GUIA DIDACTICA Despeje de variables

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DEL YARACUY
PROGRAMA DE EDUCACION SEMIPRESENCIAL
CIENCIA DEL DEPORTE
CURSO INTRODUCTORIO
- MATEMÁTICA-
GUIA DIDACTICA
Despeje de variables en Números
Reales
Autor: Prof. Dennar Oropeza
San Felipe, Octubre 2010
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DEL YARACUY
PROGRAMA DE EDUCACION SEMIPRESENCIAL
CIENCIA DEL DEPORTE
CURSO INTRODUCTORIO
- MATEMÁTICA-
GUIA DIDACTICA
Despeje de variables en Números
Reales
Datos de Identificación
Elaborado por: Dennar Oropeza
e-mail: [email protected]
Fecha Elaboración: Octubre de 2010
Fecha de Última Actualización: Febrero de 2011
Matemática – Despeje de variables en Números Reales -
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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊
π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Tabla de Contenidos
Objetivos Específicos. ................................................................................................................ 3
Contenidos…………………………………………………………………………………………….4
Desarrollo del Aprendizaje ........................................................................................................ 4
1.- El problema de la mitad de x de la vida ....................................................................... 4
2.- La Ecuación ........................................................................................................................ 4
2.1. Ecuaciones lineales o de Primer Grado de una incógnita ................................... 6
3.- El epitafio de Diofanto ....................................................................................................13
4.- Ecuaciones Cuadráticas o de Segundo Grado. .......................................................13
4.1. Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas .............................14
4.2.- Propiedades de las soluciones ...............................................................................17
4.3.- Ecuación de 2º grado a partir de sus soluciones ...............................................17
4.3.1.- La ecuación de tipo:
; ..........................................................17
4.3.2.- Factorización de un trinomio de segundo grado ........................................17
5.- Ecuaciones racionales....................................................................................................18
6.- Ecuaciones bicuadradas ...............................................................................................18
LECTURA .................................................................................................................................19
Referencias Bibliográficas .......................................................................................................21
Introducción
Ya habiendo revisado las operaciones básicas en los diferentes conjuntos de
números, se puede repasar lo referido al despeje de una variable en una ecuación,
la cual surge de En esta parte del curso, te invitamos a repasar acerca de los
Números Naturales y Enteros, sus operaciones básicas de adición, sustracción,
producto y cociente, en las que ahondaremos en la Ley de los Signos. En ti está el
lograr el aprendizaje, si con entusiasmo estudias esta guía. Cualquier duda o interés
en particular, puedes escribir un correo electrónico a tu facilitador. Entonces, a
trabajar!!!!
Objetivos Específicos.
Luego de culminar esta unidad de estudio, amigo estudiantes serás capaz de:
 Identificar los elementos de una ecuación lineal y cuadrática
 Resolver las operaciones básicas para el despeje de las variables en ecuaciones
lineales y cuadráticas.
Matemática – Despeje de variables en Números Reales -
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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊
π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Contenidos
Despeje de variables en Números Reales
1.- El problema de la mitad de x de la vida
2.- La Ecuación
2.1. Ecuaciones lineales o de Primer Grado de una incógnita
3.- El epitafio de Diofanto
4.- Ecuaciones Cuadráticas o de Segundo Grado.
4.1. Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas
4.2.- Propiedades de las soluciones
4.3.- Ecuación de 2º grado a partir de sus soluciones
4.3.1.- La ecuación de tipo:
;
4.3.2.- Factorización de un trinomio de segundo grado
5.- Ecuaciones racionales
6.- Ecuaciones bicuadradas
LECTURA
Desarrollo del Aprendizaje
1.- El problema de la mitad de x de la vida
El matemático diría que la vida del condenado debería ser dividida en una
infinidad de períodos de tiempo iguales y, por tanto, infinitamente pequeños.
Según tal razonamiento, veríamos que cada periodo de tiempo dt, ¡Podría ser
mucho menor que la diezmillonésima parte de un segundo! Desde el punto de
vista del Análisis Matemático este problema no tiene solución. La única fórmula,
la más humana y más de acuerdo con el espíritu de Justicia y de Bondad, fue la
sugerida por Beremiz (famoso matemático Persa, que tenía notables aptitudes
para la ciencia de los números, conocido como el Hombre que calculaba).
(Tomado de El Hombre que Calculaba, de Malba Tahan. Capitulo XXIV)
Sin nos ponemos a ver con calma, pudiésemos plantearnos una expresión
matemática que agrupe toda la información mencionada, pero tranquilo! Lo
haremos al final de la lección.
2.- La Ecuación
Para comenzar, veamos primero si recuerdas o que tan claros tienes algunos
conceptos importantes de este tema:
¿Qué significan los términos: variable, constante, exponente, radical?
Matemática – Despeje de variables en Números Reales -
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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊
π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
¿Qué entiendes por ecuación o fórmula?
¿A que se llama despejar una variable de una ecuación o fórmula?
Una ecuación es una igualdad que contiene una o más incógnitas. En una ecuación
existen cantidades desconocidas (incógnitas), que en general se designan por letras
minúsculas de la parte final del alfabeto: x, y, z y cantidades conocidas
(coeficientes), que pueden designarse por letras minúsculas iniciales del alfabeto: a,
b, c. Entonces, una ecuación está conformada por dos miembros: el primero, una
suma algebraica de términos antes de una igualdad y luego de ella, el segundo
miembro, que también consta de otra suma algebraica de términos. En dicha suma,
pueden existir términos que contengan a la incógnita acompañada de un
coeficiente y de términos independientes (Valores constantes que no contienen a la
incógnita). Acá lo puedes ver:
Términos
3X
1er Miembro
2

