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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299004 – PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
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PROGRAMA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA
299004 – PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
FAIBER ROBAYO BETANCOURT
Director Nacional
ALFREDO LÓPEZ RENDÓN
Acreditador
NEIVA
Enero de 2013
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ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO
El presente módulo es actualizado en el año 2013 por el Ing. Faiber Robayo
Betancourt, tutor de la UNAD, y ubicado en el CCAV de Neiva. El Ing. Robayo es
Ingeniero Electrónico, y Magister en Ingeniería de Control Industrial, se ha
desempeñado como tutor de la UNAD desde el 2005.
El presente módulo tiene su primera actualización este año por parte del ingeniero
Robayo quien se desempeña actualmente como director del cuso a nivel nacional.
La primera versión fue realizada por la ingeniera Indira Cassaleth Garrido y se
llamó “Procesamiento de Señales Digitales”.
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INTRODUCCIÓN
El curso de Procesamiento Digital de Señales es de tipo teórico y es ofrecido
dentro del portafolio de cursos para el programa de ingeniería electrónica de la
Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD. Tiene como objetivo principal
dotar al estudiante de los conocimientos necesarios para el diseño y la
implementación de filtros digitales de características frecuenciales específicas;
todo esto a través de la estrategia de educación abierta y a distancia.
El procesamiento digital de señales es una disciplina que abarca la
representación, transformación y manipulación de señales y de la información que
contienen. En este curso se presenta una introducción a las técnicas
computacionales y herramientas básicas para el análisis y diseño de sistemas de
procesamiento digital de señales, haciendo énfasis en los filtros selectivos en
frecuencia. El curso es complementado con simulaciones prácticas para la
exploración a fondo de los conceptos analizados en la parte teórica.
El curso tiene 3 créditos académicos, los cuales comprenden el estudio
independiente y el acompañamiento tutorial, con de abordar las unidades
didácticas:
Unidad 1: Señales y sistemas discretos
Unidad 2: Diseño de Filtros Digitales
Unidad 3: Aplicaciones de Filtros digitales
La metodología a seguir será bajo la estrategia de educación a distancia. Por tal
razón, será importante planificar los procesos de:
• Estudio Independiente: este se desarrollará a través del trabajo personal y del
trabajo en pequeños grupos colaborativos de aprendizaje.
• Acompañamiento tutorial: corresponde al acompañamiento que el tutor realiza
al estudiante para potenciar el aprendizaje y la formación. Este acompañamiento
se puede adelantar de forma individual, en pequeños grupos o a nivel de grupo de
curso.
La evaluación del curso se define como cualitativa - participativa, y mide la calidad
de los procesos y productos de aprendizaje. Se evidencia desde las formas de:
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• Autoevaluación: evaluación que realiza el estudiante para valorar su propio
proceso de aprendizaje.
• Coevaluación: se realiza a través de los grupos colaborativos, y pretende la
socialización de los resultados del trabajo personal.
• Heteroevaluación: Es la valoración que realiza el tutor del proceso de
aprendizaje.
Para el desarrollo del curso es importante el papel que juegan los recursos
didácticos y tecnológicos como medio activo e interactivo, buscando la
interlocución durante todo el proceso de diálogo tutor-estudiante.
Se tienen diferentes opciones y tecnologías, las cuáles deben ser empleadas de la
mejor forma de acuerdo al espacio, y a los objetivos propuestos en cada curso.
Algunas de las más empleadas, son:
• Materiales virtuales: Son el soporte fundamental para el curso y para favorecer
los procesos de aprendizaje auto-dirigido. Estos contenidos serán publicados en la
plataforma virtual de la UNAD.
• Sitios Web: propician el acercamiento al conocimiento, la interacción y la
producción de nuevas dinámicas educativas.
• Sistemas de interactividades sincrónicas: permite la comunicación a través de
encuentros presénciales directos o de encuentros mediados (Chat, audio
conferencias, videoconferencias, tutorías telefónicas).
• Sistemas de interactividades asincrónicas: permite la comunicación en forma
diferida favoreciendo la disposición del tiempo del estudiante para su proceso de
aprendizaje (correo electrónico, foros, grupos de discusión, entre otros).
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INDICE DE CONTENIDO
UNIDAD 1 SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS ............................................................................ 11
INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................... 12
CAPITULO 1: INTRODUCCIÓN AL PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES………………………………... 13
Lección 1: SISTEMAS DSP ................................................................................................................. 13
Proceso de conversión de análogo a digital (ADC)............................................................................ 14
Teorema del muestreo ...................................................................................................................... 14
Lección 2: SEÑALES EN TIEMPO DISCRETO ...................................................................................... 19
Señales elementales en tiempo discreto .......................................................................................... 21
Lección 3: SISTEMAS LTI ................................................................................................................... 24
Lección 4: PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS DISCRETOS .................................................................. 25
Lección 5: RESPUESTA IMPULSO ...................................................................................................... 29
CAPITULO 2: TRANSFORMADA DE FOURIER………………………………………….………………………………... 32
Lección 6: SERIES DE FOURIER ......................................................................................................... 32
Series de Fourier para señales periódicas ......................................................................................... 32
Series de Fourier para señales discretas periódicas ......................................................................... 33
Lección 7: TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER........................................................................ 36
Introducción ...................................................................................................................................... 36
Lección 8: PROPIEDADES DE LA DFT ................................................................................................ 38
Linealidad .......................................................................................................................................... 38
Periodicidad....................................................................................................................................... 38
Simetría ............................................................................................................................................. 38
Lección 9: CORRELACIÓN DE SEÑALES EN TIEMPO DISCRETO ......................................................... 39
Introducción ...................................................................................................................................... 39
Correlación ........................................................................................................................................ 39
Lección 10: CORRELACIÓN CON AYUDA COMPUTACIONAL ............................................................ 47
CAPITULO 3: TRANSFORMADA Z……………….………………………………………….………………………………... 50
Lección 11: TRANSFORMADA Z BILATERAL DIRECTA ....................................................................... 50
Lección 12: PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z BILATERAL .................................................... 53
Linealidad .......................................................................................................................................... 53
Desplazamiento en el tiempo ........................................................................................................... 55
Escalado en el dominio Z ................................................................................................................... 55
Conjugación ...................................................................................................................................... 56
Inversión temporal ........................................................................................................................... 57
Lección 13: TRANSFORMADA Z INVERSA ......................................................................................... 58
Definición ......................................................................................................................................... 58
Lección 14: TRANSFORMADA Z UNILATERAL, DEFINICIÓN Y PROPIEDADES ................................... 60
Retardo temporal .............................................................................................................................. 61
Adelanto temporal ............................................................................................................................ 61
Teorema del valor final ..................................................................................................................... 62
Lección 15: RESPUESTA NATURAL Y FORZADA ................................................................................ 64
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ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD 1 ............................................................. 66
FUENTES DOCUMENTALES DE LA UNIDAD 1 ............................................................................ 67
UNIDAD 2 DISEÑO DE FILTROS DIGITALES ................................................................................ 68
INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................... 69
CAPITULO 4: DISEÑO DE FILTROS DIGITALES…………………………………………………………………………... 70
Lección 16: CONSIDERACIONES GENERALES .................................................................................... 70
Lección 17: CAUSALIDAD Y SUS IMPLICACIONES .............................................................................. 71
Lección 18: TEOREMA DE PALEY WIENER ......................................................................................... 72
Lección 19: RELACIÓN ENTRE PARTE REAL E IMAGINARIA DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA....... 74
Lección 20: CARACTERÍSTICAS DE FILTROS PRÁCTICOS .................................................................... 76
CAPITULO 5: FILTROS DIGITALES IIR…………..…………………………………………………………………………... 77
Lección 21: TERMINOLOGÍA Y CLASIFICACIÓN................................................................................. 77
Polos y ceros...................................................................................................................................... 79
Diseño de filtros IIR ........................................................................................................................... 79
Lección 22: DISEÑO DE FILTROS IIR .................................................................................................. 80
Diseño de filtros IIR mediante la transformación bilineal ................................................................. 80
Lección 23: DISEÑO DE FILTROS IIR CON MATLAB ........................................................................... 86
Filtro Butterworth ............................................................................................................................. 86
Lección 24: FILTRO CHEBYSHEV ....................................................................................................... 90
Lección 25: FILTROS ELÍPTICOS ........................................................................................................ 95
Requerimientos y especificaciones de filtrado ................................................................................. 97
CAPITULO 6: FILTROS FIR………………….………..…………………………………………………………………………... 99
Lección 26: FILTROS DE RESPUESTA INFINITA.................................................................................. 99
Estructura .......................................................................................................................................... 99
Diseño de filtros FIR ........................................................................................................................ 100
Lección 27: FUNCIONES PARA REALIZAR FIR.................................................................................. 101
La función FIR1 ................................................................................................................................ 101
La función FIR2 ................................................................................................................................ 101
Lección 28: ANÁLISIS DE FIR CON HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES ...................................... 103
Lección 29: ANÁLISIS DE RECHAZABANDA FIR ............................................................................... 107
Lección 30: COMANDOS PARA GENERAR FILTROS MEDIANTE VENTANAS ................................... 111
ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD 2 ............................................................112
FUENTES DOCUMENTALES DE LA UNIDAD 2 ...........................................................................113
UNIDAD 3 APLICACIONES DE FILTROS DIGITALES ....................................................................114
INTRODUCCIÓN .....................................................................................................................115
CAPITULO 7: DISEÑO Y APLICACIONES DE FILTROS…………………………………………………………….... 116
Lección 31: ESPECIFICACIONES DE DISEÑO .................................................................................... 116
Lección 32: ELECCIÓN DE LA APROXIMACIÓN ............................................................................... 118
Lección 33: REALIZACIÓN ............................................................................................................... 120
Lección 34: EFECTOS DE LA LONGITUD DE LA PALABRA FINITA .................................................... 122
Lección 35: IMPLEMENTACIÓN ...................................................................................................... 126
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CAPITULO 8: PROCESAMIENTO DE IMÁGENES…………………………………………………………………….... 127
Lección 36: MODELO DE IMAGEN SIMPLE ..................................................................................... 127
Etapas fundamentales en procesamiento de imágenes ................................................................. 128
Lección 37: TEORÍA DE HERING ...................................................................................................... 132
Lección 38: TRANSFORMACIONES ................................................................................................. 135
Transformaciones geométricas ....................................................................................................... 135
Transformación del histograma ...................................................................................................... 135
Filtrado espacial y frecuencial ......................................................................................................... 135
Lección 39: CÁLCULO DE CARACTERÍSTICAS .................................................................................. 138
Centroide ......................................................................................................................................... 139
Lección 40: ANÁLISIS DE IMAGEN USANDO MEDIOS COMPUTACIONALES ................................... 140
CAPITULO 9: PROCESAMIENTO DIGITAL DE AUDIO…………………………………………………………….... 144
Lección 41: EFECTOS QUE UTILIZAN RETARDOS ............................................................................ 144
Naturaleza del eco y la reverberación ............................................................................................ 144
Reverberación y eco digitales ......................................................................................................... 145
Flanger y phaser .............................................................................................................................. 146
La realimentación o el feedback ..................................................................................................... 146
El chorus .......................................................................................................................................... 147
Lección 42: PROCESADORES DE RANGO DINÁMICO ...................................................................... 148
Los compresores y los limitadores .................................................................................................. 149
Los expansores ................................................................................................................................ 149
La distorsión .................................................................................................................................... 149
Lección 43: LOS FILTROS................................................................................................................. 150
Espectro de una señal ..................................................................................................................... 150
Lección 44: ECUALIZACIÓN Y APLICACIONES DEL FILTRADO ......................................................... 153
Implementación de filtros en los editores de audio ....................................................................... 153
Aplicaciones de filtrado digital ........................................................................................................ 153
Lección 45: ANÁLISIS DE AUDIO USANDO MEDIOS COMPUTACIONALES ..................................... 155
ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD 3 ............................................................159
FUENTES DOCUMENTALES DE LA UNIDAD 3 ...........................................................................160
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LISTADO DE TABLAS
Tabla 3.1 Transformada z bilateral de algunas funciones comunes ................................................. 54
Tabla 7.1 Comparación Filtros digitales .......................................................................................... 119
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LISTADO DE GRÁFICOS Y FIGURAS
Figura 1.1 Sistema DSP ...................................................................................................................... 13
Figura 1.2 Sistema DSP completo...................................................................................................... 13
Figura 1.3 Diagrama de bloques del proceso de conversión análogo a digital ................................. 14
Figura 1.4 Muestreo de una señal análoga ....................................................................................... 15
Figura 1.5 Tren de pulsos .................................................................................................................. 15
Figura 1.6 Espectro de la señal antes del muestreo ......................................................................... 17
Figura 1.7 Espectro de la señal después del muestreo ..................................................................... 17
Figura 1.8 Espectro con aliasing de una señal muestreada .............................................................. 18
Figura 1.9 Espectro resultante con la frecuencia mínima de muestreo ........................................... 18
Figura 1.10 Función impulso unitario................................................................................................ 21
Figura 1.11 Función escalón unitario ................................................................................................ 22
Figura 1.12 Función rampa unitaria .................................................................................................. 23
Figura 1.13 Señal sinusoidal .............................................................................................................. 24
Figura 1.14 Sistemas LTI .................................................................................................................... 25
Figura 1.15 Efecto tiempo invariante Sistemas LTI ........................................................................... 25
Figura 1.16 Principio de superposición ............................................................................................. 25
Figura 1.17 Diagrama de bloques de un sistema discreto ................................................................ 26
Figura 1.18 Representación gráfica de un retardador ...................................................................... 26
Figura 1.19 Representación gráfica de un retardador 2 ................................................................... 26
Figura 1.20 Representación gráfica de un adelantador .................................................................... 27
Figura 1.21 Diagrama de un multiplicador ........................................................................................ 27
Figura 1.22 Diagrama de un modulador ........................................................................................... 27
Figura 1.23 Diagrama de bloques de una ecuación discreta ............................................................ 28
Figura 1.24 Gráfica de la función x(n) = {2, 3, 0,1} ............................................................................ 30
Figura 1.25 a) Función impulso unitario, b) Respuesta al impulso, h (k) ......................................... 31
Figura 1.26 a)
-1), b) Respuesta al impulso, h (k-1)............................ 31
Figura 2.1 Señales para correlacionar x(n), y(n)................................................................................ 41
Figura 2.2 Correlacionar r xy (0) ....................................................................................................... 42
Figura 2.3 Señales para autocorrelacionar x(n), x1(n) ...................................................................... 45
Figura 2.4 Función autocorrelación r xx ........................................................................................... 46
Figura 3.1 Representación gráfica de la ROC para r suficientemente pequeños.............................. 52
Figura 3.2 Propiedades de la Transformada Z bilateral .................................................................... 53
Figura 4.1 Características generales de un filtro pasabajas .............................................................. 76
Figura 5.1 Estructura de un filtro IIR ................................................................................................. 78
Figura 5.2 Relación entre la frecuencia en el plano s y el plano z en la transformación bilineal ..... 82
Figura 5.3 Respuesta en frecuencia del filtro análogo del ejemplo .................................................. 84
Figura 5.4 Respuesta en frecuencia del filtro digital del ejemplo ..................................................... 85
Figura 5.5 Respuesta filtro Butter pasaalta segundo orden ............................................................. 87
Figura 5.6 Respuesta filtro Butter pasaalta orden 10 ....................................................................... 88
Figura 5.7 Respuesta filtro Butter pasabanda orden 4 ..................................................................... 89
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Figura 5.8 Respuesta filtro Butter rechazabanda orden 4 ................................................................ 90
Figura 5.9 Respuesta filtro Cheby tipo I ............................................................................................ 92
Figura 5.10 Respuesta filtro Cheby tipo II orden 9............................................................................ 93
Figura 5.11 Respuesta impulso filtro Cheby tipo II orden 5 .............................................................. 94
Figura 5.12 Respuesta filtro elíptico pasabajo orden 6..................................................................... 95
Figura 5.13 Respuesta impulso filtro elíptico pasabajo orden 6 ....................................................... 96
Figura 5.14 Respuesta filtro elíptico pasaalto orden 12 ................................................................... 97
Figura 5.15 Respuesta impulso filtro elíptico pasaalto orden 12...................................................... 97
Figura 6.1 Estructura de un filtro FIR ............................................................................................. 100
Figura 6.2 Respuesta filtro FIR1 pasabajo orden 4.......................................................................... 103
Figura 6.3 Respuesta filtro FIR1 pasabajo orden 6.......................................................................... 104
Figura 6.4 Respuesta filtro FIR1 pasabajo orden 10........................................................................ 104
Figura 6.5 Respuesta filtro FIR1 pasaalto orden 4 .......................................................................... 105
Figura 6.6 Respuesta filtro FIR1 pasaalto orden 6 .......................................................................... 105
Figura 6.7 Respuesta filtro FIR1 pasaalto orden 10 ........................................................................ 106
Figura 6.8 Respuesta filtro FIR1 rechazabanda orden 6 ................................................................. 107
Figura 6.9 Respuesta filtro FIR1 rechazabanda orden 30, Hamming .............................................. 108
Figura 6.10 Respuesta filtro FIR1 rechazabanda orden 30, Boxcar................................................. 108
Figura 6.11 Respuesta filtro FIR1 rechazabanda orden 30, Barlett ................................................ 109
Figura 6.12 Respuesta filtro FIR1 rechazabanda orden 30, Chebwin ............................................. 109
Figura 6.13 Comparación respuestas filtros FIR .............................................................................. 110
Figura 7.1 Bandas de tolerancia del filtro ....................................................................................... 117
Figura 7.2 Comparación de los patrones de polos y ceros de una implementación en forma directa
I (a) y en secciones de segundo orden, cada una de ellas en forma directa (b)
......................................................................................................................................................... 121
Figura 7.3 Respuesta en frecuencia del filtro del Ejemplo implementado con una estructura tipo
forma directa II. (-) filtro prototipo; (- -) filtro con coeficientes cuantizados. ................................ 123
Figura 7.4 Respuesta en frecuencia del filtro del Ejemplo implementado con una cascada
de dos bloques de segundo orden. ( - ) filtro prototipo; (- -) filtro con coeficientes cuantizados.. 124
Figura 8.1 Valores del pixel ............................................................................................................. 128
Figura 8.2 Etapas del procesamiento de imágenes......................................................................... 129
Figura 8.3 Imagen binaria y filtros................................................................................................... 131
Figura 8.4 Diagrama de cromaticidad ............................................................................................. 133
Figura 8.5 Ilustración del comportamiento de las celdas detectoras ante la presencia de colores
oponentes ....................................................................................................................................... 134
Figura 8.6 Histograma bimodal ....................................................................................................... 136
Figura 8.7 Histograma aproximadamente bimodal ........................................................................ 137
Figura 8.8 (a) Una región (S) y su deficiencia convexa (sombreada); (b) contorno
dividido ............................................................................................................................................ 140
Figura 8.9 Imagen original ............................................................................................................... 141
Figura 8.10 Valores de pixeles en RGB de la imagen ...................................................................... 142
Figura 8.11 Planos para los diferentes colores ............................................................................... 143
Figura 8.12 Contribución de planos ................................................................................................ 144
Figura 9.1 Funciones de transferencia y sus efectos....................................................................... 148
Figura 9.2 Ejemplos de filtrado con la evolución temporal del espectro de
frecuencias, su aspecto en el instante t=0 y el sonido resultante .................................................. 152
Figura 9.3 Ejemplo de procesamiento digital de audio................................................................... 158
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UNIDAD 1
Nombre de la
Unidad
Introducción
Justificación
SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS
La Unidad 1 trata en primer lugar, los aspectos introductorios
y la terminología referente al procesamiento digital de señales;
en segundo lugar, introduce y refuerza el manejo matemático
necesario como lo es la transformada de Fourier y la
transformada Z.
Dada la importancia que tiene el manejo de las señales en
todos los ámbitos de la electrónica, el procesamiento digital de
señales se vuelve una necesidad para poder comprenderlas y
manejarlas a través de sus bases matemáticas, como son las
transformadas de Fourier y la Transformada Z.
Entenderá la diferencia entre señales continuas y discretas,
Intencionalidades comprenderá la relación entre la Transformada de Fourier y la
Transformada Z, así mismo podrá escribir una señal dada en
Formativas
una ecuación en diferencias que la produce y podrá obtener
las señales que produce una ecuación en diferencias dada.
Denominación de • Capítulo 1: Introducción al Procesamiento Digital de Señales
Capítulos
• Capítulo 2: Transformada de Fourier
• Capítulo 3: Transformada Z
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CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299004 – PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
INTRODUCCIÓN
La Ingeniería electrónica se define como la rama de la ciencia que se encarga
de la transmisión de información por medio de señales eléctricas. El uso de
tales señales se debe fundamentalmente a la velocidad con la que viajan
(cercana a la de la luz) y a la facilidad con la que pueden ser manipuladas.
Los procesos de análisis y síntesis pueden realizarse en dos ambientes
diferentes:
·
ANALOGO: La señal existe (O sea tiene importancia) en todos los
instantes de tiempo y tiene infinitos posibles valores dentro de un rango
determinado (Rango dinámico de la señal). El sistema se construye
exclusivamente de hardware (Activo y pasivo) y maneja infinitos
posibles estados (ASP), para realizar operaciones sobre la señal tales
como el filtrado, la amplificación, la modulación, etc.
·
DIGITAL: La señal existe (O tiene importancia) sólo en momentos
discretos del tiempo y tiene un número finito de valores dentro de un
rango determinado. El sistema es una mezcla de hardware y software
digital con interfaces análogas con el mundo real (DSP), que realizan
operaciones de cálculo y lógicas para extraer información de una señal
digital o modificarla.
En algunos casos los sistemas son híbridos en el sentido de que a pesar de
que manejan señales digitales utilizan una representación análoga de esas
señales para su transmisión, por ejemplo con el uso de señales sinusoidales
de diferentes frecuencias (FSK) o fases (PSK).
La tendencia en este momento va en la dirección de realizar todas las
operaciones que antes se hacían en ASP, y otras nuevas, con dispositivos o
sistemas DSP, debido a las ventajas que presentan estos últimos.
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CAPITULO 1: INTRODUCCIÓN AL PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
Lección 1: SISTEMAS DSP
Un procesador DSP (Ya sea un procesador de propósito general o especializado
más software) requiere a su entrada una señal digital o sea discreta en el tiempo
(que sólo exista en instantes discretos del tiempo) y discreta en amplitud (solo
tiene un número finito de niveles), denotada por x(n) y produce a la salida, luego
de procesada una señal que es también de naturaleza discreta.
Tal procesador de DSP ”puro” no está en capacidad de procesar señales
provenientes de fenómenos del mundo real, las cuales son esencialmente
análogas porque están definidos en todo instante del tiempo y tienen un continuo
de amplitudes en cualquier intervalo finito.
Figura 1.1 Sistema DSP
Se requiere, entonces, que hayan interfaces entre el mundo real y el DSP que
conviertan las señales análogas en discretas (Dispositivos ADC) y viceversa
(Dispositivos DAC), tal como se muestra en la figura 1.2; aunque en algunos casos
es posible que no se necesiten uno o ambos procesos.
Figura 1.2 Sistema DSP completo
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PROCESO DE CONVERSION DE ANALOGO A DIGITAL (ADC)
En este caso el sistema ADC toma una señal análoga proveniente de algún
fenómeno físico y entrega una discreta o digital al sistema DSP.
De manera teórica, el proceso de conversión ADC requiere de cuatro pasos como
se muestra en la figura 1.3.
Figura 1.3 Diagrama de bloques del proceso de conversión análogo a digital.
La idea fundamental es que en este proceso se conserve la información de la
señal de entrada; la herramienta que permite predecir que en efecto esto se da se
llama el teorema del muestreo el cual se enuncia a continuación.
TEOREMA DEL MUESTREO
“Una señal de banda limitada a B Hz (Es decir sin contenido espectral apreciable
por encima de esta frecuencia) puede determinarse de manera unívoca a partir de
sus muestras tomadas a intervalos no mayores a Ts = 1/ 2B s”.
Esto significa que para que no haya pérdida de la información contenida en la
señal se deben tomar muestras a una rata mayor a fs = 2B muestras/s.
En la figura 1.4 se muestran la señal análoga y sus respectivas muestras.
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Figura 1.4 Muestreo de una señal análoga
El proceso de muestreo puede verse como el producto de la señal por un tren
periódico de pulsos como el que se muestra a continuación en la figura 1.5:
Figura 1.5 Tren de pulsos
Esta señal puede representarse por medio de una serie de Fourier así:
Con:
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Y,
La señal muestreada estará dada, entonces, por la siguiente expresión:
Se debe recordar que el espectro de x(t) está dado por:
Y el espectro de xs (t) por:
Intercambiando el orden de la integral y la sumatoria se tiene:
La última integral representa a
o sea el espectro de la señal
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desplazado alrededor de la frecuencia de muestreo Fs = 1/Ts y sus infinitos
armónicos.
De esta manera:
Si el espectro original de x(t) tiene la forma mostrada en la figura 1.6,
Figura 1.6 Espectro de la señal antes del muestreo
La forma del espectro de la señal resultante, luego del muestreo, será como se
muestra en la figura 1.7:
Figura 1.7 Espectro de la señal después del muestreo
Se observa que, en este caso, se puede recuperar el espectro de la señal original
(Y por tanto la señal) usando un filtrado pasabajos ideal que elimine los
componentes espectrales que aparecieron en el muestreo, dado que no hubo
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superposición de estos con el original porque se escogió adecuadamente la
frecuencia de muestreo Fs.
Si la frecuencia de muestreo no hubiese sido escogida adecuadamente, el
espectro resultante pudiera haber quedado como se muestra en la figura 1.8:
Figura 1.8 Espectro con aliasing de una señal muestreada
En este caso es imposible recuperar el espectro original por medio del filtrado
pasabajos ya que se produjo lo que se denomina “aliasing” o solapamiento en la
frecuencia.
La frecuencia mínima de muestreo hará que las distintas componentes espectrales
queden juntas como se muestra en la figura 1.9:
Figura 1.9 Espectro resultante con la frecuencia mínima de muestreo
Esta frecuencia mínima se puede calcular así:
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Esto nos indica que la frecuencia mínima de muestreo (Frecuencia de Nyquist)
será:
Por ejemplo, en telefonía se limita en banda a 3.4 KHz y se utiliza una rata de
muestreo de 8000 muestras/s, lo que da una banda de guarda de 1200 Hz.
En la práctica siempre ocurrirá aliasing debido a que las señales nunca son de
banda limitada y también a que siempre hay ruido presente, el cual tiene un gran
ancho de banda.
La idea es mantener el aliasing tan bajo como sea posible y también reducir la rata
de muestreo al mínimo para bajar las exigencias de velocidad al conversor
análogo digital y del procesador, y disminuir las exigencias de ancho de banda del
sistema, lo cual se logra filtrando la señal antes del muestreo.
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Lección 2: SEÑALES EN TIEMPO DISCRETO
Las señales en tiempo discreto pueden originarse de dos maneras:
1. Tomando muestras de una señal análoga y luego cuantificándola.
2. Acumulando una variable a lo largo de un determinado período de tiempo.
(Ver figura 1.7, página 10 del libro de Proakis).
En ambos casos se genera una secuencia de números en función de la
variable independiente n (número de muestra) el cual es el equivalente discreto
del tiempo.
La señal x(n) puede representarse de varias maneras:
· Representación funcional:
· Representación tabular:
· Representación como secuencia:
En este caso la flecha ( ) indica el origen de coordenadas (Es decir, n = 0).
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SEÑALES ELEMENTALES EN TIEMPO DISCRETO
· Impulso
unitario:
Figura 1.10 Función impulso unitario
La figura 1.10 se puede obtener en Matlab empleando una función como la del
ejemplo M2:
Ejemplo M2:
function x=impulse(long,k)
%La señal x generada por esta función es un impulso de longitud long
%y desplazado k unidades de tiempo.
if k<0
n=-long:0;
L=length(n);
x=zeros(1,L);
x(L+k)=1;
else
n=0:long;
L=length(n);
x=zeros(1,L);
x(k+1)=1;
end
stem(n,x)
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· Escalón unitario:
Figura 1.11 Función escalón unitario
La figura 1.11 se puede obtener en Matlab empleando una función como la del
ejemplo M3:
Ejemplo M3:
function x=escalon(long,k)
%La señal x generada por esta función es un escalón de longitud long
%y desplazado k unidades de tiempo.
n=k-3:long+k-4 ;
x=zeros(1,long);
x(4:long)=1;
stem(n,x)
· Rampa unitaria:
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Figura 1.12 Función rampa unitaria
La figura 1.12 se puede obtener en Matlab empleando una función como la del
ejemplo M4:
Ejemplo M4:
function x=rampa(long,k)
%La señal x generada por esta función es una rampa de longitud long
%y desplazada k unidades de tiempo.
n=k-3:long+k-4 ;
m=0:long-4;
x=zeros(1,3);
x=[x,m];
stem(n,x)
· Señal sinusoidal:
xnAcos n , n 

