Práctica 5: MEF 2D. Membrana de Cook

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Valhondo Pascual, Valentín
Práctica 5: MEF 2D. Membrana de Cook
Enunciado
La figura representa la sección transversal de un cuerpo (deformación plana) sobre el que actúa la
carga vertical que se ilustra (F=1.8). Las dimensiones son
,
y
. El material
es elástico con las siguientes propiedades: E = 70,
(las unidades son consistentes entre sí,
asociadas al sistema internacional).
El propósito general es encontrar los desplazamientos, tensiones y reacciones a los que está
sometido el cuerpo. Para ello se propone la utilización de dos tipos de elementos: el triángulo y el
cuadrilátero bilineal.
PARTE A
Resuelva el problema utilizando las discretizaciones que aparecen en la figura. Como parte de la
evaluación, proporcione la siguiente información:
Triangular
Cuadrilátero
Desplazamiento vertical nodo 9
Desplazamiento horizontal nodo 9
Reacción vertical nodo 1
Reacción horizontal nodo 1
Reacción vertical nodo 3
Reacción horizontal nodo 3
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PARTE B (análisis de convergencia)
Resuelva la parte A utilizando las siguientes discretizaciones: 2x2, 4x4, 8x8, 16x16, 32x32. Obtenga
los siguientes resultados:
1. Gráfica representando el desplazamiento de la esquina superior derecha frente al número
de elementos por lado (N: 2, 4, 8, 16 y 32)
2. Deformada obtenida con la malla de N = 32
3. Distribución de la tensión media con la malla N = 32
4. Repita los numerales 1 y 3 para los coeficientes de Poisson de:
y
.
5. Conclusiones. Comentario sobre la velocidad de convergencia obtenida con cada tipo de
elemento y efecto del coeficiente de Poisson sobre los resultados.
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Resolución
Índice de presentación
1. Preproceso
1.1. Geometría y propiedades material
1.2. Discretización y mallado
1.3. Cálculos del preproceso
2. Resolución del caso
3. Postproceso
3.1. Cálculos de post proceso
3.2. Gráficos
4. Análisis de convergencia
5. Conclusiones
6. Bibliografía
1. Preproceso
En esta etapa se introduce toda la información necesaria sobre el modelo para poder resolver el
problema. También se realiza el ensamblaje de la matriz de rigidez.
1.1. Geometría y propiedades material
Al ejecutar el programa, éste requiere la introducción de la geometría del problema. Existe la
opción de seleccionar el caso de referencia, la membrana de Cook, pero también se puede
introducir otra geometría arbitraria. El programa adicionalmente también pide al usuario la
siguiente información:






Número de elementos por fila ( )
Tipo de elemento: triangular lineal (CST) o cuadrilátero bilineal (LSQ)
Selección de las propiedades del material ( y )
Tipo de análisis: Tensión plana o deformación plana
Cargas sobre la estructura: Introducción de las fuerzas en cualquier posición de la
geometría.
Restricciones sobre la estructura: Introducción de las restricciones al movimiento en
cualquier posición de la geometría.
El programa incluye la opción de elegir directamente los valores predeterminados para el caso de
la práctica (Membrana de Cook). De este apartado se obtiene toda la información necesaria para
resolver el caso.
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1.2. Discretización y mallado
Una vez introducida toda la información sobre la geometría y la discretización, se procede a
generar la malla. El mallador devuelve la tabla de conectividades, que relaciona la numeración
local y global de cada elemento, así como también retorna la posición espacial de todos los nodos.
Adicionalmente muestra al usuario la malla y se puede escoger si se quieren ver la numeración de
los nodos. En la Figura 1 se pueden ver 3 casos de diferentes mallados.
Figura 1 Diferentes ejemplos de mallado a) Membrana de Cook con elemento triangular y 3 el/fila. b) Cuadriátero con 10el/fila. c)
Triangular con 2el/fila y muestra la numeración de los nodos.
1.3. Cálculos del preproceso
El objetivo del preproceso es obtener la matriz de rigidez global de la estructura para después ser
capaz de encontrar los desplazamientos, las reacciones y las tensiones. Se define primero los
cálculos pertinentes necesarios para el cálculo de la matriz de rigidez elemental según el tipo de
elemento considerado y posteriormente se ensambla para obtener la matriz global. El ensamblaje
de la matriz global se realiza de la misma manera para elementos triangulares como elementos
cuadrados.

