Razones y Proporciones - Nivelación de Estudios CREA

Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Educación
Nivelación de estudios para Adultos CREA
Matemáticas
Profesora: Karina Pedraza Guerra
Razones y Proporciones
1. Concepto de razón: Es un par ordenado de número que se compara por cuociente.
La razón entre la cantidad “a” y la cantidad “b” se puede indicar:
a:b;
a
; (a , b)
b
Al primer término de la razón le llamaremos antecedente y al segundo consecuente ( el
consecuente de una razón no puede ser cero)
a
, en donde “a” es el antecedente y “b” consecuente. Y se lee “a es a b”
b
Ejemplo:
Si el lado de un cuadrado es 2 cm y el perímetro del cuadrado es 5 la razon entre el lado y
el perímetro de un cuadrado es :
lado _ cuadrado
perímetro _ cuadrado
2
5
“2 es a 5”
2. Concepto de Proporción: Es la igualdad de dos razones
La razón
1
2
1
es equivalente a , entonces
2
4
2
2
es una proporción.
4
a c
se lee como “a es a b como c es a d”
b d
Los términos de una proporción son: medios y extremos.
La proporción
En donde a y d son los extremos, b y c son los medios.
Propiedad fundamental de las proporciones: En toda proporción, el producto de los
extremos es igual al producto de los medio.
a c
a d b c Con b y d distintos de cero.
b d
Ejemplo:
5 10
5 16 8 10
8 16
Proporcionalidad Directa:
Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde doble,
triple... cantidad de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son directamente
proporcionales.
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Nivelación de estudios para Adultos CREA
Matemáticas
Profesora: Karina Pedraza Guerra
Ejemplo:
Un saco de papas pesa 20 kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos?
Número de sacos
Peso en kg
1
20
2
40
3
60
...
...
26
520
...
...
Para pasar de la 1ª fila a la 2ª basta multiplicar por 20
Para pasar de la 2ª fila a la 1ª dividimos por 20
Observa que:
20
1
40
2
60
3
80
4
20
k
Las magnitudes número de sacos y peso en kg son directamente proporcionales.
La constante de proporcionalidad para pasar de número de sacos a kg es 20.
Esta manera de funcionar de las proporciones nos permite adentrarnos en lo que
llamaremos Regla de tres y que nos servirá para resolver una gran cantidad de problemas
matemáticos.
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA
Ejemplo 1
En 50 litros de agua de mar hay 1.300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar
contendrán 5.200 gramos de sal?
Como en doble cantidad de agua de mar habrá doble cantidad de sal; en triple, triple, etc.
Las magnitudes cantidad de agua y cantidad de sal son directamente proporcionales.
Si representamos por x el número de litros que contendrá 5200 gramos de sal, y formamos
la siguiente tabla:
Litros de agua
Gramos de sal
50
1.300
x
5.200
Podemos formar la siguiente proporción:
1300
50
5200
x
Y como en toda proporción el producto de medios es igual al producto de extremos (en
palabras simples, se multiplican los números en forma cruzada) resulta:
50 5200 1300 x
260000 1300 x
260000
x
1300
200 x
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Matemáticas
Profesora: Karina Pedraza Guerra
Respuesta: en 5.200 gramos de sal hay 200 litros de agua.
Proporcionalidad Inversa:
Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde la
mitad, la tercera parte... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son
inversamente proporcionales.
Ejemplo 1
Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres
para realizar el mismo trabajo?
En este caso a doble número de trabajadores, el trabajo durará la mitad; a triple número de
trabajadores, el trabajo durará la tercera parte, etc. Por tanto, las magnitudes son
inversamente proporcionales (también se dice que son indirectamente
proporcionales).
Formamos la tabla:
Hombres
Días
3
24
6
12
9
8
Observa que: 3 24 6 12 9 8 72
...
...
18
?
k
Por lo tanto si son 18 hombres se demoraran 4 días.
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA
Ejemplo 1
Un ganadero tiene forraje suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos
días podrá alimentar con la misma cantidad de forraje a 450 vacas?
Vemos que con el mismo forraje, si el número de vacas se duplica, tendrá para la mitad de
días; a triple número de vacas, tercera parte de días, etc. Por tanto, son magnitudes
inversamente proporcionales.
X = número de días para el que tendrán comida las 450 vacas
Nº de vacas
Nº de días
220
45
450
x
Por lo tanto:
220 45 450 x
9.900 450 x
9.900
x
450
22 x
Luego 450 vacas podrán comer 22 días.
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