Donde:
: [rad]
f: [ciclos/muestra]
: [rad/muestra]
2f
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Figura 1.13 Señal sinusoidal
La figura 1.13 se puede obtener en Matlab empleando una función como la del
ejemplo M5:
Ejemplo M5:
function x=seno(A,f0,Theta,Num_ciclos)
%La señal x generada por esta función es una sinusoide de amplitud: A,
%frecuencia: f0 (entre 0 y 1), Theta en radianes y número de ciclos:
%Num_ciclos.
N=ceil(1/f0);
L=N*Num_ciclos;
n=0:L-1;
x=A*sin(2*pi*f0*n+Theta);
stem(n,x)
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Lección 3: SISTEMAS LTI
Introducción
La abreviatura LTI proviene del término en inglés (Linear Time-Invariant). Los
sistemas LTI hacen referencia a los sistemas que son lineales y al mismo tiempo
invariantes en el tiempo. Los sistemas LTI tienen la característica de cumplir las
siguientes propiedades.
Figura 1.14 Sistemas LTI
Los sistemas LTI son subconjuntos de los sistemas lineales, estos obedecen al
principio de superposición. En la siguiente figura, se puede observar el efecto de
aplicar el tiempo invariante a la definición de sistema lineal del sistema anterior.
Figura 1.15 Efecto tiempo invariante Sistemas LTI
Aplicando el principio de superposición se tiene:
Figura 1.16 Principio de superposición
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Lección 4: PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS DISCRETOS
Los sistemas discretos son aquellos que trabajan con señales discretas. Se debe
recordar que un sistema es una transformación aplicada a una señal de entrada
x(n), para obtener una señal de salida y(n); a esta transformación se le conoce con
el nombre de función de transferencia (T). En la siguiente figura se muestra el
diagrama de bloques de un sistema discreto.
Figura 1.17 Diagrama de bloques de un sistema discreto
Se pueden definir las funciones de transferencia para los sistemas discretos más
característicos con su correspondiente diagrama de bloques.
Desplazamiento temporal
Descrito por el siguiente comportamiento matemático:
Figura 1.18 Representación gráfica de un retardador
Si T n n0, entonces es un adelantador
Si 0 T n n0, entonces es un retardador
En diagramas de bloques, otra forma de representar a T es por Z, así:
Figura 1.19 Representación gráfica de un retardador 2
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Figura 1.20 Representación gráfica de un adelantador
Multiplicador
Descrito por el siguiente comportamiento matemático: y(n) = a. x(n)
Figura 1.21 Diagrama de un multiplicador
Modulador
Descrito por el siguiente comportamiento matemático:
Figura 1.22 Diagrama de un modulador
Acumulador
Descrito por el siguiente comportamiento matemático:
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Media Móvil
Descrito por el siguiente comportamiento matemático:
Ejemplo: Describa mediante diagrama de bloques la siguiente ecuación discreta
Donde x(n) es la señal de entrada y y(n) es la señal de salida.
Solución
Figura 1.23 Diagrama de bloques de una ecuación discreta
A continuación se describen las propiedades fundamentales que se tienen en
cuenta en los sistemas discretos.
Memoria
Un sistema en tiempo discreto se denomina estático o sin memoria si su salida en
cualquier instante n depende a lo sumo de la muestra de entrada en ese mismo
instante, pero no de muestras pasadas o futuras de la entrada. En cualquier otro
caso, se dice que el sistema es dinámico o con memoria. Es decir, su respuesta al
impulso es la forma:
Los siguientes sistemas son sistemas sin memoria, ya que no se necesita de
ninguna muestra pasada o futura para calcular la señal.
A diferencia de los siguientes sistemas que son sistemas dinámicos o con
memoria ya que requieren de una muestra para calcular la salida actual.
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Causalidad
Se dice que un sistema es causal si la salida del sistema en cualquier instante
depende sólo de las entradas presentes y pasadas de la señal de entrada (por
ejemplo, x(n), X(n-1), x(n-2)...); pero no de las muestras futuras de la señal (por
ejemplo, x(n+1), X(n+2), x(n+3)...).
Si un sistema no satisface esta condición se dice que el sistema es no causal. Los
siguientes sistemas son sistemas causales, ya que la salida depende sólo de las
entradas presentes y pasadas de la señal.
A diferencia de los siguientes sistemas que son sistemas no causales ya que
requieren de una muestra futura de la señal.
Para un sistema causal se ha de cumplir que:
h(n) = 0, Para todo n < 0
Estabilidad
Un sistema arbitrario en reposo se dice de entrada acotada-salida acotada (BIBO,
bounded input_ bounded output), si y sólo si toda entrada acotada produce una
salida acotada. El acotamiento de las secuencias de entrada x(n), para obtener
una señal de salida y(n); produce la existencia de un par de números finitos Mx y
My, tales que:
para todo n. Si la secuencia de entrada x(n) produce una salida no acotada (es
decir, infinita), el sistema se clasifica como inestable.
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Lección 5: RESPUESTA IMPULSO
Si se tiene una señal de entrada x(n), esta se puede expresar como la suma de
impulsos unitarios. Es decir,
Donde k representa el atraso del impulso unitario.
Ejemplo: una secuencia de duración finita x(n) está dada por
Exprese esta señal como la suma ponderada de impulsos unitarios
Solución: Para desarrollar este ejercicio lo primero que se realiza es graficar la
secuencia, ubicando el cero en el valor que indica la flecha así:
Función original x(n)
3
2.5
Amplitud
2
1.5
1
0.5
0
-1
-0.5
0
0.5
n
1
1.5
Figura 1.24 Gráfica de la función x(n) = {2, 3, 0,1}
2
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Se puede observar que n = -1, 0,1, 2. Para n = 1, la secuencia x(n) tiene valor de
cero. Por tanto, sólo se requiere tres impulsos en los puntos k =-1, 0, 2. Por tanto,
x(n) se expresa como:
x(n) 2(n 1) 3(n) 1(n 2)
Ejemplo: Supóngase un sistema discreto lineal, que es excitado con la función
impulso (k), y cuya salida es la respuesta al impulso h(k), tal como el de la figura
1.25.
Si ese mismo sistema se excita con la función impulso, retrasada en 1, la salida
debe ser la misma respuesta al impulso retrasada en 1, así como se muestra en la
figura 1.26 debido a que el sistema es invariante en el tiempo.
Respuesta al impulso h(k)
0.9
1.5
0.8
1
0.7
0.5
0.6
0
Amplitud
2
0.5
-0.5
0.4
-1
0.3
-1.5
0.2
-2
0.1
-2.5
0
-2
-1.5
-1
-0.5
0
n
0.5
1
1.5
-3
-2
2
-1.5
-1
-0.5
0
n
0.5
1
1.5
2
Figura 1.25 a) Función impulso unitario, b) Respuesta al impulso, h (k)
Respuesta al impulso h(k-1)
Función impulso unitario d(k-1)
1
2
0.9
1.5
0.8
1
0.7
0.5
0.6
0
Amplitud
Amplitud
Amplitud
Función impulso unitario d(k)
1
0.5
-0.5
0.4
-1
0.3
-1.5
0.2
-2
0.1
-2.5
0
-1
-0.5
0
0.5
1
n
1.5
2
2.5
3
-3
-1
-0.5
0
0.5
1
n
1.5
2
Figura 1.26 a) Función impulso unitario (k-1), b) Respuesta al impulso, h (k-1)
2.5
3
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CAPITULO 2: TRANSFORMADA DE FOURIER
Lección 6: SERIES DE FOURIER
La Transformada de Fourier se encarga de transformar una señal del dominio del
tiempo, al dominio de la frecuencia, de donde se puede realizar su
antitransformada y volver al dominio temporal. Un ejemplo de representación en
frecuencia, puede ser cuando se observa un ecualizador de un equipo de sonido.
Las barras que suben y bajan, indican las diferentes componentes frecuenciales
de la señal sonora que se escuchan. Esto, se realiza a través de un proceso de
integración que realiza precisamente la transformada de Fourier de la forma más
rápida posible (FFT, o Fast Fourier Transform). El trabajo con la señal en
frecuencia, no solo sirve como información, sino que se puede modificar, de forma
que es ampliamente utilizada en filtros, procesado de la imagen y el sonido,
comunicaciones (modulaciones, líneas de transmisión, etc.) y otro tipo de
aplicaciones más curiosas: estadística, detección de fluctuaciones en los precios,
análisis sismográfico, etc.
Serie de Fourier para señales periódicas
La Serie de Fourier busca poner cualquier función x (t) como un sumatorio de
senos y cosenos, esto es, como un sumatorio de ejkw0t puesto que cualquier
función senoidal se puede expresar en forma de exponencial compleja. Para una
señal periódica definimos el desarrollo en serie de Fourier como:
De la anterior ecuación se puede observar que al variar los valores de k se tendría
una función periódica de periodo:
Para determinar cuáles son los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier se
realiza:
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Serie de Fourier para señales discretas periódicas
La serie de Fourier discreta es una modificación de la serie de Fourier tradicional,
pero sustituyendo las integrales por sumatorias de las muestras, y el periodo
ahora en vez de ser T será N, siendo N un número entero, de forma que se define
la serie de Fourier discreta como:
Se cumplirá ahora que x[n]= x [n + N], debido que N es el periodo fundamental.
Para obtener los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier se debe obtener ak
de la siguiente forma:
Ejercicio: Determine el espectro de la señale X(n), la cual es periódica de periodo
N= 4 y cuya secuencia se encuentra expresada como:
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Se comienza a evaluar la función para k= 0, 1, 2,3. Para ello se tiene:
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el módulo y la fase del espectro son
Recuerde que la fase se calcula como
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Lección 7: TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER
Introducción
La transformada discreta de Fourier es una herramienta matemática muy
importante y se ha utilizado en diferentes campos como aplicaciones en óptica,
acústica, física cuántica, teoría de sistemas, tratamiento de señales,
reconocimiento de voz, probabilística, sistemas de comunicaciones, etc.
La transformada de Fourier se emplea con señales aperiódicas a diferencia de la
Serie de Fourier. Las condiciones para poder obtener la transformada de Fourier
son (Condiciones de Dirichlet):
 La señal debe ser integrable, es decir:
 Debe presentar un número máximo de discontinuidades.
La transformada de Fourier es una particularización de la transformada de Laplace
con S=jw (siendo w=2*pi*f), y se define así:
De igual forma, se puede definir su antitransformada así:
A partir del desplazamiento de la función impulso y sabiendo que
Y además, que la transformada de Fourier tiene la propiedad de dualidad:
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Se obtiene que:
Por tanto, se puede calcular la transformada de Fourier de cualquier señal
periódica x(t) de potencia media finita, de la siguiente forma
Ya que
Luego para una x (t) periódica se cumple que:
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Lección 8: PROPIEDADES DE LA DFT
La DFT presenta las siguientes propiedades
Linealidad
X3(n) = ax1(n)+bx2(n),
X3(k) = aX1 (k)+bX2 (k)
Si long [x1(n)]=N1 y long [x2(n)]=N2
Entonces
long[x3(n)]=max{N1,N2}
Periodicidad
x(n) y X(k) son periódicas con período N.
Simetría
Si x(n) <--->X(k) entonces x*(n) <--->X*(-k)=X*(N-k)
Para señales REALES:
x(n)=x*(n) y X(k)=X*(N-k)
Re[X(k)] es una función par
Im[X(k)] es una función impar
|X(k)| es una función par
Fase[X(k)] es una función impar
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Lección 9: CORRELACIÓN DE SEÑALES EN TIEMPO DISCRETO
Introducción
La correlación es una operación matemática que permite cuantificar el grado de
similitud entre dos señales aunque no haya evidencia de parentesco entre ellas.
En la descripción y análisis de señales la correlación se utiliza en múltiples
aplicaciones como: la geología, la economía, la estimación de retardos en sonar y
radar, la sincronización en comunicaciones digitales, reconocimiento de patrones
de voz e imágenes, el análisis de entornos acústicos, el análisis de imágenes
satelitales, etc.
Correlación
La correlación de dos funciones reales es una operación de similares
características a la convolución con la salvedad de que no se girará alrededor del
origen los valores de una de las funciones. La expresión matemática para esta
operación es:
Bajo las mismas condiciones que se establecen en la convolución en el caso
discreto, la expresión de la correlación de funciones discretas reales es
para
De manera similar se pueden transcribir las expresiones de la correlación en el
caso bidimensional.
De forma paralela a como existe un teorema de convolución ahora podemos
enunciar un Teorema de Correlación, que nos dice como se calcula la correlación
entre dos funciones a partir de las TF de dichas funciones. El teorema establece
que la TF de la correlación entre dos funciones es igual al producto de la
Transformada Fourier conjugada de una de ellas por la otra. Es decir,
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Al igual que la convolución, la correlación es una operación básica del
procesamiento de imágenes digitales. La correlación es la operación básica en los
procesos de búsqueda de patrones por emparejamiento. Por tanto, disponer de
algoritmos que calculen de una forma eficiente estas operaciones es del mayor
interés.
Cuando la operación de correlación se realiza entre dos secuencias X y Y, la
correlación recibirá el nombre de correlación cruzada. Cuando la correlación se
realiza entre la misma secuencia, es decir, cuando x(n)=y(n), la correlación se
denomina autocorrelación. A continuación se describirá dos ejemplos relacionados
con la correlación cruzada y la autocorrelación de secuencias.
Ejemplo: Determine la correlación cruzada xxy (l) de la secuencias
En la primera parte se realiza las gráficas de las funciones:
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Figura 2.1 Señales para correlacionar x(n), y(n)
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Solución. Aplicando el concepto para l = 0
La secuencia producto de esta operación es:
dando como resultado
La suma para todos los valores de n es
Figura 2.2 Correlacionar r xy (0)
Para así, obtener la primera respuesta en l=0.
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Para l<0, desplazamos y(n) hacia la izquierda con relación a x(n) l muestras,
calculamos la secuencia producto vl(n)= x(n) y (n-l), y sumamos todos los valores
de dicha secuencia producto. Así los v se obtendrán los valores de correlación
cruzada.
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Por tanto la correlación cruzada entre x(n) e y(n) es
Como se puede observar el cero de la función está representada en el valor de 7,
que fue el primer valor calculado para l=0.
Aplicando los mismos conceptos de la correlación se puede determinar la
autocorrelación de una señal.
Ejemplo: Determine la Autocorrelación xxx (l) de la secuencia
En la primera parte se realiza la gráfica de la función. Es de recordar que para la
autocorrelación es la función x(n) la que se auto multiplica y desplaza. Así:
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Figura 2.3 Señales para autocorrelacionar x(n), x1(n)
Realizando las operaciones en l=0 tenemos
Al realizar los desplazamientos de la función x1(n) se tiene:
Los resultados de la autocorrelación son mostrados a continuación
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Figura 2.4 Función autocorrelación r xx
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Lección 10: CORRELACIÓN CON AYUDA COMPUTACIONAL
MATLAB dispone de dos funciones para el cálculo de convoluciones y
correlaciones.

