Geometría Euclídea

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CAPÍTULO 8. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
Geometría Euclídea
©
ª
©
ª
Espacios vectoriales. El plano: R2 = (x, y) : x, y ∈ R . El espacio: R3 = (x, y, z) : x, y, z ∈ R .
Si u = λv para algún λ 6= 0 diremos que son proporcionales: u k v.
Producto escalar. < (x1 , y1 , z1 ) , (x2 , y2 , z2 ) >= x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
Si < u, v >= 0 diremos que son ortogonales: u⊥v.
(si es en R2 olvidar las terceras coordenadas)
Producto vectorial. En R3 , si v = (a1 , a2 , a3 ) y w = (b1 , b2 , b3 ) son dos vectores no proporcionales
(v 6k w) se tiene bien definido el producto vectorial u = v × w como el vector
³¯ a a ¯ ¯ a a ¯ ¯ a a ¯´
u = ¯ 2 3 ¯, −¯ 1 3 ¯, ¯ 1 2 ¯ .
b1 b2
b1 b3
b2 b3
Se cumple que v × w⊥v y v × w⊥w, es decir, el producto vectorial de dos vectores no proporcionales
es ortogonal a ambos.
1
Módulo o norma de un vector. v = (a, b, c), kvk =< v, v > 2 =
√
a2 + b2 + c2
(si es en R2 olvidar las
terceras coordenadas)
Espacio afín euclídeo. Miramos el espacio vectorial como espacio de puntos. Un punto P es el
final del vector que lo une con el origen, el punto O. Cada par de puntos P , Q, delimita un único
vector, el P Q. Si desde P avanzamos según el vector P Q llegamos a Q: P + P Q = Q.
Coordenadas de un punto P : si OP = (x0 , y0 , z0 ), decimos que P = (x0 , y0 , z0 ). Si P = (x0 , y0 , z0 )
y Q = (x1 , y1 , z1 ), entonces P Q = (x1 − x0 , y1 − y0 , z1 − z0 ). (si es en R2 olvidar las terceras coordenadas)
Puntos, rectas y planos. Una recta queda determinada por 2 puntos distintos. Para determinar
un plano nos bastan 3 puntos no alineados.
Ecuación de una recta en R2 : si pasa por los puntos P0 = (x0 , y0 ) y P1 = (x1 , y1 ), su ecuación
cartesiana surge al desarrollar un determinante:
¯
¯
¯ x − x0 y − y 0 ¯
¯
¯
¯ x1 − x0 y1 − y0 ¯ = 0
quedando de la forma ax + by + c = 0. El vector (a, b) (los coeficientes de x e y) es ortogonal a
la recta. Si X = (x, y) es cualquier punto de la recta que pasa por P0 = (x0 , y0 ) y tiene dirección
ortogonal a (a, b), < (x − x0 , y − y0 ), (a, b) >= 0 es su ecuación cartesiana.
Ecuación de un plano en R3 : si se apoya en los puntos P0 = (x0 , y0 , z0 ), P1 = (x1 , y1 , z1 ) y
P2 = (x2 , y2 , z2 ), que han de ser distintos y no colineales (es decir no en la misma recta), cualquier
punto X = (x, y, z) del plano verificará que el vector P0 X será combinación lineal (por lo tanto no
independiente) de los vectores P0 P1 y P0 P2 . Así, se ha de verificar que:
¯
¯
¯ x − x0 y − y0 z − z0 ¯
¯
¯
¯ x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0 ¯ = 0
¯
¯
¯ x2 − x0 y1 − y0 z2 − z0 ¯
8.5. PROBLEMAS MÉTRICOS
131
igualdad que al desarrollar nos lleva a la ecuación cartesiana del plano en cuestión: ax+by+cz+d = 0.
(a,b,c)
El vector (a, b, c) es ortogonal al plano, se dice un vector normal; y al vector n = k(a,b,c)k
, un normal
unitario, pues claramente tiene norma o módulo 1. Es claro que (a, b, c) k P0 P1 × P0 P2 .
