Diseños Factoriales

Diseños Factoriales
El objetivo de un diseño factorial es estudiar el efecto de varios factores sobre una o varias
respuestas o características de calidad, es decir, lo que se busca es estudiar la relación entre los
factores y la respuesta, con la finalidad de conocer mejor cómo es esta relación y generar
conocimiento que permita tomar acciones y decisiones que mejoren el desempeño del proceso.
Por ejemplo, uno de los objetivos particulares más importantes que en general tiene un diseño
factorial es determinar una combinación de niveles de los factores en la cual el desempeño del
proceso sea mejor que en las condiciones de operación actuales, es decir, encontrar nuevas
condiciones de operación del proceso que eliminen o disminuyen cierto problema de calidad en la
variable de salida.
Los factores pueden ser de tipo cualitativo (máquinas, tipos de material, operador, la presencia o
ausencia de una operación previa, etc.) , o de tipo cuantitativo (temperatura, humedad, velocidad,
presión, etc.). Para poder estudiar la manera en cómo influye cada factor sobre la variable
respuesta, es necesario elegir al menos dos niveles de prueba para cada uno de ellos. Con el
diseño factorial completo se corren aleatoriamente en el proceso todas las posibles
combinaciones que pueden formarse con los niveles seleccionados.
Definición de experimento factorial
Un diseño de experimentos factorial o arreglo factorial es el conjunto de puntos experimentales o
tratamientos que pueden formarse considerando todas las posibles combinaciones de los niveles
de los factores. Por ejemplo, con k=2 factores ambos con dos niveles de prueba, se forma el
diseño factorial 2x2=22 que consiste de cuatro combinaciones o puntos experimentales.
Considerando otra vez k=2 factores, pero ahora con tres niveles y el otro con dos niveles se puede
construir 3x2 combinaciones que dan lugar al diseño factorial 3x2.
Más en general, la familia de diseños factoriales 2k consiste en k factores, todos con dos niveles de
prueba; la familia de diseños 3k consiste de k factores cada uno con tres niveles de prueba.
Diseño Factorial 22
Supongamos que se tienen dos factores A: tiempo y B: velocidad, cada uno con dos niveles (bajo y
alto), la respuesta es la cantidad de aditivo. En el experimento, cada tratamiento se corrió tres
veces (tres réplicas) lo que da un total de 12 corridas del proceso. Por simplicidad sólo se muestra
los resultados de la primera réplica:
Tiempo
3
6
Velocidad
600
1000
17,10
18,76
─
─
─
─
16,26
18,16
─
─
─
─
Efecto principal y efecto de interacción
El efcto de un factor se define como el cambio observado en la variable respuesta debido a un
cambio de nivel de tal factor. En particular los efectos principales, son los cambios en la media de
la variable respuesta debido a la acción individual de cada factor. Matemáticamente el efecto
principal de un factor es la diferencia entre la respuesta media observada cuando tal factor estuvo
en su nivel más alto y la respuesta media observada cuando el factor estuvo en su nivel más bajo.
Por ejemplo, para los datos de la tabla anterior están daos por:
Efecto A: 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 =
16.26+18.16
17.10+18.76
−
2
2
Efecto B: 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 =
= −0.72
18.76+18.16
17.10+16.26
−
2
2
= 1.78
Por otro lado, se dice que dos factores interactúan entre sí o que tienen un efecto de interacción
sobre la variable respuesta, cuando el efecto de un factor depende del nivel en que se encuentra
el otro. Por ejemplo, los factores tiempo y velocidad interactúan si el efecto del tiempo es muy
diferente en cada nivel de velocidad, o viceversa, si el efecto de la velocidad depende del tiempo.
