PS2315. El arreglo de Routh Hurwitz

PS2315. El arreglo de Routh Hurwitz
William Colmenares
Universidad Simón Bolı́var
Departamento de Procesos y Sistemas
1 de julio de 2006
1.
Introducción
En la última parte del curso no hemos concentrado en el análisis de sistemas usando la
transformada de Laplace. Hemos trabajado los aspectos relacionados con la respuesta temporal
del sistema y con la respuesta frecuencial.
Nos imaginamos al sistema (cualquiera que sea su origen) como el representado en la figura
(1)
x(t)
y(t)
H(s)
Figura 1: Sistema
El ámbito temporal se refiere al cálculo de la respuesta temporal del sistema ante entradas
conocidas, usualmente el escalón, para las que nos servimos de la transformada de Laplace.
El ámbito frecuencial se refiere a la respuesta del sistema en régimen permanente (cuando
los efectos transitorios han prácticamente cesado) ante una entrada sinusoidal. Para ésto nos
servimos de la transformada de Fourier, que es igual a la transformada de Laplace en la que
sustituimos s = jω en el caso de los sistemas causales que son los que nos ocupan en este curso.
Uno de los elementos más importantes en el análisis de sistemas es su estabilidad. Ella nos
habla de la capacidad de un sistema de seguir a una entrada determinada o, por el contrario, la
imposibilidad de seguir a ninguna entrada.
Como sabemos, la estabilidad del sistema viene determinada, únicamente, por la ubicación
de los polos del sistema. Para que un sistema sea estable, todos sus polos deben estar ubicados
en el semiplano izquierdo, es decir, todas las partes reales de sus polos deben ser negativas.
En estas notas presentaremos un método para la determinación de la estabilidad del sistemas, comúnmente conocido como método de Routh Hurwitz, que nos permite determinar la
estabilidad del sistema sin tener que calcular sus polos.
1
2.
El método de Routh Hurwitz
Consideremos un sistema descrito por su función de transferencia:
H(s) =
bm s m + . . . + b 1 s + b 0
an s n + . . . + a 1 s + a 0
Como sabemos, los polos del sistema son las raı́ces del polinomio caracterı́stico:
an sn + an−1 sn−1 + . . . + a1 s + a0 = 0
El método de Routh Hurwitz nos permite determinar si el polinomio caracterı́stico tiene
raı́ces en el semiplano derecho o en el eje imaginario.
Para ello debemos primero construir el arreglo de RH.
2.1.
El arreglo de Routh Hurwitz
Si el polinomio caracterı́stico es de orden n el arreglo de RH tendrá n + 1 filas.
Las dos primeras filas se construyen con los parámetros del polinomio caracterı́stico de la
forma:
fila 1 sn
an an−2 · · · a1
n−1
fila 2 s
an−1 an−3 · · · a0
si n es par, y
fila 1 sn
an an−2 · · · a0
fila 2 sn−1 an−1 an−3 · · · 0
si n es impar.
El resto de los términos se calcula de la forma:
sn
sn−1
sn−2
sn−3
..
.
an
an−1
b1
c1
an−2
an−3
b2
c2
an−4
an−5
···
···
Cuadro 1: Arreglo de Routh Hurwith
···
···
···
···
s
s0
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ an an−2 ¯
¯ an an−4 ¯
¯ an−1 an−3 ¯
¯
¯
¯
− ¯¯
− ¯¯
− ¯¯
an−1 an−3 ¯
an−1 an−5 ¯
b1
b2 ¯
b1 =
; b2 =
; c1 =
;
an−1
an−1
b1
es decir, si estamos calculando el elemento xi,j , se utilizan del arreglo los elementos:
x[(i−2),1] , x[(i−1),1] , x[(i−2),(j+1)] , x[(i−1),(j+1)]
y, como pivote (divisor), el x[(i−1),1] .
El criterio de Routh Hurwitz indica que la ecuación caracterı́stica tendrá tantas raı́ces en el
semiplano derecho (con la parte real positiva) como cambios de signo haya en la primera columna
del arreglo de RH.
2
3.
Ejemplo numérico
Consideremos el sistema:
H(s) =
s4
−
5s3
A(s)
+ 5s2 + 5s − 6
cuya ecuación caracterı́stica es: s4 − 5s3 + 5s2 + 5s − 6 = 0.
El arreglo de Routh Hurwitz resultante se muestra a continuación. Como hay 3 cambios de
s4
s3
s2
s
s0
1
-5
2
-10
-6
5
5
-6
8
signo el sistema tiene 3 polos inestables. Dejamos al lector el cálculo de esos polos.