Ecuación de una recta en R3 : si pasa por el punto P0 = (x0 , y0 , z0 ) y lleva la dirección del vector
u = (ux , uy , uz ), su ecuación paramétrica es:
¡
¢
P0 + tu = x0 + tux , y0 + tuy , z0 + tuz , t ∈ R (si es en R2 olvidar las terceras coordenadas)
¡
¢
Para cada valor de t se obtienen las coordenadas, x(t), y(t), z(t) de un punto de dicha recta.
Despejando el parámetro t e igualando obtenemos la ecuación en su forma continua:
x − x0
y − y0
z − z0
=
=
ux
uy
uz
siempre que los cocientes tengan sentido (no haya ceros en algún denominador). Igualando dos a dos
(nos bastan dos elecciones) llegamos a la ecuación (sistema de ecuaciones) cartesiana:
½
a1 x + a2 y + a3 z = c
`≡
b1 x + b2 y + b3 z = d
en la que la recta viene descrita como intersección de dos planos distintos. Los vectores v = (a1 , a2 , a3 )
y w = (b1 , b2 , b3 ) son ortogonales al vector, u, director de la recta: u = v × w.
Distancia entre puntos.
d(P, Q) = kP Qk
Si P = (x0 , y0 , z0 ) y Q = (x1 , y1 , z1 ) entonces d(P, Q) =
p
(x1 − x0 )2 + (y1 − y0 )2 + (z1 − z0 )2 .
(si es en R2 olvidar
las terceras coordenadas)
Distancia de un punto a. . . Se define como la menor de las distancias posibles. Siempre se
consigue en direcciones ortogonales (por el Teorema de Pitágoras).
. . . una recta en el plano. Si P = (s, t) y ` ≡ ax+by +c = 0, con normal unitario n =
¯
¯
¯as + bt + c¯
d(P, `) = √
.
a 2 + b2
(a,b)
√
:
a2 +b2
. . . un plano en el espacio. Si P = (r, s, t) y Π ≡ Ax + By + Cz + D = 0:
¯
¯
¯Ar + Bs + Ct + D¯
.
d(P, Π) = √
A2 + B 2 + C 2
. . . una recta en el espacio. Si P = (p, q, r) y la recta tiene ecuación paramétrica P0 + tu, el
punto de la recta, Pt , más cercano a P corresponde al valor del parámetro en que P Pt es ortogonal
a u: P Pt ⊥u ó < P Pt , u >= 0. Una vez calculado ese valor del parámetro (que es único si P ∈
/ P0 +tu),
la distancia es el módulo del vector P Pt . Obsérvese que P Pt = P P0 + P0 Pt y P0 Pt = tu, de manera
que es fácil deducir que el momento en que P Pt se pone ortogonal a u es:
t=
< P0 P, u >
− < P P0 , u >
=
.
2
kuk
kuk2
132
CAPÍTULO 8. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
Distancia entre variedades. En general si X, Y ⊂ Rn son dos variedades lineales se define la
distancia entre ellas d(X, Y ) como la menor de las distancias que se tienen entre parejas de puntos
P ∈ X y Q ∈ Y . Del teorema de Pitágoras es fácil deducir que si d(X, Y ) se obtiene para la pareja
P0 ∈ X y Q0 ∈ Y entonces P0 Q0 ⊥X y P0 Q0 ⊥Y . Se dice que la distancia entre X e Y se verifica
sobre una dirección normal común. Nos preocupamos en este resumen de unos pocos casos:
Distancia. . .
. . . entre dos rectas paralelas en R2 . Podemos encontrar ecuaciones de ambas con el mismo
vector normal: Si `1 ≡ ax + by + c = 0 y `2 ≡ ax + by + c0 = 0 la distancia es:
¯
¯
¯ c − c0 ¯
d(`1 , `2 ) = √
.
a 2 + b2
. . . entre dos planos paralelos en R3 . Podemos encontrar ecuaciones de ambos con el mismo
vector normal: Si Π1 ≡ Ax + By + Cz + D = 0 y Π2 ≡ Ax + By + Cz + D0 = 0 la distancia es:
d(Π1 , Π2 ) = √
¯
¯
¯ D − D0 ¯
A2 + B 2 + C 2
.
. . . entre una recta y un plano paralelos en R3 . En tal situación se encuentran una recta
` con vector director u y un plano Π con vector normal n ortogonal a u (de manera que la dirección
u vive en el plano). Si P ∈ ` es cualquier punto de la recta ` ocurre que: d(`, Π) = d(P, Π). Cuidado
que esto solo ocurre porque son paralelas.
