XI. MOVIMIENTO CURVILÍNEO

XI. MOVIMIENTO CURVILÍNEO
En el estudio del movimiento rectilíneo nos bastaba un número para
determinar la posición, la velocidad o la aceleración de la partícula en
estudio. Pero para determinar esas propiedades del movimiento de una
partícula que describa una trayectoria curva, necesitaremos conocer tanto
la magnitud como la dirección. De modo que será conveniente trabajar, a
partir de ahora, con vectores.
Consideremos un automóvil
transitando por una carretera curva,
aumentando su rapidez. Si lo observamos desde un punto O fuera de la
carretera, para situarlo deberemos
conocer la distancia a la que se encuentra y en qué dirección se mide
esa distancia. Representaremos el
caso mediante una curva arbitraria y
un punto sobre ella. Al punto O lo
llamaremos origen, y desde éste al
punto trazaremos un vector, el vector de posición.
Un tiempo después, el punto ocupará una nueva posición. Y la diferencia entre estas dos posiciones será el desplazamiento. Ahora el desplazamiento también es una cantidad vectorial, tal que
𝑟̅ + ∆𝑟̅ = 𝑟̅ ′
∆𝑟̅ = 𝑟̅ ′ − 𝑟̅
Puesto que la velocidad media es la razón del desplazamiento al
tiempo, la representaremos con un nuevo vector, que tendrá la misma
dirección del desplazamiento. Observemos que la magnitud del desplaza-
Movimiento curvilíneo
miento, es decir, la magnitud del vector, es menor que la longitud recorrida por la partícula entre las dos posiciones consideradas.
|∆𝑟̅ | ≠ ∆𝑠
Si el lapso considerado es infinitamente pequeño, la razón del desplazamiento al tiempo será la velocidad de
la partícula en ese instante. Ahora bien,
si la segunda posición se acerca todo lo
posible a la primera, la línea que las
una, que será la dirección tanto del
desplazamiento como de la velo-cidad,
será tangente a la trayectoria. Esta
propiedad es de especial impor-tancia
en el estudio de la Cinemática de la
partícula. Y tiene la velocidad otra
propiedad igualmente importante: la
magnitud del desplazamiento es ahora
del mismo tamaño que la lon-gitud
recorrida por la partícula. Es decir
|∆𝑟̅ | = ∆𝑠
𝑣̅ =
𝑑𝑟̅
𝑑𝑠
; |𝑣̅ | = 𝑣 =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
Para facilitar las explicaciones que daremos en lo futuro, a partir de
ahora entenderemos por rapidez el tamaño o magnitud de la velocidad.
La aceleración media, que es la razón del cambio de velocidad al
tiempo, será un vector cuya dirección dependa tanto del cambio de
dirección de la velocidad como de su cambio de magnitud. Lo mismo se
puede afirmar de la aceleración, que es la razón del cambio de velocidad
al tiempo, cuando éste es infinitamente pequeño. Estudiaremos esta
cantidad empleando distintos sistemas de referencia.
138
Movimiento curvilíneo
Ejemplo. La figura representa la vía de
un tren de juguete. El tren parte del
punto A y avanza conforme a la expresión s = 0.1 t2, si t se da en s, s es la
distancia en m del tren al punto A, medida sobre la vía. Tomando dicho punto
A como origen, determine: a) la
posición y la velocidad del trenecito
cuando t = 2 s; b) Su velocidad media
durante los dos primeros segundos. c)
Su posición y su velocidad cuando t =
5s. d) El tiempo que requiere para
volver al punto de partida.
a) Dado que 𝑠 = 0.1𝑡 2 , y que 𝑣 = 𝑑𝑠⁄𝑑𝑡, entonces v=0.2t.Para 𝑡 =
2𝑠, 𝑠 = 0.4 𝑦𝑣 = 0.4. Como se halla en el tramos recto de la vía:
𝑟 = 0.4 m ; 𝑣 = 0.4 m⁄𝑠
b) Puesto que 𝑣𝑚 = ∆𝑟⁄∆𝑡
𝑣𝑚 = 0.4/2
𝑣𝑚 = 0.2 m⁄𝑠
c) De las expresiones empleadas en el inciso a, pero para t = 5, se obtiene
s = 2.5, v = 1. Ahora el tren se encuentra en un tramo curvo; ha recorrido 1
m de la circunferencia BC. El radio que une su posición con el centro de la
curva forma un ángulo θ = s / R de 1 / 0.8 = 1.25 rad con la vertical, es
decir, de 71.6°. Para determinar tanto la magnitud como la dirección del
vector de posición r calculemos las distancias x y y:
139
Movimiento curvilíneo
𝑥 = 1.5 + 0.8 sen 71.6° = 2.26
𝑦 = 0.8 − 0.8 cos 71.6° = 0.548
Por tato, 𝑟 = √2.262 + 0.5482
Y tan 𝛽 = 0.548/2.26
𝑟 = 2.33 m
𝑣=1
m
𝑠
13.6°
71.6°
d) Puesto que 𝑠 = 0.1𝑡 2 , y se desea conocer el tiempo en que vuelve a
pasar por A, ha de calcularse la lon-gitud de toda la vía:
𝑠 = 2𝜋(0.8) + 2(1.5) = 8.03
Por lo que 8.03 = 0.1𝑡 2 , de donde
𝑡 = √8.03/0.1
𝑡 = 8.96 𝑠
Componentes cartesianas. Cinemática
Consideremos una partícula moviéndose en una curva arbitraria y elijamos un
sistemas de referencia cartesiano, como se
muestra en la figura. La posición de la
partícula en un instante arbitrario queda
perfectamente determinada mediante un
vector que una el origen con la partícula; si
las coordenadas de ésta son x y y. entonces
el vector de posición será
𝑟̅ = x𝑖 + y𝑗
140
Movimiento curvilíneo
Si lo derivamos respecto al tiempo, obtendremos primero la velocidad
y luego la aceleración de la partícula. Como los vectores unitarios i y j
tienen magnitud y dirección constantes, las derivadas quedan como sigue.
𝑣̅ =
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑖+
𝑗
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑣̅ = 𝑣𝑥 𝑖 + 𝑣𝑦 𝑗
𝑎̅ =
𝑑𝑣𝑦
𝑑𝑣𝑥
𝑖+
𝑗
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑎̅ = 𝑎𝑥 𝑖 + 𝑎𝑦 𝑗
Ejemplo. Las coordenadas de un buque
que se mueve en las proximi-dades de
un puerto son x = t3–30t2+280t yy=t2 –
10t+600, donde tanto x como y
resultan en m si t se da en s. Determine
la posición, velocidad y aceleración
del buque cuando t=10 s.
Procederemos a escribir las ecuaciones del movimiento como lo
hicimos en el caso del movimiento rectilíneo. Las componentes de la
velocidad y la aceleración los obtendremos derivando las de la posición.
