Guía 11

Ejercicios PIEPI
Volumen
1. Un cı́rculo móvil se encuentra en un plano perpendicular al plano XY de modo que los extremos de un
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diámetro están sobre las parábolas de ecuaciones (x − 2) = 2 (y + 1) y 3 (x − 2) = 8 (y − 1). Hallar el
volumen del solido generado por dicho cı́rculo móvil si el diámetro en mención es paralelo al eje Y y se
mueve en la región encerrada por ellas.
2. Una circunferencia de radio R gira alrededor de una de sus tangentes. Hallar el volumen del sólido
generado.
3. Un cı́rculo reducible se desplaza de tal forma que uno de los puntos de su circunferencia descansa sobre
el eje Y , el centro describe la elipse x2 /a2 + y 2 /b2 = 1 mientras que el plano del cı́rculo es perpendicular
al plano XY y paralelo al eje X. Hallar el volumen del sólido generado por dicho cı́rculo.
4. Un cı́rculo reducible se desplaza de tal forma que uno de los puntos de su circunferencia descansa sobre
el eje Y , el centro describe la astroide x2/3 + y 2/3 = a2/3 con a > 0, mientras que el plano del cı́rculo es
perpendicular al eje Y y al plano XY . Hallar el volumen del sólido generado por dicho cı́rculo.
5. La base de un sólido es la región acotada por la elipse x2 /a2 + y 2 /b2 = 1. Hallar el volumen del sólido
sabiendo que las secciones transversales perpendiculares al eje X son triángulos equiláteros.
6. Hallar el volumen del toro formado al girar un disco de radio 3 alrededor de una recta que dista 5 unidades
de su centro y que es paralela a uno de sus diámetros.
7. Dada la curva x2/3 + y 2/3 = a2/3 con a > 0, si sobre sus cuerdas paralelas al eje X se trazan cuadrados
perpendiculares al plano XY cuyos lados tienen la misma longitud de dichas cuerdas, calcular el volumen
del sólido generado.
8. Hallar el volumen generado por la rotación de la región encerrada por las siguientes gráficas alrededor
del eje X:
√
√
1) y = x, y = x2
2) y = 1 − x2 , y = 1/2
3) y = sin x, y = x donde x ∈ [0, π]
9. Hallar
√ el volumen del sólido obtenido al rotar la región acotada por el primer lazo de la curva y =
e−x sin x y el semieje X + alrededor de la recta y = 0.
10. Hallar el volumen del solido no acotado formado por la rotación alrededor de la recta y = −1 de la región
que se encuentra a la derecha de la recta x = 1 limitada por la curva y = x−3/2 y por el eje X.
11. Hallar el volumen del sólido generado al girar alrededor de y = 1 la región comprendida entre y = 1, x =
3, y = x3/2 y el eje X.
12. La región encerrada por la curva x2/3 + y 2/3 = 1 gira alrededor de:
1) El eje X
2) La recta y = 1
3) La recta y = −1
calcular el volumen en cada caso.
13. Hallar el volumen del sólido obtenido al hacer girar la región acotada por y = x2 , el eje X y la recta x = 1
alrededor de la recta y = 2.
14. Hallar el volumen del sólido obtenido al girar la región acotada por la elipse x2 /a2 + y 2 /b2 = 1 entorno a:
1) El eje X
2) El eje Y
3) La recta x = a
4) La recta y = b
15. Hallar el volumen cuando se hace girar la región bajo la siguiente gráfica y el sobre el eje X alrededor del
eje Y :
h √ i
1) y = x2 con x ∈ [0, 1]
2) y = 1/x con x ∈ [1, 2]
3) y = sin x2 con x ∈ 0, 2π
4) y = ln x con x ∈ [1, e]
5) y = ex con x ∈ [0, 1]
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6) y = ex con x ∈ [0, 1]
16. Hallar el volumen obtenido al girar la región entre las siguientes gráficas alrededor del eje Y
√
a) y = x, y = x2 donde x ∈ [0, 1]
1
b) y =
√
a2 − x2 , y = b donde 0 ≤ b < a
c) y = 2x − x2 , y = 0
d) y = e−x , y = 0 y x ≥ 0.
√
17. Hallar el volumen del sólido generado al rotar la región entre las curvas y = x2 /4 y y = 2 x alrededor de:
a) Eje Y
b) La recta x = −1
c) la recta x = 10
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