La transformada y las series de Fourier

Capítulo 2
La transformada y las series de Fourier
2.1.
De…niciones
De…nición 2.1 Sea f : ( 1; 1) ! C; de…nimos la transformada de Fourier de f (t) en ! 2 R, a
Z 1
F [f (t)] (!) = F [f ] (!) =
f (t) e i!t dt
1
donde esa integral tenga sentido, es decir, exista y sea …nita.
La convergencia de la integral implica que
lm
t! 1
f (t) e
i!t
= l m jf (t)j = 0
t! 1
Por tanto las grá…cas de jf (t)j son de la forma
y
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
En general se deben cumplir las condiciones de Dirichlet que se indican en el siguiente teorema:
Teorema 2.1 (Condiciones de Dirichlet) Si f : ( 1; 1) ! C es absolutamente convergente en
R, es decir, la integral
Z b
jf (t)j dt
a
17
18
Capítulo 2. La transformada y las series de Fourier
existe y es …nita, y en cada subintervalo cerrado y acotado de la forma [a; b] ocurre:
1. f (t) es continua en [a; b] salvo una cantidad …nita de discontinuidades y todas ellas de salto
in…nito.
2. f (t) tienen en cada [a; b] una cantidad …nita de máximos y mínimos.
entonces existe F [f (t)] (!).
Ejemplo 2.1 Las siguientes funciones incumplen alguna de las condiciones de Dirichlet para la existencia de transformada de Fourier.
x (t) =
1
t
k
1
x (t) = sen
x
x (t) = E [x]
k<t
k+1
(Función parte entera)
Ejemplo 2.2 Vamos a calcular mediante la de…nición la transformada de Fourier de las siguientes
funciones:
a) f (t) = ;
c) h (t) =
8
< A
:
0
2C
si jtj
b) g (t) = h0 (t) e
at ;
a>0
T
T >0
jtj
d) k (t) = e
si jtj > T
donde h0 (t) es la función de Heaviside.
Solución: Utilizando la de…nición
a)
F [f (t)] (!) =
Z
1
f (t) e
i!t
dt =
1
Z
1
lm
t!1
e i!t
i!
dt =
1
i!t
i!t
=
i!t
e
e
i!
lm
t! 1
e
i!
=
i!
lm e
t=1
t= 1
i!t
t! 1
lm e
i!t
t!1
y ninguno de los dos límites existe puesto que, por ejemplo, utilizando la de…nición de la exponencial compleja
lm e
t!1
i!t
= l m (cos !t
t!1
i sen !t) = l m cos !t
t!1
i l m sen !t
t!1
y ninguna de los dos límites, parte real o imaginaria, existen puesto que las funciones son periódicas. Por tanto, no existe en ningún punto la transformada de Fourier de una constante.
b)
F [g (t)] (!) =
Z
1
1
g (t) e
i!t
dt =
Z
1
h0 (t) e
at
e
i!t
dt
1
c SPH
2.1. De…niciones
19
Por la de…nición de h0 (t), que es nula para valores de t < 0, y vale 1 para el resto, la integral
queda como
F [g (t)] (!) =
Z
1
h0 (t) e
t(a+i!)
dt =
Z
1
t(a+i!)
1e
dt =
t=1
=
a + i!
0
1
t(a+i!)
e
t=0
1
1
a + i!
lm e
t!1
Calculamos el valor del límite, utilizando para ello la de…nición de exponencial compleja
t(a+i!)
lm e
t!1
at
= lm e
t!1
(cos !t
i sen !t)
Como a > 0 entonces
at
lm e
t!1
=0
y puesto que las funciones cos !t y sen !t están acotadas
lm e
at
t!1
(cos !t
i sen !t) = 0
y la transformada de Fourier buscada es
F [g (t)] (!) =
1
a + i!
a>0
c) Teniendo en cuenta que h (t) es de soporte compacto, es decir, es nula fuera del intervalo [ T; T ],
al utilizar la de…nición de Transformada de Fourier
Z 1
Z T
i!t
F [h (t)] (!) =
h (t) e
dt =
Ae i!t dt
T
1
Supongamos en primer lugar que ! 6= 0, entonces
Z
T
Ae
i!t
dt =
T
A
e
i!
t=T
i!t
=
t= T
Si ahora ! = 0
F [h (t)] (!) =
A
e
i!
Z
Por tanto
F [h (t)] (!) =
i!T
T
Ae
i0t
dt =
T
8
<
:
2A
!
A
!
ei!T =
Z
ei!T
e
i
i!T
=
2A
sen (!T )
!