141
Movimiento curvilíneo
𝑥 = 𝑡 3 − 30𝑡 2 + 280𝑡
𝑣𝑥 = 3𝑡 2 − 60𝑡 + 280
𝑎𝑥 = 6𝑡 − 60
𝑦 = 𝑡 2 − 10𝑡 + 600
𝑣𝑦 = 2𝑡 − 10
𝑎𝑦 = 2
Para t=10
𝑥 = 1000 − 3000 + 2800 = 800
𝑣𝑥 = 300 − 600 + 280 = −20
𝑎𝑥 = 60 − 60 = 0
𝑦 = 100 − 100 + 600 = 600
𝑣𝑦 = 20 − 10 = 10
𝑎𝑦 = 2
Comparando los resultados
𝑟̅ = 800𝑖 + 600𝑗
𝑟 = √8002 + 6002
600
tan 𝛼 =
800
𝑟 = 1000m
36.9°
𝑣̅ = −20𝑖 + 10𝑗
𝑣 = √202 + 102
10
tan 𝛽 =
20
𝑣 = 22.4 m⁄𝑠
26.5°
𝑎̅ = 2𝑗
𝑎 = 2 m⁄𝑠 2 ↑
Ejemplo. El movimiento curvilíneo de una partícula se puede
definir mediante las expresiones y = 25 – t2 con una vx=22 – 8t, donde
y está en in, vx en in/s y t en s. 142
Se sabe que cuando t=0, x=0. Diga
cuáles son la velocidad y la aceleración de la partícula cuando y=0 y
dibuje su trayectoria.
Movimiento curvilíneo
Para obtener la ecuación de x tendremos que integrar vx
𝑥 = ∫(22 − 8𝑡)𝑑𝑡 = 22𝑡 − 4𝑡 2 + 𝑐
Como en t=0, x=0, entonces c=0
𝑥 = 22𝑡 − 4𝑡 2
𝑣𝑥 = 22 − 8𝑡
𝑎𝑥 = −8
𝑦 = 25 − 𝑡 2
𝑣𝑦 = −2𝑡
𝑎𝑦 = −2
Igualando y con 0
0 = 25 − 𝑡 2 ; 𝑡 = 5
Para t = 5
𝑣𝑥 = −18 ; 𝑣𝑦 = −10
𝑣 = 20.6 𝑖𝑛⁄𝑠
29.1°
𝑎𝑥 = −8 ; 𝑎𝑦 = −2
𝑎 = 8.25 𝑖𝑛⁄𝑠
14°
Para dibujar la grafica tabularemos x y y
y
25
t
x
y
10
x
143
0 1
0 18
25 24
2 3
28 30
21 16
4 5
20 10
9 0
Movimiento curvilíneo
Componentes cartesianas. Cinética
De la segunda ley de Newton hemos deducido que la resultante de
las fuerzas que actúan sobre una partícula tiene una magnitud igual al
producto de la masa de dicha partícula por la aceleración que sufre, y tiene
la dirección de esa aceleración por tanto, podemos escribir las siguientes
ecuaciones:
-9Ejemplo. Un jugador de golf
golpea una pelota en la dirección mostrada en la figura con una rapi-dez de
50 m/s, desde una sobreele-vación de
12 m. Despreciando toda resistencia
del viento, determine: a) el tiempo en
que la bola alcanza la altura máxima;
b) la altura máxima que al-canza; c) el
tiempo en que llega al suelo; d) la
velocidad con que llega, e) el alcance
horizontal D de la bola. Y escriba la
ecua-ción cartesiana de la trayectoria.
En un instante cualquiera del
movimiento, el diagrama de cuerpo
libre de la pelota es el siguiente:
∑ 𝐹𝑦 = 𝑚𝑎
𝑃
𝑃= 𝑎
𝑔
𝑎=𝑔
144
Movimiento curvilíneo
O sea, que en cualquier posición
la aceleración de la pelota es igual a
la gravedad.
Elegimos ahora un sistema de
referencia cartesiano y escribimos las
ecuaciones del movimiento:
En x’x
𝑎𝑥 = 0
4
𝑣𝑥 = 50 ( ) = 40
5
𝑥 = 40 𝑡
En y’y
𝑎𝑦 = −9.81
3
𝑣𝑦 = 50 ( ) − 9.81 𝑡 = 30 − 9.81 𝑡
5
9.81 2
𝑦 = 12 + 30 𝑡 −
𝑡
2
a) La pelota alcanza la altura máxima cuando vy=0
0 = 30 − 9.81 𝑡
30
𝑡 = 9.81
𝑡 = 3.06 𝑠
En ese tiempo;y será la altura máxima
𝑦 = 12 + 30(3.06) −
9.81
(3.062 )
2
𝑦 = 57.9 m
145
Movimiento curvilíneo
b) Que llegue al suelo significa que y=0
9.81 2
𝑡
2
9.81 𝑡 2 − 60 𝑡 − 12 = 0
0 = 12 + 30 𝑡 −
Las raíces de ésta ecuación son 𝑡1 = 6.31 ; 𝑡2 = −0.1939 . La negativa no significa nada en este problema.
𝑡 = 6.31 𝑠
c) Al llegar al suelo
𝑣𝑥 = 40
𝑣𝑦 = 30 − 9.81(6.31) = −31.9
𝑣 = √402 + 31.92
31.9
tan 𝜃 =
40
𝑣 = 51.2 𝑚⁄𝑠
38.6°
La ecuación cartesiana de la trayectoria, que es de la forma y = f(x),
la obtendremos despejando t de la
ecuación de x y sustituyendo en la de
y.
𝑥
𝑡=
40
𝑥
9.81 𝑥 2
)−
( )
40
2 40
𝑦 = 12 + 30 (
𝑦 = 12 + 0.75 𝑥 − 3.07(10−3 )𝑥 2
Que es la de una parábola cuyo
eje es paralelo al de las yes.
146
Movimiento curvilíneo
Ejemplo. Se desea que un proyectil que se disparará en dirección
normal a la ladera mostrada llegue
exactamente al punto B. Diga con qué
rapidez debe disparase para lograrlo.
Sabemos que en cualquier instante el proyectil sufrirá la aceleración
de la gravedad. Elegiremos un sistema de referencia con uno de los ejes en
dirección de la ladera y emplearemoslas ecuaciones del movimiento.
En x’x
𝑎𝑥 = 32.2 sen 30° = 16.1
𝑣𝑥 = 16.1 𝑡
𝑥 = 8.05 𝑡 2
En y’y
√3
) = −16.1√3
2
𝑣𝑦 = 𝑣0 − 16.1 𝑡 √3
𝑦 = 𝑣0 𝑡 − 8.05 𝑡 2 √3
𝑎𝑦 = −32.2 (
En B, x = 750 ; y = 0
750 = 8.05 𝑡 2
𝑡 = 9.65
0 = 𝑣0 (9.65) − 8.05(9.65)√3
𝑣0 = 8.05(9.65)√3
𝑣0 = 134.6
147
𝑓𝑡⁄
𝑠
Movimiento curvilíneo
Componentes intrínsecas. Cinemática
Este apartado es, sin lugar a dudas, el más importante de la
cinemática. Las componentes de la aceleración que ahora estudiaremos
están relacionadas íntimamente con las características esenciales del
movimiento. Por eso, algunos autores las llaman naturales. En efecto, una
de ellas mide el cambio de magnitud de la velocidad, la otra, su cambio de
dirección.
