6 | Campo eléctrico

6 | Campo eléctrico
Nuestro mundo está lleno de fenómenos entre cargas
eléctricas. Así, un peine puede cargar los cabellos al peinarlos, los cuales, una vez cargados, se repelen y se erizan. A veces, sobre todo en los días de viento, podemos
notar una pequeña descarga eléctrica al acercar las puntas de los dedos a un objeto metálico de forma más o
menos puntiaguda.
Por otra parte, los relámpagos de la tormenta son la
descarga eléctrica entre dos partes de la atmósfera, o de
la atmósfera y el suelo, que, a causa de la acumulación
de carga eléctrica de diferente signo, han alcanzado
diferencias de potencial eléctrico muy elevadas.
La carga eléctrica forma parte de la materia y sus efectos
se extienden por todo el universo. En definitiva, es responsable de la interacción electromagnética, una de las
cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza. Esta es la
base de la mayor parte de fuerzas de contacto entre los
cuerpos y de muchas fuerzas a distancia.
187-222_U6.FIS.2BCH.CAS.indd 187
12/5/09 12:04:10
6 | Campo eléctrico
1 | Noción de campo
Existen muchas magnitudes físicas cuyo valor en los diferentes puntos de
una zona del espacio podemos medir.
Por ejemplo:
• En cada punto de una cámara frigorífica hay una temperatura.
• En cada lugar de la atmósfera el aire se encuentra a una presión
determinada.
• En cada punto de la super ficie terrestre, los cuerpos caen con una acele­
ración concreta.
Cuando una magnitud física toma un valor determinado en cada uno de
los puntos de una zona del espacio, decimos que en esa zona existe un
campo.
Volviendo a los ejemplos anteriores, diríamos que:
• En la cámara frigorífica hay un campo de temperaturas.
1012
1016
1020
1008
B
1024
1028
• En la atmósfera existe un campo de presiones.
• En la super ficie terrestre tenemos un campo de aceleraciones.
1004
A
2 | Campos escalares: isolíneas
Cuando la magnitud física que se mide en cada punto de un campo es una
magnitud escalar, decimos que se trata de un campo escalar.
Son ejemplos de campos escalares los campos de temperaturas, presio­
nes, altitudes, densidades, energías potenciales, etc.
1. Mapa del tiempo. La presión
correspondiente a cada línea está
expresada en milibares, unidad que suelen
utilizar los meteorólogos. En el SI esta
unidad se denomina hectopascal (hPa).
2. El mapa topográfico de un territorio se
puede considerar como la representación
de un campo escalar en el que a cada
punto del terreno le corresponde una
altitud. Las isolíneas, formadas por puntos
de igual altitud, se denominan curvas de
nivel. En este mapa, la diferencia de nivel
entre dos líneas consecutivas es de 20 m.
Entre las curvas de nivel más gruesas la
diferencia de altitud es de 100 m.
El mapa del tiempo que tantas veces vemos en las informaciones metereo­
lógicas de la prensa y la televisión, es un magnífico ejemplo de cómo se
representa un campo escalar.
En la figura 1 puedes ver un mapa del tiempo en el que se representa la
presión aatmosférica en diferentes puntos de una zona de la super ficie
terrestre. Cada una de las líneas dibujadas está formada por puntos que
tienen la misma presión. La línea que rodea la letra A (anticiclón) está cons­
tituida por puntos en los que la presión es de 1 028 milibares. Se puede
obser var, al desplazarse de A a B (borrasca), que la diferencia de presión
de cada dos líneas consecutivas es de 4 milibares. Por lo tanto, en la línea
que rodea la B, la presión será de 1 000 milibares.
Los campos escalares se representan por medio de líneas formadas por
puntos en los que la magnitud escalar toma el mismo valor. Estas líneas
se denominan isolíneas.
En algunos campos escalares las isolíneas reciben nombres especiales.
Por ejemplo, en los campos de presiones (como en el mapa del tiempo) se
denominan isobaras y en los campos de temperaturas, isotermas.
A partir de las isobaras representadas en el mapa del tiempo de la figura 1,
se podría deducir de manera aproximada el valor que tiene en ese momento
la presión atmosférica en Barcelona, Madrid, Londres y Roma.
188
187-222_U6.FIS.2BCH.CAS.indd 188
12/5/09 12:04:27
e x p e r i e nc i a
Campo eléctrico | 6
Sección de un campo escalar e interpolación gráfica
La representación de un campo escalar por medio de isolí­
neas es una proyección sobre un plano de una realidad que
se distribuye en el espacio de tres dimensiones.
Para dar una nueva representación de esta realidad tridi­
mensional, se puede construir una sección del campo esca­
lar en una determinada trayectoria a través suyo. Esta
nueva representación es también una proyección en dos
dimensiones del campo. En el eje de ordenadas se repre­
sentan los valores del campo escalar y en el de abscisas,
las distancias desde el punto de par tida.
Un ejemplo práctico de fácil construcción es el per fil de un
trayecto, en línea recta, a través de un mapa topográfico
entre dos puntos del terreno representado.
El ejemplo escogido en este campo sería una hipotética
ascensión al pico del Aneto, desde el refugio de alta monta­
ña de la Renclusa, en el Pirineo de Huesca.
Se trata de una línea recta que une los puntos elegidos.
Se marcan las intersecciones de la recta con las cur vas de
nivel.
A partir de aquí, se elabora una tabla que contenga las abs­
cisas, los valores de las distancias (desde el origen hasta
cada intersección) y en las ordenadas, las altitudes corres­
pondientes. Una vez obtenidos estos puntos, se represen­
tan en el plano en la escala adecuada. Finalmente, se unen
los puntos con segmentos rectos, que dan lugar a una línea
