Tema 2. Bases de abiertos Análogamente al capıtulo anterior

TEMA 2. BASES DE ABIERTOS
Tema 2.
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Bases de abiertos
Análogamente al capı́tulo anterior, nuestro objetivo es construir familias de
abiertos que condifiquen de alguna manera toda la información de la topologı́a de
un espacio topológico.
Definición 4.2.1. Sea X e.t. y B una familia de abiertos de X. Diremos que
B es una base de abiertos de X (o simplemente base de X) si ∀U ⊂ X abierto
S
existe una subfamilia {Bλ }λ∈Λ ⊂ B, tal que U = λ∈Λ Bλ (por convenio, la unión
de una familia vacı́a es el vacı́o).
Podemos dar una condición necesaria y suficiente para que una familia de
abiertos sea de hecho una base de abiertos.
Proposición 4.2.2. Si B es una familia de abiertos de X, entonces B es una
base de X si y solo si ∀U ⊂ X abierto y ∀x ∈ U existe un abierto B ∈ B tal que
x ∈ B ⊂ U.
Utilizando esta propiedad de las bases de abiertos, observaremos entre otras
cosas, que las propiedades de aplicaciones que pueden definirse en función de
abiertos también pueden definirse en función de bases de abiertos.
Ejercicio 4.6. ♠ Sean X e Y espacios topológicos, f : X → Y una aplicación,
A ⊂ X, BX base de abiertos de X y BY base de abiertos de Y , entonces:
La familia B(x) := {B ∈ BX | x ∈ B} es base de entornos de x ∈ X.
f es continua si y solo si ∀B ∈ BY , f −1 (B) es abierto en X.
f es abierta si y solo si ∀B ∈ BX , f (B) es abierto en Y .
A es entorno de x ∈ X si y solo si ∃B ∈ BX tal que x ∈ B ⊂ A.
x ∈ A si y solo si ∀B ∈ BX tal que x ∈ B se tiene que B ∩ A 6= ∅.
x ∈ Int(A) si y solo si ∃B ∈ BX tal que x ∈ B ⊂ A.
x ∈ Fr(A) si y solo si ∀B ∈ BX tal que x ∈ B se tiene que B ∩ A 6= ∅ y
B ∩ Ac 6= ∅.
8. x ∈ Ais(A) si y solo si ∃B ∈ BX tal que B ∩ A = {x}.
9. x ∈ A0 si y solo si ∀B ∈ BX tal que x ∈ B se tiene que (B \ {x}) ∩ A 6= ∅.
10. A es denso en X si y solo si ∀B ∈ B tal que B 6= ∅ se tiene B ∩ A 6= ∅.
1.
2.
3.
4.
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6.
7.
Observación 4.2.3. Es inmediato probar una especie de recı́proco del Ejercicio 4.6(1). Si para cualquier x ∈ X tenemos B x una base de entornos abiertos de
S
x, entonces BX := x∈X B x es una base de abiertos de X.
Ejercicio 4.7. ♠ Si (X, T (d)) es un espacio pseudométrico, entonces el conjunto de las bolas abiertas (ver (2.1)):
B := {Bd (x; ε) | x ∈ X ∧ ε ∈ R+ },
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4. BASES
es una base de abiertos de X.
Ejercicio 4.8. ♠ Sea X e.t. discreto. Demuestra que Bd,X := {{x} | x ∈ X}
es base de X.
Toda base de abiertos B de X satisface las siguientes propiedades:
Propiedades 4.2.4 (Base de abiertos).
S
(B1) B∈B B = X.
(B2) ∀B1 , B2 ∈ B y ∀x ∈ B1 ∩ B2 existe B3 ∈ B tal que x ∈ B3 ⊂ B1 ∩ B2 .
De nuevo, lo interesante de estas propiedades es que una familia de conjuntos
que satisfaga (B1) y (B2) determina de manera única una topologı́a que tenga a
dicha familia como base de abiertos. Es decir, se tiene lo siguiente.