5
2
Igualdad
 4X
2do miembro
Ecuación
Donde:
Coeficiente
-2 y
3 X
–4. X
5
son Términos Independientes
2
Variable o Incógnita
En el caso de las ecuaciones con una incógnita, se
catalogan según el exponente más alto de la
incógnita.
Matemática – Despeje de variables en Números Reales -
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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊
π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
2x + 4 = 10
es una ecuación lineal o de primer grado
2x2 + x + 5 = 9
es una ecuación cuadrática o de segundo grado
3x3 + 5x2 – 2x + 1 = 8
es una ecuación de tercer grado.
En esta guía trabajaremos las ecuaciones de primer y segundo grado.
2.1. Ecuaciones lineales o de Primer Grado de una incógnita
Por definición, Sean a, b y c constantes reales con a≠ 0, Se llama
ecuación lineal o de primer grado con una incógnita a toda ecuación
de la forma a.x +b = c; cuyo valor de x es el conjunto solución de dicha
ecuación.
2.1.1. Procedimiento para resolver estas ecuaciones.
Una forma general para resolver las ecuaciones lineales de una incógnita es el
siguiente:
1. Elimine todas las fracciones multiplicando cada lado por el mínimo común
denominador.
2. Quite paréntesis.
3. Simplifique los términos semejantes, usando la propiedad aditiva de la igualdad
para lograr que la ecuación tenga la forma: ax = b
4. Despeje la variable mediante la propiedad multiplicativa de la igualdad
5. Verifique el resultado con la ecuación original
Para ello veremos algunos ejemplos:
a.- Resolver la siguiente ecuación:
2x + 3 = 5
Solución
Primero se simplifican los términos semejantes usando la propiedad aditiva. El
objetivo es eliminar todo término que acompañe a la incógnita o variable, que en
este caso es X, y para ello se le resta a ambos miembros el valor de 3 , o se le suma
el valor de -3:
Matemática – Despeje de variables en Números Reales -
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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊
π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
2x + 3 - 3 = 5 - 3