Elemento triangular
El procedimiento para calcular la matriz de rigidez elemental que se ha seguido es el siguiente:
Se calcula primeramente el área del elemento a partir de las coordenadas de sus nodos:
Para calcular la matriz , gradiente de los desplazamientos, necesitamos calcular las derivadas de
las funciones de forma de cada nodo del elemento para cada coordenada de la siguiente forma,
teniendo en cuenta la figura siguiente:
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Las derivadas de las funciones de forma se calculan a partir de las expresiones siguientes:
Por lo tanto, el gradiente de desplazamientos para cada nodo del elemento es:
De manera que la matriz
se puede expresar así:
Por lo tanto, la matriz de rigidez elemental se calcula con la expresión siguiente:
Donde la matriz
tiene que:

se calcula a partir de las propiedades del material. Para deformación plana se
Elemento cuadrilátero
Para calcular la matriz de rigidez elemental en este caso se debe de realizar integración numérica
ya que en esta ocasión el integrando no es constante. Se integrará mediante cuadratura de Gauss
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y para ello se trabaja en las coordenadas normalizadas ( ). Las coordenadas de los nodos a del 1
al 4, en coordenadas normalizadas, según la numeración de nuestro problema es:
Ƞ
3
2
1
ξ
1
4
a=1 a=2 a=3 a=4
ξ -1
-1
1
1
Ƞ -1
1
1
-1
Las coordenadas (x,y) de los nodos a del 1 al 4, según la numeración de nuestro problema es:
y
b
c
1
x
a
d
a=1 a=2 a=3 a=4
x a(1) b(1) c(1) d(1)
y a(2) b(2) c(2) d(2)
Para la integración numérica, se define la siguiente tabla para los puntos de gauss:
Coordenada (ξ,Ƞ)
Peso
1
1
Una vez planteados los datos necesarios, se procede a calcular la matriz de rigidez elemental, para
cada elemento, cada nodo y cada punto de Gauss se realizan los siguientes cálculos:
1. Términos necesarios para el cálculo del Jacobiano.
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2.
3. Construcción del jacobiano:
4. Cálculo de la matriz inversa del jacobiano
5. Cálculo de los términos necesarios para calcular la matriz
6. Matriz
se forma ensamblando las
:
para cada nodo:
A partir de estos términos se procede a realizar la integración numérica para obtener la matriz de
rigidez elemental, que se calcula mediante la expresión:
Donde la matriz
se ha calculado previamente al introducir las propiedades del material.
El ensamblaje de la matriz de rigidez global se realiza con el algoritmo propuesto.
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2. Resolución del caso
Una vez se tiene el sistema global a resolver, éste se puede separar en libre-libre, librerestringido, restringido-libre e restringido-restringido. Si el desplazamiento es conocido, es
decir, sabemos que está restringido, hay unas reacciones que se calcularan una vez obtenidos
los desplazamientos libres.
El sistema a resolver es:
La única fuerza externa que actúa son los 1,8N que se producen en el nodo de coordenadas (48,
60) aplicada en la dirección vertical y sentido hacia arriba. Los desplazamientos libres son todos los
desplazamientos de todos los nodos exceptuando aquellos que tienen la coordenada horizontal
nula.
3. Postproceso
Una vez resuelto el problema, se procede a realizar el tratamiento de los datos para obtener la
información deseada.
Primeramente se calculan las reacciones que aparecen en los nodos que están restringidos. Para
ello se aíslan las reacciones de la siguiente ecuación, donde todos los valores son ya conocidos:
Posteriormente se calculan también las tensiones sobre cada elemento. El algoritmo utilizado es el
siguiente:
Donde el vector de tensiones
es:
La tensión media se calcula mediante:
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Finalmente, el programa procede a presentar la configuración deformada de la geometría y
también un mapa de distribución de tensiones. Para ilustrar lo que se comenta, se presenta un
ejemplo (Figura 2 Ejemplo de la respuesta del programa ante un caso concreto) realizado con el
programa sobre la geometría del enunciado. Se ha realizado un zoom en las gráficas para poder
apreciar mejor los resultados.
