11.8 Multiplicadores de Lagrange

11.8 Multiplicadores de Lagrange
Luiza Amalia Pinto Cantão
Depto. de Engenharia Ambiental
Universidade Estadual Paulista – UNESP
[email protected]
Idéia R2
Idéia: Determinar os valores extremos de f (x, y) sujeito à restrição da forma
g(x, y) = k. Ou seja, queremos encontrar os valores extremos de f (x, y)
quando o ponto (x, y) pertencer à curva de nı́vel g(x, y) = k.
Exemplo: Encontre o máximo da função f (x, y) = 49 − x2 − y 2, sujeito à
restrição g(x, y) = x + 3y − 10 = 0.
Desenvolvimento
• Suponha que uma função f tenha um valor extremo no ponto P (x0, y0, z0)
sobre a superfı́cie S e seja C a curva com equação vetorial r(t) =
hx(t), y(t), z(t)i que pertença a S e passe pelo ponto P .
• Se t0 é o valor do parâmetro correspondente ao ponto P , então r(t0) =
hx0, y0, z0i e h(t) = f (x(t), y(t), z(t)) fornece os valores de f sobre C.
• f tem um valor extremo em (x0, y0, z0) e h tem um valor extremo em t0
e, portanto, h0(t0) = 0. Se f for diferenciável, usando a regra da Cadeia,
temos:
0 = h0(t0) = fx(x0, y0, z0)x0(t0) + fy (x0, y0, z0)y 0(t0) + fy (x0, y0, z0)z 0(t0)
= ∇f (x0, y0, z0) · r0(t0)
• Logo, ∇f (x0, y0, z0) é ortogonal à r0(t0), para toda curva assim obtida.
Assim, ∇f (x0, y0, z0) e ∇g(x0, y0, z0) precisam ser paralelos.
• Se ∇g(x0, y0, z0) 6= 0, existe um número λ tal que:
∇f (x0, y0, z0) = λ∇g(x0, y0, z0)
onde λ é conhecido como multiplicador de Lagrange.
Método dos Multiplicadores de Lagrange
Método: Para determinar os valores máximos e minı́mos de f (x, y, z) sujeito
a g(x, y, z) = k [supondo que esses valores existam e que ∇g 6= 0 sobre a
superfı́cie g(x, y, z) = k]:
(a) Determine todos os valores de x, y, z e λ tal que:
∇f (x, y, z) = λ∇g(x, y, z)
g(x, y, z) = k
(b) Calcule f em todos os pontos (x, y, z) que resultaram do passo (a). O
maior desses valores será o valor máximo de f , e o menor será o valor
minı́mo de f .
Multiplicadores de Lagrange
Três variáveis: Escrevendo ∇f = λ∇g em termos de seus componentes, teremos:
fx = λgx
fy = λgy
fz = λgz
g(x, y, z) = k
gerando um sistema de quatro equações e quatro incógnitas.
Duas variáveis: Para f (x, y) sujeito à g(x, y) = k temos um sistema de três
equações e três incógnitas:
fx = λgx
fy = λgy
g(x, y) = k
Atenção: Não é necessário calcular de modo explı́cito valores para λ.
Exemplo Gráfico
max e min f (x, y) = xy
x2 y 2
sujeito à g(x, y) =
+ = 1.
8
2
min f (x, y) = 3x + 4y
sujeito à x2 + y 2 = 1.
Exemplos
Exemplo (1): Uma caixa retangular sem tampa é feita de 12m2 de papelão.
Determine o volume máximo dessa caixa.
Exemplo (2): Determine os valores extremos da função f (x, y) = x2 + 2y 2 no
cı́rculo x2 + y 2 = 1.
Exemplo (3): Estabeleça os valores extremos de f (x, y) = x2 + 2y 2 no disco
x2 + y 2 ≤ 1.
Exemplo (4): Determine os pontos da esfera x2 + y 2 + z 2 = 4 que estão mais
próximos e mais distantes do ponto (3, 1, −1).
Figura do Exemplo (2)
Duas Restrições
Objetivo: Deteminar o máximo ou mı́nimo de f (x, y, z) a duas restrições da
forma g(x, y, z) = k e h(x, y, z) = c.
Geometricamente: Procurar valores extremos de f quando (x, y, z) está restrita à curva C, obtida pela interseção das superfı́cies de nı́vel g(x, y, z) = k
e h(x, y, z) = c.
Suponha: f tem um valor extremo P (x0, y0, z0):
• ∇f é ortogonal à C;
• ∇g é ortogonal à g(x, y, z) = k;
• ∇h é ortogonal à h(x, y, z) = c.
Logo ∇f e ∇g são ortogonais a C, o que significa que o vetor gradiente ∇f (x0, y0, z0) pertence ao plano determinado por ∇g(x0, y0, z0) e
∇h(x0, y0, z0).
Ou seja, os vetores gradientes não são paralelos nem nulos. Logo, existem
números λ e µ (multiplicadores de Lagrange), tais que:
∇f (x0, y0, z0) = λ∇g(x0, y0, z0) + µ∇h(x0, y0, z0)
Método de Lagrange: duas variáveis
Mét. de Lagrange: Encontrar os valores extremos resolvendo as cinco
equações nas cinco incógnitas x, y, z, λ e µ, ou seja:
fx
fy
fz
g(x, y, z)
h(x, y, z)
=
=
=
=
=
λgx + µhx
λgy + µhy
λgz + µhz
k
c
Exemplo (5): Determine o valor máximo da função f (x, y, z) = x + 2y + 3z
na curva da interseção do plano x − y + z = 1 com o cilindro x2 + y 2 = 1.
Exercı́cios Propostos: George B. Thomas – Volume 2
Páginas Exercı́cios
335 à 337 1 à 44
348 à 351 1 à 88
351 à 353 1 à 22