1. Secciones cónicas - Claroline

Universidad de Costa Rica
Escuela de Matemática
MA-1002: Cálculo II
Ejercicios 8: Secciones cónicas y Coordenadas polares
1.
Secciones cónicas
1. En 1543 Copérnico estableció que los planetas del sistema Solar tienen órbitas circulares
alrededor del Sol, contradiciendo el modelo geocéntrico de Ptolomeo. A principios del siglo
XVII Johannes Kepler basado en los datos y las observaciones de Tycho Brahe estableció un
nuevo modelo en el cual se establece que los platenetas tienen orbitas elı́pticas con el Sol en
uno de los focos. Alrededor de 100 años despúes Newton, usando la una nueva herramienta
(el cálculo) logró deducir la Ley de Kepler a partir de la Ley de Gravitación Universal.
La Tierra describe una trayectoria elı́ptica alrededor del Sol que se encuentra en uno de los
focos, sabiendo que el semieje mayor de la elipse mide 1, 485 × 108 km y que la excentricidad
1
es, aproximadamente . Hallar las distancias máxima y mı́nima de la Tierra al Sol. Calcule
62
el área de la elipse.
2. Un satélite artificial tiene una órbita elı́ptica con la Tierra ubicada en uno de los focos. Se le
llama afelio (A) a la distancia máxima de la Tierra al satélite y perigeo (P ) a la distancia
mı́nima de al Tierra al satélite. Si el afelio y el perigeo se miden desde el centro de la Tierra
A−P
muestre que la excentricidad de la órbita esta dada por e =
A+P
3. Calcule la ecuación y el área de la elipse centrada en (−1, −1) si uno de sus vértices es
2
(5, −1) y su excentricidad es e = .
3
4. En cada caso calcular vértices, focos, longitud de semiejes, excentricidad, área y grafique las
siguientes elipses:
a) 9x2 + 4y 2 = 36.
b) 9x2 + 4y 2 = 36.
c) 16x2 + 25y 2 = 400.
d ) x2 + 3y 2 = 6.
5. Calcule la excentricidad de la elipse cuyos vértices son (4, 0), (−4, 0) y cuyos focos son (3, 0),
(−3, 0).
6. Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos (2, 0), (−2, 0) y su excentricidad
2
es e = .
3
7. Calcular la ecuación y la excentricidad dela elipsecon centro en el origen, uno de sus vértices
√ 14
es el punto (0, −7) y pasa por el punto
5,
.
3
1
√
!
7
, 3 , tiene
8. Calcule la ecuación y la excentricidad de la elipse que pasa por el punto
2
centro en el origen, su eje menor coincide con el eje x y la longitud de su eje mayor es el
doble de la de su eje menor.
9. Calcule la ecuación y la excentricidad
de
centrada en el origen, cuyo eje mayor
√
laelipse
√ coincide con “eje x” y pasa por
6, −1 y 2, 2 .
10. Sea k > 0, k ∈ R. Muestre que 3x2 + 4y 2 = k representa una familia de elipses de excentri1
cidad e = .
2
11. Sea a > b. Considere la la elipse
x2 2y 2
x2
2y 2
+
=
1
y
la
hipérbola
−
= 1.
a2
b2
a2 − b2
b2
a) Muestre que las curvas se intersecan en los puntos de la forma (x0 , y0 ) donde
2a2 (a2 − b2 )
b4
2
=
x20 =
y
y
0
2a2 − b2
2(a2 − b2 )
b) Utilice derivación implı́cita para verificar que la pendiente de la recta tangente a la
−b2 x0
elipse en el punto (x0 , y0 ) es meli =
2a2 y0
c) Utilice derivación implı́cita para verificar que la pendiente de la recta tangente a la
b2 x 0
hipérbola en el punto (x0 , y0 ) es mhip =
2(a2 − b2 )y0
d ) Verifique que en el punto (x0 , y0 ) se cumple que meli mhip = −1.
e) Concluya que la elipse y la hipérbola son curvas ortogonales, es decir, se intersecan en
ángulo recto.
x2
+ y 2 = 1 y la recta x + y = 2. Grafi12. Calcule los puntos de intersección entre la elipse
4
que ambas cuvas en el mismos sistema de ejes coordenados identificando las intersecciones
encontradas anteriormente.
(y − 1)2
13. Calcule los puntos de intersección entre la hipérbola (x − 1)2 −
= 1 y la recta
9
x + y = 1. Grafique ambas cuvas en el mismos sistema de ejes coordenados identificando las
intersecciones encontradas anteriormente.
14. Los focos de una elipse son (3, 8), (3, 2) y la longitud de su eje mayor es 8. Calcule las
coordenadas de los focos y la excentricidad de la elipse.
15. En cada caso calcular vértices, focos, longitud de semiejes, excentricidad, área y grafique las
siguientes elipses:
a) x2 + 4y 2 − 6x + 16y + 21 = 0.
b) 4x2 + 9y 2 + 32x − 18y + 37 = 0.