Figura 2 Ejemplo de la respuesta del programa ante un caso concreto
3.1. Resultados de los casos estudiados
Una vez bien explicado todo el proceso en el que se basa el programa, se presentan los resultados
obtenidos.
Primero se presentan las tablas de resultados, donde se
muestra el desplazamiento del nodo superior derecho
(a partir de ahora NSD) y las reacciones en el nodo
inferior izquierdo (NII) y en el nodo superior izquierdo
(NSI). Para más claridad, se han marcado en la Figura 3
Nodos más relevantes y su nomenclatura los nodos
importantes. Los resultados se muestran para los
distintos niveles de discretización que se proponen en
el enunciado (2x2, 4x4, 8x8, 16x16, 32x32) y se han
calculado para los valores de las variables que se
indican en el enunciado de la práctica.
Discretización 2x2
Despl. vertical NSD
Despl. horizontal NSD
Reacción vertical NII
Reacción horizontal NII
Figura 3 Nodos más relevantes y su nomenclatura
Triangular
0.3037
-0.1703
-0.6033
-0.9967
Cuadrilátero
0.3089
-0.1943
-0.5015
-1.2804
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Reacción vertical NSI
Reacción horizontal NSI
-0.8826
2.9306
-1.4398
3.0758
Discretización 4x4
Despl. vertical NSD
Despl. horizontal NSD
Reacción vertical NII
Reacción horizontal NII
Reacción vertical NSI
Reacción horizontal NSI
Triangular
0.4579
-0.3030
-0.3626
-0.4263
-0.4049
2.6157
Cuadrilátero
0.4759
-0.3311
-0.4076
-0.4243
-0.8681
2.6737
Discretización 8x8
Despl. vertical NSD
Despl. horizontal NSD
Reacción vertical NII
Reacción horizontal NII
Reacción vertical NSI
Reacción horizontal NSI
Triangular
0.5642
-0.3961
-0.1397
-0.2195
-0.3449
1.8463
Cuadrilátero
0.5869
-0.4199
-0.1767
-0.1960
-0.5553
1.8710
Discretización 16x16
Despl. vertical NSD
Despl. horizontal NSD
Reacción vertical NII
Reacción horizontal NII
Reacción vertical NSI
Reacción horizontal NSI
Triangular
0.6312
-0.4566
-0.0598
-0.1096
-0.2799
1.1959
Cuadrilátero
0.6565
-0.4776
-0.0748
-0.1050
-0.3698
1.2147
Discretización 32x32
Despl. vertical NSD
Despl. horizontal NSD
Reacción vertical NII
Reacción horizontal NII
Reacción vertical NSI
Reacción horizontal NSI
Triangular
0.6846
-0.5067
-0.0278
-0.0513
-0.2025
0.7611
Cuadrilátero
0.7109
-0.5257
-0.0344
-0.0506
-0.2481
0.7747
Para el caso con más resolución que se ha simulado (discretización de 32x32), se procede a
presentar la gráfica de la geometría deformada y de la tensión media, para cada tipo de elemento.
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Figura 4 Geometría deformada y original para elemento triangular
Deformada y original
65
60
55
50
45
40
35
35
40
45
50
Figura 5 Ampliación de la geometría deformada y original para elemento triangular
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Figura 6 Representación de la tensión media para elemento triangular
Figura 7 Geometría deformada y original para elemento cuadrilátero
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Figura 8 Ampliación de la geometría deformada y original para elemento cuadrilátero
Figura 9 Representación de la tensión media para elemento cuadrilátero
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Figura 10 Ampliación de la representación de la tensión media para elemento cuadrilátero
4. Análisis de convergencia
En este apartado se verificará que los resultados obtenidos son correctos. Para ello se realizará un
estudio de convergencia hacia la solución. Adicionalmente se estudiará el tiempo de resolución del
programa en función de la densidad de la malla. Finalmente se estudiará el efecto del coeficiente
de Poisson sobre el método.
4.1. Gráfica de convergencia
En el gráfico siguiente se muestra el desplazamiento del nodo superior derecho en función del
número de elementos por fila.