>> y = conv(x,h)
o Hace la convolución de los vectores x y h. El vector resultante y tiene
un tamaño igual a length(x)+length(h)-1

>> rxy = xcorr(x,y)
o Hace la correlación de los vectores de M elementos x e y. Devuelve
un vector de 2M-1 elementos.

>> rxx = xcorr(x)
o Hace la autocorrelación del vector x de M elementos. Devuelve un
vector de 2M-1 elementos.
El comando “xcorr” calcula la secuencia de correlación cruzada de un proceso
aleatorio. Autocorrelación se trata como un caso especial.
La verdadera correlación cruzada secuencia es
donde xn y yn son procesos aleatorios conjuntamente estacionarios, - ∞ < n < ∞ y
E {·} es el operador valor esperado. xcorr debe estimar la secuencia, ya que, en
la práctica, sólo un segmento finito de una realización del proceso aleatorio de
longitud infinita está disponible.
c = xcorr (x, y) devuelve la secuencia de correlación cruzada en una longitud de
2 * N-1 vector, donde x e y son vectores de longitud N (N> 1). Si x e y no tienen la
misma longitud, el vector más corto es rellenado con ceros a la longitud del
vector más largo.
Por defecto, xcorr calcula las correlaciones primas sin normalización.
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El vector de salida c tiene elementos propuestos por c (m) = Rxy (m-N), m = 1, ...,
2N-1.
En general, la función de correlación requiere la normalización para producir una
estimación precisa (véase más adelante).
c = xcorr (x) es la secuencia de autocorrelación para el vector x. Si x es una
matriz N por P, C es una matriz con 2N-1 filas cuyos P2 columnas contienen las
secuencias de correlación cruzada para todas las combinaciones de las
columnas de
xcorr produce correlaciones idénticamente igual a 1,0 en cero lag sólo cuando se
realiza una autocorrelación y sólo cuando se establece el "coeficiente" opción.
Por ejemplo,
x=0:0.01:10;
X = sin(x);
[r,lags]=xcorr(X,'coeff');
max(r)
c = xcorr (x, y, 'option') especifica una opción de normalización para la correlación
cruzada,
donde 'opción' es
 'biased': Biased estimate of the cross-correlation function
 'unbiased': Unbiased estimate of the cross-correlation function
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 'coeff': Normalizes the sequence so the autocorrelations at zero lag are
identically 1.0.
Ejemplos
La primera aplicación de la autocorrelación de una señal es determinar las
posibles repeticiones de patrones en la señal. Para comprobar este punto se va a
generar una sinusoide de frecuencia igual a 100 Hz con amplitud uno y
muestreada a 1 kHz (consideremos una secuencia de 100 puntos). Determine la
autocorrelación de esta señal normalizada a uno y represéntela junto a la
secuencia.
El programa en Matlab que implementa lo que nos piden es:
%Generación de la señal
n = 0:99;
x = cos (2*pi*n*0.1);
%Cálculo de la autocorrelación normalizada
y = xcorr(x,'coeff');
%Representación de las dos señales
subplot(221), stem(x,'k'), title('(a)')
subplot(222), plot(x,'k'), title('(b)')
subplot(223), stem(y,'k'),title('(c)')
subplot(224), plot(y,'k'), title('(d)')
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CAPITULO 3: TRANSFORMADA Z
Lección 11: TRANSFORMADA Z BILATERAL DIRECTA
La transformada z es a los sistemas en tiempo discreto lo que la transformada de
Laplace es a los sistemas en tiempo continuo. Ambas representan herramientas
para el análisis de ciertas propiedades de las señales, que en el dominio del
tiempo sólo pueden ser evaluadas con mayor dificultad: la convolución es
transformada otra vez en un producto, y las ecuaciones de diferencias, que son el
equivalente discreto de las ecuaciones diferenciales, pueden ser solucionadas de
forma más sencilla en el dominio de la frecuencia compleja que en el dominio del
tiempo discreto.
Tómese ahora la representación
transformada de Laplace es
de
una
señal
muestreada,
su
Si se define z = esT y considerando que x(n) = xa (nT) se obtiene
que es la definición de la transformada z bilateral para la secuencia discreta x(n),
que considera tanto valores positivos como negativos de n.
La relación entre la secuencia discreta x(n) y su representación X(z) en el dominio
z se denota como:
Como la transformada z es una serie infinita de potencias, ésta existe solo para los
valores de z en que la serie converge. La región de convergencia (ROC, región of
convergence) de X (z) es entonces el conjunto de valores de z para los que X (z)
es finita.
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Nótese que la sustitución de variable z = esT puede interpretarse como un mapeo
conforme del plano
al plano complejo z. Debido a que
entonces una línea vertical en el plano s, para la cual
es constante, es
transformada en un círculo de radio
. Se deduce que una banda vertical entre
es transformada en un anillo delimitado por un círculo interno de
radio
y un círculo externo de radio
. Puesto que X (z) corresponde a
una transformada de Laplace cuya ROC es alguna banda vertical en el plano s, se
concluye que las regiones de convergencia de la transformada z equivalen a
anillos (de posible extensión infinita) en el plano z. Si la señal es derecha,
entonces la ROC sería según lo anterior el exterior de un círculo. Si la señal es
izquierda, sería el interior de un círculo.
Al igual que con la transformada bilateral de Laplace, cuando se haga referencia a
la transformada z de una señal discreta x(n) debe también incluirse su ROC.
Ejemplo: Calcule la transformada z de:
Solución:
La ROC de señales finitas es todo el plano z excepto z = 0 y/o z =
Ejemplo: Determine la transformada z de:
.
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Solución:
Si se expresa z en su forma polar
, con r = |z| y
entonces:
Dentro de la ROC de X (z), |X (z)| < 1, por lo que:
es decir, si x(n)r−n es absolutamente sumable entonces |X(z)| es finita.
Para encontrar la ROC se debe entonces encontrar el rango de valores de r para
los que la secuencia x(n)r−n es absolutamente sumable.
Ahora bien, la ecuación anterior puede reescribirse como:
y ambas sumatorias deben converger si |X(z)| ha de ser finito. Para la primera
suma deben existir valores de r suficientemente pequeños para que x(−n)rn sea
absolutamente sumable (r < r1) como se aprecia en la siguiente figura.
Figura 3.1 Representación gráfica de la ROC para r suficientemente pequeños
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Lección 12: PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z BILATERAL
Linealidad
Si
, entonces
Figura 3.2 Propiedades de la Transformada Z bilateral
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Tabla 3.1 Transformada z bilateral de algunas funciones comunes
Ejemplo: Determine la transformada z de x(n) = [3(2n) − 4(3n)] u(n).
Solución: Si x1(n) = 2nu(n) y x2(n) = 3nu(n), entonces x(n) = 3x1(n) − 4x2(n)
Se conoce que:
con lo que se obtiene:
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y la transformada de x(n) es:
Nótese que la ROC final debe ser al menos la intersección de las dos ROC
individuales.
Desplazamiento en el tiempo
La ROC de z−kX(z) es la misma de X(z) excepto z = 0 si k > 0 y z = 1 si k < 0.
Esto se demuestra fácilmente con un cambio de variable del índice de la suma:
y con m = n − k
Ya que el coeficiente de z−n es el valor de la muestra en el instante n, se aprecia
que retrasar una señal en k muestras (k > 0) es equivalente a multiplicar todos los
términos de la transformada z por z−k.
Escalado en el dominio z
Ejemplo: Determine la transformada z de la señal
Solución:
Con la identidad de Euler se obtiene primero que:
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y con
transformación:
se obtiene con
y la linealidad de la
Por lo que
Conjugación
Si x(n) tiene como transformada z a X (z) con ROC R entonces
Esto se demuestra utilizando las propiedades de conjugación:
De lo anterior se deduce que si x(n) es real, entonces
, lo que
implica que si X(z) tiene un polo o cero en z = z0, también lo tendrá en
. En
otras palabras, los polos y ceros aparecen como pares complejos conjugados en
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la transformada z de secuencias reales x(n). Obsérvese que la relación
para funciones reales indica que si se hace un corte paralelo al eje
Im{z} de la superficie correspondiente a |X(z)|, entonces la función en ese corte
presenta simetría par. Por otro lado, la fase tiene un comportamiento impar en los
cortes paralelos al eje Im{z}.
Inversión temporal
Demostración:
Ejemplo: Determine la transformada z de u(−n).
Solución: Puesto que
Entonces
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Lección 13: TRANSFORMADA Z INVERSA
Definición
El procedimiento de encontrar la señal en el dominio del tiempo correspondiente a
la expresión algebraica en el dominio z para una determinada región de
convergencia se denomina transformada z inversa. Utilizando el teorema integral
de Cauchy y la fórmula integral de Cauchy se demuestra que se cumple:
para un contorno de integración C que rodea al origen.
A partir de la definición de la transformada z para una señal de variable discreta
x(k)
se obtiene multiplicando ambos lados por zn−1, e integrando en un contorno
cerrado que contiene al origen, y que está dentro de la ROC:
Como la serie converge dentro de C, la integral y la sumatoria pueden ser
intercambiadas:
que con el resultado anterior sólo es diferente de cero para k = n, es decir:
Ejemplo: Encuentre la transformada z inversa de la expresión
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si se sabe que la señal correspondiente es causal.
Solución: Aplicando las ecuaciones obtenidas se tiene
Como C debe estar dentro de la ROC, y la señal es causal, entonces se escoge
una circunferencia de radio mayor que
Para n > 0 se tiene un cero de orden n
en z = 0, o ningún cero cuando n = 0, y en ambos casos hay un polo en
En
estos casos se puede aplicar la fórmula integral de Cauchy para obtener
directamente
Para n < 0 la función f(z) tiene un polo de orden n en z = 0, que también está
dentro de C, por lo que dos polos z1 = 0 y z2 = a contribuyen al valor de la
integral.
Con n = −1:
Con n = −2:
Esto se puede repetir para todo n < −2 resultando en x(n) = 0. Por tanto,
resumiendo ambos casos en una ecuación se obtiene:
x(n) = an u(n)
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Lección 14: TRANSFORMADA Z UNILATERAL, DEFINICIÓN Y
PROPIEDADES
La transformada z unilateral se define como:
y la relación se denota como
La transformada z unilateral y la bilateral se diferencian en el límite inferior de la
sumatoria, y presenta por lo tanto las siguientes características:
1. No contiene información sobre la señal x(n) para los valores negativos de n.
2. Es única sólo para señales causales, puesto que éstas son las únicas señales
que son cero para n < 0.
3.
Puesto que x(n)u(n) es causal, la ROC de su
transformada X(z) es siempre exterior a un círculo. Por lo tanto, cuando se trate
con transformada z unilateral, no es necesario referirse a su región de
convergencia.
Ejemplo: Determine la transformada z unilateral de:
Nótese que la transformada z unilateral no es única para señales con
componentes anticausales diferentes (por ejemplo X2(z) = X3(z), aun cuando
Para señales anticausales, X(z) siempre será cero.
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Las propiedades de esta transformada son similares a las de la transformada z
bilateral, pero el desplazamiento merece especial atención.
Retardo temporal
Si
, entonces
para k > 0. Si x(n) es causal entonces x(n − k) = z−kX(z).
Demostración:
Nótese que si se desplaza x(n) hacia la derecha entonces aparecen k nuevas
muestras que deben considerarse.
Adelanto temporal
Si
, entonces
para k > 0.
Demostración:
Nótese que si la señal se desplaza a la izquierda, entonces k muestras de la
transformada X(z) deben desaparecer.
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Ejemplo: Calcule la transformada z unilateral de:
1. x(n) = an.
2. x2(n) = x(n − 2).
3. x3(n) = x(n + 2).
Solución:
1. Se cumple
2.
3.
La propiedad de desplazamiento de la transformada z unilateral se utiliza en la
solución de ecuaciones de diferencias con coeficientes constantes y condiciones
iniciales no nulas.
Teorema del valor final
Se tiene que:
y además:
con lo que se tiene:
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con lo que se deduce:
y aplicando el límite cuando z tiende a 1 a ambos lados se obtiene:
lo que se conoce como teorema del valor final. En la demostración se ha asumido
que la ROC de (z − 1) X(z) incluye a |z| = 1.
Este teorema se utiliza para calcular el valor asintótico de la señal x(n) cuando n
tiende a infinito, si se conoce X(z) pero no x(n).
Ejemplo: Determine la respuesta del sistema con respuesta impulsional h(n) =
anu(n), |a| < 1, ante un escalón unitario, cuando
Solución: La salida del sistema ante la entrada dada se calcula en el dominio z
como:
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Lección 15: RESPUESTA NATURAL Y FORZADA
Las propiedades de desplazamiento en el tiempo de la transformada z unilateral
permiten evaluar el comportamiento de un sistema cuando las condiciones
iniciales no son nulas.
En general, si se asume que el sistema está en reposo, es decir, si se asume que
todas las condiciones iniciales del sistema son nulas, entonces la respuesta y(n)
del sistema ante la entrada causal x(n) se conoce como respuesta forzada del
sistema. Si por otro lado la entrada x(n) es nula, pero el sistema tiene condiciones
iniciales no nulas, entonces a la reacción del sistema a partir de la muestra cero
y(n) se le conoce como respuesta natural del sistema. La respuesta total del
sistema es entonces aquella conformada por las respuestas natural y forzada. El
siguiente ejemplo ilustra estos conceptos.
Ejemplo: Un sistema LTI en tiempo discreto está descrito por la ecuación de
diferencias:
Encuentre la respuesta natural del sistema ante las condiciones iniciales y (−1) = 0
y y (−2) = −4, y la respuesta forzada del sistema ante un escalón unitario.
Solución:
Aplicando la transformada z unilateral, sus propiedades de retraso en el tiempo, y
considerando que la entrada x(n) es causal, se cumple:
Obsérvese que ambas componentes, la natural y la forzada, comparten los
mismos polos, y determinan así la forma de las señales en cuanto a
atenuación/amplificación exponenciales y la frecuencia de las componentes
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oscilatorias. Los ceros serán responsables de la fase y amplitud de las señales
resultantes.
La respuesta natural del sistema se obtiene haciendo X (z) = 0:
y con las condiciones iniciales dadas
y por lo tanto
La respuesta forzada ante un escalón unitario estará dada por la transformada z
inversa de
El cero en 1 se cancela con el polo en el mismo sitio. El lector puede demostrar
por descomposición en fracciones parciales que: expresión se puede reescribir
como:
que corresponde a la señal
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ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD 1
1. Mencione las principales ventajas y desventajas de los sistemas DSP.
2. ¿Qué es el Teorema del muestreo? Proponga un ejemplo.
3. Proponga un código en un lenguaje de programación adecuada para
generar una señal impulso unitario.
4. ¿Qué es un sistema LTI?
5. ¿Cuáles son las propiedades de los sistemas discretos?
6. Proponga un ejercicio de aplicación donde se muestre la respuesta impulso.
7. ¿Para qué se utilizan las Series de Fourier en este curso?
8. Mencione las propiedades de la DFT.
9. ¿En qué campos de la ciencia se puede aplicar la correlación cruzada?
10. ¿Qué es la Transformada Z? muestre su importancia en el Procesamiento
Digital de Señales
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FUENTES DOCUMENTALES DE LA UNIDAD 1
DOCUMENTOS IMPRESOS
D. K. LINDNER. Introduction to Signals and Systems, McGraw Hill, 1999.
F. J. TAYLOR. Principles of Signals and Systems. McGraw Hill, 1a Ed. 1994
MITRA, S. Procesamiento de Señales Digitales. McGraw-Hill, 2007.
M. S. RODEN. Analog and Digital Communication Systems. Prentice Hall, 4a
Ed. 1996
OPPENHEIM, A. y SCHAFER, R. Tratamiento de señales en tiempo discreto.
Madrid: Prentice Hall – Pearson Education, 2000.
PROAKIS, J. G. y MANOLAKIS, D.G.Tratamiento Digital de Señales.
Principios, algoritmos y aplicaciones. España: Prentice Hall., 2000.
SOLIMAN, S. S. y SRINATHMS, D. Señales y Sistemas Continuos y Discretos.
España: Prentice Hall, 1999.
DIRECCIONES DE SITIOS WEB
Procesamiento Digital de Señales con Matlab
http://es.scribd.com/doc/46935329/PROCESAMIENTO-DIGITAL-DESENALES-CON-MATLAB
http://www.iit.upcomillas.es/palacios/dip/
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UNIDAD 2
DISEÑO DE FILTROS DIGITALES
Nombre de la
Unidad
Introducción
Justificación
La Unidad 2 trata en primer lugar, las consideraciones
generales al diseño de filtros digitales, las características de
los filtros, así como los conceptos básicos y el diseño de
Filtros IIR y FIR. Al finalizar cada capítulo se presentar
ejemplos de desarrollo de estos filtros mediante medios
computacionales.
La tendencia actual es la migración de la tecnología analógica
a la digital, en nuestro caso el filtrado digital ofrece varias
ventajas con respecto a los filtrados analógicos:


El ancho de banda de un filtro digital está limitado por la
frecuencia de muestreo, mientras que en un filtro
analógico, este parámetro depende de las
características de los componentes físicos.
Se pueden implementar tanto en software como en
hardware.
El estudiante asimilará los aspectos fundamentales en el
Intencionalidades diseño de filtros digitales, conocerá las bases teóricas para el
diseño de filtros IIR y FIR, aplicará el uso de herramientas
Formativas
computacionales para el diseño de filtros digitales.
Denominación de • Capítulo 4: Diseño de filtros digitales
Capítulos
• Capítulo 5: Filtros digitales IIR
• Capítulo 6: Filtros FIR
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INTRODUCCIÓN
El filtro digital se emplea en el procesado de señales para la eliminación de las
partes no deseadas de la misma, las cuales pueden ser la disminución de ruido o
la eliminación de alguna frecuencia determinada. Los filtros pueden ser analógicos
o digitales. En los filtros analógicos se emplean componentes discretos tales como
condensadores, resistencias, condensadores, amplificadores operacionales, etc.
Un filtro digital emplea un procesador digital que efectúa operaciones matemáticas
en valores muestreados.
En general el proceso de filtrado consiste en el muestreo digital de la señal de
entrada, el procesamiento considerando el valor actual de entrada y considerando
las entradas anteriores. El último paso es la reconstrucción de la señal de salida.
En general la mecánica del procesamiento es:
 Tomar las muestras actuales y algunas muestras anteriores (que
previamente habían sido almacenadas) para multiplicadas por unos
coeficientes definidos.
 También se podría tomar valores de la salida en instantes pasados y
multiplicarlos por otros coeficientes.
 Finalmente todos los resultados de todas estas multiplicaciones son
sumados, dando una salida para el instante actual.
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CAPITULO 4: DISEÑO DE FILTROS DIGITALES
Lección 16: CONSIDERACIONES GENERALES
Para proceder al diseño de un filtro digital se realizan los siguientes pasos:
 Se especifica la característica deseada en el dominio de la frecuencia.
 Se elige el tipo de filtro (FIR o IIR) dependiendo de la naturaleza del
problema y de las características en frecuencia deseadas:
Filtros FIR
Se usan donde se desea desfase lineal con la frecuencia, Sin embargo si no es
esto lo que se desea, entonces se puede usar un FIR o un IIR.
Filtros IIR
Este tipo de filtros tiene lóbulos laterales menores en la banda de rechazo que los
FIR y se prefieren porque involucran menos parámetros, menos memoria y menor
complejidad computacional.
 Se determinan los coeficientes del filtro que aproximan las especificaciones
de respuesta en frecuencia.
 Se escoge la estructura adecuada que tenga en cuenta lo siguiente:




Efectos de cuantificación (Longitud finita de palabra).
Complejidad computacional.
Requisitos de memoria.
Tipo de aritmética.
En los apartes que siguen se muestra por qué un filtro ideal, a pesar de tener una
respuesta en frecuencia deseable no puede realizarse físicamente.
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Lección 17: CAUSALIDAD Y SUS IMPLICACIONES
Sea un filtro ideal pasabajo con una respuesta en frecuencia dada por:
Su correspondiente respuesta al impulso está dada por:
Este filtro es no causal y por tanto no realizable, además requiere infinitos
coeficientes y posiciones de memoria.
A continuación, basados en el teorema de Paley-Wiener se plantean las
condiciones necesarias y suficientes para que una respuesta en frecuencia dada H
(w) produzca un filtro causal.
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Lección 18: TEOREMA DE PALEY WIENER
Si h(n) tiene energía finita y h(n) = 0 para n < 0, entonces:
Recíprocamente, si H (w) es cuadráticamente integrable y si la integral previa es
finita, entonces se puede asociar a H (w) una respuesta en fase q (w) tal que el
filtro con respuesta en frecuencia:
es causal.
De este teorema se puede concluir que H (w) puede ser cero en algunas
frecuencias pero no en un intervalo de frecuencias y también que cualquier filtro
ideal es no causal.
Por otro lado se puede probar que hay una fuerte dependencia entre H R (w) y HI
(w) o de manera equivalente, entre la magnitud y la fase y por lo tantos éstas no
se pueden especificar independientemente.
Sea:
De tal manera que si h(n) es causal:
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Pero,
Luego,
Entonces:
Además,
Como ho (0) = 0 no se puede recuperar h (0) de ho (n) y por tanto se debe conocer
también h (0).
De lo anterior se concluye que ho(n) = he(n) para n ≥ 1 o sea, hay una fuerte
relación entre ho (n) y he (n).
Si h(n) es absolutamente sumable, existe la correspondiente respuesta en
frecuencia dada por:
H(w ) = HR (w ) + jHI (w )
Si se supone que h(n) es real y causal, se tiene que:
Y por lo tanto, puesto que h(n) está completamente especificado por h e (n),
entonces H (w) se determina completamente por HR (w) o, de igual forma, H (w) se
especifica completamente por HI (w) y h (0), en conclusión, HR (w) y HI (w) o la
magnitud y la fase de H (w) no se pueden especificar independientemente si el
sistema es causal.
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Lección 19: RELACIÓN ENTRE PARTE REAL E IMAGINARIA DE LA
RESPUESTA EN FRECUENCIA
A continuación se muestra la relación entre la parte real e imaginaria de la
respuesta en frecuencia de un sistema con h(n) real, causal y absolutamente
sumable:
En donde,
Remplazando en la ecuación para H (w) se tiene:
la cual se denomina Transformada de Hilbert Discreta de HR (w).
En resumen:
· H(w) no puede ser cero, excepto en un conjunto finito de frecuencias.
· Las componentes HR (w) y HI (w) no son independientes.
· La magnitud y la fase de H(w) no se pueden elegir arbitrariamente.
· La magnitud de H(w) no puede ser constante en ningún rango finito de
frecuencias.
· La transición de la banda de paso a la banda de rechazo no puede ser
infinitamente abrupta.
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Las dos últimas conclusiones se deben al fenómeno de Gibbs porque se debe
recortar la respuesta al impulso para lograr causalidad.
En los métodos de diseño de filtros que se propondrán posteriormente se trabajará
sobre sistemas LTI especificados por la ecuación:
que son causales y físicamente realizables y que tienen una respuesta en
frecuencia dada por:
El problema del diseño consiste en seleccionar los {ak} y {bk} tal que se aproxime
la respuesta en frecuencia H(w ) deseada.
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Lección 20: CARACTERÍSTICAS DE FILTROS PRÁCTICOS
Las características de un filtro ideal son deseables pero no son absolutamente
necesarias y se pueden aproximar tanto como se desee. Normalmente se tolera
un pequeño rizado en la banda de paso y un valor pequeño distinto de cero en la
de rechazo, como se muestra en la figura 4.1.
Figura 4.1 Características generales de un filtro pasabajas
En esta figura:

El rizado en la banda de paso es
decibelios,

La anchura de banda es


La banda de transición está dada por
El rizado en la banda de rechazo es
decibelios.
o expresado en
expresado en
En el proceso de diseño se especifican:




El máximo rizado tolerable en la banda de paso: .
El máximo rizado tolerable en la banda de rechazo:
La frecuencia de corte:
La frecuencia de rechazo:
.
Por último se calculan los {ak} y {bk} en H(w) que mejor aproximen estas
especificaciones, lo cual depende del criterio usado en la selección de los
coeficientes así como de su número (M, N).
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CAPITULO 5: FILTROS DIGITALES IIR
Lección 21: TERMINOLOGÍA Y CLASIFICACIÓN
Hay varios tipos de filtros así como distintas clasificaciones para estos filtros:
De acuerdo con la parte del espectro que dejan pasar y que atenúan hay:
• Filtros pasa alto.
• Filtros pasa bajo.
• Filtros pasa banda.
· Banda eliminada.
· Multibanda.
· Pasa todo.
· Resonador.
· Oscilador.
· Filtro peine (Comb filter).
· Filtro ranura o filtro rechaza banda (Notch filter).
·
De acuerdo con su orden:


Primer orden
Segundo orden, etc.
De acuerdo con el tipo de respuesta ante entrada unitaria:



FIR (Finite Impulse Response)
IIR (Infinite Impulse Response)
TIIR (Truncated Infinite Impulse Response)
De acuerdo con la estructura con que se implementa:



Laticce
Varios en cascada
Varios en paralelo
En el presente curso nos centraremos en los filtros de acuerdo con el tipo de
respuesta ante la entrada unitaria o impulso unitario.
IIR es una sigla en inglés que representa Infinite Impulse Response o Respuesta
infinita al impulso. Se trata de un tipo de filtros digitales en el que, como su nombre
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indica, si la entrada es una señal impulso, la salida tendrá un número infinito de
términos no nulos, es decir, nunca vuelve al reposo.
La salida de los filtros IIR depende de las entradas actuales y pasadas, y además
de las salidas en instantes anteriores. Esto se consigue mediante el uso de
realimentación de la salida.
Donde a y b son los coeficientes del filtro. El orden es el máximo entre los valores
de M y N.
Aplicando la transformada Z a la expresión anterior:
Hay numerosas formas de implementar los filtros IIR. La estructura afecta a las
características finales que presentará el filtro como la estabilidad. Otros
parámetros a tener en cuenta a la hora de elegir una estructura es el gasto
computacional que presenta. En la figura 5.1 se representa el modelo de una
estructura de un filtro IIR.
Figura 5.1 Estructura de un filtro IIR
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Polos y ceros
Este tipo de filtros presenta polos y ceros que determinan la estabilidad y la
causalidad del sistema. Cuando todos los ceros están en el interior de la
circunferencia unidad se dice que es fase mínima. Si todos están en el exterior es
fase máxima. Si algún polo está fuera de la circunferencia unidad el sistema es
inestable.
Diseño de filtros IIR
Las formas habituales de diseñar este tipo de filtros son:
 Indirecta (a partir de prototipos analógicos)
· Impulso invariante
· Aproximación de derivadas
· Transformación bilineal
·
 Directa
·
·
·
Aproximación de Padé
Aproximación de mínimos cuadrados
Características
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Lección 22: DISEÑO DE FILTROS IIR
DISEÑO DE FILTROS IIR MEDIANTE LA TRANSFORMACIÓN BILINEAL
Existen diversos métodos, tales como: A partir de filtros analógicos, mediante la
aproximación en derivadas, mediante invarianza impulsional, sin embargo, los
métodos anteriores sólo permiten diseñar filtros pasabajos y una clase restringida
de filtros pasabanda; la solución a estas limitaciones la ofrece la transformación
bilineal mapeando el eje jΩ en la circunferencia unidad en el plano z sólo una vez,
con lo cual se evita el aliasing en frecuencia; esta transformación está relacionada
con la fórmula trapezoidal utilizada para integración numérica y se explicará con el
siguiente ejemplo:
El filtro analógico con una función de transferencia dada por:
Está caracterizado en el tiempo por una relación entrada-salida dada por la
ecuación diferencial:
Si se integra la derivada se tiene:
La aproximación de esta integral mediante la fórmula trapezoidal en t = nT y
t0 = nT – T está dada por:
La ecuación diferencial en t = nT queda así:
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Con y(n) ≡ y (nT) y x(n) ≡ x (nT), y reemplazando, se tiene:
Se concluye de esta manera que la función de transferencia está dada en este
caso por:
Comparando con la función de transferencia del filtro análogo se tiene, entonces,
que:
A esta relación se le denomina la transformación bilineal y es igualmente válida
para una ecuación diferencial de N-ésimo orden.
Como, además:
Entonces:
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Por tanto,
Se concluye que si:
O de forma equivalente,
Dicha relación puede apreciarse por medio de la figura 5.2:
Figura 5.2 Relación entre la frecuencia en el plano s y el plano z en la transformación
bilineal
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En esta figura se observa que:
 El rango completo de frecuencias en tiempo continuo W se corresponde de
forma unívoca con el rango en tiempo discreto w, sin embargo hay
deformación en frecuencia.
 Además, la transformación bilineal hace corresponder s = ∞ con z = -1.
Normalmente el diseño de un filtro digital empieza con especificaciones en
frecuencia en el dominio digital que implica a w, las cuales se convierten al
dominio analógico por medio de la transformación Ω = (2 / T) tan (w / 2), luego se
diseña el filtro analógico y se convierte a un filtro digital por medio de la
transformación bilineal. En este proceso T es transparente y se puede poner en
cualquier valor, por ejemplo 1.
De manera similar al método anterior, Matlab cuenta con la función bilinear que
permite trasformar un filtro análogo en uno digital usando la transformación
bilineal. Se puede consultar el help de este programa y ejecutar la búsqueda para
el comando “bilinear”
Ejemplo:
Convierta el filtro analógico con función de transferencia
En un filtro IIR digital por medio de la transformación bilineal. El filtro digital tiene
que tener una frecuencia resonante wr = π/2.
Solución:
· Calculo de la respuesta en frecuencia del filtro análogo:
num = [ 1.0000 0.1000]
den = [ 1.0000 0.2000 16.0100]
freqs (num, den)
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Figura 5.3 Respuesta en frecuencia del filtro análogo del ejemplo
Como se observa en la figura 200 el filtro análogo tiene una frecuencia de
resonancia de 4 Hz. La transformación bilineal requiere que la frecuencia de
muestreo sea Fs = 2 para que la frecuencia análoga Ωr = 4 y la digital wr = π/2 se
cumplan ya que,
[B, A] = bilinear (num, den, 2)
B = [0.1250 0.0061 - 0.1189]
A = [1.0000 0.0006 0.9512]
· Cálculo de la respuesta en frecuencia digital, ver figura 5.4:
freqz (B, A)
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Figura 5.4 Respuesta en frecuencia del filtro digital del ejemplo
Como se observa en la figura se ha logrado con la transformación bilineal la
frecuencia resonante que se deseaba (wr = π/2 normalizado 1/2).
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Lección 23: DISEÑO DE FILTROS IIR CON MATLAB
Uno de los software más importantes a nivel del procesamiento de señales es el
software MatLab, el cual permite brindarle información rápida y precisa de los
sistemas diseñados tanto en forma análoga como en forma digital.
Dentro de los trabajos desarrollados en el curso se explicarán los filtros más
prácticos y de fácil implementación.
Filtro Butterworth
En Matlab se puede encontrar la instrucción Butter, este comando diseña filtros
Butterwoth pasa-bajas, pasa-altas, pasa-bandas y rechaza bandas tanto en forma
digital como analógica. Este filtro se caracteriza por una respuesta plana en la
banda de transición.
El parámetro del filtro esta descrito en MatLab de la siguiente forma
[B,A] = butter(N,Wn)
donde B y A son los coeficientes del numerador y del denominador
respectivamente, en orden decreciente de un filtro de Butterworth digital. N es el
orden del filtro (calculado previamente) y Wn es la frecuencia de corte. El valor de
Wn debe estar normalizado con la frecuencia de Nyquist. Para diseñar un filtro
pasobajas Wn es un escalar entre (0,1). La pasa banda es (0,Wn) y el rechaza
banda es (Wn,1).
Para diseñar un filtro de pasa-alto, el comando a escribir es:
[B,A] = butter(N,Wn,’high’)
en donde Wn es un escalar.
Ejemplo: Diseñar un filtro butter de segundo orden con frecuencia de corte de
300Hz.
Para este ejercicio implementamos en MatLab con las especificaciones
anteriormente mostradas:
[b,a]=butter (2,300/500,'high')
Para conocer los valores de los coeficientes a y b, simplemente se colocan las
variables en la barra de trabajo y se oprime enter. El software inmediatamente le
mostrará los valores correspondientes a las variables.
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b = 0.2066 -0.4131 0.2066
a = 1.0000 0.3695 0.1958
Como se puede observar el filtro generó en a y b los coeficientes del proceso de
filtrado. Ahora es necesario representar este resultado en los componentes en
magnitud y fase, como se describen a continuación.
freqz (b,a,128,1000)
Figura 5.5 Respuesta filtro Butter pasaalta segundo orden
Como se puede observar que al llegar a 300Hz se encuentra el primer polo y se
empieza a atenuar las frecuencias arriba de éste punto. De la misma forma en la
gráfica de fase se puede ver que tiene una respuesta lineal.
Realizando el mismo sistema cambiándolo a orden 10 tenemos
[b,a]=butter (10,300/500,'high')
b = Columns 1 through 7
0.0005 -0.0050 0.0225 -0.0599 0.1049 -0.1259 0.1049
Columns 8 through 11
-0.0599 0.0225 -0.0050 0.0005
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a = Columns 1 through 7
1.0000 1.9924 3.0195 2.8185 2.0387 1.0545 0.4144
Columns 8 through 11
0
Figura 5.6 Respuesta filtro Butter pasaalta orden 10
Al compararlo con el ejercicio anterior se puede evidenciar que el polo del sistema
se precisa a los 300 Hz a medida que el orden del filtro aumenta.
Para analizar los filtros pasabanda y rechaza banda se analizara en primera
instancia el filtro pasabanda. Se debe recordar que los filtros pasabanda tienen la
característica de dejar pasar las frecuencias en la banda estipulada y rechazar las
frecuencias que no se encuentren dentro de las especificadas. De igual forma, los
filtros rechaza banda rechazan las frecuencias en la banda estipulada y permitirán
pasar las otras frecuencias. A manera de ejemplo se pide diseñar por medio de
software MatLab un filtro pasabanda con frecuencias entre los 100 y 200Hz, de
orden cuatro.
La nomenclatura del software le permite diseñar el butter de la siguiente forma:
[B, A] = butter(N, [W1 W2])
Es decir, Wn es en este caso un vector que especifica las frecuencias de la banda
pasante. También la respuesta del filtro variará de acuerdo a la aplicación en
donde se requiera y el orden del filtro estipulado.
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» n=4;
» Wn= [100 200]/500;
» [b,a]=butter(n,Wn,'bandpass');
» freqz (b,a,128,1000)
Figura 5.7 Respuesta filtro Butter pasabanda orden 4
Al observar la respuesta en magnitud y fase se evidencia que la respuesta plana
del filtro se encuentra entre los 100 y 200Hz.
Realicemos el mismo ejemplo para un filtro rechazabanda
» n=4;
» Wn=[100 200]/500;
» [b,a]=butter(n,Wn,'stop');
» freqz (b,a,128,1000);
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Figura 5.8 Respuesta filtro Butter rechazabanda orden 4
La respuesta plana del sistema nos indica la frecuencia que el filtro deja pasar.
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Lección 24: FILTRO CHEBYSHEV
Como pudo observarse para frecuencias de cercanas a las de corte la respuesta
del filtro Butterworth no es aceptable, especialmente si el filtro es de orden bajo.
Los filtros Chebyshev poseen mejor respuesta para este tipo de frecuencias pero
presentan un rizado (RIPPLES) en la banda pasante, es decir, en la respuesta
plana del filtro.
En MatLab se encuentran el filtro Chebyshev de tipo I y II. El Chebyshev de tipo I
presenta el rizado en la banda pasante y el Chebyshev de tipo II, presenta el
rizado en la banda de rechazo. Ambos tipos se pueden implementar tanto en filtros
Chebyshev análogos como digitales. Una de las características fundamentales del
filtro tipo I es que la frecuencia de corte Wn (la cual es la frecuencia a la cual la
respuesta de magnitud del filtro es igual a –Rp decibelios) oscila entre 0 y 1,
donde 1 corresponde a la mitad de la frecuencia de muestreo (frecuencia de
Nyquist).
Si Wn es un vector de dos elementos el filtro se vuelve un filtro pasa banda de 2*n.
Ejemplo: Para los datos muestreados a 1000Hz, diseñar un filtro Chevyshev tipo I
paso baja de noveno orden con 0.5 dB de rizado en la banda pasante y frecuencia
de corte de 300 Hz.
% Programa que permite analizar el comportamiento del filtro Cheby
[b,a] = cheby1(9,0.5,300/500);
freqz(b,a,512,1000);
Siguiendo la estructura dada por MatLab se obtiene la siguiente respuesta del filtro
Cheby de tipo I.
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Figura 5.9 Respuesta filtro Cheby tipo I
Analizando la respuesta del filtro se puede observar el comportamiento del filtro en
la parte plana de la banda pasante y la atenuación que sufre a partir de la
frecuencia de corte de 300 Hz.
Ahora se diseñará un filtro Chebyshev tipo II pasabaja de noveno orden de
atenuación de la banda de rechazo de 20dB por debajo de la banda pasante y
frecuencia de corte de 300Hz, cuyos datos están muestreados a una frecuencia de
1000Hz.
% Programa que permite analizar el comportamiento del filtro cheby2
[b,a] = cheby2(9,20,300/500);
freqz(b,a,512,1000);
Se puede observar los valores generados en b y a
b = Columns 1 through 7
0.2957 1.6448 4.7316 8.9479 12.1138 12.1138 8.9479
Columns 8 through 10
4.7316 1.6448 0.2957
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a = Columns 1 through 7
1.0
3.7380 8.0423 11.6797 12.3844 9.7817 5.7220
Columns 8 through 10
2.3861
0.6459 0.087x4
Figura 5.10 Respuesta filtro Cheby tipo II orden 9
Como se había mencionado anteriormente el filtro presente un rizado en la banda
de rechazo de Rs decibelios por debajo del valor pico de la banda pasante.
Ahora se realizará un diseño de un Cheby tipo II de banda pasante de quinto
orden con banda pasante de 100 a 200 Hz y además se deberá dibujar la
respuesta al impulso del filtro.
% Programa que permite analizar el comportamiento del filtro cheby2
n=5;
r=20;
Wn=[100 200]/500
[b,a]= cheby2(n,r,Wn);
freqz(b,a,512,1000);
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Se sigue observando el rizado del filtro en las bandas de rechazo y se muestra los
picos máximos y mínimos arrojados por él, los cuales están comprendidos en la
banda pasante de 100 a 200 Hz.
Para dibujar la respuesta al impulso del filtro se realiza a través del siguiente
comando.
[y,t] = impz(b,a,101);
stem(t,y);
Figura 5.11 Respuesta impulso filtro Cheby tipo II orden 5
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Lección 25: FILTROS ELÍPTICOS
Los filtros elípticos tienen la propiedad de ofrecer características ‘rolloff’ más
abruptas que los filtros Butterworth y Chebyshev, pero son equirrizados tanto en la
banda pasante como en la banda de rechazo. Los filtros elípticos cumplen
especificaciones de funcionamiento con un orden más bajo que cualquier otro
filtro.
Para datos muestreados a 1000 Hz, diseñar un filtro elíptico pasa bajos de sexto
orden con una frecuencia de corte de 300 Hz, 3 dB de rizado en la banda pasante
y 50 dB de rizado en la banda de rechazo.
% Programa que permite analizar el comportamiento del filtro elíptico
[b,a]= ellip(6,3,50,300/500);
freqz(b,a,512,1000);
n=12;
Rp=0.5;
Rs=20;
Wn=[100 200]/500
[b,a]= ellip(n,Rp,Rs,Wn);
[y,t]= impz(b,a,101);
stem(t,y);
Figura 5.12 Respuesta filtro elíptico pasabajo orden 6
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Figura 5.13 Respuesta impulso filtro elíptico pasabajo orden 6
Realicemos el mismo ejercicio para un filtro elíptico pasa altos de orden 12 con
frecuencia de corte de 200 Hz.
% Programa que permite analizar el comportamiento del filtro elíptico
n=12;
Rp=0.5;
Rs=20;
Wn=[200]/500
[b,a]= ellip(n,Rp,Rs,Wn,'high');
freqz(b,a,512,1000);
figure
[y,t]= impz(b,a,101);
stem(t,y);
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Figura 5.14 Respuesta filtro elíptico pasaalto orden 12
Figura 5.15 Respuesta impulso filtro elíptico pasaalto orden 12
La gráfica muestra una respuesta más plana en la banda pasante debido al
aumento del orden del filtro.
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Requerimientos y especificaciones de filtrado.
El objetivo de diseño de un filtro es producir una alteración dependiente de la
frecuencia sobre una secuencia de datos. Otras especificaciones más precisas
marcan el rizado de la banda de paso (Rp), el rechazo a la banda atenuada (Rs) y
la anchura de la banda de transición (Ws - Wp).
Una de las ventajas de los filtros IIR es que al tener ceros y polos es necesario un
menor número de coeficientes para realizar un determinado filtrado. Dentro de los
inconvenientes encontramos que la presencia de polos puede producir
inestabilidades, ellos no garantizan que la fase de su función de transferencia sea
lineal y además, la implementación hardware es más compleja que en el caso de
filtros FIR.
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CAPITULO 6: FILTROS FIR
Lección 26: FILTROS DE RESPUESTA INFINITA
FIR es un acrónimo en inglés para Finite Impulse Response o Respuesta finita al
impulso. Se trata de un tipo de filtros digitales en el que, como su nombre indica, si
la entrada es una señal impulso, la salida tendrá un número finito de términos no
nulos.
Para obtener la salida sólo se basan en entradas actuales y anteriores. Su
expresión en el dominio n es:
En la expresión anterior N es el orden del filtro, que también coincide con el
número de términos no nulos y con el número de coeficientes del filtro. Los
coeficientes son bk.
La salida también puede expresarse como la convolución de la señal de entrada x
(n) con la respuesta impulsional h (n):
Aplicando la transformada Z a la expresión anterior:
Estructura
La estructura básica de un FIR es:
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Figura 6.1 Estructura de un filtro FIR
http://es.wikipedia.org/wiki/FIR
En la figura 6.1 los términos h(n) son los coeficientes y los T son retardos.
Pueden hacerse multitud de variaciones de esta estructura. Hacerlo como varios
filtros en serie, en cascada, etc. Estos filtros tienen todos los polos en el origen,
por lo que son estables. Los ceros se presentan en pares de recíprocos si el filtro
se diseña para tener fase lineal
Los filtros FIR tienen la gran ventaja de que pueden diseñarse para ser de fase
lineal, lo cual hace que presenten ciertas propiedades en la simetría de los
coeficientes. Este tipo de filtros tiene especial interés en aplicaciones de audio.
Además son siempre estables.
Diseño de filtros FIR
Hay tres métodos básicos para diseñar este tipo de filtros:
• Método de las ventanas. Las más habituales son:
 Ventana rectangular
 Ventana de Barlett
 Ventana de Hanning
 Ventana de Hamming
 Ventana de Blackman
 Ventana de Kaiser
• Muestreo en frecuencia.
• Rizado constante (Aproximación de Cheby y algoritmo de intercambio de
Remez).
• Mínimos Cuadrados
Los filtros FIR tienen la desventaja de necesitar un orden mayor respecto a los
filtros IIR para cumplir las mismas características. Esto se traduce en un mayor
gasto computacional.
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Lección 27: FUNCIONES PARA REALIZAR FIR
De la forma más interesantes de entender las aplicaciones de las técnicas de
ventaneo es realizar las prácticas a través del software MatLab.
La Función FIR1
>> B = fir1(N,Wn,type,window);
Diseña un filtro FIR pasobajo de orden N (longitud N+1) y frecuencia de corte Wn
(normalizada con respecto a la frecuencia de Nyquist, 0 < Wn < 1). Se pueden
especificar otro tipo de filtros de la misma forma que con los filtros IIR mediante el
parámetro type. Por ejemplo, diseñar un filtro rechazabanda:
>> B = fir1(N,[W1 W2],'stop');
Por defecto la función FIR usa la ventana de Hamming. Otro tipo de ventanas
pueden también especificarse:
>> B = fir1(N,Wn,bartlett(N+1));
>> B = fir1(N,Wn,'high',chebwin(N+1,R));
La Función FIR2
>> B = fir2(N,F,M,window);
Diseña un filtro FIR utilizando el método del muestreo frecuencial. Los parámetros
de entrada es el orden del filtro N, la (longitud N+1) y dos vectores F y M que
especifican la frecuencia y la magnitud, de forma que “plot (F,M)” es una gráfica de
la respuesta deseada del filtro.
Se pueden indicar saltos bruscos en la respuesta frecuencial duplicando el valor
de la frecuencia de corte. F debe estar entre 0 y 1, en orden creciente, siendo el
primer elemento igual a 0 y el último 1. El parámetro window indica el tipo de
ventana a utilizar. Por defecto, usa la ventana de Hamming.
>> B = fir2(N,F,M,’bartlett(N+1)’);
Se pueden especificar más parámetros en esta función,
>> B = fir2(N,F,M,npt,lap,window);
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La función fir2 interpola la respuesta frecuencial deseada (F,M) con n puntos (por
defecto, npt=512). Si dos valores sucesivos de F son iguales, se crea una región
de lap puntos alrededor de este punto (por defecto, lap=25).
Función FIRLS
>> B = firls(N,F,M);
Diseño de filtros FIR usando la minimización del error por mínimos cuadrados. Los
argumentos de entrada son el orden del filtro N, y dos vectores F y M, cuyo
formato difiere de los análogos en la función fir2. El filtro obtenido es la mejor
aproximación a (F,M) por mínimos cuadrados
Dentro de las Ventajas de los filtros FIR están:
• Pueden diseñarse con fase perfectamente lineal.
• Son incondicionalmente estables.
• Implementación hardware es sencilla
Dentro de los Inconvenientes de los filtros FIR se encuentra que es necesario un
gran número de coeficientes para conseguir las prestaciones que daría un filtro IIR
de orden mucho menor.
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Lección 28: ANÁLISIS DE FIR CON HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES
A continuación se desarrollarán una serie de filtros prácticos que permitirán
