Variaciones del grupo base de la Medida de Mahler

Variaciones del grupo base de la Medida de Mahler
Oliver T. Dasbach, Matilde N. Lalı́n*
*UBC-PIMS, MPIM, U of A
[email protected]
http://www.math.ubc.ca/~mlalin
Segundas Jornadas de Teorı́a de Números
Julio 17, 2007
Oliver T. Dasbach, Matilde N. Lalı́n* (UBS-PIMS,
Variaciones
MPIM,
delU grupo
of A) base de la Medida de Mahler
Julio 17, 2007
1 / 23
Medida de Mahler de polinomios multivariados
P ∈ C[x1±1 , . . . , xn±1 ], la medida de Mahler (logarı́tmica) es :
Z
m(P) =
1
log |P(e2πiθ1 , . . . , e2πiθn )|dθ1 . . . dθn
...
0
=
1
Z
1
(2πi)n
Z0
log |P(x1 , . . . , xn )|
Tn
dx1
dxn
...
.
x1
xn
Por la fórmula de Jensen,
Y
X
m a (x − αi ) = log |a| +
log max{1, |αi |}.
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Variaciones
MPIM,
delU grupo
of A) base de la Medida de Mahler
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Medida de Mahler de polinomios multivariados
P ∈ C[x1±1 , . . . , xn±1 ], la medida de Mahler (logarı́tmica) es :
Z
m(P) =
1
log |P(e2πiθ1 , . . . , e2πiθn )|dθ1 . . . dθn
...
0
=
1
Z
1
(2πi)n
Z0
log |P(x1 , . . . , xn )|
Tn
dx1
dxn
...
.
x1
xn
Por la fórmula de Jensen,
Y
X
m a (x − αi ) = log |a| +
log max{1, |αi |}.
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Ejemplos en varias variables
Smyth (1981)
√
3 3
m(1 + x + y ) =
L(χ−3 , 2) = L0 (χ−3 , −1)
4π
m(1 + x + y + z) =
7
ζ(3)
2π 2
Boyd, Deninger, Rodrı́guez-Villegas (1997)
1
1
?
m x + + y + − 1 =L0 (E1 , 0)
x
y
E1 curva elı́ptica, clausura proyectiva de x +
1
x
+y +
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1
y
− 1 = 0.
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Ejemplos en varias variables
Smyth (1981)
√
3 3
m(1 + x + y ) =
L(χ−3 , 2) = L0 (χ−3 , −1)
4π
m(1 + x + y + z) =
7
ζ(3)
2π 2
Boyd, Deninger, Rodrı́guez-Villegas (1997)
1
1
?
m x + + y + − 1 =L0 (E1 , 0)
x
y
E1 curva elı́ptica, clausura proyectiva de x +
1
x
+y +
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1
y
− 1 = 0.
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La técnica general
Rodrı́guez-Villegas (1997)
Pλ (x, y ) = 1 − λP(x, y )
P(x, y ) = x +
1
1
+y +
x
y
m(P, λ) := m(Pλ )
m(P, λ) =
1
(2πi)2
Z
log |1 − λP(x, y )|
T2
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dx dy
.
x y
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La técnica general
Rodrı́guez-Villegas (1997)
Pλ (x, y ) = 1 − λP(x, y )
P(x, y ) = x +
1
1
+y +
x
y
m(P, λ) := m(Pλ )
m(P, λ) =
1
(2πi)2
Z
log |1 − λP(x, y )|
T2
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dx dy
.