T
Adt = 2AT
T
2AT
si ! = 0
sen (!T )
si ! 6= 0
Notar que la función es continua en ! = 0, puesto que
2A
sen (!T ) = 2AT
!!0 !
l m F [h (t)] (!) = l m
!!0
donde para el cálculo del límite se ha utilizado la regla de L’Hôpital. En realidad la función
anterior es la función seno cardinal o senc (!T ) multiplicada por la constante 2AT con
8
si t = 0
< 1
senc (t) =
: sen(t)
si t 6= 0
t
c SPH
t(a+i!)
20
Capítulo 2. La transformada y las series de Fourier
d)
Z
F [k (t)] (!) =
1
i!t
k (t) e
Z
dt =
1
Como
8
< t
jtj =
:
1
e
jtj
i!t
e
dt
1
si t > 0
t
si t < 0
y por las propiedades aditivas de la integral
F [k (t)] (!) =
Z
1
jtj
e
e
i!t
dt =
1
Z
0
t
ee
i!t
Z
dt+
1
t
e e
i!t
dt =
0
1
Z
0
e
t(1 i!)
Z
dt+
1
e
t(1+i!)
dt
0
1
e integrando cada término
F [k (t)] (!) =
=
Z
0
e
t(1 i!)
dt +
1
t(1+i!)
e
dt =
0
1
1
1
Z
i!
l m et(1
1
i!)
t! 1
+
t=0
1
1
i!
1
1
1 + i!
et(1
i!)
+
t= 1
lm e
1
e
1 + i!
t=1
t(1+i!)
=
t=0
t(1+i!)
t!1
El cálculo de límites nos da, teniendo en cuenta que cos !t y sen !t están acotados
l m et(1
i!)
t! 1
lm e
t!1
t(1+i!)
=
=
l m et (cos !t
t! 1
lm e
t
t! 1
(cos !t
i sen !t) = 0
i sen !t) = 0
y
F [k (t)] (!) =
1
1
i!
+
1
2
=
1 + i!
1 + !2
Como F [f (t)] (!) 2 C, no es posible realizar su representación grá…ca, sin embargo, como entonces
tendrá un módulo y un argumento principal podemos realizar dichas representaciones que toman
nombres particulares
Espectro de amplitud :
Espectro de fase :
jF [k (t)] (!)j
Arg (F [k (t)] (!))
Si para cada ! 2 R, donde F [f (t)] (!) está de…nida se cumple que F [f (t)] (!) 2 R, entonces la
representación grá…ca de esta función es posible y se denomina espectro de potencias.
Obviamente F [f (t)] (!) sólo estará de…nida si la integral impropia existe y es …nita. Una condición
de existencia viene dada por la llamada condición de Dirichlet.
2.2.
Propiedades de la tranformada de Fourier
Linealidad:
Dadas dos funciones
f; g : ( 1; 1) ! C
c SPH
2.2. Propiedades de la tranformada de Fourier
21
y sean 8 ;
2 C. Supongamos que
9
9F [f ] (!) para ! 2 D1 R =
)9F [ f + g] (!) = F [f ] (z)+ F [g] (!) para ! 2 D1 \D2
;
9F [g] (!) para ! 2 D2 R
Simetría:
Si f (t) 2 R 8t ) F [f ] (!) = F [f ] ( !)
Demostración:
F [f ] ( !) =
Z
1
f (t) e
i( !)t dt
1
=
8! 2 R
Z
1
f
(t) ei!t dt
=
1
Z
1
f
(t)ei!t dt
=
1
Z
1
f (t)e
i!t
dt
1
Como f (t) es real
f (t) = f (t)
por tanto
F [f ] ( !) =
En particular
Z
1
i!t
f (t) e
1
dt = F [f ] (!)
jF [f ] (!)j = jF [f ] ( !)j
es decir, el espectro de amplitud es par (simétrica respecto al eje OY).
Paridad:
Si f (t) es par )
F [f ] (!) =
Z
1
f (t) e
i!t
dt =
1
Z
0
f (t) e
i!t
dt +
1
Z
1
i!t
f (t) e
dt
0
hacemos cambio t = s en la primera integral y como f ( s) = f (s) por ser par, tendremos:
Z 0
Z 1
Z 0
Z 1
i!( s)
i!t
i!s
f ( s) e
( ds) +
f (t) e
dt =
f (s) e ( ds) +
f (t) e i!t dt
1
0
1
Cambiando los extremos de integración
Z 1
Z 1
i!s
F [f ] (!) =
f (s) e ds+
f (t) e
0
i!t
dt =
0
Z
1
0
i!t
f (t) e
i!t
+e
dt = 2
0
Z
1
f (t) cos (!t) dt
0
siendo esta integral la llamada integral coseno de Fourier de la función f (t).