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Figura 11 Análisis de convergència – NSD frente número de elementos por fila
En el gráfico se aprecia que ambos elementos divergen un poco en el resultado al refinar la malla.
La diferencia entre una solución y otra es pequeña.
Consultando la extensa bibliografía[1] que hay sobre los tipos de elementos, se ha visto que el
elemento cuadrilátero (Q4) es mejor que el triangular (T3) en la mayoría de ocasiones. Es por esto
que los resultados que se consideran correctos son los obtenidos para el elemento cuadrilátero.
Igualmente, en la bibliografía del tema se indica que el mejor elemento para elasticidad 2D es el
elemento cuadrilátero cuadrático (LSQ: Linear Strain Quadrilateral).
4.2. Error relativo
En este apartado se comprobará el error relativo que existe entre la solución para una
discretización y la siguiente. Si el gráfico tiende a cero al aumentar la discretización, entonces es
que se está tendiendo a una solución constante.
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Figura 12 Análisis de convergència – Dif. desplazamientos frente número de elementos por fila
En el gráfico se puede observar que a partir de los 25 elementos por fila, independientemente del
elemento, el error relativo entre discretizaciones es de menos del 1%. Esto indica que el método
está convergiendo a una solución.
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4.3. Tiempo de cálculo
Se ha realizado un estudio del tiempo de ejecución en función de la densidad de malla. Se puede
comprobar en la gráfica adjunta que el tiempo aumenta exponencialmente al aumentar
linealmente el número de elementos por fila. Esto tiene sentido ya que la dimensión de las
matrices es del orden del cuadrado del número de elementos por fila. Se ve que el elemento
cuadrilátero tarda más en ejecutarse que el triangular. Esto tiene sentido ya que requiere de la
realización de más cálculos.
Figura 13 Tiempo de ejecución – Tiempo de cálculo frente número de elementos por fila
Otro de los aspectos importantes a tener en cuenta es la memoria utilizada para almacenar las
matrices y realizar operaciones con ellas. Al incrementar el número de elementos por lado, la
dimensión de la matriz aumenta a la cuarta, cosa que para valores elevados se tiene problemas de
memoria del ordenador.
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4.4. Velocidad de convergencia
Para estudiar la velocidad de convergencia del método se propone mirar la gráfica log-log del
error. La curva del elemento que decaiga más rápido será la que converja más rápidamente a la
solución.
Figura 14 Error frente número de elementos por fila
Como se puede observar en la imagen, ambos tipos de elementos tienen más o menos la misma
velocidad de convergencia. El elemento triangular converge ligeramente más rápido a la solución.
El error disminuye más de un orden de magnitud en aumentar en 5 elementos por fila.
4.5. Efecto del coeficiente de Poisson
En este apartado lo que se pretende es estudiar el efecto del coeficiente de Poisson sobre la
solución y convergencia del problema. Al aumentar el coeficiente de Poisson, el material se va
volviendo más incompresible. Si se mira la matriz constitutiva, tenemos que para coeficientes de
Poisson tendiendo a ½, los términos de la matriz tienden a infinito.
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Se procede a resolver el problema para los dos valores del coeficiente de Poisson propuestos.
Posteriormente se realizará un análisis de los resultados.

o Elemento triangular
En este caso, se obtiene como solución las gráficas que se presentan a continuación:
Figura 15 Representación de la tensión media para elemento triangular
o Elemento cuadrilátero
En este caso, se obtiene como solución las gráficas que se presentan a continuación:
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Figura 16 Representación de la tensión media para elemento cuadrilátero
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o Convergencia hacia la solución
Se realiza el análisis de convergencia para este caso. Se presenta el gráfico del desplazamiento del
nodo vertical en función de la discretización para los dos elementos y también el error relativo.
Figura 17 Análisis de convergència – NSD frente número de elementos por fila
Figura 18 Análisis de convergència – Dif. desplazamiento NSD frente número de elementos por fila
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
o Elemento triangular
En este caso, se obtiene como solución las gráficas que se presentan a continuación:
Figura 19 Representación de la tensión media para elemento triangular
o Elemento cuadrilátero
En este caso, se obtiene como solución las gráficas que se presentan a continuación:
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Figura 20 Representación de la tensión media para elemento cuadrilátero
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o Convergencia hacia la solución
Se realiza el análisis de convergencia para este caso. Se presenta el gráfico del desplazamiento del
nodo vertical en función de la discretización para los dos elementos y también el error relativo.
