La honestidad es la carta de presentación del “Usachino”

Universidad de Santiago de Chile
Departamento de Matemática y C.C.
Álgebra II Módulo Básico de Ingenierı́a
Una Solución del Control N◦ 3 1
Profesores: Ricardo Santander Baeza
Maritza Cuevas Ojeda
Jueves 14 de Enero del 2016
A las 11.20 horas
La honestidad es la carta
de presentación del “Usachino”
Una sugerencia
Este esfuerzo, representa para usted su propio mecanismo de control, no lo desaproveche y pruébese a si misma o a si
mismo que es capaz, caso contrario es tiempo de enmendar, persistiendo con más fervor en el estudio. No se engañe
tratando de obtener un mejor reconocimiento de otro, pues lo único importante en la vida es ser reconocido como honesta
u honesto por su propia conciencia.
(1) Dado α = {(1, 2, −5, 3), (2, −1, 4, 7)} ⊂ R4 y v = (λ, µ, −37, −6) ∈ R4 . Determine el conjunto
S = {(λ, µ) ∈ R2 | v ∈ h{(1, 2, −5, 3), (2, −1, 4, 7)}i}
Solución: Debemos observar que el “problema es determinar el conjunto S, por tanto debemos aplicar
los protocolos que permiten este estudio y que por supuesto un Ingeniero debe no sólo conocer sino
practicar”
(λ, µ) ∈ S
⇐⇒
(λ, µ) ∈ R2 ∧ u ∈ h{(1, 2, −5, 3), (2, −1, 4, 7)}
⇐⇒
(λ, µ) ∈ R2 ∧ (∃; a1 ∈ R ∧ a2 ∈ R) : u = a1 (1, 2, −5, 3) + a2 (2, −1, 4, 7)
⇐⇒
(λ, µ) ∈ R2 ∧ (∃; a1 ∈ R ∧ a2 ∈ R) : (λ, u, −37, −6) = (a1 + 2a2 , 2a1 − a2 , −5a1 + 4a2 , 3a1 + 7a2 )
a1 + 2a2
=
λ
2a1 − a2
=
µ
(∗)
(λ, µ) ∈ R2 ∧ (∃; a1 ∈ R ∧ a2 ∈ R) : −5a
= −37
1 + 4a2
3a1 + 7a2
=
−6
⇐⇒
Resolviendo el sistema (∗) obtenemos que
(λ, µ) ∈ S ⇐⇒ (λ, µ) ∈ R2 ∧ [a1 = 5 ∧ a2 = −3 ∧ λ = −1 ∧ µ = 13]
Por tanto,
S =
{(−1, 13)}
(2) Si W = {p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 ∈ R3 [x] | p(1) = p(2) ∧ p(−1) = 0} ≤ R3 [x] entonces
(a) Determine una base de W
Solución. Conforme a nuestras prácticas iniciamos la búsqueda de un sistema de generadores para W, y en
consecuencia usando la información suministrada, tenemos que:
1Cada problema vale 3.0 puntos
Tiempo 80’
1
2
p(x) ∈ W ⇐⇒ p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 ∈ R3 [x] ∧ p(1) = p(2) ∧ p(−1) = 0
⇐⇒ a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 ∈ R3 [x] ∧ a0 + a1 + a2 + a3 = a0 + 2a1 + 4a2 + 8a3 ∧ a0 − a1 + a2 − a3 = 0
⇐⇒ a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 ∈ R3 [x] ∧ a1 + 3a2 + 7a3 = 0 ∧ a0 − a1 + a2 − a3 = 0
a + 3a2 + 7a3
= 0
⇐⇒ a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 ∈ R3 [x] ∧ 1
a0 − a1 + a2 − a3 = 0
⇐⇒ a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 ∈ R3 [x] ∧
a1
a0
= −3a2 − 7a3
= −4a2 − 6a3
⇐⇒ (−4a2 − 6a3 ) + (−3a2 − 7a3 )x + a2 x2 + a3 x3 ; (a2 ∈ R ∧ a3 ∈ R)
⇐⇒ (−4 − 3x + x2 ) a2 + (−6 − 7x + x3 ) a3 ; (a2 ∈ R ∧ a3 ∈ R)
|
{z
}
|
{z
}
∈W
∈W
Luego,
W =
h{−4 − 3x + x2 , −6 − 7x + x3 }i
(b) Determine dimR (W)
Solución:
Del punto anterior sigue que α = {−4 − 3x + x2 , −6 − 7x + x3 } es un sistema de generadores por tanto
dimR (W) ≤ 2. Por tanto si α es linealmente independiente entonces dimR (W) = 2. Ası́ que manos a la obra, si
suponemos que
c1 (−4 − 3x + x2 ) + c2 (−6 − 7x + x3 ) = 0 + 0x + 0x2
Entonces
(−4c1 − 6c2 ) + (−3c1 − 7c2 )x + c1 x2 + c2 x3
−4c1 − 6c2
−3c1 − 7c2
= 0 + 0x + 0x2 ⇒
c1
c2
⇒ c1 = c2 = 0
Ası́ que α es linealmente independiente y es una base de W y por ende dimR (W) = 2
Recuerde que: Si p(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn ∈ Rn [x] entonces para c ∈ R tenemos que
p(c) = a0 + a1 c + a2 c2 + · · · + an cn ∈ R
=
=
=
=
0
0
0
0