. . . entre dos rectas que se cruzan en R3 . Estamos en esta tesitura cuando los vectores
directores no son paralelos y las rectas no se cortan. Entre las distintas estrategias que podemos
seguir, recalcamos las siguientes:
Estrategia 1. Construyendo un plano paralelo a una de las rectas y conteniendo a la otra. Tomamos
`1 ≡ P1 + su1 , `2 = P2 + tu2 , sea Π ≡ P2 + su1 + tu2 :
d(`1 , `2 ) = d(`1 , Π) = d(P1 , Π) .
Estrategia 2. Construyendo, con el vector normal común, un plano conteniendo a una recta y
transversal a la otra. Si `1 ≡ P1 + su1 , `2 = P2 + tu2 , tomamos n = u1 × u2 y Π ≡ P1 + rn + su1 .
Este plano corta a `2 en un único punto: Q2 ∈ `2 ∩ Π. Desde este punto se verifica la distancia entre
ambas rectas:
d(`1 , `2 ) = d(`1 , Q2 )
Además, se conoce la dirección sobre la que se verifica: n = u1 × u2 , con lo que se puede encontrar
el punto Q1 ∈ `1 tal que d(`1 , `2 ) = kQ1 Q2 k.
Estrategia 3. Ver la post data en la página 133.
8.5. PROBLEMAS MÉTRICOS
133
Otros problemas métricos. Dos vectores u, v, no proporcionales determinan un paralelogramo.
Las diagonales del mismo están determinadas por los vectores suma
µ
µ
u
u + v y diferencia u − v. El área de este paralelogramo es:
v
-
Área := A(u, v) = kuk kvk | sen α |
siendo α el ángulo que forman ambos vectores. Obsérvese que se usa el valor absoluto de sen α.
Puesto que el producto escalar de dos vectores tiene una expresión en la que interviene el ángulo,
a saber: < u, v >= kuk kvk cos α; no es muy difícil (elevando al cuadrado la fórmula para el área y
usando la relación fundamental de la trigonometría† ) llegar a
s
µ
¶
kuk2
< u, v >
Área := A(u, v) = det
< u, v >
kvk2
que para vectores en R2 nos lleva a una sencilla fórmula:
¯
µ
¶¯
¯
u1 v1 ¯¯
¯
.
Área := A((u1 , u2 ), (v1 , v2 )) = ¯det
u2 v 2 ¯
Si estamos en R3 y u y v son no proporcionales, es sencillo comprobar que
ku × vk2 = kuk2 kvk2 − < u, v >2
Así, para el área de un paralelogramo delimitado por dos vectores de R3 tenemos directamente la
expresión
Área := A(u, v) = ku × vk .
Tres vectores no coplanarios (independientes), u, v y w en R3 determinan un paralelepípedo de
volumen
¯
¯ ¯
¯
Volumen = V (u, v, w) = A(u, v) × (altura) = ku × vk kwk ¯ cos β ¯ = ¯ < u × v, w > ¯
donde β es el ángulo que forma el vector w con el vector producto vectorial u × w. Es sencillo
comprobar, desde la última expresión, que, si u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ) y w = (w1 , w2 , w3 )
¯

¯
¯
u1 u2 u3 ¯¯
¯
Volumen = V (u, v, w) = ¯¯det  v1 v2 v3 ¯¯
¯
w1 w2 w3 ¯
(esto es, el volumen es el valor absoluto del determinante formado por las coordenadas de los tres
vectores).
Nota final: Para áreas de triángulos y volúmenes de tetraedros, tenemos:
1
Área(ABC) = (AB, AC)
2
1
Volumen(ABCD) = V (AB, AC, AD) .
6
Post data: Si `1 ≡ P1 + su, `2 ≡ P2 + tv son dos rectas que se cruzan en R3 , con los vectores P1 P2 ,
u y v se tiene un paralelepípedo cuya altura es la distancia entre las rectas. Así:
d(`1 , `2 ) =
†
sen2 α + cos2 α = 1
V (u, v, P1 P2 )
.
A(u, v)