Figura 21 Análisis de convergència – Desplazamientos frente número de elementos por fila
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Figura 22 Análisis de convergència – Dif. desplazamientos frente número de elementos
por fila

Análisis
Como se puede observar de los gráficos, con coeficientes de Poisson cada vez más elevados, la
diferencia de resultado entre el elemento cuadrilátero y el triangular se hacen mucho mayores.
Esto hace pensar en la posible falsedad en los resultados. Esto se puede observar con un caso aún
más extremo que se ha realizado. En este caso
:
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Figura 23 Análisis de convergència – Desplazamientos frente número de elementos por fila
Analizando la bibliografía existente [2], se ha descubierto que este fenómeno es conocido como
Locking. El Locking ocurre cuando el elemento no puede interpolar el campo correctamente
solamente con los valores nodales y las funciones de forma. En este caso, se puede mal
representar la información ya que no se está capturando la mínima necesaria para definir bien la
solución.
Este fenómeno debe tenerse muy en cuenta cuando se trabaja con materiales incompresibles o en
plasticidad, ya que todos los resultados obtenidos por el método no sirven.
Existen muchas diversas soluciones al locking. Generalmente utilizar elementos más potentes,
como el cuadrilátero de 8 nodos permite esquivar este problema. Para más información consultar
la bibliografía [2].
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5. Conclusiones
La realización de esta práctica ha constado de la programación de un código de elementos finitos
que resuelva el problema elastoestático bidimensional. El programa desarrollado permite resolver
el problema mediante la utilización de 2 tipos de elementos, el triangulo de deformación
constante de 3 nodos (3T CST) y el cuadrilátero de deformación constante de 4 nodos (4Q CSQ). El
programa entrega como resultados las tensiones, deformaciones y reacciones que aparecen ante
un estado de carga y restricciones impuesto por el usuario.
Analizando los resultados obtenidos, se han llegado a diferentes conclusiones relevantes. Estas
conclusiones son:






El método no converge hasta discretizaciones suficientemente altas.
Una vez que ha convergido el método, los resultados obtenidos para triángulos y
cuadrados son diferentes. Se ha visto que el resultado del elemento cuadrilátero en
general es el que presenta mayor precisión.
Se observa que las deformaciones que aparecen son pequeñas, por tanto se mantienen
válidas las hipótesis del problema elástico.
Tal como se ha comentado, al trabajar con materiales incompresibles aparece el efecto del
locking. Es un efecto que debe de tenerse en cuenta para algunos casos.
La velocidad de convergencia y el tiempo de ejecución son similares en ambos casos, pero
el elemento cuadrilátero requiere más tiempo de ejecución.
En conclusión, el elemento cuadrilátero resulta mejor que el triangular, a costa de más
tiempo computacional.
Finalmente, nos gustaría remarcar que esta práctica ha sido muy interesante de realizar ya que
ayuda a ver el doble filo de los métodos numéricos. Si se usan bien son muy potentes, pero hay
que tener claros sus límites.
5.1. Mejoras
La realización del código se ha intentado hacer lo más general y eficiente posible, todo y esto, se
proponen ciertas medidas que ayudarían a hacer que el programa fuese más potente. Algunas de
estas mejoras incluyen:


Mejorar el proceso de ensamblaje. Hemos descubierto una manera de aprovechar la
potencia de Matlab en la cual, si se usan los índices de las matrices, se pueden evitar todos
los bucles.
Utilizar las matrices sparse permitirían reducir la memoria utilizada, de manera que se
podría llegar a realizar cálculos con más elementos.
6. Bibliografía
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[1] Amit H. Varma. Finite Element Modeling and Analysis. CE 595: Course Part 2
[2] G.A.H. van den Oord. Introduction to Locking in Finite Element Methods. Bachelor final project.
Faculty of Mechanical engineering.
[3] Juan Carlos Cante. Apuntes de la asignatura Ingeniería Aeroespacial Computacional. UPC 2013
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