Problemario etapa inicial 2002

Recopilación de problemas aplicados en la
primera etapa en los últimos cinco años en
Olimpiada Estatal de
Matemáticas
Año 2006
OLIMPIADA SONORENSE DE MATEMÁTICAS
EXAMEN PRIMERA ETAPA
INSTRUCCIONES:
I. Encierra en la hoja de respuestas el círculo que corresponde a la respuesta
correcta.
II. No se permite el uso de calculadores ni apuntes.
III. Los estudiantes de secundaria deberán contestar los problemas del 1 al 10.
IV. Los estudiantes de preparatoria deberán contestar los problemas del 6 al 15.
V. Tiempo máximo para resolver el examen: 2horas.
1. En la siguiente cuadrícula se ha dibujado una “Z” en su interior, ¿de qué color
hay más área dentro de la “Z”?
a) Blanco
b) Negro
c) Gris
d) Hay igual área de cada color
2. ¿Cuál es número que sigue en la siguiente lista: 1, 3, 7, 15, 31?
a) 71
b) 47
c) 53
d) 63
e) 39
3. ¿Cuántos números de dos dígitos (es decir, números mayores que 9 y
menores que 100) cumplen que la suma de sus dígitos es par?
a) 50
b) 45
c) 25
d) 10
e) 90
4. Se escriben todos los números del 1 al 2006 en una lista de la siguiente
manera: 123456789101112…100010011002…200420052006. ¿Cuál dígito se
escribió más veces?
1
a) el 1
b) el 2
c) el 5
d) el 6
e) el 9
5. A un cubo de 4 × 4 × 4 se le pintan sus cara de rojo, después se divide en 64
cubitos de 1× 1× 1 . ¿Cuántos de los cubitos de 1× 1× 1 tienen pintadas 1 o 2
caras exactamente?
a) 52
b) 56
c) 24
d) 48
e) 16
6. En la siguiente figura, si las líneas l1 y l2 son paralelas, el ángulo ABC = 90º ,
y el ángulo α = 35º . ¿Cuánto vale el ángulo β ?
A
α = 35º
l1
B
a) 35º
b) 45º
l2
β
C
c) 55º
d) 65º
e) 75º
7. En la siguiente figura, cuántas rutas distintas puede seguir una hormiga para ir
de la esquina A a la esquina B, si sólo puede caminas sobre las líneas negras,
y sólo se puede mover hacia arriba y hacia la derecha.
B
A
a) 6
b) 9
c) 10
d) 11
e) 16
8. La figura muestra un cuadrado de lado 2, cuatro círculos con diámetros sobre
los lados del cuadrado, y un círculo circunscrito (que contiene a los vértices de)
al cuadrado. ¿Cuánto vale el área sombreada?
a) 4 (π − 1)
b) 2π
c) 4 − π
d) π
e) 4
9. En una rifa de un automóvil, la computadora que seleccione el número ganador
lo hace de la siguiente forma: primero escoge al azar un número de dos cifras
(mayor que 9 y menor que 100), a este número le resta la suma de sus cifras,
2
finalmente selecciona nuevamente al azar un número de entre los números 1, 4
y 6, y se lo suma al resultado anterior. El número así obtenido es el ganador.
Por ejemplo, si la computadora selecciona al azar el 16, primero le resta 7 (que
es la suma de las cifras de 16, 1+6=7) y da 9, finalmente selecciona al azar el
número 6 y se los suma al 9, y el número ganador es 15. ¿Cuál de los
siguientes no puede ser un número ganador?
a) 28
b) 55
c) 74
d) 24
e) 37
10. ¿Cuántos números capicúa de tres dígitos son múltiplos de tres? (Los número
menores que 100 NO se consideran de tres dígitos.) Nota: Un número es
capicúa si se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. Por
ejemplo: 121 es un número capicúa, pero no es múltiplo de 3, mientras que 252
es capicúa y múltiplo de tres.