Proposición 4.2.5. Sea X un conjunto cualquiera y B ⊂ P(X) una familia de
subconjuntos de X que satisface (B1) y (B2), entonces existe una única topologı́a
en la cual B es una base de abiertos.
Ejercicio 4.9. ♠ Sea B base de abiertos de una topologı́a T y consideremos
T otra topologı́a de modo que B ⊂ T 0 , entonces T ⊂ T 0 . Por eso diremos que la
topologı́a que “genera” B (es decir, de la cual B es base) es la “menor” topologı́a
que tiene a B por abiertos.
0
Ejercicio 4.10. ♠ Demuestra que la familia E := {(−a, b) ⊂ R | a, b ∈ Q>0 }
satisface las propiedades (B1) y (B2). Estudia la topologı́a que engendra en R
dicha familia calculando el interior, clausura, frontera, exterior, puntos aislados y
conjunto derivado de A = Z.
La siguiente caracterización es muy útil para probar que ciertas familias de
abiertos son base de abiertos.
Proposición 4.2.6. Sea X un espacio topológico, B una base de abiertos y B 0
una familia de abiertos de X, entonces B 0 es una base de X si y sólo si ∀B ∈ B
y ∀x ∈ B existe B 0 ∈ B 0 tal que x ∈ B 0 ⊂ B.
Observación 4.2.7. Supongamos que B es base de abiertos de X, y que B 0
es una familia de abiertos tal que B ⊂ B 0 , entonces obviamente ∀B ∈ B y ∀x ∈ B
existe B 0 ∈ B 0 (por ejemplo B 0 = B) tal que x ∈ B 0 ⊂ B, por tanto B 0 es también
una base de abiertos de X (Proposición 4.2.6).
Ejercicio 4.11. ♠ Demuestra que tanto B := {(a, b) ⊂ R | a < b, a, b ∈ R}
como B̃ := {(p, q) ⊂ R | p < q, p, q ∈ Q} son bases de abiertos para (R, Tu ).
TEMA 2. BASES DE ABIERTOS
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Ejercicio 4.12. ♠ Extenderemos el resultado del Ejercicio 4.11 a R n del siguiente modo: demuestra que tanto
B n := {(a1 , b1 ) × ... × (an , bn ) ⊂ Rn | ai < bi , ai , bi ∈ R, i = 1, ..., n}
como
B̃ n := {(p1 , q1 ) × ... × (pn , qn ) ⊂ Rn | pi < qi , pi , qi ∈ Q, i = 1, ..., n}
son bases de abiertos para (Rn , Tu ).
Ejercicio 4.13. ♠ Demuestra que Qn es denso en Rn .
Ejercicio 4.14. ♠ Demuestra que si B es una base de abiertos de X y A ⊂ X,
entonces BA := {B ∩ A | B ∈ B} es una base de abiertos de A (se entiende que A
posee la topologı́a inducida como subespacio de X).
Ejemplo 4.2.8. El plano de Moore un ejemplo de topologı́a generada por
una base de abiertos. Se define el plano de Moore como el semiplano real superior
H := {(x, y) ∈ R2 | y ≥ 0} con la topologı́a M que tiene por base de abiertos la
familia B := {B((a, b); r), Ḃ((a, b); b) | (a, b) ∈ H, 0 < r ≤ b}, donde
B((a, b); r) := {(x, y) ∈ R2 | (x − a)2 + (y − b)2 < r 2 }
y
Ḃ((a, b); b) := B((a, b); b) ∪ {(a, 0)}.
B((a, b); r)
H
Ḃ((a, b); b)
Figura 1. Plano de Moore
Para poder asegurar que existe una única topologı́a que tiene a B como familia de abiertos, debemos comprobar que B cumple las propiedades (B1) y (B2)
(Proposición 4.2.5):
(B1) Veamos que ∪B = H:
(⊂) Es fácil comprobar que cualquier B ∈ B cumple que B ⊂ H, por lo
tanto ∪B ⊂ H (Ejercicio A.15(4)).