Si f (t) es impar )
F [f ] (!) =
hacemos cambio t =
Z 0
f (s) e i!(
1
Z
1
f (t) e
i!t
dt =
1
0
f (t) e
i!t
dt +
1
Z
1
f (t) e
dt
0
0
0
1
i!t
dt =
Z
1
f (t)
0
i!t
e
+e
i!t
0
siendo la integral la llamada integral seno de Fourier de la función f (t).
c SPH
i!t
s en la primera integral y como f ( s) = f (s) por ser par, tendremos:
Z 1
Z 0
Z 1
s)
i!t
i!s
( ds) +
f (t) e
dt =
f (s) e ( ds) +
f (t) e i!t dt
Cambiando los extremos de integración
Z 1
Z 1
i!s
F [f ] (!) =
f (s) e ds+
f (t) e
0
Z
dt =
2i
Z
0
1
f (t) sen (!t) dt
22
Capítulo 2. La transformada y las series de Fourier
Traslación en el espacio temporal:
Dada
f : ( 1; 1) ! C
y supongamos que
9F [f ] (!) y está de…nida sobre D
C
entonces si t0 2 R y de…nimos la función f0 (t) como
y
f0 (t) = f (t
t0 )
1
2
3
4
2
3
4
150
100
50
0
0
5
x
y 20
15
10
5
0
0
1
5
x
entonces
9F [f0 ] (!) = e
i!t0
F [f ] (z) y está de…nida sobre D
Demostración:
F [f0 ] (!) =
Z
1
f0 (t) e
i!t
1
Hacemos el cambio t t0 = s ) dt = ds
Z 1
Z 1
f (t t0 ) e i!t dt =
f (s) e
1
dt =
Z
i!(s+t0 )
1
1
f (t
t0 ) e
i!t
dt
1
ds = e
i!t0
Z
1
f (s) e
i!s
ds
1
es decir
F [f (t
t0 )] (!) = e
i!t0
F [f (t)] (!) 8! 2 D
c SPH
2.2. Propiedades de la tranformada de Fourier
23
Traslación en el espacio de frecuencias:
Dada
f : ( 1; 1) ! C
y supongamos que
9F [f ] (!) y está de…nida sobre D
C
entonces si a 2 R y de…nimos la función fa (t) como
fa (t) = eiat f (t)
entonces
9F [fa ] (!) = F [f (t)] (!
Demostración:
F [fa ] (!) =
Z
F [fa ] (!) =
1
Z
fa (t) e
a) y está de…nida sobre D
i!t
dt =
1
1
e
it(! a)
1
Z
1
eiat f (t) e
i!t
dt
1
f (t) dt = F [f (t)] (!
a)
Cambio de escala: Dada
f : ( 1; 1) ! C
y supongamos que
9F [f ] (!) y está de…nida sobre D
C
entonces si a 2 R y de…nimos la función fa (t) como
fa (t) = f (at)
entonces
9F [f (at)] (!) =
1
!
F [f ]
jaj
a
Demostración
F [f (at)] (!) =
Z
y está de…nida sobre aD
1
f (at) e
i!t
dt
1
Hacemos el cambio at = s ) dt = a1 ds y distinguimos dos casos: a > 0 y a < 0
8
R1
R
>
s
i!s=a ds = 1 1 f (s) e i !
>
a ds
a>0
>
Z 1
Z
a
1 f (s) e
1
<
a
1
i!t
f (at) e
dt =
=
>
jaj
1
R
R
>
!
ds
1
1
>
ias
1
i!s=a
:
f
(s)
e
=
f
(s)
e
ds
a
<
0
a
1
1
a
1
f (s) e
1
Observación 2.1 Notar que la dilatación temporal implica una contracción en el espacio de
frecuencias ! y viceversa.