2x = 2
Seguidamente, se usa la propiedad multiplicativa, en otras palabras,
2x ( 1/2 ) = 2 ( 1/2 )
 x=1
De otra forma se puede resolver esta sencilla ecuación lineal. Se dice que se puede
trasladar del primer al segundo miembro el término independiente +3, que está
sumando, hacerlo restando:
2x + 3 = 5

2x = 5 - 3

2x = 2
Posteriormente, pasar al segundo miembro el coeficiente 2 que multiplica a la
variable X, dividiendo:

x = 2/2

x=1
SOLO ESCOGES LA FORMA QUE MEJOR ENTIENDAS…
Comprobación. En esta parte se sustituye el valor de x resultante en la
ecuación para revisar la igualdad:
2( 1 ) + 3 = 5

5=5
b.- Resolver la siguiente ecuación:
✔
10x/2 = x + 6
Solución
Multiplicas a cada lado por el mínimo común denominador (el 2)
10. x . 2 = (x + 6). 2
2
Simplificas los términos semejantes usando la propiedad aditiva
10x - 2x = 2x + 12 - 2x  8x = 12  8x ( 1/8 ) = 12 ( 1/8 )

x = 12 / 8
x = 3/2
Otra forma de hacerlo es:
10. x
(x + 6)
=
2
El denominador del coeficiente del primer término del
primer miembro que está dividiendo, pasa multiplicando
a todo el segundo miembro
Matemática – Despeje de variables en Números Reales -
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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊
π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

10. x = (x + 6). 2

10. x = 2.x + 12
(Aplicando propiedad distributiva)
(Agrupamos términos semejantes: los términos que contienen
a la variable X, por lo tanto el 2X que está sumando en el
segundo miembro pasa al primero, restando (operación
opuesta), valor 12 se queda intacto en el segundo miembro)
10. x - 2.x = 12


8. x = 12

x = 12 / 8

x =6 /4

x =3 /2
(El coeficiente de la variable (8) que está multiplicando
pasa al segundo miembro dividendo)
(Se reduce el racional buscando mitad, hasta que sea
irreducible)
En la Comprobación, se tiene:

10 . 3
2
2
=
3
2
+6

30
4
=
3 + 12
2

15
2
=
15
2
c.- Resolver la siguiente ecuación:
(En el primer miembro se realiza un producto
de racionales o fracciones, donde se
multiplican directamente numerador con
numerador y denominador con denominador.
En el segundo miembro se opera una suma de
racionales o fracciones cuyo m.c.m es 2)
✔ (En el primer miembro se realiza se reduce a
la mitad la fracción. En el segundo miembro se
suman los términos de la fracción y se observa
que son iguales lo resultados)
12 = - 2 (2.x - 6 )
Solución
Ahora lo verás más directo. Primero, pasa el -2 que divide al otro miembro
multiplicando y se quitan los paréntesis en el segundo miembro:
12 = - 2 (2.x - 6 )
 12. ( -1/2 ) = ( 2x - 6 )
Matemática – Despeje de variables en Números Reales -
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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊
π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
-6 = 2x - 6

Mediante la propiedad aditiva:
-6 +6= 2x -6 + 6
O Mediante la propiedad multiplicativa: 0 (1/2) = 2x ( 1/2 )


0 = 2x
0=x
x=0 ✔
y Mediante la propiedad reflexiva:
En l a Comprobación:
12 = - 2 (2. (0) - 6 )
d.

12 = - 2 ( - 6 )
Resolver la siguiente ecuación:

12 = 12
✔
3.( 2x - 4 ) + 3.( x + 1 ) = 9
Solución:
Se quitan paréntesis en cada término del primer término, aplicando propiedad
distributiva:

6.x - 12

(6.x + 3.x) + (– 12+3) = 9

+
9.x
3.x + 3 = 9
-
9
Se agrupan y suman términos semejantes
=9

9.x
= 9 +9

x
= 18 /9

x
=
2 ✔
El término independiente que resta en el
primer miembro pasa sumando al
segundo miembro. Finalmente, el
coeficiente de la variable que multiplica
pasa al dividiendo segundo miembro
En la comprobación:
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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊
π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
3.( 2.2 - 4 ) + 3.( 2 + 1 ) = 9
 3.( 4 – 4 ) + 3 .( 3 ) = 9