Veamos esto con los datos:
Efecto A con B bajo: 16.26 – 17.10 = -0.84
Y cuando la velocidad es alta el efecto de A es:
Efecto A con B alto: 18.16 – 18.76 = -0.6
Si estos dos efectos de A en función del nivel B fueran diferentes, entonces eso sería evidencia de
que la elección más conveniente del nivel de A depende del nivel en que esté B y viceversa. Es
decir, eso sería evidencia de que los factores A y B interactúan entre sí. En la práctica el cálculo del
efecto de A en cada nivel de B no se hace, y más bien se calcula el efecto global de la interacción
entre los dos factores. El efecto de interacción entre A y B, denotado por AB se calcula como la
diferencia entre la respuesta media cuando ambos factores se encuentran en el mismo nivel
((bajo,bajo),(alto,alto)), y la respuesta media cuando los factores se encuentran en niveles
opuestos ((bajo, alto),(alto, bajo)). Para el ejemplo el efecto de la interacción tiempo x
temperatura está dado por:
𝐴𝐵 =
17.10 + 18.16 16.26 + 18.76
−
= 0.12
2
2
Los valores absolutos de los efectos principales y del efecto de la interacción son una medida de la
magnitud de su efecto sobre la variable respuesta. Así, entre más grande sea el valor absoluto de
un efecto, mayor influencia tendrá sobre la variable respuesta. Sin embargo, para saber si los
efectos son estadísticamente significativos se requiere del análisis de varianza.
Ventajas de los diseños factoriales
1. Son diseños que se pueden aumentar para formar diseños compuestos en caso de que se
requiera una exploración más completa.
2. Se pueden correr fracciones de diseños factoriales, las cuales son de gran utilidad en las
primeras etapas de una investigación que involucra a muchos factores, cuando interesa
descartar de manera económica los que son importantes, antes de hacer un estudio más
detallado con los factores que si son importantes.
3. Pueden utilizarse en combinación con diseños de bloques en situaciones en las que no
puede correrse el diseño factorial completo bajo las mismas condiciones o circunstancias.
4. La interpretación y cálculo de los efectos en los experimentos factoriales se puede hacer
con aritmética elemental, en particular cuando cada factor se prueba en dos niveles.
Diseños Factoriales con dos Factores
Considere los factores A y B con a y b (a, b ≥ 2) niveles de prueba, respectivamente. Con ellos se
puede construir el diseño factorial a x b que consiste en a x b tratamientos. Se llama réplica a cada
repetición completa del arreglo factorial. Los diseños factoriales que involucran menos de 4
factores se corren replicados para poder tener la potencia necesaria en las pruebas estadísticas
sobre los efectos de interés, de tal forma que si se hacen n réplicas, el número total de corridas
experimentales es n(a x b).
Modelo Estadístico:
Con un diseño factorial a x b se pueden estudiar los efectos individuales y el efecto de interacción
de ambos factores. En términos estadísticos lo que se afirma es que el comportamiento de la
variable respuesta Y en el experimento con k réplicas se podrá escribir mediante:
𝑌𝑖𝑗𝑘 = 𝜇 + 𝛼𝑖 + 𝛽𝑗 + (𝛼𝛽)𝑖𝑗 + 𝜀𝑖𝑗𝑘
𝑖 = 1,2, … , 𝑎
𝑗 = 1,2, … , 𝑏
𝑘 = 1,2, … , 𝑛
Donde 𝜇 es la media general, 𝛼𝑖 es el efecto del i-ésimo nivel del factor A, 𝛽𝑗 es el efecto del jésimo nivel del factor B, (𝛼𝛽)𝑖𝑗 representa el efecto de interacción en la combinación ij y 𝜀𝑖𝑗𝑘 es el
error aleatorio que supone sigue una distribución con media cero y varianza constante 𝜎 2 y son
independientes entre sí. Para que la estimación de los parámetros en este modelo sea única, se
introducen las restricciones:
∑𝑎𝑖=1 𝛼𝑖 = ∑𝑏𝑗=1 𝛽𝑗 = 0 y ∑𝑎𝑖=1(𝛼𝛽)𝑖𝑗 = ∑𝑏𝑗=1(𝛼𝛽)𝑖𝑗 = 0
Es decir, los efectos dados en el modelo son desviaciones respecto de la media global.