aprender los procesos de diseño y los conceptos fundamentales que lo encierran.
En esta primera parte se utilizará la función fir1, la cual ya se explicó
anteriormente, se podrán observar la importancia del orden de los filtros y al
mismo tiempo el tipo del filtro.
% Ejercicios de la función FIR1
Diseñar un filtro de orden 4, basabajos. Determinar el espectro en magnitud y fase
del filtro.
N=4;
Wn=100/1000;
B = fir1(N,Wn,'stop');
freqz(B);title('filtro FIR1, de orden 4. Pasa Bajo');
Figura 6.2 Respuesta filtro FIR1 pasabajo orden 4
Como se puede apreciar este tipo de filtro presenta una caída muy suave y no
presenta rizado en su decaimiento. También se debe analizar que es necesario
normalizar la frecuencia angular para cumplir que 0< Wn <1.
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Ahora, se observará el mismo filtro pero realizando un aumento en el orden del
filtro.
N=6;
Wn=100/1000;
B = fir1(N,Wn,'stop');
freqz(B);title('filtro FIR1, de orden 6. Pasa Bajo');
Figura 6.3 Respuesta filtro FIR1 pasabajo orden 6
N=10;
Wn=100/1000;
B = fir1(N,Wn,'stop');
freqz(B);title('filtro FIR1, de orden 10. Pasa Bajo');
Figura 6.4 Respuesta filtro FIR1 pasabajo orden 10
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Ahora realizaremos el diseño para un filtro pasaalto:
N=4;
Wn=100/1000;
B = fir1(N,Wn,'high');
freqz(B);title('filtro FIR1, de orden 4. Pasa alto');
Figura 6.5 Respuesta filtro FIR1 pasaalto orden 4
N=6;
Wn=100/1000;
B = fir1(N,Wn,'high');
freqz(B);title('filtro FIR1, de orden 6. Pasa alto');
Figura 6.6 Respuesta filtro FIR1 pasaalto orden 6
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N=10;
Wn=100/1000;
B = fir1(N,Wn,'high');
freqz(B);title('filtro FIR1, de orden 10. Pasa alto');
Figura 6.7 Respuesta filtro FIR1 pasaalto orden 10
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Lección 29: ANÁLISIS DE RECHAZABANDA FIR
En esta lección se analizará el diseño de filtros rechazabanda a medida que se
incrementa el orden y aplicando diferentes ventanas.
N=6;
Wn=[60 80]/1000;
B = fir1(N,Wn,'stop');title('filtro FIR1, de orden 6. Rechazabanda. con Ventana
Hamming');
freqz(B)
Figura 6.8 Respuesta filtro FIR1 rechazabanda orden 6
h=fir1(30,.2,hamming(31));
title('filtro FIR1, de orden 30. Rechazabanda. con Ventana Hamming');
freqz(h)
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Figura 6.9 Respuesta filtro FIR1 rechazabanda orden 30, Hamming
h=fir1(30,.2,boxcar(31));
freqz(h);
title('filtro FIR1, de orden 30. Rechazabanda. con Ventana Boxcar');
Figura 6.10 Respuesta filtro FIR1 rechazabanda orden 30, Boxcar
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figure
h=fir1(30,.2,bartlett(31));
freqz(h);title('filtro FIR1, de orden 30. Rechazabanda. con Ventana Bartlett');
Figura 6.11 Respuesta filtro FIR1 rechazabanda orden 30, Barlett
h=fir1(30,.2,chebwin(31,02));
freqz(h);
title('filtro FIR1, de orden 30. Rechazabanda con Ventana Chebwin');
Figura 6.12 Respuesta filtro FIR1 rechazabanda orden 30, Chebwin
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% Generar en una sola figura lo una señal
N=46;
Fs=11020;
Fy=Fs/2;
Rfir1= fir1(N,[30 3500]/Fy);
Rfir2= fir2(N,[0 10 30 3500 3600 Fy]/Fy,[0 0 1 1 0 0]);
Rfirls= firls(N,[0 10 30 3500 3600 Fy]/Fy,[0 0 1 1 0 0]);
Rremez= remez(N,[0 10 30 3500 3600 Fy]/Fy,[0 0 1 1 0 0]);
F=0:10:5000;
Hfir1=abs(freqz(Rfir1,1,F,Fs));
Hfir2=abs(freqz(Rfir2,1,F,Fs));
Hfirls=abs(freqz(Rfirls,1,F,Fs));
Hremez=abs(freqz(Rremez,1,F,Fs));
semilogy(F,Hfir1,'r',F,Hfir2,'b',F,Hfirls,'g',F,Hremez,'m'),
Se tiene la siguiente nomenclatura generada por MatLab
r: rojo; b: azul; g: verde; m: magenta
Figura 6.13 Comparación respuestas filtros FIR
En este último ejemplo, se puede evidenciar las respuestas de los filtros por
ejemplo el filtro firls tiene respuesta muy plana en su banda de paso, a diferencia
del filtro remez que presenta un rizado muy notorio en la banda de paso.
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Lección 30: COMANDOS PARA GENERAR FILTROS MEDIANTE VENTANAS
Los siguientes comandos para que el estudiante los ejecute y concluya:
Ventana RECTANGULAR
M =15;
N = [-M:M];
hn = -wc/pi*sinc(N*wc/pi);
hn(M+1) = 1-wc/pi;
Ventana HANN
M =32;
N = [-M:M];
hn = -wc/pi*sinc(N*wc/pi);
hn(M+1) = 1-wc/pi;
hn = hn.*hanning(2*M+1)0; % ventaneo
Ventana HAMMING
M =32;
N = [-M:M];
hn = -wc/pi*sinc(N*wc/pi);
hn(M+1) = 1-wc/pi;
hn = hn.*hamming(2*M+1)0; % ventaneo
Ventana BLACKMANN
M =48;
N = [-M:M];
hn = -wc/pi*sinc(N*wc/pi);
hn(M+1) = 1-wc/pi;
hn = hn.*blackman(2*M+1)0; % ventaneo
Ventana KAISER
[M,wn,Beta] = kaiserord([ws/pi,wp/pi],[0,1],[0.01 0.01])
N = [-M:M];
hn = -wc/pi*sinc(N*wc/pi);
hn(M+1) = 1-wc/pi;
hn = hn.*kaiser(2*M+1,Beta))0;
Filtro con transición suave;
M = ceil((4*pi/(wp-ws)-1)/2);
M = M+4; % aumentar M para cumplir las especs.
N = [-M:M]; P = 2;0.624*(wp-ws)*2*M
CONCEPTOEN TORNO AL TRATAMIENTO DE
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IMÁGENES
ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD 2
1.
Sustente las implicaciones que tiene la causalidad en el diseño de filtros
digitales.
2.
Menciones las principales características de los filtros digitales prácticos.
3.
¿Cómo se clasifican los filtros digitales?
4.
Menciones los principales aspectos a tener en cuenta en el diseño de filtros
IIR.
5.
Proponga un programa de diseño de filtro IIR mediante medios
computacionales.
6.
Proponga y socialice un diseño de filtro elíptico.
7.
Cuáles son las principales características de un filtro FIR?
8.
Analice un diseño de filtro pasa-banda FIR.
9.
Proponga dos ejemplos de diseño de filtro pasa-alto FIR.
10.
Cuál de los métodos por ventana es más eficiente y por qué?
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FUENTES DOCUMENTALES DE LA UNIDAD 2
DOCUMENTOS IMPRESOS
D. K. LINDNER. Introduction to Signals and Systems, McGraw Hill, 1999.
F. J. TAYLOR. Principles of Signals and Systems. McGraw Hill, 1a Ed. 1994
MITRA, S. Procesamiento de Señales Digitales. McGraw-Hill, 2007.
M. S. RODEN. Analog and Digital Communication Systems. Prentice Hall, 4a
Ed. 1996
OPPENHEIM, A. y SCHAFER, R. Tratamiento de señales en tiempo discreto.
Madrid: Prentice Hall – Pearson Education, 2000.
PROAKIS, J. G. y MANOLAKIS, D.G.Tratamiento Digital de Señales.
Principios, algoritmos y aplicaciones. España: Prentice Hall., 2000.
SOLIMAN, S. S. y SRINATHMS, D. Señales y Sistemas Continuos y Discretos.
España: Prentice Hall, 1999.
DIRECCIONES DE SITIOS WEB
Procesamiento Digital de Señales con Matlab
http://es.scribd.com/doc/46935329/PROCESAMIENTO-DIGITAL-DESENALES-CON-MATLAB
http://www.iit.upcomillas.es/palacios/dip/
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UNIDAD 3
Nombre de la
Unidad
APLICACIONES DE FILTROS DIGITALES
La Unidad 3 trata inicialmente sobre las especificaciones de
diseño de filtros digitales, luego se enfoca en la aplicación del
procesamiento digital de señales mediante el procesamiento
digital de imágenes y el procesamiento digital de audio,
Introducción considerando el uso de herramientas computacionales.
Los campos del procesado digital de señales aplicado al
procesado digital de imágenes y audio han tenido una
Justificación tremenda vitalidad en las dos décadas pasadas y se seguirá
manteniendo esta tendencia. Avances en tecnología hardware
han provisto la capacidad de procesado de señales en chips.
Esos avances han permitido procesados de señales
sofisticadas y algoritmos de procesado de imágenes y audio
que pueden ser implementados en tiempo real a un costo
relativamente bajo. Las investigaciones continúan y abarcan
otros campos como las telecomunicaciones, electrónicos de
consumo, medicina, defensa, robóticos y geofísicos.
Que el estudiante adquiera conocimientos básicos sobre el
Intencionalidades procesamiento digital de imágenes y audio.
Que obtenga destrezas y habilidades para entender,
Formativas
desarrollar y mejorar algoritmos básicos para el análisis y
procesamiento digital de imágenes y audio.
Denominación de • Capítulo 7: Diseño y aplicaciones de filtros
Capítulos
• Capítulo 8: Procesamiento de imágenes
• Capítulo 9: Procesamiento digital de audio
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INTRODUCCIÓN
Los campos del procesado digital de señales, específicamente de imágenes y
audio han tenido una tremenda vitalidad en las dos décadas pasadas y se seguirá
manteniendo esta tendencia. Avances en tecnología hardware han provisto la
capacidad de procesado de señales en chips. Esos avances han permitido
procesados de señales sofisticadas y algoritmos de procesado de imágenes que
pueden ser implementados en tiempo real a un costo relativamente bajo.
En la actualidad las disciplinas relacionadas con el Procesamiento de Imágenes y
audio, tales como la visión por computador, el análisis de imágenes y la inspección
visual automatizada, han sido ampliamente utilizadas en diversas áreas, entre las
que se pueden enumerar: Ingeniería en general, Robótica, Astronomía, Detección
Remota, Meteorología, Medicina, Biología, etc.
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CAPITULO 7: DISEÑO Y APLICACIONES DE FILTROS
Lección 31: ESPECIFICACIONES DE DISEÑO
Los requerimientos incluyen la especificación de:
1. las características de las señales: tipo de fuente de señal, interfaz de entradasalida, velocidad de procesamiento, ancho de palabra, la mayor frecuencia de
interés;
2. las características del filtro: la respuesta en módulo y/o fase deseadas y sus
tolerancias, la velocidad de operación, el modo de filtrado (en línea o fuera de
línea);
3. la forma de implementación: como una rutina de alto nivel en una computadora,
o un programa específico para un DSP;
4. otras restricciones al diseño, como por ejemplo el costo del filtro.
Es posible que inicialmente el diseñador no cuente con toda la información
necesaria para especificar completamente el filtro, pero cuanto más detalles se
conozcan más sencillo será el proceso de diseño.
Aunque algunos de los requerimientos discutidos arriba son dependientes de la
aplicación, es necesario resaltar los aspectos referidos a las características del
filtro. Frecuentemente, los requisitos del filtro digital se especifican en el dominio
frecuencial, y para el caso de los filtros selectivos en frecuencia, estas
especificaciones toman la forma de bandas de tolerancia, como muestra la Figura
7.1 para el caso de un filtro pasabajos. Las zonas grisadas indican los límites de
tolerancia. En la banda de paso, el módulo de la respuesta admite una variación
máxima de
, y en la banda de rechazo se pretende que la ganancia no exceda
. Es frecuente especificar estas cotas en dB.
El ancho de la zona de transición determina qué tan abrupto es el filtro. En esta
región se espera que el módulo de la respuesta en frecuencia decrezca
monótonamente desde la banda de paso a la banda de rechazo. Los principales
parámetros de interés son:
desviación en la banda de paso:
desviación en la banda de rechazo:
frecuencia de corte de la banda de paso:
frecuencia de corte de la banda de rechazo:
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Las frecuencias esquina se suelen normalizar a la frecuencia de muestreo
(wi = 2πfi / fs), pero también son frecuentes las especificaciones en unidades
típicas como Hz, kHz, y a menudo son mucho más significativas. Las desviaciones
con respecto a la respuesta deseada tanto en la banda de paso como en la banda
de rechazo pueden expresarse en valores absolutos o en decibeles (dB),
indicando la ondulación máxima (“ripple”) tolerada en la banda de paso, y la
atenuación mínima exigida en la banda de rechazo:
As (atenuación en la banda de rechazo):
Ap (ondulación en la banda de paso):
En general, la respuesta de fase un filtro no se especifica tan detalladamente
como el módulo de la respuesta en frecuencia. En muchos casos es suficiente
indicar que importa la distorsión de fase, o que se pretende una respuesta de fase
lineal. Sólo es necesario detallar la respuesta en fase deseada en aquellas
aplicaciones donde los filtros se utilizan para compensar o ecualizar la respuesta
en fase de un sistema.
Ejemplo: Especificaciones de diseño de un filtro pasabanda
Se desea diseñar un filtro FIR pasabanda cuya respuesta en frecuencia satisfaga
las siguientes especificaciones:
banda de paso: 0,18 × 2π a 0,33 × 2π,
ancho de la zona de transición: 0,04 × 2π,
ganancia en la banda de paso: 1 ± 0,05 (Ap = 0,42 dB),
ganancia en la banda de rechazo: < 0,001 (As = 60 dB).
En la Figura 7.1 se muestra el esquema de bandas de tolerancias del filtro. La
atenuación en la banda de rechazo debe ser mayor que
y la ondulación máxima tolerada en la banda de paso es de
Figura 7.1 Bandas de tolerancia del filtro
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Lección 32: ELECCIÓN DE LA APROXIMACIÓN
En esta etapa se elige alguno de los métodos de aproximación (Butterworth,
Chebyshev, elíptico, etc. si el filtro es IIR, o equirriple, óptimo, con ventanas, etc. si
es FIR) y se calculan los valores de los coeficientes h[n] del filtro FIR, o ak y bk del
filtro IIR, de modo de satisfacer las especificaciones. El método empleado para
determinar los coeficientes es distinto según el filtro sea IIR o FIR.
Tradicionalmente, el cálculo de los coeficientes de los filtros IIR se basa en la
transformación de las funciones de sistema de filtros analógicos en filtros
discretos. Los dos métodos clásicos son el de invariación al impulso y el de
transformación bilineal. Con la técnica de la invariación al impulso la respuesta
impulsiva del filtro digital está formada por las muestras de la respuesta impulsiva
del filtro analógico. Sin embargo, el módulo de la respuesta en frecuencia del filtro
discreto es diferente, en general, de la del filtro continuo. Debido a fenómenos de
aliasing, el método no es apropiado para el diseño de filtros pasaaltos o filtros
eliminabanda, o cualquier tipo de filtro cuya respuesta en frecuencia no sea
aproximadamente nula por encima de cierta frecuencia fH.
Por otra parte, el método de la transformada bilineal produce filtros muy eficientes,
y es apropiado para el diseño de cualquier tipo de filtro con ganancia constante en
la banda de paso. Permite el diseño de filtros con características frecuenciales
clásicas como Butterworth, Chebyshev, elípticos, etc. Los filtros digitales
calculados en base a la transformada bilineal preservan la característica de
respuesta en frecuencia, pero no las propiedades temporales. En la actualidad se
cuenta con programas de cálculo que permiten obtener los coeficientes del filtro
digital directamente a partir de las especificaciones usando el método de la
transformada bilineal o la técnica analítica desarrollada por Rader y Gold (1967)
para filtros recursivos equirriple.
Los filtros con respuestas sencillas, como los resonadores, “notch”, filtros peine,
osciladores digitales, etc., se pueden diseñar ubicando directamente los polos y
los ceros en el plano complejo; sin embargo, si las especificaciones son exigentes,
es conveniente utilizar las técnicas de diseño clásicas.
Los coeficientes de los filtros FIR pueden calcularse con varios métodos. Entre
ellos merecen destacarse el diseño por ventanas, la técnica de suavizado de las
bandas de transición, el método de muestreo en frecuencia, y los métodos óptimos
(el algoritmo de Parks y McClellan o el algoritmo de Remez). El método de diseño
utilizando ventanas es sencillo y flexible pero no permite un control muy preciso
sobre los parámetros del filtro.
La técnica de las bandas de transición suaves permite atenuar el efecto Gibbs, a
costa de una pequeña complejidad adicional. El método de muestreo en
frecuencia permite una implementación particularmente eficiente (y recursiva) de
filtros FIR, pero puede tener problemas cuando se usa aritmética de punto fijo.
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Con la disponibilidad de programas de diseño eficientes y con buena interfaz con
el usuario, los métodos óptimos son ampliamente utilizados hoy en día, y para la
mayoría de las aplicaciones permiten obtener rápidamente el filtro FIR deseado.
Los métodos típicos para el cálculo de los coeficientes de los filtros se resumen en
la siguiente tabla:
Tabla 7.1 Comparación Filtros digitales
El método de diseño se elige de acuerdo a la aplicación en particular. Si bien
influyen varios factores, el más importante es qué tan críticas son las
especificaciones. La decisión “difícil” es optar entre FIR o IIR. En aquellos casos
en que las propiedades de los FIR (respuesta de fase estrictamente lineal,
estabilidad inherente) son imprescindibles, la mejor elección puede ser el diseño
por métodos óptimos, o usando ventanas (generalmente la de Kaiser). Si, en
cambio, son deseables las características de los IIR (menor cantidad de
coeficientes para especificaciones similares) el método de la transformada bilineal
es apropiado para la mayoría de los casos.
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Lección 33: REALIZACIÓN
Por realización se entiende convertir una función de sistema H(z) en un conjunto
de ecuaciones a diferencias que se ejecutarán como un algoritmo en un
procesador. El conjunto de ecuaciones también se conoce como la estructura del
filtro. Existen infinitas formas de escribir la ecuación a diferencias, de modo que
existen infinitos tipos de estructuras.
Matemáticamente las distintas realizaciones producen el mismo resultado sobre la
señal a filtrar; sin embargo en el momento de la implementación la sensibilidad a
la variación de los coeficientes, propagación del ruido de redondeo o de
truncación, organización y/o requerimientos de memoria en un procesador en
particular, etc., suelen decidir la elección de una estructura particular. Cada
realización se asocia a un diagrama bloque, que revela la cantidad de lugares de
memoria necesarios para el almacenamiento de los datos y los coeficientes,
número de operaciones requeridas, etc.
Es frecuente utilizar distintas estructuras para implementar filtros IIR o FIR. Para
filtros IIR, las tres estructuras típicas son las formas directa, cascada y paralelo; el
diagrama bloque de una forma directa, denominada de “tipo II” es común para un
sistema de segundo orden. En este caso, la función transferencia se implementa
con el conjunto de ecuaciones a diferencia.
Ejemplo: Influencia de la estructura con coeficientes de precisión “infinita”.
Aun cuando los coeficientes se implementen con muy alta precisión, como cuando
se usa MATLAB, la estructura directa es inadecuada para realizar filtros de alto
orden. Por ejemplo, un filtro tipo Butterworth discreto de orden N = 30 con
frecuencia de corte en wc = π / 2 se caracteriza por tener 30 ceros en z = -1. La
implementación en forma directa, utilizando los comandos
[n, d] = butter(30,0.5);
zplane(n,d);
da resultados muy diferentes, como se puede ver en la Figura 7.2 (a) . Por efecto
de los (pequeños) errores numéricos, los 30 ceros que deberían estar ubicados en
z = -1, se esparcen en un entorno, no necesariamente pequeño, de este punto. La
implementación como secciones de segundo orden, que se diseña con los
comandos tiene la distribución de polos y ceros prevista por la teoría, como se
observa en la Figura 7.2 (b).
[z,p,k] = butter(30,0.5);
[sos,g] = zp2sos(z,p,k);
hsos = dfilt.df1sos(sos,g);
zplane(hsos);
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Figura 7.2 Comparación de los patrones de polos y ceros de una implementación en
forma directa I (a) y en secciones de segundo orden, cada una de ellas en forma directa
(b)
Sintetizando, para un filtro dado la elección de la estructura depende:
 del tipo de filtro (IIR o FIR);
 de la facilidad de implementación;
 de la sensibilidad de la estructura a los efectos de la longitud finita de
palabra.
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Lección 34: EFECTOS DE LA LONGITUD DE LA PALABRA FINITA
Los pasos de diseño referidos a la aproximación y a la realización suponen que las
operaciones que especifican los algoritmos se realizan con precisión infinita, o al
menos muy alta. Sin embargo, en muchas aplicaciones donde el bajo costo es
decisivo, es necesario representar los coeficientes del filtro utilizando un número
finito de bits (típicamente 8, 16 o más), y realizar las operaciones indicadas por las
ecuaciones a diferencia utilizando aritmética de precisión finita.
El uso de un número finito de bits degrada el desempeño del filtro, y en algunos
casos puede inutilizarlo por completo. El diseñador debe tener en cuenta estos
efectos, y elegir longitudes de palabra apropiados para los coeficientes del filtro,
las variables de entrada y salida, y las operaciones aritméticas. En general, el
ancho en bits de las palabras de entrada y salida (que se leen o se escriben en los
conversores A/D y D/A, respectivamente) son mucho menores que la longitud de
palabra utilizado para los coeficientes y los cómputos (10 o 16 bits, frente a 25 o
32 bits).
Las principales causas de la disminución del desempeño en los filtros digitales
debido a la longitud finita de palabra son:

Cuantización de las señales de entrada y salida, debido a la resolución finita
de los
conversores A/D y D/A. Este efecto se suele modelar como un fenómeno aleatorio
(ruido).

Cuantización de los coeficientes, lo que conduce a variaciones de la
respuesta en frecuencia de filtros FIR e IIR, y posiblemente a inestabilidades en
los filtros IIR.

Errores aritméticos por redondeo. Los procesadores con longitud de palabra
finita tienen un acumulador con bits adicionales para mantener la precisión (por
ejemplo, el resultado de la multiplicación de dos números de B bits es un número
de 2B bits).
Cuando estos resultados se almacenan en memoria se truncan a la longitud de
palabra adoptada. El error resultante, denominado ruido de redondeo, altera la
respuesta del filtro. En los filtros IIR puede causar inestabilidad, y también dar
lugar oscilaciones de pequeña amplitud de la salida aún con entrada nula.

Desborde (overflow), que ocurre cuando el resultado de una suma excede
el ancho de palabra adoptado, resultando en errores de las muestras de salida,
que pueden causar inestabilidad, u oscilaciones de gran amplitud en los filtros IIR.
La degradación del desempeño depende de:
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 la longitud de palabra y tipo de aritmética utilizada para efectuar los
cálculos;
 el método adoptado para cuantizar las variables y los coeficientes del filtro a
la longitud de palabra elegida;
 la estructura del filtro.
Conociendo estos factores, el diseñador puede analizar los efectos de la longitud
de palabra finita en el desempeño del filtro, y efectuar las correcciones que sean
necesarias.
Ejemplo: Efectos de cuantización en un filtro IIR
Un filtro IIR elíptico de cuarto orden con frecuencia de corte en wc = 0,3π, 0,1 dB
de ondulación en la banda de paso, y 60 dB de atenuación en la banda de rechazo
está caracterizado por la función de sistema
donde
b0 = 0,01588232577583,
b1 = 0,04509870267465,
b2 = 0,06160127928264,
b3 = 0,04509870267465,
b4 = 0,01588232577583,
a0 = 0,57816706294199,
a1 = -1,00000000000000,
a2 = 0,98785160189871,
a3 = -0,49030269551500,
a4 = 0,10997293011303.
El módulo de la respuesta en frecuencia del filtro se muestra con línea de trazo
continuo en la Figura 7.3.
Figura 7.3 Respuesta en frecuencia del filtro del Ejemplo implementado con una
estructura tipo forma directa II. (-) filtro prototipo; (- -) filtro con coeficientes cuantizados.
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Si el filtro se implementa en un procesador de 8 bits, utilizando una estructura tipo
forma directa II se deben truncar los coeficientes, que resultan
b0 = 0,0156250,
b1 = 0,0468750,
b2 = 0,0625000,
b3 = 0,0468750,
b4 = 0,0156250,
a0 = 0,5781250,
a1 = -1,0000000,
a2 = 0,9843750,
a3 = -0,4921875,
a4 = 0,1093750.
El módulo de la respuesta en frecuencia del filtro con los coeficientes cuantizados,
graficada con línea de trazos en Figura 7.3, revela que se violan las
especificaciones de diseño. Sin embargo, la elección de una estructura diferente
puede solucionar el problema. En la Figura 7.4 se muestra el módulo de la
respuesta en frecuencia del mismo filtro, implementado como una cascada de dos
secciones de segundo orden, con ganancia C = 0,0274701, y cuyos coeficientes
cuantizados a 8 bits son
b01 = 0,5000000,
b11 = 0,8984375,
b21 = 0,5000000,
b02 = 0,5000000,
b12 = 0,5234375,
b22 = 0,5000000,
a01 = 0,5000000,
a11 = �0,4531250,
a21 = 0,1406250,
a02 = 0,5000000,
a12 = �0,4140625,
b22 = 0,3437500.
Figura 7.4 Respuesta en frecuencia del filtro del Ejemplo implementado con una cascada
de dos bloques de segundo orden. ( - ) filtro prototipo; (- -) filtro con coeficientes
cuantizados.
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La figura anterior revela que los requisitos de diseño se satisfacen sin necesidad
de cambiar la resolución en bits de los coeficientes.
El ejemplo anterior muestra que los efectos de la cuantización de los coeficientes
pueden atenuarse cambiando la estructura del filtro. Dependiendo de la
implementación, algunos de los errores mencionados pueden ser insignificantes.
Por ejemplo, si el filtro se calcula en un lenguaje de alto nivel que se ejecuta en
computadoras más o menos modernas, por ejemplo con MATLAB en una PC, los
errores de cuantización de coeficientes y redondeo no siempre son importantes.
En aplicaciones de tiempo real las señales de entrada y salida se cuantizan a 8,
12 o 16 bits, según el tipo de conversor A/D y D/A utilizado. Si el ancho de palabra
elegido para efectuar las operaciones y el redondeo son de esta magnitud, es casi
obligatorio analizar los efectos de la cuantización en las características del filtro.
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Lección 35: IMPLEMENTACIÓN
Una vez que se han calculado los coeficientes del filtro, elegido una estructura
adecuada, y verificado que las especificaciones se satisfacen después de
considerar la degradación causada por la cuantización de coeficientes y de las
variables a la longitud de palabra elegida, la ecuación a diferencias debe
implementarse como una rutina de software o en hardware. Cualquiera sea el
método de implementación, cada muestra de la salida y[n] del filtro debe
calcularse de acuerdo a la ecuación a diferencias que involucra multiplicaciones,
sumas y restas, y retardos. De modo que para implementar un filtro se necesitan
los siguientes bloques básicos:
 memoria (ROM o RAM) para almacenar los coeficientes del filtro;
 memoria RAM para almacenar las muestras actuales y pasadas de la
entrada x[n], x[n - 1], ..., x[n - M], y la salida y[n], y[n - 1], ..., y[n - N];
 multiplicadores en hardware o rutinas de multiplicación (bibliotecas de
software);
 sumador o unidad aritmético-lógica.
La manera en que se configuran estos bloques depende fuertemente según el
procesamiento sea en tiempo real o fuera de línea. Cuando se procesa fuera de
línea, los datos o señal de entrada están disponibles en algún medio de
almacenamiento (cinta, CD, memoria, etc.) Tal es el caso del registro de datos
experimentales para el análisis posterior. En estos casos el filtro se implementa
utilizando un lenguaje de alto nivel, y se ejecuta en una computadora de propósito
general. Por ello las implementaciones fuera de línea suelen ser programas. En
algunas aplicaciones, por ejemplo el procesamiento de imágenes, se agrega
hardware adicional dedicado para acelerar la velocidad de procesamiento.
En el procesamiento en tiempo real se requiere que el filtro genere una muestra de
la señal de salida ante cada muestra de la señal de entrada, lo que implica que el
cómputo completo de la ecuación a diferencias debe completarse en el intervalo
de tiempo entre una y otra muestra de la señal de entrada, o bien operar sobre
bloques de datos utilizando las técnicas tipo overlap-add u overlap-save. El
procesamiento en tiempo real necesita de hardware dedicado cuando la
frecuencia de muestreo es muy alta, o cuando el filtro es de alto orden. Este
hardware se nuclea alrededor de un procesador digital de señales, o DSP, que en
la actualidad es producido por varios fabricantes, como Motorola, Texas
Instruments, Analog Devices, Burr Brown, etc. Cada DSP incluye memoria RAM y
ROM o FLASH, multiplicadores rápidos, unidades aritméticas lógicas flexibles,
métodos de direccionamiento poderosos, etc. y algunas unidades incluyen los
conversores A/D y D/A necesarios para procesar señales del mundo exterior.
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CAPITULO 8: PROCESAMIENTO DE IMÁGENES
Lección 36: MODELO DE IMAGEN SIMPLE
El término imagen se refiere a una función bidimensional de la luz y la intensidad,
la que se indica por f(x,y), donde el valor o amplitud de f en las coordenadas
espaciales (x,y) da la intensidad (iluminación) de la imagen en este punto. Puesto
que la luz es una forma de energía, f(x,y) debe ser estrictamente mayor que cero y
finita, es decir:
Las imágenes que se perciben en las actividades visuales cotidianas provienen
normalmente de la luz reflejada por los objetos. La naturaleza básica de f(x,y)
puede estar caracterizada por dos componentes según la cantidad de luz
procedente de la fuente sobre la escena. De forma apropiada, reciben el nombre
de componentes de iluminación y reflectancia, y se indican por i(x,y) y r(x,y)
respectivamente. Las funciones i(x,y) y r(x,y) se combinan, como producto, para
dar f(x,y )
Donde
y
La ecuación r(x, y) indica que la reflectancia está acotada entre 0 (absorción total)
y 1 (reflexión total). La naturaleza de i(x,y) está determinada por la fuente de luz y
r(x,y) está determinada por las características de los objetos de la escena.
En el procesamiento de imágenes, la información se extrae a partir de fotos, las
cuales pueden ser electrónicas tomadas de una escena, textos impresos e
ilustraciones, está compuesta de un número finito de elementos que tienen una
particular localización y valor y se denominan elementos pictóricos o más
comúnmente, píxeles. A los píxeles se les asigna un valor tonal como matices de
gris o un código en binario (unos para blancos y ceros para negros) como se
observa en la figura 8.1.
Además se tiene en cuenta el valor del píxel según su representación. Los dígitos
binarios “bits” para cada pixel se almacenan en una secuencia y con frecuencia se
los reduce a una representación matemática (comprimida). Luego la computadora
interpreta y lee los bits para producir una versión analógica para su visualización.
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Figura 8.1 Valores del pixel
Disponible en: http://www.library.cornell.edu/preservation/tutorial-spanish/toc.html.
Los píxeles se pueden ver de una forma individual aumentando la imagen por
medio de zoom o ampliando su resolución. La resolución es la capacidad de
distinguir los detalles. La profundidad de bits es determinada por la cantidad de
bits utilizados para definir cada píxel. Cuanto mayor sea la profundidad de bits,
mayor será la cantidad de tonos que pueden ser representados. Una imagen a
escala de grises está compuesta por píxeles representados por múltiples bits de
información, que típicamente varían entre dos a ocho bits pero pueden ser más.
En el procesamiento de la imagen es importante reducir el tamaño del archivo de
imagen para su almacenamiento, tratamiento y transmisión. Todas las técnicas de
compresión abrevian la cadena de código binario en una imagen sin comprimir, a
una forma de abreviatura matemática, basada en complejos algoritmos.
Los métodos para mejorar una imagen se pueden dividir en dos campos
diferentes: métodos en el dominio de la frecuencia y métodos en el dominio
espacial. Los primeros se basan en modificar la transformada de Fourier de la
imagen y los segundos se basan en manipulaciones directas sobre los píxeles de
la imagen.
Etapas fundamentales en procesamiento de imágenes
El tratamiento digital de imágenes comprende un amplio rango de hardware y
software y recursos técnicos necesarios para llevar a cabo las etapas
fundamentales del procesamiento de una imagen. (Véase la Figura 8.2 ).
La primera etapa del proceso es la adquisición de imágenes, es decir, la
adquisición de una imagen digital. Para ello se necesita un sensor de imágenes y
la posibilidad de digitalizar la señal producida por el sensor. Si la salida de la
cámara no está todavía en forma digital, se emplea un convertidor análogo-digital
para digitalizarla.
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Figura 8.2 Etapas del procesamiento de imágenes
Una vez que se ha obtenido la imagen digital, la siguiente etapa consiste en el preprocesamiento de dicha imagen. La función básica del pre-procesamiento es la de
mejorar la imagen de forma que se aumenten las posibilidades de éxito en los
procesos posteriores.
Segmentación: Es una operación cuyo objetivo es agrupar áreas de la imagen
que tengan características similares dentro de entidades distintas para poder
llegar a distinguir los objetos del fondo. Tiene una gran importancia para
operaciones posteriores y requiere una serie de pasos de manipulación que
generarán una nueva imagen en la cual solo se observa el área. La segmentación
de una imagen es un proceso de extracción de objetos insertados en la escena
capturada. La agrupación de los píxeles se hace cuando tienen criterios similares,
como la luminancia, el color, los bordes, las texturas, los movimientos. Una vez
que la imagen ha sido dividida, estará definida por un conjunto de objetos. La
información estará preparada para el reconocimiento e interpretación de la
imagen. Para la segmentación de las imágenes se usan tres conceptos básicos:
Similitud: Los píxeles agrupados del objeto deben ser similares respecto algún
criterio (nivel de gris, color, borde, textura, etc.).
Conectividad: Los objetos corresponden a áreas de píxeles con conectividad. Las
particiones corresponden con regiones continuas de píxeles.
Discontinuidad: Los objetos tienen formas geométricas que definen unos
contornos. Estos bordes delimitan unos objetos de otros.
Proceso de Binarización: Consiste en el paso de una imagen cromática o
monocromática (escala de grises), a una imagen binaria mediante la conversión
de pixeles con un nivel de gris comprendido entre 0 y 255 para imágenes
monocromáticas en pixeles de valores 0 ó 1. Para ello debe fijarse un criterio de
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conversión, la llamada regla de binarización, basada en un intervalo crítico de
tonos de gris. Cuando se mueve dentro del intervalo, los valores serán pasados a
1, fuera de éste, serán pasados a 0.
Extracción de características: Consiste en distinguir un objeto del otro, para ello
se realiza mediante las características que identifican al objeto. Algunas de las
características que se pueden utilizar son el área, el diámetro y el perímetro etc.
Filtros: Las imágenes, una vez salen del dispositivo de captación, no suelen
permitir una segmentación fácil. Ello puede suceder por diferentes motivos. Por
ejemplo, la existencia de ruido de fondo hace confundir manchas con objetos o por
la existencia de márgenes difusos en los objetos y en ocasiones por existir un
contacto entre objetos. Por estos motivos es necesario procesar la imagen
mediante filtros antes de la binarización. El procedimiento se basa en la aplicación
de operaciones aritméticas que producen cambios en la intensidad de luz en cada
punto, en función del valor de los pixeles adyacentes. Así, un filtro provocaría
cambios dependientes del entorno de los puntos.
Hay distintos filtros y cada uno de ellos consigue un efecto particular sobre las
imágenes. Existen varias clases de filtros atendiendo a los efectos que se
consiguen al aplicarlos; dentro del desarrollo del software se utilizó el gaussiano,
el laplaciano y de erosión-dilatación debido a las características que presentan las
cuales fueron las adecuadas.
Filtros de erosión-dilatación: Su utilización busca eliminar el contacto entre
objetos. Esto se consigue tras una operación consecutiva de erosión y dilatación.
La erosión, es el resultado de la aplicación de la llamada “regla de erosión”: un
pixel "blanco" (generalmente de objeto) pasa a "negro" si en su entorno inmediato
existe al menos un pixel "negro". La erosión produce una disminución del tamaño
de los objetos por pérdida de píxeles marginales.
La dilatación, es el resultado de la aplicación de la “regla de dilatación”: un pixel
"negro" (generalmente de fondo) pasa a "blanco" si en su entorno inmediato existe
al menos un pixel "blanco". La dilatación produce un aumento en el tamaño de los
objetos por adición de pixeles marginales. La aplicación consecutiva de un
proceso de erosión y dilatación, produce muy poco cambio en el tamaño de los
objetos y la pérdida de los puntos de contacto entre ellos siempre que éstos sean
pequeños.
Filtros Gaussianos: La imagen de salida está basada en una media local del filtro
de entrada donde los coeficientes se ajustan a una gaussiana dependiente.
El Filtro Laplaciano calcula la segunda derivada que a partir de la expresión del
operador Laplaciano se puede aproximar:
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Filtros detectores de bordes: Realizan otro tipo de operaciones con los datos,
pero siempre con el resultado de enfatizar los bordes que rodean a un objeto en
una imagen, para hacerlo más fácil de analizar. Estos filtros típicamente crean una
imagen con líneas blancas y negras rodeando los bordes de los objetos y
características de la imagen. La figura 8.3, muestra imágenes filtradas con
detección de bordes utilizando filtros Gaussiano y Laplaciano. Imagen binaria
(figura 8.3 a), filtro gaussiano ‘canny’ (figura 8.3 b), filtro laplaciano ‘log’ (figura 8.3
c).
Figura 8.3 Imagen binaria y filtros
Iluminación: Las fuentes de luces no son iguales, dentro de estas se tienen: luz
ambiente, fuentes de luz direccionales, fuentes de luz puntuales, fuentes de luz
puntuales tipo “spot” que son aquellas en las cuales el haz de luz es puntual. Por
lo tanto, cuando se hable del color o intensidad de una fuente o de un objeto, se
entenderá que es un vector de cuatro elementos, donde cada elemento será un
valor entre 0 y 1.
Los tres primeros indicarán el porcentaje de rojo (R), verde (G) y azul (B),
definiendo el color, y el cuarto un factor de transparencia, denominado
normalmente canal alpha (A): Color = (R, G, B, A)
R : Red = Rojo; G : Green = Verde; B : Blue = Azul; A : Alpha = Transparencia
Una buena iluminación es importante en la toma de imágenes que luego serán
procesadas. Eligiendo la técnica adecuada de iluminación se puede lograr un
aumento en la confiabilidad del sistema y en su tiempo de respuesta.
El ser humano usa un amplio rango de señales, obtenidas a partir del color, la
perspectiva, el sombreado, y las experiencias individuales. La percepción visual
depende de la capacidad humana de realizar juicios. Sin embargo, un sistema de
visión artificial no tiene una experiencia de base para comparar, todo debe estar
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específicamente definido. Problemas simples como encontrar una forma o definir
un borde, se vuelven tareas complicadas de definición en la visión artificial. Para
reducir el número de variables, el sistema de visión debe trabajar con la mejor
imagen que sea posible. Una buena imagen es aquella que tiene el mayor
contraste donde las áreas de interés se destacan del fondo facilitando la tarea del
sistema virtual.
La última etapa del proceso incluye el reconocimiento e interpretación. El
reconocimiento es el proceso que asigna una etiqueta a un objeto basándose en la
información proporcionada por sus descriptores. La interpretación implica asignar
significado a un conjunto de objetos reconocidos.
Aunque en este punto no se ha tratado explícitamente la presentación de la
imagen, es importante recordar que la visión de los resultados del procesamiento
de imágenes puede realizarse a la salida de cada una de las etapas. Se observa
que no todas las aplicaciones del procesamiento de imágenes necesitan la
complejidad de interacciones implícitas. Numerosas aplicaciones prácticas se
realizan mediante las funciones correspondientes al camino exterior visible en las
etapas del procesamiento digital de imágenes. De hecho, en algunos casos ni
siquiera son necesarios todos esos módulos.
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Lección 37: TEORÍA DE HERING
Aunque el proceso seguido por el cerebro humano para percibir el color es un
fenómeno psicofisiológico que todavía no se ha llegado a entender
completamente, la naturaleza física del color se puede expresar en una base
formal corroborada por los resultados experimentales y teóricos.
Básicamente los colores que los seres humanos percibimos en un objeto están
determinados por la naturaleza de la luz reflejada por el objeto. La luz visible está
formada por una banda de frecuencias relativamente estrecha del espectro
electromagnético. Un cuerpo que refleje una luz relativamente equilibrada en todas
las longitudes de onda aparece como blanco para el observador. Sin embargo, un
cuerpo que tiene una mayor reflectancia en una determinada banda del espectro
visible aparece como coloreado (Véase la Figura 8.4).
Figura 8.4 Diagrama de cromaticidad
En el Siglo IXX el fisiólogo Ewald Hering derivó por medio del análisis de la visión
subjetiva humana del color la idea de colores oponentes. Esta idea exponía el
hecho de que ciertos colores no son percibidos juntos, no se mezclan. Nunca
veremos amarillos azulosos o rojos verdosos. En la visión humana el detector
amarillo siempre se encuentra inactivo cuando el detector azul está activo y
viceversa. Una situación similar ocurre con las neuronas correspondientes al rojo y
verde (véase la Figura 8.5).
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Figura 8.5 Ilustración del comportamiento de las celdas detectoras ante la
presencia de colores oponentes.
Se definió así mismo un tercer par de colores oponentes, blanco y negro. Aunque
este par de sensaciones son opuestas por naturaleza, no son oponentes como el
azul y amarillo o el verde y rojo. La sensación intermedia del gris es una mezcla de
blanco y negro. La razón para esto es que la comparación entre estos colores no
es función de su longitud de onda sino de su energía. El blanco y el negro
dependen de la absorción luminosa y para el blanco o gris puro esta absorción
debe ser relativamente igual.
Actualmente se ha estandarizado la concepción de color propuesta por YoungHelmholtz según la cual todos los colores se ven como combinaciones variables
de los denominados tres colores primarios, rojo (R) , verde (G) y azul (B), aunque
también otros modelos de color han sido propuestos con la intención de facilitar la
especificación de los colores de una forma normalizada y aceptada
genéricamente, aparte del conocido modelo RGB, los más utilizados son YIQ
(luminancia, fase y cuadratura) y HSI ( tono, saturación e intensidad).
En los problemas de procesamiento que involucran el tratamiento de imágenes a
color real el modelo HSI es ampliamente utilizado ya que la componente de
intensidad está desacoplada de la información cromática, y las componentes de
saturación mantienen una alta relación con la manera como el ser humano percibe
el color. Sin embargo el caso específico planteado en este proyecto consiste en la
segmentación de regiones partiendo del aislamiento de sus longitudes de onda,
buscando disminuir efectos de distorsión en la percepción de color producidos por
variaciones de iluminación, por lo tanto es más conveniente buscar un modelo que
permita mantener relaciones lineales con las componentes de colores primarios y
así mismo aísle la componente de intensidad de la componentes de color.
Partiendo del modelo estandarizado RGB es posible mediante una sencilla matriz
de transformación llegar al modelo de Hering. Despreciando entonces la
componente Negro-Blanco (B-W), se adquiere toda la información cromática de
las componentes restantes Rojo-Verde (R-G) y Azul- Amarillo (B-Y).
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Lección 38: TRANSFORMACIONES
Conversión de los niveles de gris. Para obtener una imagen que pueda ser
tratada por el computador es preciso someter la imagen a un proceso de
discretización tanto en las coordenadas como en la intensidad, a este proceso se
le denomina digitalización. La digitalización consiste en la descomposición de la
imagen en una matriz de m*n puntos, donde cada punto tiene un valor
proporcional a su color. Cada elemento en que se divide la imagen recibe el
nombre de "píxel" (picture element).
La resolución espacial de la imagen viene dada por el número de píxeles que tiene
la imagen. Cuanto mayor sea este número mayor va a ser la resolución. La
resolución cromática depende del número de bits que se utilice para almacenar el
valor de un píxel. Si se utiliza un bit se puede tener únicamente dos valores (0, 1)
(blanco y negro), si se utiliza 4 bits el número posible de niveles de gris será de 16
y si se utiliza 8 bits el número de niveles de gris posibles es de 256. Una
transformación adecuada de los niveles de gris puede mejorar sensiblemente la
calidad de una imagen cuando ésta es observada por una persona.
Transformaciones geométricas
Las transformaciones geométricas son una serie de cambios en la imagen que
tienen dos objetivos básicos: Corrección de la perspectiva y reconstrucción
tridimensional de los objetos de una escena.
Transformación del histograma
El histograma es una representación gráfica que permite obtener, información del
contenido de una imagen. En el histograma el eje de las abscisas representa los
niveles de gris y el de ordenadas, el número de pixeles de cada nivel. En ciertas
escenas, como las que suelen aparecer en entornos industriales, el histograma
puede ser suficiente para separar objetos dentro de una imagen, con lo que se
facilita considerablemente la etapa de interpretación. Sin embargo, no siempre es
factible sacar tanta información al histograma. En muchas aplicaciones, su
manipulación sólo permite aumentar/disminuir el contraste de la imagen y el
margen dinámico de los niveles de gris. Sus efectos son evidentes para un
observador humano.
Filtrado espacial y frecuencial
No es fácil decidir si estas operaciones, son absolutamente vitales en un sistema
de visión por computador, pertenecen o no a la etapa de simple preprocesamiento, dada la gran modificación que puede suponer respecto a la
imagen original. Para evitar esta ambigüedad, se considera que el filtrado es
procesamiento previo cuando la transformación operada sobre la imagen sea
pequeña. El filtrado espacial actúa sobre los niveles de gris de los píxeles de la
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imagen. El filtrado frecuencial se basa en trabajar con la transformada discreta de
Fourier de la imagen (una operación costosa en tiempo y en memoria de
computador) a la que se aplica un filtro bidimensional.
En general, las operaciones de segmentación de una escena, así como el número
de clases de regiones y objetos a distinguir, dependerán íntimamente de la propia
escena y de la información que se busque dentro de la imagen. Las técnicas de
segmentación, ya estén orientadas a objetos o agrupaciones de objetos, se
pueden dividir en tres grupos: El primer grupo es la aplicación de umbrales de
nivel de gris, el segundo es la agrupación por rasgos comunes, y el último es la
extracción de bordes.
La aplicación de umbrales se basa en el empleo del histograma. Básicamente,
consiste en distinguir objetos individuales dentro de una escena a partir de sus
diferentes niveles de gris.
Si se conoce que los objetos tienen cierto intervalo. La selección del valor del
umbral, se realiza generalmente a partir del histograma de la imagen. Así si una
imagen está compuesta de un objeto que aparece en la escena sobre un fondo,
entonces es de esperar que el histograma sea bimodal, es decir, si por ejemplo el
objeto es más claro que el fondo, pues en el histograma aparecerán dos picos, el
ubicado en los valores de gris más elevados correspondiente al objeto y otro pico
para niveles de gris más bajos, correspondientes al fondo.
En la siguiente figura se muestra un histograma bimodal, en el cual el umbral se
ubica entre los dos picos del histograma.
Figura 8.6 Histograma bimodal
La selección automática del umbral, es un problema difícil, debido a que el
histograma no siempre es bimodal, en cuyo caso resulta necesario combinar la
información espacial presente en la imagen, con la información referente al nivel
de gris. A continuación, se observa un ejemplo:
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Figura 8.7 Histograma aproximadamente bimodal
Para el caso del histograma aproximadamente bimodal, existen técnicas de
detección automática del umbral, una de las cuales fue ideada por Otsu y se basa
en la minimización de la varianza intra-grupo. En particular, el método de Otsu,
elige el umbral óptimo maximizando la varianza entre clases (between-class
variance) mediante una búsqueda exhaustiva. Si bien hay diferentes métodos para
hallar un umbral, la mayoría de ellos no dan buenos resultados cuando se trabaja
con imágenes del mundo real debido a la presencia de ruido, histogramas planos
o una iluminación inadecuada. Por el contrario, el método de Otsu es uno de los
mejores métodos de selección de umbral para imágenes del mundo real. Sin
embargo, este método usa una búsqueda exhaustiva para evaluar el criterio para
maximizar la varianza entre clases.
A medida que el número de clases de una imagen aumenta, el método de Otsu
necesita mucho más tiempo para seleccionar un umbral multinivel adecuado. Para
determinar el umbral de una imagen eficientemente. La importancia del método de
Otsu radica en que es automático, es decir, no necesita supervisión humana ni
información previa de la imagen antes de su procesamiento.
Descripción del Método de Otsu para un umbral óptimo. Una imagen es una
función bidimensional de la intensidad del nivel de gris, y contiene N píxeles cuyos
niveles de gris se encuentran entre 1 y L. El número de píxeles con nivel de gris i
se denota como fi, y la probabilidad de ocurrencia del nivel de gris i en la imagen
está dada por:
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En el caso de la umbralización en dos niveles de una imagen (a veces llamada
binarización), los píxeles son divididos en dos clases: C1, con niveles de gris
[1, ...., t]; y C2, con niveles de gris [t+1, ...., L]. Entonces, la distribución de
probabilidad de los niveles de gris para las dos clases es:
Donde:
También, la media para la clase C1 y la clase C2 es:
Sea µT la intensidad media de toda la imagen. Es fácil demostrar que:
La extracción de bordes es el método más empleado en la segmentación de
imágenes (salvo en robótica, donde con frecuencia es suficiente la aplicación de
umbrales). La efectividad, desde el punto de vista del reconocimiento de objetos,
de una operación cuyo resultado sea la obtención de los bordes de un objeto, cual
es la segmentación, es evidente, puesto que la mayor cantidad de información se
encuentra en los bordes. De hecho, la mayoría de los objetos pueden reconocerse
a partir de su forma, que está fijada por sus bordes.
Los filtrados espaciales y frecuenciales, son precisamente operaciones de
extracción de bordes, aunque lo hagan con suavidad. De manera análoga, los
extractores de bordes empleados en la fase de segmentación pueden clasificarse
en espaciales y frecuenciales. Algunos operadores que incluye la detección de
bordes son: Operadores de gradiente laplaciano.
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Lección 39: CÁLCULO DE CARACTERÍSTICAS
Después de segmentar una imagen, el conjunto resultante de píxeles
segmentados se representa y describe normalmente en una forma adecuada para
su posterior procesado por computadora. Básicamente, el representar una región
implica dos posibilidades: Hacerlo en términos de sus características externas (su
contorno) o en términos de sus características internas (los píxeles que