(3. 0) + 9 = 9
9 = 9 ✔

e.- Resolver la siguiente ecuación:
x-8
+
5
x
3
=
8
5
Solución
Acá observamos dos términos en el primer miembro y uno en el segundo.
Todos ellos poseen denominadores diferentes y para
eliminarlos y dejar la ecuación completamente lineal,
procedemos a determinar el m.c.m. entre 3 y 5, y que
resulta ser 15. Entonces se multiplica todos los términos
de la ecuación por 15:

15. (x – 8)
15.x
+
5
3
=
15. 8
5

15. (x – 8)
15.x
+
5
3
=
15. 8
5
Se resuelve las fracciones de cada término

3. (x – 8) +
=
3. 8
Se quitan los paréntesis aplicando propiedad
distributiva. Se agrupan términos semejantes.

3.x – 24
5.x
+
5.x
=
24

3.x + 5.x
=
24 + 24

8.x
=
48

x
=
48 / 8

x
=
6
Comprobación:

6-8
+
5
✔
6
3
=
8
5


- 2 + 30
15
=
8
5


8
5
=
8
5
-2
5
28
15
+
6
3
=
=
8
5
8
5
✔
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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊
π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Actividad de Control :
Identifica los términos de estas ecuaciones y los coeficientes de aquellos
que posean a la incógnita o variable:
i)
7/6.w +6.(w+1) = 1
ii)
z + 5. (5 – z) – 5 = 5
Las ecuaciones pueden ser redactadas completamente por letras que son a
su vez términos independientes que poseen valores arbitrarios, según la
necesidad. Acá se te muestran unos casos:
i. Determine A en la ecuación (A+B)/C = B + D
Solución
Estas expresiones se tratan iguales que las anteriores:
(A+B)/C = B + D
(
Al observar la ecuación, la letra A es la variable y las
(A+B)
B+D
=
restantes son términos independientes. La letra C
C
que divide al primer término pasa multiplicando a
(
(A+B) = C. (B + D) todo el segundo miembro.
(
A+B
(
A
=
C. (B + D)
= C. (B + D) ✔
-B
La letra B que suma en el primer
miembro pasa restando al
segundo
ii. Determine B en la misma ecuación (A+B)/C = B + D
Solución
Estas expresiones se tratan iguales que las anteriores:
Al observar la ecuación, la letra B es la variable y las
(A+B)/C = B + D 
(A+B)
B+D
=
restantes son términos independientes. La letra C
C
que divide al primer término pasa multiplicando a
todo el segundo miembro.
(A+B)
= C. (B + D)

A+B
=
C.B + C.D

B – C.B =
C.D - A
Se agrupan términos semejantes: El término que
contiene a B en el 2do miembro pasa restando al
primero. La letra A pasa restando al 2do miembro.

B. (1– C) =
C.D - A
En el primer miembro se obtiene como factor común
a B para agrupar los coeficientes que lo acompañan.
Recuerda que B tiene como coeficiente a 1.


B
=
(C.D - A)
(1– C)
La letra B en el segundo miembro debe salir del
distributiva) para luego ser agrupado
✔ Finalmente el coeficiente que multiplica a B pasa
dividiendo a todo al 2do miembro. Y listo!!!!
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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊
π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Los valores de cada letra que representa variables y constantes se asignan según el
problema planteado. Por ahora y a maneja de ejemplificación, imagínate que B =3;
C = 2 y D = 1 y sustituimos en los despejes ya realizados, entonces el valor de A es:
Así :
A
= 1. (3 + 2) - 3

A
= 1. (5) - 3 = 5 – 3

A
= 2
✔
Hagamos el mismo procedimiento para darle valor a B, suponga que A = 5; C = -2 y
D = 4 y sustituimos en el despeje respectivo, entonces el valor de B es:
B