Hay que señalar que si de lo que se trataba era evaluar la estabilidad del sistema, no hubiésemos tenido necesidad de construir el arreglo de RH. Ello porque al haber cambios de signo en el
polinomio caracterı́stico (o que falte alguno de los términos) necesariamente deben haber polos
inestables.
4.
Casos particulares
Para construir el arreglo de RH siempre se utilizan como pivotes los elementos de la primera
columna del arreglo. ¿Qué sucede cuando aparece un “cero” en la primera columna?.
En esta sección trabajaremos los dos casos posible de ceros en la primera columna.
Antes de describir cómo completar el arreglo en este caso, debemos señalar que el hecho de
que aparezca un cero en la 1ra columna del arreglo indica que el sistema tiene polos con parte
real positiva o cero, esto es, en el semiplano derecho o en el eje imaginario. En cualquier caso el
sistema es inestable.
4.1.
Cero en la 1ra columna, pero no toda la fila es de ceros
En ese caso, simplemente reemplazamos el “0” por ε y continuamos construyendo el arreglo.
Al final hacemos ε tender a cero para determinar el signo de la tendencia. Al igual que en el
caso general, los cambios de signo significan polos con parte real positiva.
A tı́tulo de ejemplo, consideremos el siguiente sistema:
H(s) =
s4
+
2s3
A(s)
+ 4s2 + 8s + 5
El arreglo de RH resultante se muestra en la página siguiente.
Cuando ε → 0 hay dos cambios de signo y, por ende, el sistema tiene dos polos en el semiplano
derecho (con partes reales positivas)
3
s4
s3
s2
s
s0
1
2
0≈ε
8 − 10
ε
5
4.2.
4
8
5
5
Toda una fila de ceros
Cuando aparece toda una fila de ceros en el arreglo de RH hay más información disponible
sobre los polos del sistema ya que la fila de ceros significa que hay polos que tienen la misma
magnitud pero con diferencia de fase igual a π, por ejemplo (2,-2) ó (j5, −j5), (1 + j1, −1 − j1).
En ese caso debemos construir el polinomio auxiliar, derivarlo y con el polinomio derivado,
continuar la construcción del arreglo de RH. El polinomio auxiliar es aquel que se construye con
los elementos de la fila inmediatamente anterior a la fila de ceros conseguida.
Consideremos el siguiente sistema:
H(s) =
s5
+
s4
A(s)
+ 2s3 + 2s2 + 3s + 3
El arreglo de RH resulta:
s5
s4
s3
1
1
0
2
2
0
3
3
Como la tercera fila está compuesta enteramente de ceros, construimos el polinomio auxiliar
que resulta el formado por los elementos de la segunda fila, a saber:
Polinomio auxiliar=s4 + 2s2 + 3
cuya derivada es:
4s3 + 4s
reemplazamos la fila de ceros por los parámetros del polinomio derivada y continuamos la construcción del arreglo
s5
s4
s3
s2
s
s0
1
1
4
1
-8
3
2
2
4
3
3
3
Como el arreglo tiene dos cambios de signo, el sistema tiene dos polos en el semiplano
derecho. Es más, las raı́ces que presentan la simetrı́a que hace que aparezca la fila de ceros son,
precisamente, las raı́ces del polinomio auxiliar. Dejamos que el lector verifique por si mismo esos
resultados.
4
5.
Estabilidad relativa
Si el arreglo de RH sólo pudiera utilizarse para evaluar la estabilidad (absoluta) de un sistema,
su utilidad serı́a, más bien, poca, sobre todo a la luz de la cantidad de herramientas muy
poderosas para el cálculo de las raı́ces de un polinomio.
En esta sección más que la estabilidad absoluta, que fue lo que estudiamos en la sección
anterior, trabajaremos la estabilidad relativa y que refiere al hecho de que los parámetros de un
sistema pueden, muchas veces, variar en un rango determinado y nos interesa saber si el sistema
se mantendrá estable en todo el rango de variación del parámetro.
Trabajemos la estabilidad relativa por la vı́a del ejemplo.
Consideremos el siguiente sistema:
H(s) =
s2
A(s)
+ (5 − 0,2Kc )s + (8 + 2Kc )
Estamos interesados en conocer el rango de Kc que asegura la estabilidad del sistema.
Para ello construimos el arreglo de RH que resulta:
s2
s
s0
1
5 − 0,2Kc
8 + 2Kc
8 + 2Kc
Del criterio de RH surge rápidamente que −4 ≤ Kc ≤ 25.
Hay alguna otra aplicación que nos permite, con el arreglo de RH, determinar la rapidez con
la que desaparecen los efectos transitorios de un sistema (con un simple cambio de variable).
Ello sin embargo está fuera del alcance de este curso.
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