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4. BASES
(⊃) Sea (a, b) ∈ H. Supongamos que b > 0, entonces (a, b) ∈ B((a, b); b) ∈
B. Supongamos ahora que b = 0, entonces (a, 0) ∈ Ḃ((a, 1); 1) ∈ B,
por lo tanto H ⊂ ∪B.
(B2) Sean B1 , B2 ∈ B y (a, b) ∈ B1 ∩ B2 . Consideremos varios casos:
(a) Supongamos que b > 0:
(1) Si B1 = B((a1 , b1 ); r1 ) y B2 = B((a2 , b2 ); r2 ). En tal caso, tomemos K := R2 \ (B1 ∩ B2 ) (cerrado en R2 con la topologı́a usual
ya que B1 ∩ B2 ∈ Tu ). Definamos ε := dK ((a, b)) (obsérvese
Prop. 3.4.3(5)
que ε > 0 ya que (a, b) 6∈ K
=
K, por el Ejercicio 3.20).
Ası́ pues, B((a, b); ε)∩K = ∅, es decir, existe B := B((a, b); ε) ∈
Ejer. A.2(3)
Prop. A.1.3(8a)
B tal que B
⊂
R2 \ K
=
B1 ∩ B2 .
(2) Supongamos ahora que solo uno de los dos son bolas del tipo
Ḃ, por ejemplo, B1 = Ḃ((a1 , b1 ); b1 ) y B2 = B((a2 , b2 ); r2 ). Entonces tenemos que (a, b) ∈ B((a1 , b1 ); b1 ) ∩ B2 ⊂ B1 ∩ B2 , por
lo tanto podemos aplicar el apartado anterior para probar que
existe B := B((a, b); ε) ∈ B tal que B ⊂ B((a1 , b1 ); b1 ) ∩ B2 ⊂
B1 ∩ B 2 .
(3) Si B1 = Ḃ((a1 , b1 ); b1 ) y B2 = Ḃ((a2 , b2 ); b2 ), entonces tenemos
que (a, b) ∈ B((a1 , b1 ); b1 ) ∩ B((a2 , b2 ); b2 ) y de nuevo, aplicando
el primer caso se tiene que existe B := B((a, b); ε) ∈ B tal que
B ⊂ B((a1 , b1 ); b1 ) ∩ B((a2 , b2 ); b2 ) ⊂ B1 ∩ B2 .
(b) Si b = 0, entonces B1 y B2 tienen que ser necesariamente del tipo
B1 = Ḃ((a, b1 ); b1 ) y B2 = Ḃ((a, b2 ); b2 ). En tal caso, basta observar
que un conjunto tiene que estar contenido en el otro, por ejemplo,
B1 ⊂ B2 y por tanto existe B := B1 tal que B ⊂ B1 ∩ B2 .
Por tanto B genera una única topologı́a que denotaremos por M. Consideremos
ahora L := R × {0}. Veamos que L ⊂ H es un cerrado de M. Para ello probemos
que U := H \ L ∈ M. Utilizando el Ejercicio 4.6(4) basta comprobar que U es
entorno de todos sus elementos ya que si (x, y) ∈ U , entonces (x, y) ∈ B((x, y); y) ⊂
U donde B((x, y); y) ∈ B, que es una base de abiertos.
Veamos también que M|L es la topologı́a discreta. Esto es consecuencia de
que M|L := {L ∩ V | V ∈ M} y que para cualquier (x, 0) ∈ L se tiene que
Ḃ((x, y); y) ∩ L = {(x, 0)} ∈ M|L (Ejercicio 2.2).