B
=
(C.D - A)
(1– C)
(-2. 4 - 5)
(-8 - 5)
= (1– (-2)) =
(1 + 2)

B
=
-13 ✔
3
En resumidas cuentas:
No debes abrumarte por tener que despejar una variable y que los demás
términos sean letras. Trátalos como números, y sigue el procedimiento, luego
se les sustituyen por valores reales.
Actividad de Control:
Resuelve estas ecuaciones. Recuerda algo: los términos se separan en
sumas y restas, las multiplicaciones y/o divisiones forman parte de un término
a.
x+3
6
=
4
Resp. x = 21
b.
- 3/5 .( 15 - 2x ) = - 3 ; Resp. x = 5.
c.
4x - 5 ( x + 3 ) = 2x – 3; Rep. X = 4
d.
2.(x + 2)
=
5
x
3
; Resp: x = -12
2.x - 3 ; Resp: x = -6
e. x + 1 = x -4 4
2
4
Actividad de Control :
Revisa este video, tiene información importante y entretenida para ti
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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊
π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Fibonacci. La Magia de los Números
3.- El epitafio de Diofanto
Diofanto, fue un Matemático (Geómetra) griego nacido en Alejandría (325-409) que
tenía un dilema existencial:
“He aquí el túmulo de Diofanto –maravilla para quien lo contempla-; con
artificio aritmético la piedra enseña su edad”. “Dios le concedió pasar la sexta
parte de su vida en la juventud; un duodécimo en la adolescencia; un
séptimo en un estéril matrimonio. Pasaron cinco años más y le nació un hijo.
Pero apenas este hijo había alcanzado la mitad de la edad del padre,
cuando murió. Durante cuatro años más, mitigando su dolor con el estudio de
la ciencia de los números, vivió Diofanto, antes de llegar al fin de su
existencia”.
Es posible que Diofanto, preocupado en resolver los problemas
indeterminados de la Aritmética, no hubiera pensado en obtener la solución
perfecta del problema el rey Hierón, que no aparece en su obra.
Tomado de El Hombre que Calculaba, de Malba Tahan. Capitulo XXIV
El problema de Diofanto
El llamado problema de Diofanto o epitafio de Diofanto, puede ser resuelto
fácilmente con auxilio de una ecuación de primer grado con una incógnita.
Designando con X la edad de Diofanto, podemos escribir:
X X X
X

  5  4  X
6 12 7
2
Resuelta esa ecuación encontramos que:
X = 84
Es decir, la edad de Diofanto es 84 años. Esta es la solución del problema
4.- Ecuaciones Cuadráticas o de Segundo Grado.
Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma: a.x2 + b.x +c = 0
con a ≠ 0, b y c valores reales. Se resuelve según sea el caso:
Matemática – Despeje de variables en Números Reales -
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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊
π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
4.1. Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas
1er caso: si b = 0 y c = 0, entonces: ax2 = 0, por tanto la solución es x = 0.
Ejemplo: Obtenga las raíces del conjunto solución de: 4.x2 = 0
Solución
x=0 ✔
Como a = 4, b = c = 0, entonces
Es sencillo, todo número multiplicado por
cero resulta cero
2do caso: Si c = 0, entonces: ax2 + bx = 0
 Extraemos factor común x.
 Igualamos cada factor a 0 y resolvemos las ecuaciones de 1er grado.
Así : a x 2 + b x = 0  x.(a.x + b) = 0

x=0
y
Ejemplo: Obtenga las raíces del conjunto solución de: 4x2 + 7x= 0
Solución
Como a = 4, b = 7 y c = 0, entonces