La figura representa una partícula
moviéndose en una curva cualquiera.
En dirección de su velocidad, es decir,
tangente a la trayectoria en ese punto,
elegimos un eje de referencia, que
llamaremos tangencial. Perpen-dicular
(es decir, normal) a él toma-mos el
otro eje de referencia, que será el eje
normal, y se dirige hacia el cen-tro de
la curva. Los vectores unitarios en esas
direcciones serán el vector unitario
tangencial, ety el vector uni-tario
normal en.
Expresada en forma polinómica, la velocidad será
𝑣̅ = 𝑣𝐞𝐭
Derivaremos esta expresión con el fin de obtener la aceleración de
la partícula. Puesto que tanto v como et son variables
𝑎̅ =
𝑑𝑣
𝑑𝐞𝐭
𝐞𝐭 +
𝑣
𝑑𝑡
𝑑𝑡
El término dv/dt nos resulta familiar, pues es la razón de cambio de la
rapidez (i. e., de la magnitud de la velocidad) con respecto al tiempo. Pero
148
Movimiento curvilíneo
para comprender el término det/dt derivaremos primero el vector unitario
tangencial respecto a su dirección. Como se puede apreciar en la figura, si
dicho vector unitario se desvía un ángulo d, su punta describe un arco ds,
cuya longitud es igual al producto del radio por en ángulo: dado que el radio
es la magnitud del vector unitario, o sea, 1, entonces d = ds; ade-más la
magnitud de det = ds, es decir, d= det por lo que podemos afir-mas que la
magnitud de la derivada es 1 y, como se aprecia en la figura, el vector
obtenido es perpendicular al vector unitario tangente. Por tanto, det/d =
en.
Utilizando la regla de la cadena, podemos llegar a lo siguiente:
𝑎̅ =
𝑑𝑣
𝑑𝐞𝐭 𝑑𝜃
𝐞𝐭 +
𝑣
𝑑𝑡
𝑑𝜃 𝑑𝑡
𝑎̅ =
𝑑𝑣
𝑑𝜃
𝐞𝐭 + 𝑣
𝐞
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝐧
𝑎̅ =
𝑑𝑣
𝑑𝜃 𝑑𝑠
𝐞𝐭 + 𝑣
𝐞
𝑑𝑡
𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝐧
en donde ds/dt = v, y d/ds = 1/, en donde  es el radio de curvatura, ya
que el ángulo es igual al arco entre el radio, tal como se muestra a
continuación:
𝑑𝑠
𝑑𝜃 =
𝜌
Podemos escribir finalmente que
𝑎̅ =
𝑑𝑣
𝑣2
𝐞𝐭 + 𝐞𝐧
𝑑𝑡
𝜌
que expresa la aceleración como la suma vectorial de dos componentes
perpendiculares entre sí. La primea la componente tangencial es la razón
de cambio de la rapidez respecto al tiempo y tiene la dirección de la
velocidad; y la segunda, que se dirige hacia el centro de la curva, es igual
149
Movimiento curvilíneo
al cuadrado de la rapidez entre el radio de curvatura. La magnitud y la
dirección de la aceleración se puede obtener mediante las expresiones
𝑑𝑣
𝑣2
𝑎𝑡 =
; 𝑎𝑛 =
𝑑𝑡
𝜌
𝑎 = √𝑎𝑡2 + 𝑎𝑛2
𝑎𝑛
𝑡𝑎𝑛 𝜃𝑡 =
𝑎𝑡
Ejemplo.Un automóvil comienza a
moverse desde el punto A de una trayectoria circular de 400 ft de radio
conforme a la expresión s = 4t2, donde
s es la longitud que recorre sobre la
pista en ft, y t el tiempo en s. Calcule
el tiempo que el automóvil tarda en
recorrer un cuarto de la pista y diga
cuáles serán su velocidad y su aceleración en ese instante.
400´
B
v
A
De la expresión de la longitud recorrida obtendremos la rapidez y la
componente tangencial de la aceleración en cualquier instante.
𝑠 = 4𝑡 2
𝑣 = 8𝑡
𝑎𝑡 = 8
̂ , mide
El cuarto de pista, es decir, el arco 𝐴𝐵
𝜋
∆𝑠 = 𝜃𝑟 = (400) = 200𝜋
2
Entonces
200𝜋 = 4𝑡 2
𝑡 = √50𝜋
𝑡 = 12.53𝑠
Y en el instante
𝑣 = 8(12.53)
150
Movimiento curvilíneo
𝑣 = 100.3
𝑎𝑛 =
100.32
400
𝑓𝑡⁄
𝑠↑
= 25.1
𝑎𝑡 = 8
𝑎 = √25.12 + 82
8
tan 𝜃 =
25.1
𝑎 = 26.4
𝑓𝑡⁄
𝑠2
17.7°
Ejemplo.Un motociclista que
reduce uniformemente su rapidez, pasa por A a 90 km/h y llega al fondo B
de la curva vertical B, 50 m adelante
de A, a 54 km/h. Sabiendo que en B el
radio de curvatura de la carretera es de
100 m, diga cuáles son la magnitud y
la dirección de la aceleración de la
motocicleta en ese punto.
Como la variación de la rapidez es constante, de 𝑎𝑡 = 𝑣 𝑑𝑣⁄𝑑𝑠 obtenía
𝑎𝑡 =
𝑣22 − 𝑣12
2𝑠
Puesto que 90 km/h = 25 m/s y 54km/h =15 m/s
151
Movimiento curvilíneo
𝑎𝑡 =
152 −252
2(50)
2
= −4
𝑣
152
=
= 2.25
𝜌
100
𝑎 = √42 + 2.252
2.25
tan 𝜃 =
4
𝑎 = 4.59 m⁄𝑠
29.4°
𝑎𝑛 =
Componentes intrínsecas.Cinética
Nuevamente, de las relaciones entre la resultante del sistema de
fuer-zas y la aceleración de una partícula que establece la segunda ley de
Newton, podemos escribir
∑ 𝐹𝑡 = 𝑚𝑎𝑡
∑ 𝐹𝑛 = 𝑚𝑎𝑛
Conviene tener en cuenta que muchos problemas, aun de
movimiento plano, exigen un desarrollo en tres dimensiones. En tales
problemas se puede elegir un tercer eje de referencia, perpendicular al
plano del movi-miento, que cumple con la condición
∑ 𝐹𝑧 = 0
Algunos textos llaman binormal al eje que nosotros hemos denominado de las zetas, por ser perpendicular tanto al eje tangencial como al
normal. Este caso lo ilustraremos con el siguiente ejemplo.
152
Movimiento curvilíneo
- Ejemplo. “Péndulo cónico”. Un
péndulo de 5 lb de peso atado a una
cuerda de 2 ft de largo, que forma un
ángulo de 25° con respecto a la vertical, describe un cono. Determine la
tensión de la cuerda y la rapidez del
péndulo.
2´
25°
5#
Tomando el plano que contiene la cuerda y el péndulo, dibujaremos
el diagrama de cuerpo libre y el sistema de referencia, sabiendo que el eje
tangencial (y, por tanto, la velocidad) es perpendicular al plano del
dibujo.