x y
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Notar
|λP(x, y )| < 1,
1
m̃(P, λ) =
(2πi)2
=−
∞
X
λn
n=1
donde
1
n (2πi)2
1
(2πi)2
Z
T2
λ chico,
x, y ∈ T2
Z
log(1 − λP(x, y ))
T2
dx dy
x y
∞
X an λn
dy
P(x, y )
=−
x y
n
T2
Z
P(x, y )n
n dx
n=1
dx dy
= [P(x, y )n ]0 = an
x y
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Notar
|λP(x, y )| < 1,
1
m̃(P, λ) =
(2πi)2
=−
∞
X
λn
n=1
donde
1
n (2πi)2
1
(2πi)2
Z
T2
λ chico,
x, y ∈ T2
Z
log(1 − λP(x, y ))
T2
dx dy
x y
∞
X an λn
dy
P(x, y )
=−
x y
n
T2
Z
P(x, y )n
n dx
n=1
dx dy
= [P(x, y )n ]0 = an
x y
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Notar
|λP(x, y )| < 1,
1
m̃(P, λ) =
(2πi)2
=−
∞
X
λn
n=1
donde
1
n (2πi)2
1
(2πi)2
Z
T2
λ chico,
x, y ∈ T2
Z
log(1 − λP(x, y ))
T2
dx dy
x y
∞
X an λn
dy
P(x, y )
=−
x y
n
T2
Z
P(x, y )n
n dx
n=1
dx dy
= [P(x, y )n ]0 = an
x y
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dm̃(P, λ)
1
=−
dλ
(2πi)2
Z
T2
P(x, y ) dx dy
1 − λP(x, y ) x y
Escribimos
∞
Z
1
u(P, λ) =
(2πi)2
T2
Z
m̃(P, λ) = −
X
dx dy
1
=
an λn
1 − λP(x, y ) x y
n=0
∞
λ
(u(P, t) − 1)
0
En el caso P = x +
1
x
X an λn
dt
=−
t
n
n=1
+ y + y1 ,
an = 0
n
a2m =
2m
m
impar
2
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dm̃(P, λ)
1
=−
dλ
(2πi)2
Z
T2
P(x, y ) dx dy
1 − λP(x, y ) x y
Escribimos
∞
Z
1
u(P, λ) =
(2πi)2
T2
Z
m̃(P, λ) = −
X
dx dy
1
=
an λn
1 − λP(x, y ) x y
n=0
∞
λ
(u(P, t) − 1)
0
En el caso P = x +
1
x
X an λn
dt
=−
t
n
n=1
+ y + y1 ,
an = 0
n
a2m =
2m
m
impar
2
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dm̃(P, λ)
1
=−
dλ
(2πi)2
Z
T2
P(x, y ) dx dy
1 − λP(x, y ) x y
Escribimos
∞
Z
1
u(P, λ) =
(2πi)2
T2
Z
m̃(P, λ) = −
X
dx dy
1
=
an λn
1 − λP(x, y ) x y
n=0
∞
λ
(u(P, t) − 1)
0
En el caso P = x +
1
x
X an λn
dt
=−
t
n
n=1
+ y + y1 ,
an = 0
n
a2m =
2m
m
impar
2
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of A) base de la Medida de Mahler
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Definición
Fx1 ,...,xl grupo libre en x1 , . . . , xl ,
N / Fx1 ,...,xl , Γ = Fx1 ,...,xl /N
Q = Q(x1 , . . . , xl ) =
X
cg g ∈ CΓ,
g ∈Γ
Q∗ =
X
cg g −1 ∈ CΓ recı́proco.
g ∈Γ
P = P(x1 , . . . , xl ) ∈ CΓ , P = P ∗ , |λ| < longitud de P,
mΓ (P, λ) = −
∞
X
an λn
n=1
n
,
an = [P(x1 , . . . , xl )n ]0 .
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Definición
Fx1 ,...,xl grupo libre en x1 , . . . , xl ,
N / Fx1 ,...,xl , Γ = Fx1 ,...,xl /N
Q = Q(x1 , . . . , xl ) =
X
cg g ∈ CΓ,
g ∈Γ
Q∗ =
X
cg g −1 ∈ CΓ recı́proco.
g ∈Γ
P = P(x1 , . . . , xl ) ∈ CΓ , P = P ∗ , |λ| < longitud de P,
mΓ (P, λ) = −
∞
X
an λn
n=1
n
,
an = [P(x1 , . . . , xl )n ]0 .
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También escribimos de esta forma
uΓ (P, λ) =
∞
X
an λn
n=0
la función generatriz de an .