a) 9
b) 18
c) 27
c) 30
c) 72
11. El pequeño Luis tiene que hacer una figura que consiste de diez columnas, la
primera tiene un solo cuadrito, la segunda tiene dos cuadritos, y así, hasta la
última que tiene 7 cuadritos. ¿Cuántos palillos necesita Luis, si cada cuadrito
se forma con 4 palillos? Nota: dos cuadritos comparten un mismo palillo si
tienen un lado en común. A continuación se muestra la figura hasta la tercera
columna.
a) 70
b) 56
c) 42
d) 112
e) 67
12. Originalmente, la siguiente figura estaba tenía un número en cada casilla, con
la propiedad de que un número en una casilla (de la segunda fila para abajo)
era igual a la suma de los números en las dos casillas que están
inmediatamente arriba de ella. Al paso del tiempo alguno de los números se
han borrado, y sólo quedaron los que se muestran. ¿Qué número había
originalmente en la casilla marcada con X?
X
2
8
33
a) 1
b) 7
c) 8
d) 23
e) No se puede saber
13. Ángel tiene 2006 dígitos cero, 2006 dígitos uno, 2006 dígitos dos, 2006 dígitos
tres, y así sucesivamente, hasta 2006 dígitos 9. Si Ángel tiene que ir formando
los números: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, … ¿Cuál es el primer número
que ya no puede escribir Ángel porque se le ha terminado alguno de los dígitos
que necesita para escribirlo?
a) 3169
b) 3187
c) 3199
d) 18054
e) 11007
14. En la siguiente figura ABCD es un rectángulo donde AB = 12 y BC = 9 .
M , N y L son los puntos medios de los lados AB, BC y CD ,
respectivamente. Y Q es la intersección de los segmentos MC y LN .
¿Cuánto mide QN ?
3
A
M
B
N
Q
L
D
a)
5
2
b)
15
4
c) 3
C
d)
33
4
e) 5
15. El señor Pérez tiene varias hijas. En una ocasión le preguntaron cuántas hijas
tenía, y el respondió lo siguiente: “Para hallar la respuesta tendrás que pensar
un poco. Mira: todas mis hijas son de distintas edades, la suma de sus edades
es 25, y el producto de las edades termina en 1”. ¿Cuántas hijas tiene el señor
Pérez?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
4
e) No se puede saber
Año 2005
Problema 1. Encuentre el valor de ((2 + 2)(2 + 2)) 2 .
b) 64
c) 32
a) 82
d) 256
e) 512
Problema 2. La suma de tres números impares consecutivos es igual a 27. ¿Cuál es el número
más pequeño de esos tres?
a) 11
b) 9
c) 8
d) 7
e) 5
Problema 3. En la siguiente figura, AD=DC, AB=AC, el ángulo <ABC mide 75º y el ángulo
<ADC mide 50º. ¿Cuánto mide el ángulo <BAD?
a) 30º
b) 85º
c) 95º
d) 125º
e) 140º
Problema 4. La señora Pérez tiene 5 hijas, cada una de ellas tiene 4 hijas y cada una de ellas
tiene a su vez tres hijas. ¿Cuántas descendientes tiene la señora Pérez?
a) 12
b) 60
c) 17
d) 85
e) 72
Problema 5. ¿Cuántos números enteros hay entre 1 y 2005, que son múltiplos de 7 y no son
pares?
a) 143
b) 144
c) 287
d) 286
e) 307
Problema 6. Si cada letra C,A,N,G,U,R,O,S corresponde a un dígito, entonces
10,000 X UROS - 10,000 X CANG + CANGUROS es igual a:
a) UROSUROS b) UROSCANG c) CANGCANG d) CANGUROS e) CARUNGOS
Problema 7. En el triángulo ABC se cumple que AB=BC=5 y AC= 10 . Si AD es la altura
del triángulo, calcule DC.
a)
5
b) 3
c) 1
d)
2
e) 2
Problema 8. Luis compró una bolsa con 2000 caramelos de 5 colores. 387 de ellos eran
blancos, 396 amarillos, 402 rojos, 407 verdes y 408 cafés. Decidió comerse los caramelos de
la siguiente forma: sin mirar, sacaba tres de la bolsa, si los tres eran del mismo color, se los
comía, si no, los regresaba a la bolsa. Continuó así hasta que sólo quedaron dos caramelos en la
bolsa, ¿de qué color eran?