∑ 𝐹𝑧 = 0
𝑇𝑐𝑜𝑠 25 − 5 = 0
5
𝑇=
𝑐𝑜𝑠 25
𝑇 = 5.52 lb
∑ 𝐹𝑛 = 𝑚𝑎𝑛
5 𝑣2
32.2 𝑟
El rayo de la trayectoria r es igual a la longitud de la cuerda por el
seno de 25: Osea
5
5
𝑣2
𝑠𝑒𝑛 25 =
(
)
𝑐𝑜𝑠 25
32.2 2𝑠𝑒𝑛 25
𝑣2
𝑡𝑎𝑛 25 =
64.4𝑠𝑒𝑛 25
2
𝑣 = 64.4(𝑠𝑒𝑛 25)(𝑡𝑎𝑛 25)
𝑇 𝑠𝑒𝑛 25 =
𝑣 = 3.56 ft/s
153
Movimiento curvilíneo
Ejemplo.Diga cuántos centímetros debe sobreelevarse el riel exterior
de una vía curva de 500 m de radio, si
la velocidad de diseño es de 180 km/h.
La reacción de la vía debe ser
perpendicular al asiento de los durmientes.
1.435 m
h
φ
Dibujaremos el diagrama de cuerpo libre de un carro de F.C. que circula a la velocidad de diseño. Elegimos un sistema de referencia tal que el
eje normal se dirija al centro de la curva y el tangencial resulte perpendicular al plano del dibujo.
∑ 𝐹𝑦 = 0
𝑁 𝑐𝑜𝑠 𝜙 − 𝑃 = 0
𝑃
𝑁=
cos 𝜙
∑ 𝐹𝑛 = 𝑚𝑎𝑛
𝑃 𝑣2
𝑁𝑠𝑒𝑛 𝜙 =
𝑔 𝑟
Como 180 km / h = 50 m / s
𝑃 502
𝑃 𝑡𝑎𝑛 𝜙 = 9.81 500
5
𝑡𝑎𝑛 𝜙 =
; 𝜙 = 27°
9.81
Y mediante trigonometría calculamos la sobreelevación h
ℎ = 1.435𝑠𝑒𝑛 27°
ℎ = 0.65 m
154
Movimiento curvilíneo
Ejemplo.Un péndulo simple de 2
lb de pesoy 4 ftde largo, oscila en el
plano vertical. El ángulo máximo que
forma la cuerda con la vertical es de
35°. De-termine: a) la tensión de la
cuerda cuando la velocidad del péndulo es nula; b) la velocidad máxima
del péndulo y la tensión correspondiente de la cuerda.
4
35° 35°
2#
La velocidad es nula cuando el ángulo es de 35; también es nula en ese
instante, la componente normal de la aceleración.
∑ 𝐹𝑛 = 0
𝑇 − 2 cos 35° = 0
𝑇 = 1.64 𝑙𝑏
Dibujaremos ahora un diagrama de cuerpo libre del péndulo en una
posición arbitraria, para determinar su rapidez.
∑ 𝐹𝑡 = 𝑚𝑎𝑡
2 𝑑𝑣
2 cos 𝜃 = 𝑣
𝑔 𝑑𝑠
𝑔 cos 𝜃 𝑑𝑠 = 𝑣 𝑑𝑣
Para relacionar el ángulo con la longitud recorrida, tomaremos un arco
diferencial de la trayectoria.
155
Movimiento curvilíneo
𝑑𝑠
𝑑𝜃 = 4
𝑑𝑠 = 4𝑑𝜃
Sustituyendo
4𝑔 cos 𝜃 𝑑𝜃 = 𝑣 𝑑𝑣
4𝑔 ∫ cos 𝜃 𝑑𝜃 = ∫ 𝑣 𝑑𝑣
4𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
𝑣2
+𝐶
2
𝑠𝑖 𝜃 = 90° − 35° = 55° ; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑣 = 0
4𝑔 𝑠𝑒𝑛 55 = 𝐶
4𝑔 𝑠𝑒𝑛 55 =
𝑣2
+ 4𝑔 𝑠𝑒𝑛 55
2
𝑣 = √8(32.2)(𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛 55)
La rapidez máxima se alcanza cuando senθ es máximo, es decir θ= 90°
𝑣 = √46.59
En esa precisión
∑ 𝐹𝑛 = 𝑚𝑎𝑛
𝑇−2=
2 46.59
(
)
𝑔
4
𝑇 = 2.72 𝑙𝑏
156
Movimiento curvilíneo
Ejemplo.Una camioneta de 2000
lb que reduce su rapidez a razón de 3
ft/s2 pasa por la cima de una curva
vertical de 200 ft de radio con una rapidez de 30 mi/h. Calcule la mag-nitud
y la dirección de la reacción del
pavimento sobre la camioneta. ¿Cuál
es la máxima rapidez con que puede
circular un vehículo por ese punto, sin
despegarse del camino?
2000′
Dibujaremos el diagrama de cuerpo libre de la camioneta al pasar por la
cima.
∑ 𝐹𝑛 = 𝑚𝑎𝑛
2000 − 𝑁 =
2000 𝑣 2
𝑔
200
Como 30 mi / h = 44 ft / s
10
(442 )
2000 − 𝑁 =
𝑔
442
𝑁 = 2000 −
= 1399
3.22
∑ 𝐹𝑡 = 𝑚𝑎𝑡
2000
(−3)
−𝐹𝑟 =
𝑔
6000
𝐹𝑟 =
= 186.3
32.2
La reacción es
𝑅 = √13992 + 186.32
1399
tan 𝜃 =
186.3
𝑅 = 1411 lb
157
82.4°
Movimiento curvilíneo
Conforme aumenta la rapidez del vehículo la magnitud de la reacción
normal disminuye. A la máxima rapidez con la que puede recorrer la
curva, corresponde que la normal sea nula.
∑ 𝐹𝑛 = 𝑚𝑎𝑛
2
2000 𝑣𝑚á𝑥
2000 =
𝑔 200
𝑣𝑚á𝑥 = √200(32.2)
𝑣𝑚á𝑥 = 80.2 𝑓𝑡/𝑠
𝑣𝑚á𝑥 = 54.7 mi/h
Si el conductor intentara circular con una velocidad mayor, se separaría
del pavimento.
Ejemplo.A 0.8 m del centro de un
disco se coloca un pequeño cuer-po.
Al girar el disco alrededor de su
centro, el cuerpo aumenta su rapidez
uniformemente a razón de 0.3 m/s2.
Sabiendo que los coeficientes de fricción estática y cinética entre el cuerpo
y el disco son 0.5 y 0.4, respectivamente, diga cuánto tiempo después de
que el disco haya comenzado a moverse, el cuerpo se deslizará.
0.8 m
Comenzaremos calculando la aceleración del cuerpo en función de
tiempo.