Q(x1 , . . . , xl ) ∈ CΓ
1
(1 − (1 − λQQ ∗ ))
λ
donde λ es real, positivo y 1/λ es mayor que la longitud de QQ ∗ .
QQ ∗ =
∞
mΓ (Q) = −
log λ X bn
−
,
2
2n
bn = [(1 − λQQ ∗ )n ]0 .
n=1
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También escribimos de esta forma
uΓ (P, λ) =
∞
X
an λn
n=0
la función generatriz de an .
Q(x1 , . . . , xl ) ∈ CΓ
1
(1 − (1 − λQQ ∗ ))
λ
donde λ es real, positivo y 1/λ es mayor que la longitud de QQ ∗ .
QQ ∗ =
∞
mΓ (Q) = −
log λ X bn
−
,
2
2n
bn = [(1 − λQQ ∗ )n ]0 .
n=1
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Volumen de nudos hiperbólicos
K nudo: inmersión suave S 1 ⊂ S 3 .
Γ = π1 (S 3 \ K ) = hx1 , . . . , xl | r1 , . . . , rl−1 i
Para un grupo arbitrario Γ, sea
: ZΓ → Z
X
g
cg g →
X
cg .
g
Derivación: mapping ZΓ → ZΓ
D(u + v ) = Du + Dv .
D(u · v ) = D(u)(v ) + uD(v )
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Volumen de nudos hiperbólicos
K nudo: inmersión suave S 1 ⊂ S 3 .
Γ = π1 (S 3 \ K ) = hx1 , . . . , xl | r1 , . . . , rl−1 i
Para un grupo arbitrario Γ, sea
: ZΓ → Z
X
g
cg g →
X
cg .
g
Derivación: mapping ZΓ → ZΓ
D(u + v ) = Du + Dv .
D(u · v ) = D(u)(v ) + uD(v )
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Fox (1953): G libre, {x1 , . . . } generadores, hay una derivación
∂
∂xi
tal que
∂xj
= δi,j .
∂xi
De vuelta con los nudos,
Consideramos la matriz de Fox
 ∂r1
...
∂x1
 ..
..
F = .
.
∂rg −1
∂x1
Al borrar una columna, F
...
∂r1
∂xl
..
.
∂rl−1
∂xl


(l−1)×l
(CΓ)
∈M
A ∈ M (l−1)×(l−1) (CΓ).
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Teorema (Lück, 2002)
Sea K un nudo hiperbólico. Entonces, para λ suficientemente pequeño,
∞
X1
1
Vol(S 3 \ K ) = −(l − 1) ln λ −
trCΓ ((1 − λAA∗ )n ).
3π
n
n=1
El lado derecho es 2tr(mπ1 (S 3 \K ) (A)).
Si A ∈ M l−1 C[t, t −1 ], el lado derecho es igual a 2m(det(A)).
Γ discreto. Determinante de Fuglede-Kadison para operadores
acotados invertibles Γ-equivariantes en l 2 (Γ).
Lück: generalización a no invertibles.
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Teorema (Lück, 2002)
Sea K un nudo hiperbólico. Entonces, para λ suficientemente pequeño,
∞
X1
1
Vol(S 3 \ K ) = −(l − 1) ln λ −
trCΓ ((1 − λAA∗ )n ).
3π
n
n=1
El lado derecho es 2tr(mπ1 (S 3 \K ) (A)).
Si A ∈ M l−1 C[t, t −1 ], el lado derecho es igual a 2m(det(A)).
Γ discreto. Determinante de Fuglede-Kadison para operadores
acotados invertibles Γ-equivariantes en l 2 (Γ).
Lück: generalización a no invertibles.
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11 / 23
Teorema (Lück, 2002)
Sea K un nudo hiperbólico. Entonces, para λ suficientemente pequeño,
∞
X1
1
Vol(S 3 \ K ) = −(l − 1) ln λ −
trCΓ ((1 − λAA∗ )n ).
3π
n
n=1
El lado derecho es 2tr(mπ1 (S 3 \K ) (A)).
Si A ∈ M l−1 C[t, t −1 ], el lado derecho es igual a 2m(det(A)).