Hipótesis a evaluar y análisis de varianza
Para el Factor A
𝐻0 : 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝐴 = 0
𝐻1 : 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝐴 ≠ 0
Ó
𝐻0 : 𝛼1 = 𝛼2 = ⋯ = 𝛼𝑎 = 0
𝐻1 : 𝛼𝑖 ≠ 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔ú𝑛 𝑖
Para el Factor B
𝐻0 : 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝐵 = 0
𝐻1 : 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝐵 ≠ 0
Ó
𝐻0 : 𝛽1 = 𝛽2 = ⋯ = 𝛽𝑏 = 0
𝐻1 : 𝛽𝑗 ≠ 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔ú𝑛 𝑗
Para la interacción AB:
𝐻0 : 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝐴𝐵 = 0
𝐻1 : 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝐴𝐵 ≠ 0
Ó
𝐻0 : (𝛼𝛽)𝑖𝑗 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑖𝑗
𝐻1 : (𝛼𝛽)𝑖𝑗 ≠ 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔ú𝑛 𝑖𝑗
El ANOVA para un diseño factorial a x b con n réplicas resulta de descomponer la variación total
como:
SST=SSA+SSB+SSAB+SSE
Y la tabla de ANOVA está dada por:
Fuente de
Variación
Suma de
cuadrados
Grados de
libertad
Cuadrados
medios
Estadístico
F
Efecto A
SSA
a-1
CMA=SSA/(a-1)
CMA/CME
Efecto B
SSB
b-1
CMB=SSB/(b-1)
CMB/CME
Efecto AB
SSAB
(a-1)(b-1)
CMAB=SSAB/((a-1)(b-1))
CMAB/CME
Error
SSE
ab(n-1)
CME=SSE/(ab(n-1))
Total
SST
abn-1
Ejemplo:
En un experimento llevado a cabo para determinar cuál de tres sistemas de misiles es preferible,
se midió el promedio de consumo de los propulsores para 24 encendidos estáticos. Se utilizaron
cuatro tipos diferentes de propulsores. En el experimento se obtuvieron observaciones duplicadas
de promedios de consumo en cada combinación de los tratamientos. Los datos aparecen a
continuación:
Sistema de
Misiles
B1
Tipo de impulsor
B2
B3
B4
A1
34,0
32,7
30,1
32,8
29,8
26,7
29,0
28,9
A2
32,0
33,2
30,2
29,8
28,7
28,1
27,6
27,8
A3
28,4
29,3
27,3
28,9
29,7
27,3
28,8
29,2
Ejercicios:
1. Se realizó un estudio con el objetivo de averiguar la estabilidad de la vitamina C en
concentrado de jugo de naranja congelado reconstituido que se almacena en un
refrigerador por un periodo de hasta una semana. Tres tipos de concentrado de jugo de
naranja congelado se probaron utilizando tres periodos diferentes de tiempo. Estos
últimos se refieren al número de días que transcurren desde que el jugo de naranja se
mezcla hasta que se somete a la prueba. Los resultados, en miligramos de ácido ascórbico
por litro, se registraron de la siguiente manera, según se indica en la siguiente tabla.
Marca
Tiempo en días
3
0
7
A1
52,6
49,8
54,2
46,5
49,2
42,8
49,4
53,2
42,7
40,4
48,8
47,6
A2
56,0
49,6
48,0
48,4
48,8
44,0
44,0
42,4
49,2
42,0
44,0
43,2
A3
52,5
51,8
52,0
53,6
48,0
48,2
47,0
49,6
48,5
45,2
43,4
47,6
Utilice un nivel de significancia de 0,05 para probar las hipótesis:
a) No existe diferencia en los contenidos de ácido ascórbico entre las diferentes marcas
de concentrado de jugo de naranja.
b) No existen diferencias en los contenidos de ácido ascórbico debido a los diferentes
periodos de tiempo.
c) Las marcas de concentrado de jugo de naranja y el número de días que transcurre
desde que el jugo se mezcla hasta que se somete a la prueba no interactúan.