𝑎𝑡 = 0.3
𝑣 = 0.3𝑡
0.3𝑡 2
𝑎𝑛 =
0.8
158
Movimiento curvilíneo
2
𝑎=
√0.32
0.3𝑡 2
+(
)
0.8
Sabiendo que la componente normal de la reacción del disco es igual
al peso del cuerpo, podemos dibujar un diagrama de cuerpo libre en
planta en donde la en donde la fuerza máxima de fricción estática es
𝐹 ′ = 𝜇𝑠 𝑁 = 0.5𝑁
Sabiendo que la fuerza de fricción y la aceleración tienen la misma
dirección, escribimos:
∑ 𝐹 = 𝑚𝑎
2
𝑃
0.3𝑡 2
√0.32 + (
0.5𝑃 =
)
9.81
0.8
2
[(9.81)(0.5)]2
0.09𝑡 4
0.64
𝑡4 =
= [(9.81)(0.5)]2 − 0.09
64
{[(9.81)(0.5)]2 − 0.09}
9
𝑡 = 3.61 s
159
0.3𝑡 2
= 0.3 + (
)
0.8
2
Movimiento curvilíneo
Ejemplo.Desde la parte más alta
de un iglú semiesférico de 12 ft de
radio, comienza a deslizarse un osezno. Considerando que tanto la velocidad inicial como la fricción son nulas,
¿a qué altura h se separará el osezno
del iglú?
12 ft
Como la rapidez del osezno es variable, estudiaremos un instante
cualquiera de su movimiento sobre el iglú.
∑ 𝐹𝑡 = 𝑚𝑎𝑡
𝑃 𝑑𝑣
𝑃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑣
𝑔 𝑑𝑠
𝑔 ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝑠 = ∫ 𝑣 𝑑𝑣
En donde
𝑑𝑠
𝑑𝜃 =
12
𝑑𝑠 = 12𝑑𝜃
12 𝑔 ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃 = ∫ 𝑣 𝑑𝑣
𝑣2
−12𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃 =
+𝑐
2
Si θ = 0°; cos θ = 1, v = 0
−12𝑔 = 𝑐
𝑣2
−12𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃 =
− 12𝑔
2
𝑣2
= 12𝑔(1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃)
2
𝑣 2 = 24𝑔(1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃)
Por otro lado:
∑ 𝐹𝑛 = 𝑚𝑎𝑛
−𝑁 + 𝑃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 =
160
𝑃 𝑣2
𝑔 12
h
Movimiento curvilíneo
Pero N = 0 en el instante en que el osezno está a punto de abandonar el
iglú.
𝑃 24𝑔(1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃)
𝑔
12
𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 2(1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃)
𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 2 − 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃
3 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 2
2
𝑐𝑜𝑠 𝜃 =
3
De la geometría:
2
ℎ = 12 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 12 ( )
3
𝑃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 =
ℎ =8m
Observación
En el problema anterior, del osezno, y en el péndulo simple, obtuvimos
las siguientes expresiones para la rapidez de los cuerpos.
𝑣 2 = 24𝑔(1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃)
𝑣 2 = 4𝑔(1 − 𝑐𝑜𝑠 35°)
en donde el 24 y 4 son los dobles de los radios de las trayectorias. O sea,
que, generalizando
𝑣 2 = 2𝑔𝑟(1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃)
Además, 𝑟(1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃) es ∆ℎ, según se muestra en la figura
de modo que se puede escribir
161
Movimiento curvilíneo
𝑣 2 = 2𝑔 ∆ℎ
𝑣 = √2𝑔 ∆ℎ
Tal expresión vale siempre que la partícula baje de nivel por la acción de
su peso, por cualquier tipo de trayectoria sobre la que no haya fricción.
Serie de ejercicios de Cinemática y Dinámica
MOVIMIENTO CURVILÍNEO
1. Un punto se mueve sobre la trayectoria cuya ecuación es y = x3, de
acuerdo con la ley x = 2t+1/t, donde tanto x como y están en in y t en s.
¿Cuál es su rapidez cuando t = 4 s?
(Sol. 396 in/s)
2. Una partícula se mueve sobre la curva y = 2x3–3x conforme con la
relación x = t2– t, donde si t está en s, tanto x como y resultan en cm. Calcule
su velocidad y su aceleración cuando t = 1 s.
(Sol. v = 3.16 cm/s
3. Un muchacho situado al borde
de un precipicio lanza una piedra con
una velocidad de 25 m/s formando un
ángulo de 30º abajo de la horizontal.
Si la profundidad del lugar en que cae
la piedra, respecto al nivel del que
fue lanzada, es de 100 m, diga: a) qué
tiempo tarda la piedra en caer; b) el
alcance hori-zontal de la piedra; c)
con qué ve-locidad llega la piedra al
suelo.
(Sol. a) 3.42 s; b) 74.0 m;
c) 50.9 m/s
64.8º)
162
71.6º; a = 6.32 cm/s2
71.6º)
30°
25 m/s
100 m
Movimiento curvilíneo
4. De una bala que ha sido disparada a 480 ft/s formando un ángulo de
25º respecto a la horizontal, se desea saber: a) el tiempo que tarda en llegar
al suelo; b) su alcance; c) la altura máxima a la que llega; d) la ecuación
cartesiana de su trayectoria. Desprecie la resistencia del aire.
(Sol. a) 12.60 s; b) 5480 ft; c) 639 ft; d) y = 0.467x – 8.51(10)-5 x2)
5. Un jugador de futbol es capaz de imprimir a un balón una velocidad
inicial de 90 ft/s. Si desea que el alcance del balón sea de 180 ft, ¿con qué
ángulo respecto a la horizontal debe iniciar el balón su movimiento?
(Sol. 22.8º ó 67.2º)
6. Un aficionado patea un balón de
futbol, y le imprime una velocidad
inicial de 20 m/s, formando un ángulo
de 45º con el campo; pero el campo
tiene una inclinación de 15º respecto a
la horizontal. ¿Cuál es el alcance R del
balón?
(Sol. 53.4 m)
7. La distancia que recorre una
partícula, medida a lo largo de una
trayectoria curvilínea, en ft, es s = t3–
16t, donde t está en s. Cuando t = 4 s,
la partícula se encuentra en un tramo
cuyo radio de curvatura es de 32 ft.
Calcule la magnitud de la aceleración
lineal de la partícula en dicho
instante.
(Sol. 40 ft/s2)
20 m/s
45°
15°
R
C
32’
O
S
8. Un avión vuela horizontalmente a 900 km/h a 10000 m de altura,
describiendo un arco de circunferencia de 1250 m de radio. ¿Cuál es la
magnitud de su aceleración lineal?
(Sol. 50 m/s2)
163
Movimiento curvilíneo
9. Un ciclista da una vuelta
completa a una pista circular en un v (km/h)
lapso de 40 s. Su rapidez se muestra
en la gráfica de la figura. Determine: 36
a) la longitud y el radio de la pista; b)
la magnitud de la aceleración lineal
del ciclista cuando t = 2 y cuando t
= 30 s.