comprenden la región). La elección de un esquema de representación es, sin
embargo, solamente una parte de la tarea de hacer los datos útiles para una
computadora.
El siguiente paso consiste en describir la zona en la representación elegida. Por
ejemplo, una región se puede representar describiendo su contorno por medio de
características tales como su longitud, la orientación de una línea recta que une
puntos extremos, y el número de concavidades.
Generalmente, se elige una representación externa cuando el objetivo principal se
centra en las características de forma y una representación interna cuando el
principal interés se centra en las propiedades de reflectividad, tales como color y
textura. En cualquier caso, las características seleccionadas como descriptoras
deberían ser tan insensibles como fuera posible a variaciones tales como cambios
de tamaño, traslación y rotación.
Centroide
El centroide se halla sumando todas las posiciones en x y y de los pixeles de una
región y dividiendo los resultados entre el número de pixeles de cada región. La
ecuación muestra como calcular el centroide de una región, donde N es el número
de píxeles que conforman el contorno y (Cx, Cy) el centroide del contorno.
Lados del contorno. A veces es útil descomponer un contorno en lados. La
descomposición reduce la complejidad del contorno y simplifica así el proceso de
descripción. Esta solución es particularmente atractiva cuando el contorno
presenta una o más concavidades significativas que contienen información sobre
la forma. En este caso el empleo del cerco convexo de la región abarcada por el
contorno es una poderosa herramienta para una descomposición robusta del
contorno.
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El cerco convexo H de un conjunto arbitrario S es el conjunto convexo más
pequeño que contiene a S. El conjunto diferencia H-S se denomina deficiencia
convexa D del conjunto S.
Para ver cómo se podrían utilizar estos conceptos para dividir un contorno en
lados significativos, considérese la figura 8.8 (a), que muestra un objeto (conjunto
S) y su deficiencia convexa (regiones sombreadas). El contorno de la región se
puede dividir siguiendo el contorno de S y marcando los puntos en los que se hace
una transición hacia dentro o fuera de un componente de la deficiencia convexa.
La figura 8.8 (b) muestra el resultado en este caso. Obsérvese que, en principio, el
esquema es independiente de la orientación y el tamaño de la región.
Figura 8.8 (a) Una región (S) y su deficiencia convexa (sombreada); (b) contorno
dividido.
En la práctica los contornos digitales tienden a ser irregulares a causa de la
digitalización, el ruido y las variaciones en la segmentación. Estos efectos
normalmente producen una deficiencia convexa que tiene componentes
pequeños, insignificantes, esparcidos aleatoriamente sobre el contorno. Mejor que
intentar evitar estas irregularidades en un proceso posterior, la práctica común
consiste en suavizar el contorno antes de su división. Hay varios modos de
hacerlo, un método es recorrer el contorno y reemplazar las coordenadas de cada
píxel por las coordenadas medias de m de sus vecinos a lo largo del contorno.
Esta solución funciona para pequeñas irregularidades pero lleva mucho tiempo y
es difícil de controlar. Valores grandes de m pueden dar un excesivo suavizado,
mientras que valores pequeños podrían no ser suficientes en algunos lados del
contorno.
Una técnica más desigual es utilizar una aproximación poligonal, antes de
encontrar la deficiencia convexa de una región. Independientemente del método
utilizado para el suavizado, la mayoría de los contornos digitales de interés son
simples polígonos (polígonos sin autointersección). Los conceptos del cerco
convexo y su deficiencia son igualmente útiles para describir una región completa,
así como su contorno. Por ejemplo, la descripción de una región se podría basar
en su área y en la de su deficiencia convexa, en el número de componentes de la
deficiencia convexa, en la situación relativa de estos componentes, y así
sucesivamente.
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Lección 40: ANÁLISIS DE IMAGEN USANDO MEDIOS COMPUTACIONALES
Para iniciar una práctica en esta lección es necesario aprender y practicar algunas
funciones básicas del toolboxes de procesamiento de imágenes en MatLab. Para
ello deberá remitirse a las referencias bibliográficas de la unidad donde
encontraran una serie de links para el proceso de aprendizaje del software.
Lo primero que se realizara es leer una imagen cualquiera, es necesario tener en
cuenta la extensión de la imagen que se leerá.
Ejercicio: Realizar el proceso de captura y visualización de una imagen.
Para ello deberá abrir el editor de MatLab y desarrollar el siguiente código
clc;
clear all;
close all;
f=imread('flowers.tif'); % permite la lectura de una imagen
figure
imagesc (f); % permite la visualización de la imagen
impixel % Este comando permite evaluar los valores de cada pixel en sus
% componentes RGB
title('imagen original'); % Permite etiquetar o nombrar las figuras en Matlab
Figura 8.9 Imagen original
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Pixval % Este comando genera la barra negra mostrada en la figura anterior, ella
visualize el valor del pixel y su posición en el espacio. Este tiene el concepto
implícito de lo que se define como una imagen digital.
Aquí se ha marcado tres puntos al azar y el programa genera los valores de los
componenetes en R, G B respectivamente.
ans =
173 80 139
209 158 194
155 117 0
Ejercicio: Genere los componentes de una serie de pixeles a lo largo de una línea
dentro de la imagen.
clc;
clear all;
close all;
f=imread('flowers.tif');
figure
imagesc (f);
impixel % se genera una base de datos que contemplan los valores de los pixels
% en RGB a lo largo de la trayectoria marcada.
title('imagen original');
%end
Figura 8.10 Valores de pixeles en RGB de la imagen
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% Planos para los diferentes colores
Como la imagen está formada por tres planos fundamentales en RGB, es
necesario separar los planos para obtener información de los atributos de la
imagen. Para ello se siguen las siguientes instrucciones, recuerde que es
necesario haber leído la imagen previamente.
f=imread(‘imagen.ext’)
R=double(squeeze(f(:,:,1)));
G=double(squeeze(f(:,:,2)));
B=double(squeeze(f(:,:,3)));
figure,
subplot (2,2,1);imagesc(f);colormap;title('imagen original');
subplot (2,2,2);imagesc(R);colormap;title('imagen plano rojo');
subplot (2,2,3);imagesc(G);colormap;title('imagen plano verde');
subplot (2,2,4);imagesc(B);colormap;title('imagen plano azul');
Figura 8.11 Planos para los diferentes colores
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% Contribucion de planos (modificación)
A=uint8(cat(2,R*0.9,G*0.9,B*0));
figure,imagesc(A);
pixval
% Cambio de planos
YIQ = rgb2ntsc(f);
Y=double(squeeze(YIQ(:,:,1)));
I=double(squeeze(YIQ(:,:,2)));
Q=double(squeeze(YIQ(:,:,3)));
subplot (2,2,1);imagesc(f);colormap;title('imagen ORIGINAL');
subplot (2,2,2);imagesc(Y);colormap;title('imagen plano LUMINANCIA');
subplot (2,2,3);imagesc(I);colormap;title('imagen plano CUADRATURA');
subplot (2,2,4);imagesc(Q);colormap;title('imagen plano FASE');
figure
x= linspace(0,1,200)'* ones(1,200);
HSV= cat (3,x,x',x');
p= hsv2rgb(HSV);
imagesc(p);
H= double(squeeze(p(:,:,1)));
S= double(squeeze(p(:,:,2)));
V= double(squeeze(p(:,:,3)));
figure,
subplot (2,2,1);imagesc(H);colormap;
subplot (2,2,2);imagesc(S);colormap;
subplot (2,2,3);imagesc(V);colormap;
Figura 8.12 Contribución de planos
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CAPITULO 9: PROCESAMIENTO DIGITAL DE AUDIO
Lección 41: EFECTOS QUE UTILIZAN RETARDOS
Muchos efectos se consiguen sumando a la señal original, varias copias
retardadas y modificadas de diversas formas. De entre todos ellos, los más típicos
son los de eco y reverberación, aunque, como veremos, no son los únicos.
Dependiendo del tipo de efecto buscado, los tiempos de estos retardos pueden
valer entre las pocas milésimas y los varios segundos.
Naturaleza del eco y la reverberación
En una sala, la reverberación se produce de forma natural porque los sonidos que
nos llegan a los oídos no proceden de un único punto emisor, sino que recibimos
también “copias” reflejadas por las paredes, el techo, el suelo, y otros objetos.
Cuando más distantes de nosotros estén estos reflectores, más retardadas y
también más atenuadas recibiremos las copias.
El tiempo de reverberación es una propiedad de las salas, y se define como el
lapso que debe transcurrir para que el sonido inicial se atenúe en 60 dB. En salas
grandes, este tiempo puede durar varios segundos. Otro factor que influye en la
reverberación es la absorción de los materiales reflectantes. Superficies poco
absorbentes, como el cristal, acrecientan el tiempo de reverberación, mientras que
otras, como las cortinas o el propio público, hacen que este valor disminuya.
Normalmente, la absorción varía también con la frecuencia (los agudos se
absorben más que los graves). Todo ello hace que un buen algoritmo digital de
reverberación deba incluir muchos parámetros configurables.
Cuando estos retardos son suficientemente grandes como para oírse de forma
aislada se denominan ecos, y sólo pueden producirse en espacios muy amplios y
con pocos obstáculos (frente a una montaña, etc.). Si nos encontramos situados
entre dos obstáculos distantes, el sonido sufrirá varias reflexiones antes de
extinguirse, por lo que oiremos varios ecos sucesivos de intensidades
decrecientes.
Reverberación y eco digitales
Dado que un alto porcentaje de la música grabada se escucha en pequeñas salas
particulares con tiempos de reverberación muy cortos, la mayoría de grabaciones
comerciales incorporan la reverberación y otros efectos que emulan la acústica de
grandes salas y las hacen más gratas al oído. Pero los estudios de grabación
tampoco pueden ofrecer reverberaciones naturales convincentes, por lo que desde
hace décadas se ha investigado mucho en sistemas de reverberación artificiales.
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En los años 60 y 70 estos efectos se reproducían de forma analógica (utilizando
cintas magnetofónicas) o incluso mecánica (mediante la disposición de placas
metálicas, micrófonos y altavoces), pero desde hace unos años, los ecos y
reverberaciones digitales han desbancado por completo a los antiguos sistemas.
Existen unidades dedicadas que producen estos efectos en tiempo real, y de ellas
se hablará en lecciones futuras. Los programas de edición de audio deben
contentarse con hacerlo en diferido, pero las posibilidades de configuración que
ofrecen son inmensas. Dado que la absorción de un sonido varía con su
frecuencia, este tipo de procesos digitales involucran cambios en todos los niveles
(tiempo, amplitud y frecuencia) aunque simplificando, pueden entenderse como
una serie de repeticiones retardadas y atenuadas.
Todos los programas tratan la reverberación y el eco mediante opciones
separadas, aunque ambos procesos pueden combinarse. Cool Edit y Sound
Forge, son los más completos a la hora de definir este tipo de efectos. Cool Edit es
además el único programa que permite al usuario definir salas virtuales; basta con
indicar sus dimensiones y los materiales que la componen, para que el sistema
calcule su acústica y la aplique a cualquier sonido que deseemos.
Flanger y phaser
Los retardos se utilizan también de forma menos evidente para crear otros tipos de
efectos más "electrónicos". En estos casos, los valores suelen ser breves
(milésimas o centésimas de segundo).
Con los términos flange, flanger o flanging, se conoce el efecto consistente en
mezclar la señal original con una copia con un retardo muy breve, pero variable de
forma periódica. Los parámetros a configurar son como mínimo el porcentaje de
señal retardada, el margen de variación del retardo (entre varias unidades y varias
decenas de milisegundos), la frecuencia de variación de este retardo
(normalmente entre algunas décimas y varios hertzios), y el porcentaje de
realimentación.
Dependiendo de estos valores, el efecto conseguido puede ser similar a los
sonidos típicos de las películas de marcianos de los años cincuenta, o al sonido
del pop psicodélico de finales de los sesenta (entonces se aplicaba
frecuentemente a la guitarra y a la batería). En aquella época, estos efectos se
conseguían de forma analógica, mezclando la señal de dos magnetófonos, y
retardando o acelerando ligeramente uno de ellos. Cuando no existe
realimentación, el efecto es más discreto y suele denominarse phaser o phasing, y
se encuentra con frecuencia en pedales para guitarra.
La realimentación o el feedback
La realimentación (feedback en inglés) no es el nombre de ningún efecto
propiamente dicho, sino una forma de procesar el sonido que se aplica en muchos
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de ellos. Normalmente se expresa mediante un porcentaje que indica la cantidad
de sonido ya procesado que se vuelve a procesar. Cuando este valor es del 0%,
no existe realimentación, mientras que cuando es superior al 100%, la intensidad
del sonido resultante aumentará paulatinamente hasta llegar a la saturación.
El chorus
Este es otro efecto, normalmente sutil, pero muy utilizado, con el que se intenta
simular que un solo instrumento (o una sola voz), suene como varios instrumentos
al unísono. Se consigue retardando y desafinando muy ligeramente la señal
original. En la actualidad se aplica muchísimo a los cantantes, para dar más
presencia a la voz. Muchos sintetizadores y algunas tarjetas de sonido incorporan
efectos en tiempo real. En este caso, incluyen, casi invariablemente, reverberación
y chorus. Cuando se le aplica realimentación y modulación de amplitud, el chorus
deja de ser un efecto discreto.
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Lección 42: PROCESADORES DE RANGO DINÁMICO
Recordemos que el rango dinámico de un fragmento sonoro viene dado por la
diferencia (en dB) entre la intensidad más fuerte y la más débil. Los efectos
incluidos en esta lección, operan directamente sobre la amplitud de las muestras,
aunque de formas más sofisticadas que los descritos en lecciones anteriores,
modificando de diversos modos el rango dinámico de un determinado fragmento.
Los más importantes son los compresores, los expansores, los limitadores y las
puertas de ruido.
Una buena forma de caracterizar estos procesos, es a través de su función de
transferencia, que establece una correspondencia entre las amplitudes de entrada
y las amplitudes de salida. En la figura 9.1, se muestran varias funciones de este
tipo, junto con los efectos que producen en un fragmento sonoro. La función 9.1
(a) es una recta con una inclinación de 45o, lo que significa que, en este caso, no
se produce ninguna modificación del rango dinámico (a cualquier valor de amplitud
de entrada, le corresponde el mismo valor en la salida).
Figura 9.1 Funciones de transferencia y sus efectos
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Algunos programas de edición de audio permiten que el usuario dibuje
manualmente la curva de transferencia, por lo que todos los efectos que se
describen a continuación, pueden considerarse como casos particulares de un
proceso único. En otros, como por ejemplo Wave, los parámetros se introducen de
forma numérica, con lo cual el control en la definición del proceso no puede ser tan
preciso.
Los compresores y los limitadores
Los compresores se utilizan para reducir el rango dinámico de una señal. Su uso
es muy frecuente en la grabación de partes vocales, ya que en muchos casos, la
señal emitida por la voz y recogida por un micrófono, presenta mínimos muy
débiles que se confundirían con el ruido de fondo. Con una compresión más
exagerada se consigue un efecto intimista, ya que se acentúan los sonidos de la
respiración y de los movimientos bucales (lengua, saliva, etc.). Este efecto
también se utiliza mucho en las guitarras eléctricas, creando el típico sonido de
guitarra heavy (figura 9.1 (b)).
Los limitadores son un caso extremo de compresores, que limitan la amplitud
máxima posible a un valor umbral. Suelen utilizarse en grabaciones de conciertos
para evitar que se pueda producir saturación. Su función de transferencia presenta
pendientes horizontales en los extremos (figura 9.1 (c)).
Los expansores
Un expansor es el opuesto de un compresor. Acentúa los cambios, disminuyendo
los niveles débiles, y aumentando los fuertes. Se utiliza frecuentemente en
combinación con puertas de ruido, y para realzar grabaciones antiguas que
presentan un rango dinámico estrecho (figura 9.1 (d)).
La distorsión
Este término tiene connotaciones peyorativas ya que normalmente define la
pérdida o la degradación inevitables en una señal, ocasionadas por los diferentes
dispositivos o procesos (micrófono, grabación, amplificador, altavoces) a los que
se ve sometida. Sin embargo, todos los efectos descritos anteriormente son, en
realidad, casos particulares de distorsión, que, por su uso frecuente, reciben un
nombre propio.
Los programas de edición de audio que permiten dibujar la función de
transferencia, no imponen ninguna limitación sobre la forma de esta función, por lo
que posibilitan cualquier distorsión arbitraria.
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Lección 43: LOS FILTROS
Definición
De forma rigurosa, cualquier algoritmo o proceso computacional, que a partir de
una entrada (una secuencia de números), genere una salida (otra secuencia de
números), puede considerarse como un filtro digital. Todos los procesos que
hemos comentado hasta el momento representan, por lo tanto, casos diferentes
de filtros digitales, pero en la práctica este término se acostumbra a reservar para
aquellos dispositivos que modifican el espectro de una señal. No se asuste si lo
que sigue le parece algo complicado. Piense que la teoría de filtros digitales puede
ocupar todo un curso en una carrera de ingeniería. Por ello, no trataremos aquí la
forma de implementación de estos filtros digitales, ni en las teorías matemáticas
sobre los que se apoyan.
Espectro de una señal
Se ha mencionado que la mayoría de sonidos están compuestos por varias
frecuencias diferentes. El teorema de Fourier afirma que toda señal periódica
compleja puede descomponerse en una suma de señales sinusoidales de
frecuencias y amplitudes diferentes.
Esta descomposición se denomina espectro de frecuencias, y se representa
mediante un gráfico con frecuencias en las abcisas y amplitudes en las ordenadas,
en el que se visualizan las respectivas amplitudes de todas las frecuencias que
componen un sonido. Esta teoría, que data de más de un siglo, se aplica de forma
rigurosa a las señales totalmente periódicas, pero los sonidos nunca lo son
plenamente, pues siempre varían a lo largo del tiempo. Afortunadamente, desde
hace varias décadas, mediante complejos procesos matemáticos que van más allá
del alcance de esta obra, el análisis de Fourier se aplica también a señales
variables en el tiempo. En este caso, la representación espectral de un sonido no
es ya una única distribución de frecuencias bidimensional, sino una superficie
tridimensional, compuesta por una sucesión de "rebanadas" temporales, en la
cada una muestra el aspecto del espectro en un instante dado.
En la figura 9.2, se muestran varios de estos espectros tridimensionales. En ellos,
la frecuencia se representa en el eje x, el tiempo en el eje y (aumenta al acercarse
hacia el observador), y la amplitud de estas frecuencias en el eje z. Asimismo, en
la parte derecha de estas figuras, se muestra el espectro de frecuencias o
“rebanada” correspondiente al instante inicial t=0.
Algunos programas de edición de audio son capaces de realizar este análisis para
un fragmento seleccionado y de mostrar gráficamente el resultado. Estos gráficos
permiten estudiar la evolución temporal de los diferentes componentes
frecuenciales que integran el sonido.
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Figura 9.2 a) Sonido original
Figura 9.2 b) Filtrado pasa-bajo a 1.500 Hz
Figura 9.2 c) Filtrado pasa-alto a 1.500 Hz
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Figura 9.2 d) Filtrado pasa-banda a 1.000-2.000 Hz
Figura 9.2 e) Filtrado rechazo de banda a 1.000-2.000 Hz
Figura 9.2 Ejemplos de filtrado con la evolución temporal del espectro de
frecuencias, su aspecto en el instante t=0 y el sonido resultante.
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Lección 44: ECUALIZACIÓN Y APLICACIONES DEL FILTRADO
Ecualizadores
Todos hemos visto alguna vez un ecualizador gráfico. Este aparato consta de
varios potenciómetros, cada uno de ellos asociado a una banda de frecuencia, que
permiten amplificar o atenuar estos componentes frecuenciales. Cuantas más
bandas tenga el ecualizador, más preciso será el control sobre el espectro
armónico y más radicalmente se podrá modificar el timbre de los sonidos
procesados.
Un ecualizador gráfico se construye con un banco de filtros pasa-banda en
paralelo. Otro tipo de ecualizadores son los paramétricos, que presentan menos
bandas (típicamente dos o tres), pero con frecuencias de corte configurables.
Implementación de los filtros en los editores de audio
Los diferentes programas de edición de audio, ofrecen diversas alternativas a la
hora de implementar los filtros digitales. Casi todos incorporan un ecualizador
gráfico de varias bandas y los cuatro tipos básicos en los que el usuario deberá
indicar la frecuencia de corte y la pendiente de atenuación.
Uno de los más versátiles es Cool Edit que permite además dibujar curvas de
respuesta de frecuencia arbitrarias e incluso interpolar entre dos curvas diferentes
produciendo filtros variables en el tiempo, con lo cual se pueden conseguir
interesantes efectos.
Aplicaciones del filtrado digital
Las posibilidades del filtrado digital son muchas; describiremos a continuación
algunas de las más representativas.
· Filtrado pasa-bajo al reducir la frecuencia de muestreo. Es conocido que la
reducción de la frecuencia de muestreo provoca el fenómeno del aliasing, por el
cual aparecen frecuencias fantasmas que no se encontraban en el sonido original.
Para evitar el aliasing, antes de convertir un fichero a una frecuencia de muestreo
inferior, deberá aplicar un filtro pasa-bajo con frecuencia de corte igual a la mitad
de la nueva frecuencia de muestreo. Si desea pasar un fichero grabado a 44.100
Hz a 22.050 Hz, deberá, por lo tanto, filtrar el sonido, eliminando sus componentes
frecuenciales por encima de 11.025 Hz. Programas como Sound Forge simplifican
este proceso, ya que ofrecen la opción de filtrar automáticamente al pasar a una
frecuencia menor.
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· Simulación de dispositivos analógicos. Un filtrado selectivo puede emular las
características sonoras de dispositivos de baja calidad, como teléfonos, radios
antiguas, megáfonos, etc. Estos dispositivos se caracterizan por tener curvas de
frecuencia bastante estrechas. En este caso, la herramienta más sencilla suele ser
el ecualizador gráfico. Si el programa dispone de presets de ecualización bastará
con seleccionar el oportuno. Si no encuentra el preset que desea, una vez haya
configurado convenientemente el ecualizador (por el método de tanteo y error), no
olvide salvar el preset para un posible uso futuro.
· El realzado sonoro, es especialmente eficaz y aconsejable con grabaciones de
voz. Piense que muchas de las voces aterciopeladas y seductoras de los
cantantes actuales son fruto directo del laboratorio. Pruebe a potenciar diferentes
bandas de frecuencia en grabaciones de su propia voz (la voz humana posee
componentes entre los 100 Hz y los 5.000 Hz aproximadamente).
· Utilice el análisis espectral. Para no trabajar a ciegas, el análisis espectral es
una herramienta muy útil que nos puede dar una idea de las cualidades y
carencias de cualquier sonido. En ocasiones, se infiltran en las grabaciones
molestos ruidos con una frecuencia fija, causados por interferencias eléctricas. El
análisis espectral nos permitirá detectar estas frecuencias fastidiosas, para
proceder a su filtrado posterior.
· El filtrado creativo es una ciencia y un arte, que permite alterar radicalmente
la naturaleza de cualquier sonido. Intente crear sonidos “musicales” a partir de
modestos sonidos cotidianos.
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Lección 45: ANÁLISIS DE AUDIO USANDO MEDIOS COMPUTACIONALES
Un filtro digital es un sistema que, dependiendo de las variaciones de las señales
de entrada en el tiempo y amplitud, se realiza un procesamiento matemático sobre
dicha señal; generalmente mediante el uso de la Transformada rápida de Fourier;
obteniéndose en la salida el resultado del procesamiento matemático o la señal de
salida.
Los filtros digitales tienen como entrada una señal analógica o digital y en su
salida tienen otra señal analógica o digital, pudiendo haber cambiado en amplitud,
frecuencia o fase dependiendo de las características del filtro digital.
El filtrado digital es parte del procesado de señal digital. Se le da la denominación
de digital más por su funcionamiento interno que por su dependencia del tipo de
señal a filtrar, así podríamos llamar filtro digital tanto a un filtro que realiza el
procesado de señales digitales como a otro que lo haga de señales analógicas.
Comúnmente se usa para atenuar o amplificar algunas frecuencias, por ejemplo
se puede implementar un sistema para controlar los tonos graves y agudos del
audio del estéreo del auto. La gran ventaja de los filtros digitales sobre los
analógicos es que presentan una gran estabilidad de funcionamiento en el tiempo.
El filtrado digital consiste en la realización interna de un procesado de datos de
entrada.
En general el proceso de filtrado consiste en el muestreo digital de la señal de
entrada, el procesamiento considerando el valor actual de entrada y considerando
las entradas anteriores. El último paso es la reconstrucción de la señal de salida.
En general la mecánica del procesamiento es:
1. Tomar las muestras actuales y algunas muestras anteriores (que previamente
habían sido almacenadas) para multiplicadas por unos coeficientes definidos.
2. También se podría tomar valores de la salida en instantes pasados y
multiplicarlos por otros coeficientes.
3. Finalmente todos los resultados de todas estas multiplicaciones son sumados,
dando una salida para el instante actual.
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El procesamiento interno y la entrada del filtro serán digitales, por lo que puede ser
necesario una conversión analógica-digital o digital-analógica para uso de filtros
digitales con señales analógicas.
Ejemplo: %% Procesamiento de una señal de audio usando MATLAB
%% Crear señal de audio
% Frecuencia fundamental
f0=1e3; % 1KHz
% Amplitud
a=4; % V=4
% Frecuencia de muestreo
fs=44.1e3; % Frecuencia de una señal de audio
% Tiempo de duración en segundos
T=1.5;
L = round(T*fs); % Número de muestras
% Frecuencia normalizada
fn=f0/fs;
y = a*sin(2*pi*fn*(0:L-1))+0.5*a*sin(2*pi*2*fn*(0:L-1));
% Graficar la señal original
subplot(411)
plot((0:L-1)/fs,y)
title('SEÑAL ORIGINAL')% Título
xlabel('Tiempo (s)')
% Etiqueta del eje X
ylabel('Amplitud (V)')
% Etiqueta del eje Y
xlim([0 10/1000])
% Límite de la señal
%% Grabar y reproducir la señal de audio
%wavwrite(y,fs,'audio')
% wavplay(y,fs)
%% FFT de la señal
subplot(412)
% Llamado a la función que calcula la FFT
fft_signal(y,fs);title('ESPECTRO DE LA SEÑAL ORIGINAL')
xlim([0 2500])
%% Filtrado de la señal
% Frecuencia normalizada
fNorm = 1500 / (fs/2);
% Cálculo de los coeficientes del filtro (filtro pasa bajas)
[b,a] = butter(10, fNorm, 'low');
% Filtrado de la señal
y_Low = filtfilt(b, a, y);
% Graficación de la señal en el tiempo
subplot(413)
plot((0:L-1)/fs,y_Low)
title('SEÑAL FILTRADA')
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xlabel('Tiempo (s)')
ylabel('Amplitud (V)')
xlim([0 10/1000])
% Graficación de la señal en frecuencia
subplot(414)
% Llamado a la función que calcula la FFT
fft_signal(y_Low,fs);title('ESPECTRO DE LA SEÑAL FILTRADA')
xlim([0 2500])
%% Gráficas del filtro
% Respuesta en frecuencia del filtro
[H,w]=freqz(b,a,512,1);
figure(2)
%Trazado de la respuesta en Magnitud
subplot(221)
plot(w,20*log10(abs(H)));
grid on;
title ('Filtro pasa-altos, Respuesta en magnitud');
xlabel('frecuencia');
ylabel('H(f) db')
xlim([0 0.4])
% Respuesta en fase
subplot(222)
plot(w,angle(H));
grid on;
title ('Filtro pasa-altos, Respuesta en fase');
xlabel('frecuencia')
ylabel('ángulo de H rad')
xlim([0 0.4])
%Respuesta al impulso
subplot(223)
[y_eje,t]= impz(b,a,60);
stem(t,y_eje);
title ('Filtro pasa-altos, Respuesta al impulso');
%Ploteo de los polos y ceros
z= roots(b); % Ceros
p = roots(a); % Polos
subplot(224)
zplane(z,p)
title('Polos y ceros')
legend('Ceros','Polos')
%% Reproducción de audio de entrada y salida
pause(2)
disp('Audio de entrada')
wavplay(0.5*y,fs)
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disp('Audio de salida (señal filtrada)')
wavplay(0.5*y_Low,fs)
Figura 9.3 Ejemplo de procesamiento digital de audio
Tomado de: http://www.matpic.com/esp/matlab/filtros_audio.html
IMÁGENES
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ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD 3
1. Cuáles son las principales especificaciones de diseño a tener en cuenta en
el diseño de filtros digitales?
2. ¿Qué aspectos se deben considerar en la realización de filtros digitales?
3. ¿Cuáles son los efectos de longitud de la palabra finita en filtros digitales?
4. ¿En qué consiste la Teoría de Hering?
5. Mencione las transformaciones empleadas en el procesamiento de
imágenes.
6. ¿Cómo se realiza el cálculo de las características en el procesamiento de
imágenes?.
7. Proponga dos ejemplos de procesamiento de imágenes empleando medios
computacionales
8. Relacione del procesamiento de audio con los procesadores de rango
dinámico.
9. ¿En qué consiste la ecualización?.
10. Proponga dos ejemplos de procesamiento de audio empleando medios
computacionales
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FUENTES DOCUMENTALES DE LA UNIDAD 3
DOCUMENTOS IMPRESOS
D. K. LINDNER. Introduction to Signals and Systems, McGraw Hill, 1999.
F. J. TAYLOR. Principles of Signals and Systems. McGraw Hill, 1a Ed. 1994
MITRA, S. Procesamiento de Señales Digitales. McGraw-Hill, 2007.
M. S. RODEN. Analog and Digital Communication Systems. Prentice Hall, 4a
Ed. 1996
OPPENHEIM, A. y SCHAFER, R. Tratamiento de señales en tiempo discreto.
Madrid: Prentice Hall – Pearson Education, 2000.
PROAKIS, J. G. y MANOLAKIS, D.G.Tratamiento Digital de Señales.
Principios, algoritmos y aplicaciones. España: Prentice Hall., 2000.
SOLIMAN, S. S. y SRINATHMS, D. Señales y Sistemas Continuos y Discretos.
España: Prentice Hall, 1999.
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Procesamiento digital de sonido
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