x . (4x + 7) = 0

x=0
y
x=0
y
Cuando el término independiente c vale cero, queda
una ecuación cuadrática donde x es el factor común
4x + 7 = 0
x = -7/4
De esta forma queda un producto y el resultado es
cero, quiere decir que cada expresión se iguala a
cero y se despeja el valor. Estos resultados representan
las raíces buscadas
Así, las raíces del consunto solución es x1 = 0
y
x2 = -7/4
✔
3er caso: b = 0, entonces: ax2 + c = 0
Despejamos:
Matemática – Despeje de variables en Números Reales -
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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊
π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Ejemplo: Obtenga las raíces del conjunto solución de: 3Y2 - 27= 0
Solución
Como a = 3, b = 0 y c = -27, se tiene que:
Al tener este tipo de ecuaciones donde el término con

variable lineal (b.x), lo que queda es despejar la
3Y2 - 27= 0
variable (que puede ser cualquier letra)

Y2 = 27/3

Y2 =   (27 / 3)

Y =  9

Y =  3
Por lo tanto:
Y=+3
y
Se extrae la raíz cuadrada como operación contraria
a la potencia cuadrada en ambos miembros. Es de
hacer notar que al despejar y aplicar este
procedimiento se obtienen dos raíces: una positiva y
otra negativa
Y = -3
Así, las raíces del consunto solución es Y1= 3
y
Y2 = -3
✔
4to Caso: b y c ≠ 0, entonces: ax2 +bx +c = 0, considerada ecuación cuadrática
completa.
En este caso, se hacen estudio de las soluciones
b2 − 4ac se llama discriminante de la ecuación y permite averiguar en cada
ecuación el número de soluciones. Podemos distinguir tres casos:
i. b2 − 4ac > 0
La ecuación tiene dos soluciones, que son números reales distintos.
ii. b2 − 4ac = 0
La ecuación tiene una solución doble.
iii. b2 − 4ac < 0
La ecuación no tiene soluciones reales.
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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊
π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Ejemplo: Obtenga las raíces del conjunto solución de: 5Y2 - 14Y - 3 = 0
Solución
Como a = 5, b = -14 y c = -3, se tiene que plantear el valor discriminante:
Y

Y

=
+14
=
   196 + 60]
10
Y



Y
Y
=
=
Por lo tanto:
+14
Se sustituyen los valores de a,
b y c en la fórmula del
discriminante manteniendo y
respetado los signos
- (-14)    (-14)2 – (4.5.(-3))]
2.5
+ 16
10
30
10
Y=+3
=
+14
Se realizan los cálculos correspondientes
Observe que la cantidad subradical
(valor dentro de la raíz) es mayor que
cero (256>0) y la solución está en el
conjunto de los números reales: Caso i.
Por otro lado, existe el doble signo, lo
que significa que hay dos soluciones:
una solución positiva y una negativa
  256
10
Resolvemos la
raíz cuadrada y
culminamos
operando con la
suma algebraica
y la división
Y

Y

y
=
=
+14
- 16
10
-2
10
Y = -1/5
Así, las raíces del consunto solución es: Y1= 3 y Y2 = -1/5 ✔
Cuando realices correctamente las operaciones dentro de la raíz y resulte
un número negativo, por ejemplo:

Y
=
+2
   96 - 105]
6

Y
=
+ 2
  -9
6
Detengámonos en esto:  -9 , hay que recordar que las cantidades subradicales
de una raíz par (raíz cuadrada: 2) deben ser positivas (mayores o iguales que cero), y
como -9 <0 por tanto no hay soluciones en conjunto de los números reales y se
aplica el caso iii.
Matemática – Despeje de variables en Números Reales -
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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊
π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
Otra forma de decirlo, es que no es no mismo:
(-3)2 = 9 y
(+3)2 = 9,
es decir, ningún valor real que eleves al cuadrado dará dará como potencia un
valor negativo.
Ahora, si se te presenta un ejemplo como éste:

Y
=
+2
   96 - 96]
6

Y
=
+ 2
 0
6
El valor de Y1 = Y2 = 1/ 3, y se aplica el caso ii que es mismo caso 2 de las ecuaciones
cuadráticas incompletas.
5to caso: Si en cualquiera de los casos anteriores a<0, entonces multiplicamos los
dos miembros por (−1).
4.2.- Propiedades de las soluciones
 La suma de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a:

El producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a:
4.3.- Ecuación de 2º grado a partir de sus soluciones
Si conocemos las raíces de una ecuación, podemos escribir ésta como:
4.3.1.- La ecuación de tipo:
; Siendo S = x1 + x2
y P = x 1 · x2
4.3.2.- Factorización de un trinomio de segundo grado
Si a.x2 + bx +c = 0, entonces:
solución de la ecuación.
a· (x -x1 ) · (x -x2 ) = 0; donde x1 y x2 son las raíces
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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊
π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
5.- Ecuaciones racionales
La ecuaciones racionales son ecuaciones en las que aparecen fracciones
polinómicas. Para resolverlas se multiplican ambos miembros de la ecuación por el
mínimo común múltiplo de los denominadores. Debemos comprobar las soluciones,
para rechazar posibles soluciones extrañas provenientes de la ecuación
transformada (la resultante de multiplicar por el mínimo común múltiplo), pero que
no lo son de la ecuación original.
6.- Ecuaciones bicuadradas
Son ecuaciones de cuarto grado sin términos de grado impar:
ax4 + bx2 + c = 0
Para resolverlas, efectuamos el cambio x2 = t, x4 = t2; con lo que genera una
ecuación de segundo grado con la incógnita t: at2 + bt + c = 0
Por cada valor positivo de t habrá dos valores de x:
x =   t
Actividad de Control:
Encuentra las raíces del conjunto solución de las ecuaciones cuadráticas
siguientes:













x2 = 81
14x2 - 28 = 0
(2x - 5)(2x + 5) - 119 = 0
(x + 6)(x - 6) = 13
(x + 11)(x - 11) = 23
x2 = 7x
21x2 + 100 = - 5
2x2 - 6x = 6x2 - 8x
(x - 3)2 - (2x + 5)2 = - 16
(4x - 1)(2x + 3) = (x + 3)(x – 1)
x2 + 12x + 35 = 0
x2 - 3x + 2 = 0
x2 + 4x =285
Actividad de Control:
Revisa estos enlaces:
http://www.geocities.com/ferman30/Lenguaje-Matematico.html
http://www.dma.fi.upm.es/gies/informates/Temas_Basicos/basicos_0_1.pdf
http://didactica-ymatematica.idoneos.com/index.php/El_lenguaje_y_la_Matem%C3%A1tica
Matemática – Despeje de variables en Números Reales -
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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊
π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
http://www.monografias.com/trabajos76/lenguaje-matematicoaplicaciones/lenguaje-matematico-aplicaciones2.shtml
Actividad de Control:
Plantea estas expresiones en forma de ecuaciones y resuelve, son sencillas!!!
a. La suma de dos números consecutivos es 175. ¿Cuáles son esos números? (Resp. :
87 y 88)
b. En el partido de fútbol de ayer se realizó el siguiente cambio: El número
del jugador que salió es igual al número del que entra aumentado en
tres. Si nos informan que el jugador que sale es el 20. ¿Cuál es el número
del jugador que entró? (Resp.: 17)
c. La edad de Pablo es el triple de la edad de su hija., pero la suma de ambas
edades es 40 años. Halla mediante la resolución de una ecuación la edad que
tiene cada uno. (Resp.: Hija de Pablo: 10 años, Pablo: 30 años)
Resuélvelos todos!!, son cortos y SENCILLOS de analizar, que así te espero con gusto
en la próxima guía!!!!
LECTURA
Modelo Cósmico Ferman Lenguaje Matemático. ¿Real o Imaginario?
LENGUAJE MANTEMÁTICO ¿Real o Imaginario?
Las matemáticas fueron primeramente utilizadas como método de medida de las
circunstancias y acontecimiento físico. Y quizás esa debería ser su principal función.
Sin embargo, con el desarrollo de operaciones y sistemas matemáticos se cree
haber sobrepasado el simple método de medida para convertir las matemáticas en
un leguaje de expresión y demostración con el cual podemos averiguar toda la
realidad física.
Y la pregunta sería, ¿Puede las matemáticas ser realmente un método de expresión?
Parece claro que sí. Las matemáticas pueden tener unas dimensiones tan extensas
que pueden convertirse en método de expresión y demostración de cualquier
acontecimiento. Pero aquí surge el problema: Como método de expresión las
Matemática – Despeje de variables en Números Reales -
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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊
π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
matemáticas pueden abarcar cualquier acontecimiento real, pero también
cualquier acontecimiento inventado o imaginario. Por tanto al utilizar el lenguaje
matemático podemos tomar dos opciones:
---Podemos hacer formulaciones, mediciones y demostraciones sobre hecho físicos
reales, para lo cual es necesario comprobar que los parámetros matemáticos y sus
resultantes coinciden con los parámetros y acontecimientos físicos y también con sus
resultantes.
---Y podemos crear a partir de formulaciones matemáticas arbitrarias y
preconcebidas una creatividad y una física imaginaria, la cual podríamos manejar a
nuestro antojo.
---Y en eso parece que estamos en la actualidad, en inventarnos fórmulas con las
que intentamos explicar un universo a nuestro modo, y si las layes físicas y por tanto
el universo real no coincide con nuestras ideas preconcebidas decimos que es el
mundo físico el que resulta incomprensible, inestable, virtual o simplemente
equivocado.
Pero como es lógico siempre procuramos que este mundo inestable o virtual se sitúe
lejos de nuestro alcance (como en el mico-espacio o espacio quántico, a la
velocidad de la luz, etc.) y de esta forma podemos aceptar mejor nuestro engaño.
Así, la física que nosotros podemos observar es diferente de la que no podemos
observar. Aquí se cumplen unas leyes físicas claras lógicas y comprensibles. Allí
donde no llegamos, las leyes son diferentes, ilógicas e incomprensibles.
Creo por tanto que antes de explicar complicadas fórmulas matemáticas
deberíamos saber que son en realidad las matemáticas y cuál es su alcance real y
alcance ficticio.
Puede ser maravilloso inventarnos un universo a nuestro gusto, pero es triste estar
engañado con tantas alegorías matemáticas como lo estamos en la actualidad.
Como ejemplo de estos errores podemos reseñar:
---El invento de su fórmula por Lorentz para justificar un posible aumento de masa
propuesto por Einstein en las partículas que se acercan a la velocidad de la luz, todo
ello debido al desconocimiento que estos tenían de una propiedad de toda energía
de tener una velocidad máxima de desarrollo.
---El tremendo error de escoger las coordenadas cartesianas en vez de las radiales
en la composición de las órbitas de los electrones en mecánica cuántica.
---La de escoger la constante de Planck como número cuántico real cuando solo es
una cantidad arbitraria para poder relacionar la frecuencia con la energía.
---La de crear un principio de incertidumbre o de probabilidades para después
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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊
π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π
decirnos que realmente la física es incierta y que solo se cumplen sus leyes donde
nosotros estamos mirando, etc.
Referencias Bibliográficas
Para el estudio del despeje de incógnitas en una ecuación, te muestro algunas
referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acá; son textos
de Matemática usados en Educación Básica. Además, algunas direcciones
electrónicas:
 Baldor, A. 2000. Algebra. Edit. Cultura Venezolana, S.A.
 Baldor, A. 2000. Aritmética. Edit. Cultura Venezolana, S.A.
 Grupo Editorial Girasol. 2007. Guía- Teórica-Práctica Matemática 7. Terra editores.
 http://politecnica.sems.udg.mx/objetos_de_aprendizaje/despejedeecuaciones.html
 http://personal.cablemas.com/~mclementex/m_capac/mat_25.htm
 http://www.monografias.com/trabajos32/ecuaciones-fisica/ecuaciones-fisica.shtml
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