Derivación en el dominio temporal:
Dada
f : ( 1; 1) ! C
c SPH
i!
s
a
ds =
1
F
jaj
24
Capítulo 2. La transformada y las series de Fourier
y supongamos que f es derivable y que
9F [f ] (!) y está de…nida sobre D
C
entonces
9F f 0 (t) (!) = (i!) F [f ] (!) y está de…nida sobre D
y en general si f (t) es n veces derivable, entonces
h
i
9F f (n) (t) (!) = (i!)n F [f (t)] (!) y está de…nida sobre D
Demostración:
Z
0
F f (t) (!) =
1
f 0 (t) e
i!t
dt
1
integramos por partes dv = f 0 (t) dt y u = e i!t , y por tanto v = f (t) y dt = ( i!) e i!t dt
Z 1
Z 1
Z 1
1
f (t) (i!) e i!t dt = (i!)
f (t) e i!t dt = (i!) F [f ] (!)
f 0 (t) e i!t dt = f (t) e i!t 1 +
1
1
1
si f (t) es n veces derivable, entonces se aplica el procedimiento por induccion en n.
Derivación en el dominio de la frecuencia:
F [f ] (!) es derivable y
dn
[F [f (t)] (!)] = ( 1)n in F [tn f (t)] (!)
d! n
Demostración:
d
d
[F [f (t)] (!)] =
d!
d!
Z
1
f (t) e
i!t
dt =
1
Z
1
1
d
f (t) e
d!
i!t
dt =
Z
1
( it) f (t) e
1
i!t
dt =
i
Z
Si se deriva n veces obtendremos por inducción en n la propiedad indicada.
2.2.1.
Integración
Para una señal x (t) en tiempo continuo que sea integrable se puede establecer la siguiente propiedad
respecto a la transformada de Fourier de su función integral:
x (t)
2.2.2.
F
! X (!) ()
Rt
x (s) ds
1
F
!
1
X (!) + X (0) (!)
i!
Convolución
Una de las propiedades más importantes de la transformada de Fourier es su efecto sobre la
operación de convolución. Dadas dos funciones f; g : R =) R, de…nimos su producto de convolución
como la función de…nida por:
h (t) = f (t) g (t) =
Z1
f (t
s) g (s) ds
1
c SPH
1
1
tf (t) e
i
2.2. Propiedades de la tranformada de Fourier
25
Si existe la transformada de Fourier F (!) y G (!) de f (t) y g (t), respectivamente, entonces es posible
calcular la transformada de Fourier de h (t) como
H (!) = F (!) G (!)
También se cumple
1
(F [f (t)] (!) F [g (t)] (!))
2
La demostración se realiza actuando sobre la propia de…nición del producto de convolución.
0
1
Z1
Z1 Z1
@
H (!) =
h (t) e i!t dt =
f (t s) g (s) dsA e i!t dt
F [f (t) g (t)] (!) =
1
=
Z1
1
1
Z1
f (t
1
s) g (s) e
i!t
dsdt
1
intercambiando el orden de integración y teniendo en cuenta que g (s) no depende de t
0 1
1
Z1
Z
H (!) =
g (s) @
f (t s) e i!t dtA ds
1
realizamos el cambio de variable t
1
s=r
H (!) =
Z1
1
=
Z1
1
=
0
g (s) @
0
g (s) @
Z1
g (s) e
Z1
g (s) e
1
=
Z1
f (t
s) e
i!t
1
Z1
f (r) e
1
0
i!s @
i!s
Z1
i!s
e
f (r) e
1
1
dtA ds
i!r
1
drA ds
i!r
1
drA ds
F (!) ds
1
= F (!)
Z1
g (s) e
i!s
ds
1
= F (!) G (!)
2.2.3.
Relaciones de Parseval
De…nición 2.2 La energía total de la función f : R =) R se de…ne como
Z 1
" (f ) =
jf (t)j2 dt
1
c SPH
26
Capítulo 2. La transformada y las series de Fourier
Teorema 2.2 (Identidad de Parseval) Sea f : R =) R y supongamos que " (f ) < 1 y que existe
F [f (t)] (!), entonces
1
" (f ) =
" (F [f ] (!))
2
es decir
Z1
Z1
1
2
jf (t)j dt =
jF (!)j2 d!
(2.1)
2
1
1
Llamamos espectro de energía a la representación grá…ca de la función jF [f ] (!)j2
Demostración: La demostración de 2.1 se realiza directamente utilizando la transformada de
Fourier:
0
1
Z1
Z1
Z1
Z1
1
jf (t)j2 dt =
f (t) f (t)dt =
F (!) ei!t d! Adt
f (t) @
2
1
1
=
Z1
1
1
0
1
f (t) @
2
Z1
1
1
1
F (!)ei!t d! A dt =
Z1
1
0
Z1
1
f (t) @
2
F (!)e
i!t
1
1
d! A dt
intercambiando el orden de integración (Teorema de Fubini)
0 1
1
Z1
Z1
Z
Z1
1
1
2
i!t A
@
jf (t)j dt =
F (!)
f (t) e
dt d! =
F (!)F (!) d!