8
(Sol. a) 360 m y 57.3 m;
b) a2 = 1.255 m/s2; a30 =
1.745 m/s2)
40
10. Mientras un automóvil recorre una pista circular de un cuarto de
milla de radio, reduce su rapidez lineal uniformemente de 60 a 30 mi/h en
16 s, ¿cuáles son las magnitudes de la aceleración lineal del automóvil al
principio y al fin de dicho lapso? ¿Qué distancia recorre en esos 16 s?
(Sol. ao = 6.48 ft/s2; a16 = 3.12 ft/s2; s = 1056 ft)
11. Un automovilista ingresa en
una curva vertical con una velocidad
de 72 km/h y aplica los frenos de
modo que, reduciendo su rapidez
uniformemente, se detiene 50 m adelante. Sabiendo que el radio de curvatura es constante en ese tramo y que
la aceleración del automóvil al aplicar los frenos es de 6 m/s2, de-termine: a) el radio de la curva; b) la magnitud de la aceleración del automóvil al detenerse.
(Sol. a) 89.4 m; b) 4 m/s)
164
ρ
t (s)
Movimiento curvilíneo
12. Un ciclista recorre una pista
circular horizontal con una rapidez
constante de 12 m/s. Si en una
longitud de 80 m el ciclista se desvía
un ángulo de 30º, diga: a) cuál es el
radio de la pista; b) cuáles son las
magnitudes de las componentes normal y tangencial de su aceleración; c)
cuál es la magnitud de su aceleración lineal.
(Sol. a) 152.8 m; b) an = 0.942
2
m/s ; at = 0; c) a = 0.942 m/s)
80 m
30°
2’
13. La figura representa unas
canastillas de feria. El juego gira alrededor de un eje vertical con una
velocidad angular constante de 2
rad/s. ¿Cuáles son las magnitudes de
la velocidad y de la aceleración lineales de cualquiera de las canastillas?
(Sol. v = 10 ft/s; a = 20 ft/s2)
14. Suponiendo que la Tierra
estuviera dotada exclusivamente de
movimiento de rotación, ¿cuál sería
la aceleración de un cuerpo situado
en la ciudad de México? Considere
que la latitud de México es 19º norte, que la Tierra da una vuelta en 24
h y que su radio medio mide 6370
km.
(Sol. 3.18 cm/s2)
165
6’
30°
ϴ
DF
19°
Movimiento curvilíneo
15. El pequeño jet de la figura
viaja horizontalmente con rapidez
constante de 540 km/h y tarda 4 s en
desviar su curso 45º. a) Determine la
velocidad angular del vector velocidad lineal del jet. b) Calcule la
magnitud de la aceleración lineal del
jet durante dicho lapso. c) Diga cuál
es el radio del arco de circunferencia
que describe al virar.
(Sol. a) 0.1963 rad/s; b) 29.5
2
m/s ; c) 764 m)
16. Una piedra de 3 kg de peso,
atada a una cuerda de 1 m de longitud, describe una circunferencia en el
plano vertical. Determine la velocidad angular mínima de la cuerda a
la cual ésta se rompe, si su resistencia máxima es de 9 kg. Diga también
cuál es la tensión en la cuerda cuando
forma un ángulo de 20º arriba de la
horizontal, si la velocidad lineal de la
piedra en ese instante es de 5 m/s.
(Sol. 4.43 rad/s; 6.62 kg)
17. Un automóvil de una tonelada se desplaza sobre el puente de la
figura con una rapidez constante de
10 m/s. El radio de curvatura en la
cima del puente es de 50 m. Cal-cule
la fuerza que el automóvil ejer-ce
sobre el puente al pasar por dicho
punto. Diga también cuál es la máxima rapidez con que puede transitar el
166
45°
20°
1m
𝑣
Movimiento curvilíneo
automóvil sin perder el con-tacto con
la cima del puente.
(Sol. 796 kg ↓; 79.7 km/h)
18. La flecha AB gira a 300 rpm.
El cuerpo C, que puede consi-derarse
un punto material, pesa 25 kg.
Cuando C se encuentra en la posición
más baja de su trayectoria, como se
muestra en la figura, ¿cuá-les son las
reacciones en los apoyos? Los pesos
de las barras son despre-ciables.
(Sol. RA = 93 kg ↑; RB = 233 kg ↑)
19. El sistema mostrado en la
figura gira alrededor del eje vertical
O’O. ¿Entre qué velocidades angúlares puede girar el sistema sin que A
se deslice? Los coeficientes de fricción estática y cinética entre A y el
disco son 0.4 y 0.3, respectiva-mente.
(Sol. 5.03 rad/s < 𝜃 < 14.95 rad/s)
20. Determine la rapidez angúlar constante con que debe girar el
gobernador de bolas que se representa para mantener la configuración
mostrada. Considere los siguientes
datos: φ = 45º, P = 2 kg, Q = 10 kg,
b = 0.3 m y c = 0.1 m.
(Sol. 122.6 rpm)
21. La esfera de la figura está
sostenida por dos cuerdas y T0 es la
tensión en una de ellas. Diga cuál
167
50 cm
20 cm
12 cm
A
A
O
60°
60°
O’
1 ft
b
Q
P
B
C
c
φ
P
b
ω
Movimiento curvilíneo
será la tensión T1 en cualquiera de
ellas en el instante en que se corte la
otra, y cuál, la magnitud de la aceleración de la esfera en ese mismo
instante.
(Sol. T1 = 0.5T0; a = 0.866g)
22. El cuerpo de la figura tiene
una masa de 5 kg y sube por el plano
inclinado. Al pasar por B su rapidez
es de 3 m/s y decrece a razón de 8
m/s2. Determine el coeficiente de
fricción cinética µ entre el cuerpo y
la superficie, si el radio de curvatura
de la trayectoria en el punto B es de 3
m.
(Sol. 0.270)
30°
30°
𝑣
B
3m
µ
5 kg
45°
23. Un vehículo de 1400 kg de masa recorre una curva circular
horizontal de 200 m de radio. Re-duce su velocidad uniformemente de 108
a 72 km/h en una distancia de 50 m. Calcule la magnitud de la reacción del
pavimento sobre el vehículo cuando éste alcanza los 72 km/h.
(Sol. 15 670 N)
24. Un carrito de baleros corre
por el plano horizontal con una
velocidad v0 y comienza a subir por
una trayectoria curvilínea contenida
en un plano vertical. Halle una expresión que defina su rapidez v en
función de la altura y que va ascendiendo. ¿Cuál será la altura máxima
que alcanzará el carrito?
(Sol. v = (v02 – 2gy)1/2; v02/2g)
168
𝑣
𝑣0
y
Movimiento curvilíneo
25. Un carrito de baleros de 9.81
kg de peso llega al punto A con una
rapidez de 5 m/s y comienza a
descender por la trayectoria circular
de 4 m de radio. Determine el ángulo β que define la posición en que
el carrito abandona la superficie y se
convierte en un proyectil.
(Sol. 28.5º)
26. Una partícula de masa m se
suelta sin velocidad inicial desde el
punto A de la trayectoria lisa contenida en un plano vertical. a) Si h = 3
r, ¿cuál es la magnitud de la fuerza
normal que el bucle ejerce sobre la
partícula al pasar por B? b) Si la
partícula ha de recorrer el bucle
completo, ¿cuál es la altura mínima h
a la que debe soltarse?