rota, la interpolación gráfica.
Esta representación refleja la variación del campo escalar;
en nuestro ejemplo, de altitud, a lo largo de una línea deter­
minada.
altitud
m
3 400
A
3 200
3 000
2 800
2 600
2 400
2 200
R
0
1 000
2 000
3 000
4 000
distancia horizontal
m
Ascensión al pico del Aneto desde el refugio de la
Renclusa (Pirineo de Huesca).
189
187-222_U6.FIS.2BCH.CAS.indd 189
12/5/09 12:04:34
6 | Campo eléctrico
3 | Campos vectoriales: líneas de campo
Cuando, en cada punto de una zona del espacio está definida una magnitud
vectorial, decimos que en esa zona existe un campo vectorial.
Son ejemplos de campos vectoriales los campos gravitatorios y eléctricos,
y también los campos de velocidades, de aceleración, de fuerzas, etc.
Los campos vectoriales se representan por medio de líneas de campo.
En un campo vectorial, se denominan líneas de campo las líneas tangen­
tes en cada punto en el vector correspondiente a este punto.
3. En un disco que gira tenemos un
ejemplo de campo vectorial, ya que a cada
uno de sus puntos le corresponde un
vector velocidad. En la figura se han
representado algunos. Las velocidades de
todos los puntos situados a una misma
distancia del centro tienen el mismo
módulo, pero diferente dirección o sentido.
Así pues, en la superficie del disco no hay
dos puntos que tengan el mismo vector
velocidad.
En la figura 4 se ha dibujado una línea de campo de un campo vectorial ima­
ginario y los vectores correspondientes a diversos puntos de este campo.
4. La línea de campo indica las direcciones
de los vectores en cada uno de los puntos,
pero no proporciona información sobre los
módulos, que pueden variar a lo largo de la
línea (es el caso de la figura).
En la figura 5 podemos ver las líneas de campo correspondientes al ejem­
plo de la figura 3 (campo de velocidades en un disco que está girando).
Cuando a todos los puntos de un campo vectorial les corresponde un vector
idéntido (en módulo, dirección y sentido), se trata de un campo uniforme.
Las líneas de campo en un campo vectorial uniforme son un conjunto de
rectas paralelas; en la figura 6 puedes ver un ejemplo.
Obser va que las líneas de campo son diferentes de las isolíneas de los
campos escalares. En las isolíneas, la magnitud que define el campo tiene
el mismo valor en todos los puntos. Las líneas de campo, en cambio, solo
tienen relación con la dirección del vector en cada punto.
5. Campo de velocidades en un disco que
gira. Las líneas de campo son circulares y
concéntricas. Observa los vectores
velocidad tangentes a estas líneas.
6. Campo vectorial uniforme. Cuando
todos los puntos de un móvil se mueven
con la misma velocidad (movimiento de
traslación), su campo de velocidades es
un campo uniforme. Las líneas de campo
son rectas paralelas, como las trazadas
en azul en la figura.
190
187-222_U6.FIS.2BCH.CAS.indd 190
12/5/09 12:04:45
Campo eléctrico | 6
4 | Ley de Coulomb
Charles Coulomb estableció la ley de interacción entre cargas puntuales:
La intensidad de la fuerza de atracción o repulsión entre dos cargas
puntuales es directamente proporcional al valor de cada una de ellas e
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.
Este enunciado se conoce como ley de Coulomb. Matemáticamente se
expresa así:
r
1
Q Q’ r
Q Q’ r
ur =
ur
F =k
2
4 π ε r2
r
donde Q y Q’ son los valores de las cargas, r es la distancia entre ellas,
F es la fuerza con la que se atraen o se repelen, k es un coeficiente cuyo
valor depende del sistema de unidades en que se expresa y del medio
r
en que se hallan las cargas y u r es el vector unitario que indica la direc­
ción de la fuerza aplicada.
r
r
Si r es el vector que une la carga Q con la carga Q’, el vector u r se calcula:
F
r
r
r
r
u r = ; donde r es el módulo de r .
r
En el coeficiente k =
Q’
1
, ε se denomina permitividad del medio.
4πε
r
El valor de k para el vacío (o para el aire) es:
k0 =
1
N m2
= 9  10 9
4 π ε0
C2
Se define la permitividad relativa de un medio como el cociente entre la
permitividad del medio y la del vacío:
εr =
ε
ε0
ur
–F
Q
7. Esquema de fuerzas entre dos cargas
positivas.
De la igualdad anterior se deduce que ε = ε0 εr, hecho por el cual el valor de
k en el SI es:
k =
1
1
9  10 9 N m 2
=
=
εr
4πε
4 π ε 0 εr
C2
A par tir de la fórmula de la ley de Coulomb se puede ver que cargas del
mismo signo se repelen, mientras que las de signo contrario se atraen.
Existe gran similitud entre la ley de Coulomb y la ley de Newton de atracción
entre masas puntuales. En ambos casos, las fuerzas son inversamente
proporcionales al cuadrado de la distancia entre las par tículas, y directa­
mente proporcionales al producto de las cargas eléctricas o de las masas.
Entre estas dos leyes se constatan las diferencias siguientes: la constante
de proporcionalidad gravitatoria es universal, mientras que la constante de
la ley de Coulomb depende del medio donde se hallen las cargas, y las
fuerzas gravitatorias son siempre atractivas, mientras que las eléctricas
son atractivas entre cargas de signos contrarios y de repulsión entre cargas
del mismo signo.
191
187-222_U6.FIS.2BCH.CAS.indd 191
12/5/09 12:04:49
6 | Campo eléctrico
5 | Energía potencial eléctrica
Q’
Q
r
+
Ue
–
r
Las fuerzas de interacción entre las cargas puntuales son fuerzas conser­
vativas; por lo tanto, entre ellas habrá una energía potencial eléctrica. Si
acordamos considerar la referencia de energía potencial nula cuando las
cargas se hallan a una distancia infinita, la energía potencial cuando estén
a una distancia r será:
U E (r ) = –