Γ discreto. Determinante de Fuglede-Kadison para operadores
acotados invertibles Γ-equivariantes en l 2 (Γ).
Lück: generalización a no invertibles.
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Teorema (Lück, 2002)
Sea K un nudo hiperbólico. Entonces, para λ suficientemente pequeño,
∞
X1
1
Vol(S 3 \ K ) = −(l − 1) ln λ −
trCΓ ((1 − λAA∗ )n ).
3π
n
n=1
El lado derecho es 2tr(mπ1 (S 3 \K ) (A)).
Si A ∈ M l−1 C[t, t −1 ], el lado derecho es igual a 2m(det(A)).
Γ discreto. Determinante de Fuglede-Kadison para operadores
acotados invertibles Γ-equivariantes en l 2 (Γ).
Lück: generalización a no invertibles.
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11 / 23
Medida de Mahler sobre grupos finitos
P=
X
(δi Si + δi Si−1 ) +
i
X
ηj Tj ∈ CΓ
j
Si 6= Si−1 , Tj = Tj−1 , δi ∈ C, ηj ∈ R, and Si , Tj ∈ Γ,
Teorema
Para Γ finito
mΓ (P, λ) =
1
log det(I − λA),
|Γ|
donde A la matriz de adyacencia del grafo (pesado) de Cayley y
1
λ
> ρ(A).
Produce una continuación analı́tica de mΓ (P, λ) a C \ Spec(A).
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12 / 23
Medida de Mahler sobre grupos finitos
P=
X
(δi Si + δi Si−1 ) +
i
X
ηj Tj ∈ CΓ
j
Si 6= Si−1 , Tj = Tj−1 , δi ∈ C, ηj ∈ R, and Si , Tj ∈ Γ,
Teorema
Para Γ finito
mΓ (P, λ) =
1
log det(I − λA),
|Γ|
donde A la matriz de adyacencia del grafo (pesado) de Cayley y
1
λ
> ρ(A).
Produce una continuación analı́tica de mΓ (P, λ) a C \ Spec(A).
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12 / 23
Grupos abelianos
Γ grupo abeliano finito
Γ = Z/m1 Z × · · · × Z/ml Z
Corolario

mΓ (P, λ) =
1
log 
|Γ|
Y

j1
jl
1 − λP(ξm
, . . . , ξm
) 
1
l
j1 ,...,jl
donde ξk es una raı́z primitiva de la unidad.
Usa la descripción del espectro de grafos de Cayley para grupos finitos
dada por Babai (1979).
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13 / 23
Teorema
Para λ pequeño,
lim
m1 ,...,ml →∞
mZ/m1 Z×···×Z/ml Z (P, λ) = mZl (P, λ).
Donde el lı́mite se toma con m1 , . . . , ml yendo a infinito en forma
independiente.
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14 / 23
Grupos Dihedrales
Γ = Dm = hρ, σ | ρm , σ 2 , σρσρi.
Teorema
Sea P ∈ C[Dm ] recı́proco. Entonces
[P n ]0 =
m
1 X n j j
, −1 ,
P ξm , 1 + P n ξm
2m
j=1
donde P n se expresa como suma de monomios ρk , σρk antes de efectuar
la evaluación.
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15 / 23
Para Γ = Z/mZ × Z/2Z = hx, y | x m , y 2 , [x, y ]i,
m
n
n 1 X
j
j
[P ]0 =
P ξm
, 1 + P ξm
, −1
.
2m
n
j=1
Comparamos Dm y Z/mZ × Z/2Z con x = ρ y y = σ en Dm .
Teorema
Sea
P=
m−1
X
k=0
k
αk x +
m−1
X
βk yx k
k=0
con coeficientes reales y recı́proco en Z/mZ × Z/2Z (por lo cual también
es recı́proco en Dm ). Entonces,
mZ/mZ×Z/2Z (P, λ) = mDm (P, λ).