2
c) x2 + 4y 2 − 10x − 40y + 109 = 0.
d ) 9x2 + 4y 2 − 8y − 32 = 0.
16. En cada caso calcular vértices, focos, ecuaciones de las ası́ntotas, excentricidad y grafique
las siguientes hipérbolas:
a)
b)
c)
d)
9x2 − 4y 2 = 36.
4x2 − 9y 2 = 36.
9y 2 − 4x2 = 36.
x2 − 4y 2 = 4.
(x + 4)2 (y − 1)2
−
=1
e)
36
16
f ) 9x2 − 16y 2 − 18y − 64y − 199 = 0.
√ √ g) y − 3x y + 3x = −12
17. Muestre que el área de la elipse
x2 y 2
+ 2 = 1 esπab ul2 .
a2
b
18. Los vértices de una hipérbola son los puntos (2, 0), (−2, 0) y sus focos son los puntos (3, 0),
(−3, 0). Hallar su ecuación y su excentricidad.
3
19. Los vértices de una hipérbola son los puntos (0, 4), (0, −4) y su excentricidad es . Hallar
2
la ecuación de la hipérbola
y las coordenadas de sus focos.
20. Una hipérbola tiene su
√ centro en el origen y tiene por eje el eje x. Hallar su ecuación si su
6
excentricidad es e =
2
y si se sabe que pasa por el punto (2, 1).
21. Escriba
la ecuación de la siguiente cónica en forma canónica y calcule su excentricidad.
y−1
y+2
= −6.
x−3
x+2
q
2
22. Calcule el vértice, la directriz y grafique la parábola x2 + y + 43 = y − 43 .
23. Encuentre el vértice, foco, directrı́z y esbozar el gráfico de las siguientes parábolas.
a) y 2 = −6x
b) y = 41 (x2 − 2x + 5)
c) y 2 + y + x = 0
24. Encuentre la ecuación de la parábola especificada
a) Vértice (0, 0) y foco (0, −3
).
2
b) Vértice (−2, 1) y directrı́z x = 1.
c) Foco (2, 2) y directrı́z x = −2.
3
2.
Coordenadas polares
1. Hallar la pendiente de la tangente a la curva dada en el punto considerado
π
.
2
b) r = cos(3θ) en el polo.
a) r = 1 − cos θ, θ =
√
π−3 3
π
c) rθ = a, θ = . Respuesta: − √
3
π 3+3
2. Hallar todos los puntos ( en forma polar) en los que la tangente a la curva r = 1 + sin(θ) es
horizontal o vertical, calcule las ecuaciones de las tangentes.
3. Considere la ecuación de la lemniscata r2 = a2 cos (2θ) :
π
4
b) Calcule el área limitada por la lemniscata. Respuesta a2 .
a) Muestre que las tangentes al polo estan en θ = ±
πa2
.
4
4. Calcule el área limitada por los petalos de la rosa r = a cos (3θ). Respuesta:
5. Calcuele el área interior a la curva r = 2 + cos θ.
6. Hallar el área exterior al cı́rculo r = 1 e interior al cardioide r = 1 + cos θ. Respuesta: 2 +
7. Hallar el área de cada uno de los lazos del caracol r =
π
4
−
√
3 3
.
8
1
+ cos θ. Respuestas: lazo menor:
2
8. hallar el área común entre el cŕculo r = 3 cos θy r = 1 + cos θ. Respuesta
5π
4
√
2θ
9. Calcule la longitud de la espiral r = e
desde θ = 0 a θ = 2π. Respuesta:
10. Hallar la longitud del cardioide r = a(1 − cos θ). Respuesta:8a.
11. Escribir la siguiente ecuacián en coordenadas rectángulares:
r2 − 2r (cos θ − sin θ) − 7 = 0
identifique la cónica resultante y grafı́quela.
12. Escribir la siguiente ecuación en coordenadas rectángulares:
r=
4
1 − cos θ
identifique la cónica resultante y grafı́quela.
4
π
4
5(e4π −1)
2
13. Escribir la siguiente ecuación en coordenadas rectángulares:r =
1
1−2 sin θ
identifique la cónica resultante y grafı́quela.
14. Transformar las siguientes ecuaciones a coordenadasrectangulares e identifique la curva:
a) r = 3 cos θ
b) r = 1 − cos θ
c) r = 2 cos θ + 3 sin θ
π
d) θ =
4
3
e) r =
2 + 3 sin θ
f ) r = aθ
g) r2 = 9 cos (2θ)
15. Transformar las siguientes ecuaciones a coordenadas polares. (Simplifique al máximo)
2
a) (x2 + y 2 ) = 2a2 xy
b) y 2 =
x3
2a − x
3
c) (x2 + y 2 ) = 4x2 y 2
d ) x − 3y = 0
e) x4 + x2 y 2 − (x + y)2 = 0
3
2
f ) (x2 + y 2 ) = 16x2 y 2 (x2 − y 2 )
5