(Sol. a) mg; b) 2.5 r)
27. Un carro eléctrico experimental de 200 kg de peso parte del
reposo del punto A de la curva circular vertical de 50 m de radio, y
desciende por la acción de su peso y
de la tracción de sus ruedas, que es
constante y de 60 kg. Diga con qué
rapidez llegará al punto B y cuál será
la magnitud de la reacción normal de
la curva sobre el carro al llegar a ese
punto.
(Sol. 38 m/s; 788 kg)
169
5 m/s
9.81 kg
A
B
β 4m
m
B
A
h
C
60 kg
200 kg
A
50 m
B
Movimiento curvilíneo
XII. MÁS MOVIMIENTO
CURVILÍNEO
Aunque lo que hemos estudiado en el capítulo anterior corresponde a
lo más fundamental del movimiento curvilíneo, completaremos nuestro
estudio con tres temas más: las componentes polares, el movimiento circular y el movimiento relativo.
Componentes polares – Cinemática
Volveremos a estudiar el movimiento curvilíneo, pero hora utilizando
un nuevo sistema de referencia. Cuando la posición de la partícula puede
definirse fácilmente mediante la magnitud de un vector de posición y la
dirección de éste, entonces conviene emplear un sistema de referencia
polar: el polo u origen es un punto fijo respecto al cual se mide la distancia
r a la partícula, que sería una de las coordenadas, mientras que la otra sería
el ángulo  que el radio vector forme con cierta dirección conocida.
Tomemos un automóvil P que se
mueve en una carretera curvilínea, como se
muestra en la figura. Desde O se observa su
movimiento con un radar. La posición del
radar, O será el polo. El segmento de recta
que une el radar con el automóvil, OP = r,
será el vector de posición, que estará
contenido en el eje radial, cuyo sentido es
hacia afuera de O.
170
Movimiento curvilíneo
El ángulo  que forma el vector r con la línea Oeste–Este (podríamos
elegir otra dirección conocida), será la dirección.
Además del eje radial, recurriremos a otro eje, perpendicular al primero, que llamaremos transversal. Y llamaremos er y e a los vectores
unitarios en las direcciones radial y transversal, respectivamente.
La posición del automóvil en cualquier instante se puede expresar
como
𝑟̅ = 𝑟𝐞𝐫
y la velocidad del automóvil se puede deducir derivando esta expresión con
respecto al tiempo, teniendo en cuenta que tanto la distancia r como el
vector unitario son variables:
𝑣̅ =
𝑑𝑟
𝑑𝐞𝐫
𝐞𝐫 + 𝑟
𝑑𝑡
𝑑𝑡
que podemos escribir, aplicando la regla de la cadena al segundo término,
de la siguiente manera:
𝑑𝐞𝐫 𝑑𝜃
𝑣̅ = 𝑟𝐞𝐫 + 𝑟
𝑑𝜃 𝑑𝑡
Cuando estudiamos las componentes intrínsecas, dedujimos que la
derivada de un vector unitario respecto a su dirección es otro vector unitario
girado un ángulo recto en sentido positivo; o sea que
𝑑𝐞𝐫
𝑑𝐞𝛉
= 𝐞𝛉 ;
= −𝐞𝐫
𝑑𝜃
𝑑𝑡
La razón d/dt, que el del cambio de dirección del vector al tiempo, se
puede llama velocidad angular con toda propiedad; de modosemejante, la
razón del cambio de la velocidad angular al tiempo se puede llamar
aceleración angular. Simbólicamente
𝜃=
𝑑𝜃
𝑑𝜃
; 𝜃̈ =
𝑑𝑡
𝑑𝑡
171
Movimiento curvilíneo
Llevando estos valores a la expresión de la velocidad, obtenemos
𝑣̅ = 𝑟𝐞𝐫 + 𝜃𝑟𝐞𝛉
Volveremos a derivar con respecto al tiempo para hallar la acelera-ción
del automóvil:
𝑎̅ = 𝑟
𝑑𝐞𝐫
𝑑𝐞𝛉
+ 𝑟̈ 𝐞𝐫 + 𝜃̈𝑟𝐞𝛉 + 𝜃𝑟𝐞𝛉 + 𝜃𝑟
𝑑𝑡
𝑑𝑡
y empleando nuevamente la regla de la cadena y sustituyendo con los
valores que hemos obtenido arriba, llegamos a lo siguiente:
𝑎̅ = 𝑟
𝑑𝐞𝐫 𝑑𝜃
𝑑𝐞𝛉 𝑑𝜃
+ 𝑟̈ 𝐞𝐫 + 𝜃̈𝑟𝐞𝛉 + 𝜃𝑟𝐞𝛉 + 𝜃𝑟
𝑑𝜃 𝑑𝑡
𝑑𝜃 𝑑𝑡
𝑎̅ = 𝜃𝑟𝐞𝛉 + 𝑟̈ 𝐞𝐫 + 𝜃̈ 𝑟𝐞𝛉 + 𝜃 𝑟𝐞𝛉 − 𝜃 2 𝑟𝐞𝐫
𝑎̅ = (𝑟̈ − 𝜃 2 𝑟)𝐞𝐫 + (𝜃̈𝑟 + 2𝜃𝑟)𝐞𝛉
Las dos expresiones enmarcadas nos ofrecen los valores de la
velocidad y la aceleración en términos de sus componentes radial y
transversal.
Ejemplo. Mediante un mecanismo
que no se muestra en la figura, el
collarín A se mueve sobre la barra,
alejándose de la articulación O, conforme a la expresión r = 5 + 2t2, en
donde r resulta en cm, si t se da en s. A
su vez, la barra OB gira alrededor de
O, según la ley  = 0.4t3, en la que si t
está en s,  resulta en rad. Deter-mine
la posición, velocidad y acele-ración
del collarín cuando t = 1 s.
172
Movimiento curvilíneo
Obtendremos las primeras y segundas derivadas de r y θ respecto al tiempo
y sus valores para t = 1s.
𝑟 = 5 + 2𝑡 2
𝑟 = 4𝑡
𝑟=4
𝜃 = 0.4𝑡 3
𝜃 = 1.2𝑡 2
𝜃̈ = 2.4𝑡
;
;
;
;
;
;
𝑟1 = 7
𝑟1 = 4
𝑟̈1 = 4
𝜃1 = 0.4
𝜃1 = 1.2
𝜃̈1 = 2.4
Por tanto
𝑣̅ = 𝑟𝑒𝑟 + 𝜃𝑟𝑒𝜃
𝑣̅ = 4𝑒𝑟 + 1.2(5)𝑒𝜃 = 4𝑒𝑟 + 6𝑒𝜃
𝑎̅ = (𝑟̈ − 𝜃 2 𝑟)𝑒𝑟 + (𝜃̈𝑟 + 2𝜃𝑟)𝑒𝜃
𝑎̅ = (4 − [1.2]2 [5])𝑒𝑟
+(2.4[5] + 2[1.2]4)𝑒𝜃
𝑎̅ = −3.2𝑒𝑟 + 21.6𝑒𝜃
Para t = 1s, la posición, velocidad y
aceleración del collarín serán:
𝑟 = 5 𝑐𝑚
22.9°
𝑣 = √42 + 62
6
tan 𝛽 =
; 𝛽 = 56.3°
4
𝑣 = 7.21 𝑐𝑚⁄𝑠
79.2°
𝑎 = √3.22 + 21.62
21.6
tan 𝛾 =
; 𝛾 = 81.6°
3.2
𝑎 = 21.8 𝑐𝑚⁄𝑠 2
173
58.7°
Movimiento curvilíneo
Ejemplo. Mediante un radar colocado en Tierra se sigue el vuelo de un
avión que viaja en línea recta con velocidad constante de 1200 ft/s. Sa-biendo
que el avión vuela a 20 000 ft de altura y
que el rayo del radar y la trayectoria del
avión están en el mis-mo plano, calcule,
para el instante en que  = 45°: a) la
distancia entre el radar y el avión: b) la
rapidez y la aceleración con que el avión
se acerca al radar; c) la velocidad y la
aceleración angulares del rayo del radar.