a) blancos
b) amarillos
c) rojos
d) verdes
e) cafés
Problema 9. Edgar y Raúl apostaron según las siguientes reglas: van a lanzar un dado normal
(con los números del 1 al 6 en sus caras) y una moneda (con los números 1 y 2 marcados en sus
5
caras). Después multiplicarán el número que salga en el dado con el que salga en la moneda. Si
el resultado es par gana Edgar, y si el resultado es impar, gana Raúl. ¿Qué probabilidad tiene
Edgar de ganar?
a)
1
2
b)
1
3
c)
2
3
d)
Problema 10. ¿Cuál es el último dígito de 7 2005 ?
a) 7
b) 9
c) 3
3
4
d) 1
e)
5
6
e) 5
Problema 11. Una caja que compró mamá está llena de chocolates en forma de cubo. Sara se
comió todos los del piso de arriba, que eran 77. Después se comió 55, que eran los que
quedaban en un costado. Finalmente se comió los que quedaban en frente. ¿Cuántos chocolates
sobraron en la caja?
a) 203
b) 256
c) 295
d) 300
e) 305
Problema 12. En el siguiente cubo, ¿de cuántas formas se puede ir de A a B sobre las aristas
sin pasar dos veces por el mismo vértice y sin subir?
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 15
Problema 13. Un cuadrado tiene perímetro P y área Q. Dada la ecuación 3P=2Q, determine el
valor de P.
a) 10
b) 12
c) 24
d) 36
e) 48
Problema 14. ¿De cuántas formas distintas pueden colorearse los lados de un triángulo
equilátero con cuatro colores distintos, si suponemos que un mismo color se puede emplear en
lados distintos y que dos coloraciones son iguales si difieren en un giro del triángulo en el
plano?
a) 4
b) 20
c) 24
d) 16
e) 8
Problema 15. El círculo de la figura tiene centro en O y su diámetro mide 3. Los segmentos
AT y RS son diámetros perpendiculares al círculo. La recta L es tangente al círculo en el punto
T. B es la intersección de la recta L con la recta L’. Calcular el área de la región sombreada.
a)
3
9
π−
2
16
b)
2π
3
c)
9 −π
16
6
d)
3
4π
e)
27 9π
−
8 16
Año 2004
Problema 1. Papá y Mamá Canguro tienen 3 hijas, y cada hija tiene dos hermanos. ¿Cuántos
miembros tiene la familia Canguro?
a) 5
b) 7
c) 8
d) 9
e)11
Problema 2. Si se escriben todos los múltiplos de 5 menores que 200, ¿cuántos 1’s se usan?
a) 4
b) 6
c) 8
d) 22
e) 24
Problema 3. Si a y b son dos enteros positivos con máximo común divisor 3 y
¿cuánto vale ab ?
a) 10
b) 18
c) 30
d) 36
a
= 0 .4 ,
b
e) 90
Problema 4. Cuatro paquetes se pesan por parejas en todas las posibles combinaciones. Los
pesos obtenidos son 5 kg. 6 kg. 8 kg. 9 kg. 11 kg. 12 kg. El peso total de los cuatro paquetes es
a) 8.5 kg.
b) 12.75 kg.
c) 17 kg.
d) 34 kg.
e) 51 kg.
Problema 5. En cierto mes tres domingos fueron días con número par. ¿Qué día de la semana
fue el día 20 de ese mes?
a) lunes
b) martes
c) miércoles
d) jueves
e) sábado
Problema 6. En una caja se tienen 20 pares de zapatos completos de tres colores distintos y de
tres tamaños distintos; si en la caja hay:
4 pares de zapatos rojos, 1 chico, 1 mediano y 2 grandes,
7 pares de zapatos verdes, 2 chicos, 2 medianos y 3 grandes,
9 pares de zapatos azules, 2 chicos, 3 medianos y 4 grandes.
