PROBLEMA 1, GRUPO 2 Apartado 1

PROBLEMA 1, GRUPO 2
Sea (Y, d) espacio seudométrico; demuestra que todo abierto de Y se puede
escribir como unión de bolas abiertas.
Utiliza este resultado para probar que si (X, T ) es un espacio topológico cualquiera y f : X → Y una aplicación, entonces f es continua si y solo si f −1 (B) ∈ T
para cualquier bola B ⊂ Y .
Utiliza el resultado anterior para probar que una aplicación f : X → R es continua si y solo si tanto f −1 ((−∞, b)) como f −1 ((a, +∞)) son abiertos en X .
Solución:
Apartado 1:
Sea U abierto de Y y x ∈ U . Por denición de abierto ∃ B(x; εx ) ⊆ U .
S
Llamamos B := x∈U B(x; εx ).
Si vemos que U = B quedará probado que el abierto U es igual a la unión de
bolas.
Demostraremos esto por doble contenido:
1. Veamos que U ⊃ B . Como tenemos que B(x; εx ) ⊆ U y sabemos que si
una bola está contenida en un abierto, la unión de las bolas también está
contenida en el abierto. Queda probado el contenido U ⊃ B .
2. Veamos ahora que U ⊂ B . Sea x ∈ U , como x ∈ B(x; εx ) ⇒ x ∈ B
Y así queda probada la igualdad.
Apartado 2:
Por denición, f es continua si ∀U ∈ TY se tiene que f −1 (U ) ∈ TX
1. Probemos la implicación:=⇒. Como B := B(y; ε) es abierto, por denición
de continuidad f −1 (B) ∈ TX
2. Probamos la otra implicación: ⇐=. Sea B abierto de Y (por el apartado
S
anterior) B := x∈U B(x; εx ). Por hipótesis f −1 (B(x; εx )) ∈ TX y como por
(T2) la unión de abiertos es abierto se tiene que :
∪f −1 (B(x; εx )) = f −1 (∪(B(x; εx )) = f −1 (B) ∈ TX
Apartado 3 :
1. Probamos la primera implicación. =⇒. Los intervalos (−∞, b) y (a, +∞)
son abiertos de R y f continua ⇒ f −1 ((−∞, b)) y f −1 ((a, +∞)) son abiertos de X .
1
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PROBLEMA 1, GRUPO 2
2. Veamos ahora la otra implicación ⇐=. Toda bola abierta de R es de la
forma (−∞, b) ∩ (a, +∞) = (a, b). Entonces f −1 ((a, b)) = f −1 ((−∞, a)) ∩
f −1 ((b, +∞)) es abierto de X . Por el apartado anterior esto es suciente
para probar que f es continua.