De la geometría podemos obtener la distancia r y los componentes polares
de la velocidad.
𝑠𝑒𝑛 45 =
20000
𝑟
𝑟 = 20000 (
2
)=
√2
40000
√2
𝑟 = 28300 ft
√2
𝑣𝑟 = 𝑣𝜃 = 1200 ( 2 ) = 600√2
La rapidez con que el avión se
acerca al radar es 𝑟, o sea
𝑟 = 𝑣𝑟
𝑟 = 849 𝑓𝑡⁄𝑠
174
45°
Movimiento curvilíneo
Como 𝑣𝜃 = 𝜃𝑟
2
√2
1200 ( ) = 𝜃(20000)
2
√2
1200 √2 √2
600
𝜃=
( )
=
= 0.03
20000 2 2
20000
Que es a velocidad angular del rayo:
𝜃 = 0.3 𝑟𝑎𝑑⁄𝑠 ⟲
Como el movimiento del avión es rectilíneo uniforme, a = 0
0 = 𝑟̈ − 𝜃 2 𝑟
40000
𝑟̈ = 𝜃 2 𝑟 = (0.32 )
√2
Que es aceleración con que el avión se acerca al radar:
𝑟̈ = 2550 ft⁄s2
Además
45°
0 = 𝜃̈𝑟 + 2𝜃 𝑟
𝜃̈ = −
2𝜃𝑟
2(0.3)600√2
=−
√2
𝑟
40000
𝜃̈ = −0.018
La aceleración del rayo es
𝜃̈ = 0.018 𝑟𝑎𝑑⁄𝑠 2 ⟳
175
Movimiento curvilíneo
Componentes polares. Cinética
Por supuesto, las expresiones que nos servirán para resolver problemas cinéticos, conforme a la segunda ley de Newton, serán las siguientes:
∑ 𝐹𝑟 = 𝑚𝑎𝑟
∑ 𝐹𝜃 = 𝑚𝑎𝜃
O bien:
∑ 𝐹𝑟 = 𝑚(𝑟̈ − 𝜃 2 𝑟)
∑ 𝐹𝜃 = 𝑚(𝜃̈𝑟 + 2𝜃𝑟)
Un ejemplo será suficiente para ilustrar el caso.
Ejemplo. Un pequeño cilindro de
medio kilogramo de peso, se puede mover dentro de un tubo liso de 0.5 m de
largo, que gira alrededor de un eje vertical con rapidez angular constante de 20
rad/s. En cierto instante el cilindro tiene
una rapidez, relativa al tubo, de 8 m/s,
hacia afuera del tubo y se halla a 0.25 m
del eje de rotación. Determine la
magnitud de la fuerza horizontal que el
tubo ejerce sobre el cilindro en el
instante en que este esté a punto de
abandonar aquel.
En el sistema de referencia, el eje radial iría de O a B, y el transversal
seríatambién horizontal y perpendicular al anterior.
176
Movimiento curvilíneo
En un instante cualquiera, el
diagrama de cuerpo libre del cilindro,
en planta, sería el siguiente (el peso y
la reacción vertical no pueden aparecer
en el diagrama).
∑ 𝐹𝑟 = 𝑚(𝑟̈ − 𝜃 2 𝑟)
0.5
(𝑟̈ − [202 ]𝑟)
9.81
𝑟̈ = 400𝑟
0=
Podemos decir que
𝑟̈ =
𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑟
𝑑𝑟
=
=𝑟
𝑑𝑡 𝑑𝑟 𝑑𝑡
𝑑𝑟
O sea que
𝑟
𝑑𝑟
= 400𝑟
𝑑𝑟
Separando variables e integrando
∫ 𝑟𝑑𝑟 = 400 ∫ 𝑟𝑑𝑟
𝑟2
= 200𝑟 2 + 𝐶
2
𝑆𝑖 𝑟 = 0.25,
𝑟=8
82
= 200(0.252 ) + 𝐶 ; 𝐶 = 19.5
2
𝑟2
= 200𝑟 2 + 19.5
2
𝑟 = √400𝑟 2 + 39
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑟 = 0.5
𝑟 = 9.43 m⁄s
Que es la rapidez con que abandona el tubo
∑ 𝐹𝜃 = 𝑚(𝜃̈𝑟 + 2𝜃𝑟 )
177
Movimiento curvilíneo
Como 𝜃 es constante, 𝜃̈ = 0
𝐹𝐻 =
0.5
(2[20]9.43)
9.81
𝐹𝐻 = 19.23 kg
Movimiento circular
El movimiento circular de la partícula es un caso particular del
movimiento curvilíneo, que reviste especial importancia. Se puede estudiar con facilidad tanto utilizando coordenadas intrínsecas como polares.
En el primer caso, el eje normal va de la partícula al centro de la trayectoria, mientras que en el segundo, tiene sentido contrario, si se toma el
centro como polo. Los ejes tangencial y transversal coinciden.
Empleando las componentes radial y transversal, y sabiendo que r es
constante e igual al radio de la trayectoria, tenemos
𝑣̅ = 𝑟𝐞𝐫 + 𝜃𝑟𝐞𝛉
𝑟=0
𝑣̅ = 𝜃𝑟𝐞𝛉
La velocidad tiene una magnitud igual a 𝜃 𝑟 y es perpendicular al radio
de la trayectoria.
𝑎̅ = (𝑟̈ − 𝜃 2 𝑟)𝐞𝐫 + (𝜃̈𝑟 + 2𝜃̈ 𝑟)𝐞𝛉
Como tanto 𝑟 como 𝑟̈ son nulas
𝑎̅ = −𝜃 2 𝑟𝐞𝐫 + 𝜃̈𝑟𝐞𝛉
La componente radial tiene la misma magnitud de la componente
normal, 𝑎𝑛 = 𝜃 2 𝑟, pero en sentido contrario.
La componentes transversal y tangencial son iguales en la
magnitud,𝜃̈𝑟, y en dirección.
𝑎̅ = 𝜃 2 𝑟𝐞𝐧 + 𝜃̈𝑟𝐞𝐭
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