
que queríamos obtener realmente.
En nuestro ejemplo: 156 - 129 = 27
8- A continuación repetimos el paso 4, esto es, ponemos al lado del resto anterior el
número del siguiente grupo
En nuestro ejemplo: 2701
9- A continuación repetimos el paso 5
En nuestro ejemplo: 23 * 2 = 46
10- después repetimos el paso 6
En nuestro ejemplo el numero seria 5 porque 465 *5 = 2325 que es el número que
se aproxima más a 2701 y la raíz seria 235...
11- después repetimos el paso 7
En nuestro ejemplo: 2701 - 2325 = 376
12- A continuación repetimos el paso 8
En nuestro ejemplo: 37664
13 A continuación repetimos el paso 5
En nuestro ejemplo seria 235 * 2 = 470
14- A continuación repetimos el paso 6
En nuestro ejemplo el numero seria 8 porque 4708 * 8 = 37664 que es el número
que se aproxima más a 37664 y la raíz seria 2358
15- A continuación repetimos el paso 7
En nuestro ejemplo: 37664 - 37664 = 0 En este caso la raíz es exacta pues el resto
es cero.
Cálculo de raíces cuadradas por aproximaciones sucesivas
Este método se debe a Newton
Si conocemos una aproximación de la raíz, podemos calcular una aproximación
mejor utilizando la siguiente fórmula:
ai = 1/2(ai-1 + A/ai-1)
Por ejemplo, para calcular la raíz cuadrada de 5, podemos partir de la
aproximación 2, entonces:
a1 = 2
a2 = 1/2(2 + 5/2) = 2,250
a3 = 1/2(2,250 + 5/2,250) = 2,236