Veamos también que M|U es la topologı́a usual en U (en notación Tu |U ). Esto
es consecuencia de los siguientes datos:
1. Sea (x, y) ∈ U , entonces B (x,y) := {B((x, y); r) | 0 < r ≤ y} es una base
de entornos abiertos de (x, y) en Tu |U ya que B((x, y); r) ∈ Tu |U y B (x,y)
TEMA 2. BASES DE ABIERTOS
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(x,y)
contiene a la familia By
:= {B((x, y); r) | 0 < r < y} que es base de
entornos de (x, y) en Tu |U (Observación 4.1.4 y Ejemplo 4.1.2(3b)).
S
2. La familia BU := (x,y)∈U B (x,y) es base de abiertos de Tu |U (Observación 4.2.3)
3. La familia BU es también base de abiertos de MU ya que U es abierto en
M y BU := {B ∈ B | B ⊂ U } (Ejercicio 4.2).
Por lo tanto, B es tanto base de Tu |U como base de M. Como la topologı́a que
una base genera es única, entonces Tu |U = M (a menudo se resumirá diciendo que
U hereda de M la topologı́a usual).
Ejercicio 4.15. ♠ Sea H := {(x, y) ∈ R2 | y ≥ 0} y sea
B := {B((a, b); r) | (a, b) ∈ H, 0 < r ≤ b} ∪ {B̌((a, 0); r) | a ∈ R, 0 < r},
donde
B̌((a, 0); r) := {(x, y) ∈ H | y > 0, (x − a)2 + y 2 < r 2 } ∪ {(a, 0)}.
Demuestra que B es base de una topologı́a D que llamaremos plano del semidisco. Determina las topologı́as heredadas en el semiplano abierto y en el eje {y = 0}
y demuestra que este es cerrado en H.
B((a, b); r)
H
B̌((a, 0); r)
Figura 2. Plano del semidisco
Terminaremos el capı́tulo probando que algunas aplicaciones envı́an bases de
abiertos a bases de abiertos. En otras palabras,
Ejercicio 4.16. ♠ Consideremos X e Y espacios topológicos, f : X → Y
una aplicación continua, abierta y suprayectiva y B una base de abiertos de X,
entonces f B := {f (B) | B ∈ B} es base de abiertos de Y .
Como la Propiedad 2.1.7(4d) da una caracterización de homeomorfismo en
términos de abiertos, a partir de ella se puede obtener una caracterización de
homeomorfismos en términos de bases.
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4. BASES
Proposición 4.2.9. Sean X e Y e.t. BX una base de X, BY una base de Y
y f : X → Y una biyección, entonces son equivalentes:
1. f es homeomorfismo.
2. f BX es base de abiertos de Y .
3. f −1 BY es base de abiertos de X.
Terminamos con un ejemplo importante de topologı́a obtenida a partir de una
base de abiertos.
Ejemplo 4.2.10. Sean X, Y dos espacios topológicos. ¿Cómo construir una
topologı́a natural en el producto cartesiano X × Y ? Lo natural serı́a considerar
B := {U × V | U abierto de X, V abierto de Y }.
Es inmediato comprobar que B no es una topologı́a en X × Y . Sin embargo, es
fácil ver que es base de una topologı́a. La propiedad (B1) es inmediata. Para la
propiedad (B2), consideremos Ui × Vi ∈ B, i = 1, 2, y
(x, y) ∈ (U1 × V1 ) ∩ (U2 × V2 ) = (U1 ∩ U2 ) × (V1 ∩ V2 );
como este último elemento está en B, hemos visto que se cumple (B2). A la topologı́a obtenida se le denomina topologı́a producto.
Ejercicio 4.17. ♠ Sean X, Y dos espacios topológicos y sean BX , BY bases
de abiertos para ambos. Denotemos
B 0 := {BX × BY | BX ∈ BX , BY ∈ BY }.
Demuestra que B 0 es base de la topologı́a producto de X × Y .
Ejercicio 4.18. ♠ Demuestra que la topologı́a usual de Rn+m coincide con la
topologı́a producto de Rn × Rm .