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MPIM,
delU grupo
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16 / 23
Para Γ = Z/mZ × Z/2Z = hx, y | x m , y 2 , [x, y ]i,
m
n
n 1 X
j
j
[P ]0 =
P ξm
, 1 + P ξm
, −1
.
2m
n
j=1
Comparamos Dm y Z/mZ × Z/2Z con x = ρ y y = σ en Dm .
Teorema
Sea
P=
m−1
X
k=0
k
αk x +
m−1
X
βk yx k
k=0
con coeficientes reales y recı́proco en Z/mZ × Z/2Z (por lo cual también
es recı́proco en Dm ). Entonces,
mZ/mZ×Z/2Z (P, λ) = mDm (P, λ).
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16 / 23
Corolario
Sea P ∈ R [Z × Z/2Z] recı́proco. Entonces
mZ×Z/2Z (P, λ) = mD∞ (P, λ),
donde D∞ = hρ, σ | σ 2 , σρσρi.
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17 / 23
Aproximaciones de medidas de Mahler por cocientes
Γm son cocientes de Γ:
Teorema
Sea P ∈ Γ recı́proco.
Para Γ = D∞ , Γm = Dm ,
lim mDm (P, λ) = mD∞ (P, λ).
m→∞
Para Γ = PSL2 (Z) = hx, y | x 2 , y 3 i, Γm = hx, y | x 2 , y 3 , (xy )m i,
lim mΓm (P, λ) = mPSL2 (Z) (P, λ).
m→∞
Para Γ = Z ∗ Z = hx, y i, Γm = hx, y | [x, y ]m i,
lim mΓm (P, λ) = mZ∗Z (P, λ).
m→∞
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Variaciones
MPIM,
delU grupo
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Ejemplos infinitos
P = x + x −1 + y + y −1 .
uZ×Z (P, λ) =
∞ 2
X
2n
n=0
n
λ
uZ×Z/2Z (P, λ) =
2n
=F
∞ X
4n
n=0
uZ∗Z (P, λ) =
1 1
, ; 1, 16λ2
2 2
2n
λ2n
3
1 + 2 1 − 12λ2
√
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Futuros estudios: recurrencia de los coeficientes
Caso abeliano:
u y sus derivadas satisfacen una equación diferencial de Picard–Fuchs.
Griffiths (1969)
A(λ)u 00 + B(λ)u 0 + C (λ)u = 0,
Caso libre:
u es algebraica.
Haiman (1993)
Qué pasa “en el medio”? Hay siempre una recurrencia de
coeficientes?
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Futuros estudios: recurrencia de los coeficientes
Caso abeliano:
u y sus derivadas satisfacen una equación diferencial de Picard–Fuchs.
Griffiths (1969)
A(λ)u 00 + B(λ)u 0 + C (λ)u = 0,
Caso libre:
u es algebraica.
Haiman (1993)
Qué pasa “en el medio”? Hay siempre una recurrencia de
coeficientes?
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Futuros estudios: recurrencia de los coeficientes
Caso abeliano:
u y sus derivadas satisfacen una equación diferencial de Picard–Fuchs.
Griffiths (1969)
A(λ)u 00 + B(λ)u 0 + C (λ)u = 0,
Caso libre:
u es algebraica.
Haiman (1993)
Qué pasa “en el medio”? Hay siempre una recurrencia de
coeficientes?
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Futuros estudios: Entropı́a de árboles y la conjetura del
Volumen
1
m P, l 1 (P)
es escencialmente h(G ), la entropı́a de árbol del grafo de
Cayley.
Lyons (2005)
Gn son grafos finitos que se aproximan a un grafo infinito transitivo G ,
log τ (Gn )
,
n→∞ |V (Gn )|
h(G ) = lim
donde τ (G ) es la complejidad (número de árboles generadores).
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Comparar con
Conjetura ((Conjetura del Volumen) Kashaev, H. Murakami, J. Murakami
(1997))
Sea K un nudo hiperbólico, y Jn (K , q) su polinomio de Jones colorido
normalizado, entonces,
2πi n
log
K
,
e
J
n
1
Vol(S 3 \ K ) = lim
n→∞
2π
n
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FIN
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