¿Cuál es la cantidad mínima de zapatos que debe sacarse para estar seguros de que se ha sacado
un par completo del mismo color y tamaño?
a) 4
b) 16
c) 20
d) 21
e) 30
Problema 7. ¿Por cual dígito debe sustituirse la letra “a” para que 864,2a2 sea divisible entre 4?
a) 2
b) 4
c) 5
d) 6
e) 8
Problema 8. En la siguiente figura, el rectángulo ABCD está en el interior de la circunferencia
de tal manera que el vértice B es el centro de la circunferencia y D está sobre la circunferencia,
si AC = 6. ¿ Cuál es el diámetro de la circunferencia?
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 6π
Problema 9. ¿Cuántos números hay entre 100 y 300 que no sean divisibles entre 3 ni entre5?
a) 92
b) 106
c) 107
d) 108
e) 140
7
Problema 10. Juanito tenía un cupón del 20% de descuento sobre el total a pagar de su compra
en la tienda de la Olimpiada y decidió ir a comprar una taza. Al llegar a la tienda se encontró
con que la taza tenía un 30% de descuento, ¿cuál es el descuento total que obtendrá Juanito si
utiliza su cupón?
a) 36%
b) 44%
c) 50%
d) 60%
e) 66%
Problema 11. Un triángulo rectángulo de catetos 12, 16 está inscrito en una circunferencia,
¿Cuál es el radio de dicha circunferencia?
a) 6
b) 8
c) 10
d) 14
e) 28
Problema 12. ¿Cuál es la suma de los dígitos del número 52004 x 22000 ?
a) 10
b) 13
c) 14
d) 15
e) 2004
Problema 13. Juan ha decidido repartir sus 35 canicas entre sus primo, de manera que nadie
tenga la misma cantidad de canicas ¿Cuál es la máxima cantidad de primos a los que se les
puede repartir sus canicas?
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
Problema 14. ¿Cuánto es 77+77+77+77+77+77+77?
a) 497
b) 77
c) 78
d) 343
e) 749
Problema 15. ¿Cuánto es la mitad de 42004?
a) 22004
b) 42003
c) 41002
d) 24007
e) 21002
8
Año 2003
Problema 1. Un costal está lleno de canicas de 20 colores distintos. Al azar se van sacando
canicas del costal. ¿Cuál es el mínimo número de canicas que deben sacarse para poder
garantizar que en la colección tomada habrá al menos 100 canicas del mismo color?
a) 1981
b) 1995
c) 2001
d) 2003
e) Otra
Problema 2. En la figura, el área del cuadrado de mayor tamaño es igual a 1 m2. Una de sus
diagonales se divide en tres segmentos de la misma longitud. El segmento de en medio es la
diagonal del cuadrado gris. ¿Cuál es el área del cuadrado gris?
a) 1/3 m2
b) 1/9 m2
c) 1/6 m2
d) 1/4 m2
e) Otra
Problema 3. 99 - 97 + 95 - 93 + ... +3 - 1 =
a) 32
b) 48
c) 50
d) 64
e) Otra
Problema 4. El entrenador más experimentado del circo necesita 40 minutos para lavar un
elefante. Su hijo lleva a cabo la misma tarea en 2 horas. ¿Cuántos minutos tardarán el
entrenador y su hijo en lavar 3 elefantes trabajando juntos?
a) 90
b) 120
c) 200
d) 280
e) Otra
Problema 5. Me comí una rebanada de un pastel redondo que representaba el 15 % del pastel,
como indica la figura. ¿Cuál es el ángulo que abarca la rebanada del pastel?
a) 15o
b) 36o
c) 45o
d) 54o
e) Otra
Problema 6. Si efectuamos el producto de todos los números impares comprendidos entre 7 y
2003, ¿cuál es la cifra de las unidades del número así obtenido?
a) 1
b) 3
c) 5
d) 7
e) Otra
Problema 7. En la figura, L1 y L2 son rectas paralelas, además AB=BD, ¿Cuál es la relación
entre las áreas de los triángulos ABC y BDE?