2. Se realizó un estudio para determinar qué músculos necesitan sujetarse a un programa
de acondicionamiento de tal forma que se mejore el comportamiento de un jugador en el
servicio tendido utilizado en tenis. Se probaron cinco músculos diferentes: deltoide
anterior, pectoral mayor, deltoide posterior, deltoide medio y tríceps; en cada uno de tres
individuos, y el experimentador se llevó a cabo tres veces para cada combinación de
tratamiento. Los datos del electromiograma, registrados durante el servicio fueron los
siguientes:
Sujeto
1
2
3
1
32
59
38
63
60
50
43
54
47
2
5
1,5
2
10
9
0
41
43
47
Músculo
3
58
61
66
64
78
78
26
29
23
4
10
10
14
45
61
71
63
46
55
5
19
20
23
43
61
42
61
85
95
a) Individuos diferentes tienen iguales mediciones de electromiograma.
b) Diferentes músculos no tienen efecto sobre las mediciones electromiográficas.
c) Los sujetos y los tipos de músculos no ineractúan.
3. Un ingeniero está diseñando una batería para usarse en un aparato que estará sujeto a
variaciones extremas de temperatura. Tiene tres opciones para el material de la placa para
la batería, y como sabe que la temperatura afecta la vida de la batería decide probar tres
temperaturas: 15°F, 70°F, 125°F. Se prueban 4 baterías en cada combinación de material y
temperatura y las 36 pruebas se corren en orden aleatorio (completamente al azar). Los
datos son vida (en horas) de las baterías.
Tipo de
Material
1
130
74
155
180
Temperatura (°F)
70
34
40
80
75
2
150
159
188
126
136
106
122
115
25
58
70
45
3
138
168
110
160
174
150
120
139
96
82
104
60
15
125
20
82
70
58
a) ¿Qué efectos produce el material y la temperatura en la vida de la batería?
b) Existe un material que produzca uniformemente más larga vida a la batería sin
importar la temperatura?
4. Se estudia el rendimiento de un proceso químico. Se piensa que las dos variables más
importantes son la presión y la temperatura. Se seleccionan tres niveles de cada factor y
se lleva a cabo un experimento factorial con dos réplicas. Los datos del rendimiento son:
Temperatura (°C)
150
160
170
200
90.4
90.2
90.1
90.3
90.5
90.7
Presión (psig)
215
90.7
90.6
90.5
90.6
90.8
90.9
a) Analice los datos, ¿qué concluye?
b) ¿Bajo qué condiciones debe operarse este sistema?
230
90.2
90.4
89.9
90.1
90.4
90.1
5. Un ingeniero sospecha que el acabado superficial de una pieza metálica se afecta por la
velocidad de alimentación y la profundidad de corte. Selecciona tres velocidades de
alimentación y cuatro profundidades de corte. Se realiza un experimento factorial y se
obtiene los siguientes resultados:
Velocidad de
Alimentación (pulg/min)
0.20
0.25
0.30
0.15
74
64
60
92
86
88
99
98
102
Profundidad de corte (pulg)
0.18
0.20
79
82
68
88
73
92
98
99
104
108
88
95
104
108
99
110
95
99
0.25
99
104
96
104
110
99
114
111
107
6. Se describe un experimento para investigar el efecto del tipo de cristal y el tipo de fósforo
sobre la brillantez de un cinescopio. Los datos son la corriente en micro amperes
necesaria para obtener un nivel de brillantez específico. Los datos son los siguientes.
Tipo de
Cristal
1.00
2.00
1
280
290
285
230
235
240
Tipo de fósforo
2
300
310
295
260
240
235
3.00
290
285
290
220
225
230