2
2
1
=
1
2
1
1
Z1
jF (!)j2 d!
1
2.2.4.
1
Transformada inversa de Fourier
De…nición 2.3 Como en el caso de la transformada de Laplace, dada la función F (!) nos preguntamos si existe una función f (t) de forma que se cumpla
F [f ] (!) = F (!)
diremos entonces que f (t) es la transformada inversa de F (!)
F
1
[F (!)] (t) = f (t)
Esta inversa se puede calcular también de forma directa a través de una integral
Z 1
1
1
F [F (!)] (t) =
F (!) ei!t d!
2
1
Proposición 2.3 La transformada inversa de Fourier tiene las siguientes propiedades:
1. Linealidad:
F
1
[ F (!) + G (!)] (t) = F
1
[F (!)] (t) + F
1
[G (!)] (t)
c SPH
2.2. Propiedades de la tranformada de Fourier
27
2. Dualidad Debido a la simetría de las expresiones del par de transformadas de Fourier, tendremos la siguiente propiedad de dualidad, que nos facilita el cálculo de algunas transformadas
F
g (t)
! f (!) () f (t)
F
! 2 g ( !)
Por ejemplo dada la señal en tiempo continuo
x (t) =
2
1 + t2
si tenemos en cuenta que la transformada de Fourier de
g (t) = e
es
f (!) =
jtj
2
1 + !2
es decir
x (t) = f (t)
entonces
X (!) = 2 g ( !) = 2 e
j!j
3. Traslación
F
1
[F (!
a)] (t) = eat F
1
[F (!)] (t)
4. Convolución
F
1
[(F G) (!)] (t) = F
1
[F (!) G (!)] (t) = F
1
[F (!)] (t) F
1
[G (!)] (t)
2
Ejemplo 2.3 Sabiendo que la transformada de Fourier de f (t) = e jtj es F (!) = 1+!
2 , calcula la
2
transformada de Fourier de g (t) = 1+t2
Solución: Teniendo en cuenta la propiedad de dualidad, vemos que g (t) = F (t), es decir la
función g (t) es la transformada de Fourier de f (t) pero considerándola como una función del tiempo.
Por tanto
G (!) = 2 f ( !) = 2 e j !j = 2 e j!j
!2R
Ejemplo 2.4 Comprueba que la transformada de Fourier de
f (t) =
1
0
es
F (!) =
a<t<a
resto
2 sen a!
!
Ejemplo 2.5 Comprueba que la transformada de Fourier de g (t) =
F (!) =
c SPH
0
a<!<a
resto
sen at
t
es
28
Capítulo 2. La transformada y las series de Fourier
2.2.5.
Transformada de Fourier en tiempo discreto
De…nición 2.4 Ejemplo 2.6 De…nición 2.5 Dada f : Z ! C, es decir, si f (k) = fk 2 C, 8k 2 Z
es una secuencia, entonces podemos de…nir su transformada de Fourier como
1
X
F [fk ] (!) = F (!) =
f (n) e
i!n
n= 1
siempre que dicha serie sea convergente. Entonces su transformada inversa es
Z
1
1
F (!) ei!k d!
F [F (!)] (k) = fk =
2
Ejemplo 2.7 Para fk =
(
)
: : : ; 0; 1; 0; |{z}
2 ; 0; 1; 0; : : :
0
entonces
F [fk ] (!) = F (!) = 4 cos2 !
Ejemplo 2.8 Calcula la transformada de Fourier de las siguientes secuencias
a) fn =
n
b) gn =
n
un
donde un es el escalón unitario
y
n
un =
1 si n 0
0 si n < 0
un =
1 si n 0
0 si n < 0
es el impulso unitario
2.2.6.
Transformada discreta de Fourier en tiempo discreto
De…nición 2.6 Ejemplo 2.9 De…nición 2.7 Dada f : R ! C, y supongamos que calculamos f (t)
en N puntos equidistantes, es decir, calculamos fk = f (kT ) con k = 0; : : : ; N 1 entonces podemos
de…nir su transformada discreta de Fourier como
F [fk ] (!) = F (!) =
N
X1
fn e
i!n
=
n=0
N
X1
fk e
i2k n=N
k=0
Entonces su transformada inversa es
N 1
1 X
fk =
Fn ei2kn
N
=N
n=0
Observemos que si
=
2
NT
es la frecuencia ) T =
2
N
es el periodo.
c SPH