a) area1 > area2
b) area1 < area2
c) area1=area2
9
d) No se puede saber
e) Otra
Problema 8. De la ciudad A a la ciudad B hay 3 caminos, de la ciudad A a la ciudad C hay 5
caminos, de la ciudad B a la D hay 2 caminos y de la ciudad C a la D hay dos caminos. Ningún
camino que une dos ciudades pasa por otra. ¿Cuántas formas hay de ir de la ciudad A a la D?
a) 5
b) 7
c) 16
d) 60
e) Otra
Problema 9. Un triángulo rectángulo tiene hipotenusa 6 y perímetro 14, ¿cuál es su área?
a) 3
b) 7
c) 10
d) 14
e) Otra
Problema 10. Yo salí de mi casa en automóvil a las 8:00 de la mañana. Un automóvil que va al
doble de mi velocidad sale también de mi casa, me alcanza exactamente a la mitad del camino y
llega 90 minutos antes que yo a nuestro lugar de destino. ¿A qué hora salió el otro automóvil?
a) 8:00 h
b) 8:30 h
c) 9:00 h
d) 9:30 h
e) Otra
10
Año 2002
Encierre en un círculo la respuesta que usted considere correcta.
1. A una determinada cantidad le sumo el 10% de si misma y a la cantidad así obtenida le resto
su 10%.
¿Qué porcentaje de la cantidad original me queda?
a) 90%
b) 99%
c) 100%
d) Ninguna de las anteriores.
2. Para pintar una alberca con fondo en forma de cuadrado de 4m de lado y 2m de profundidad
se necesitó 6 lts. de pintura ¿Qué cantidad de pintura se requiere para pintar una alberca con
fondo en forma rectangular con 8 metros de largo, 4m de ancho y 2m de profundidad.
a) 80/48 lts.
b) 8 lts.
c) 10 lts.
d) Ninguna de las anteriores.
3. ¿De cuántas maneras distintas se pueden pagar $5.00, usando monedas de 10 y 20 centavos?
a) 26
b) 1
c) 25
d) Ninguna de las anteriores.
4. El cuadrado que se muestra en la figura es un cuadrado mágico. Esto quiere decir que la
suma de los números de cualquier columna, renglón o diagonal tiene que ser igual. ¿Cuánto
vale N?
16 N
11
15
12
a) N=10
b) N=12
c) N=9
d) Ninguna de las anteriores.
5. Alejandro tiene en su cajonera 9 pares de calcetines, pero como es descuidado los tiene
todos revueltos. Tiene tres pares de calcetines rojos, dos pares de azules, dos pares de
negros y dos pares blancos ¿Cuántos calcetines tiene que sacar para asegurar que escoja un
par del mismo color?
a) 8
b) 5
c) 6
d) Ninguna de las anteriores.
6. ¿Cuántos números enteros positivos n, satisfacen la desigualdad: 2/5 < n/17 < 11/13.
a) 6
b) 10
c) 8
d) Ninguna de las anteriores.
7. El 70% de los habitantes de un país habla un idioma y el 60% de la misma población habla
otro idioma ¿Qué porcentaje de la población habla los dos idiomas, sabiendo que cada
habitante habla al menos uno de ellos?
a) 30%
b) 25%
c) 10%
d) Ninguna de las anteriores.
8. En un conjunto de cinco números, el promedio de los primeros tres es 15 y el promedio de
los últimos dos es 10. ¿Cuánto vale el promedio de los cinco números?
a) 12.5
b) 20
c) 13
d) Ninguna de las anteriores.
9. ¿Cuántos números enteros mayores que 10 y menores de 100 disminuyen en 9 unidades
cuándo sus dígitos se invierten de lugar.
a) 8
b) 9
c) 11
d) Ninguna de las anteriores.
10. ¿Cuántos números de cinco cifras se pueden escribir usando sólo los dígitos 0, 1, 2, 3, 4?
a) 55
b) 4x54
c) 4x55
d) Ninguna de las anteriores.
11