r
∞
r
r
F · dr = –

r
∞
r
k Q Q’ r
u r · dr = –
2
r

r
k Q Q’
∞
r2
r
 k Q Q’ 
dr = 

 r
∞
Al sustituir los límites de integración, resulta:
8. Variación de la energía potencial con
distancia entre dos cargas de signos
contrarios.
U E (r ) =
En este caso, la energía potencial depende de los signos de las cargas.
Cuando las cargas son de signos contrarios, la energía potencia es negati­
va. El valor máximo de esta energía potencial se da cuando las cargas se
hallan a una distancia infinita, dado que la fuerza entre las cargas es de
atracción (Fig. 8).
Q’
Q
r
+
k Q Q’
1
Q Q’
=
r
4πε r
+
Ue
Si las cargas son del mismo signo, la fuerza será de repulsión. Por lo tanto,
la posición con menor energía potencial será con las dos cargas situadas
a una distancia infinita. Como hemos acordado que es nula, todas las otras
situaciones tendrán energía potencial positiva, tal como se muestra en la
gráfica de la figura 9.
r
9. Variación de la energía potencial con
distancia entre dos cargas del mismo
signo.
6 | Campo eléctrico
La intensidad de un campo eléctrico en un punto es la fuerza que actúa
sobre la unidad de carga positiva situada en este punto por unidad de
carga.
La intensidad de campo eléctrico se expresa en el SI en N/C.
Para expresar vectorialmente la intensidad del campo eléctrico creado por
una carga puntual Q en un punto cualquiera P, tal como se representa en la
figura 10, aceptaremos las convenciones siguientes:
P
• En cada semirrecta con origen en el punto O, donde se halla la carga Q,
se adopta como sentido positivo el que se aleja de O.
r
• Se señala mediante r el vector posición del punto P.
r
r
• Se simboliza con r la distancia del punto O al punto P (r = r ).
r
• Se representa mediante u r el vector unitario en la dirección y el sentido
r
r r
r
del vector: r : u r = .
r
O
ur
Q
10. Representación del entorno de una
carga puntual Q con el vector de posición
r
de un punto P, r , y el vector unitario en
r
esta dirección ur .
La intensidad del campo eléctrico creado para una carga puntual Q en un
punto situado a una distancia r de Q es:
r
r
r
1
Q r
1
Q r
F
=
u
=
E =
r
4 π ε r2
4 π ε r2 r
Q’
192
187-222_U6.FIS.2BCH.CAS.indd 192
12/5/09 12:04:55
Campo eléctrico | 6
7 | Campos eléctricos creados por una o más
cargas puntuales
Cuando dos o más cargas puntuales están situadas en una misma zona del
espacio, el campo eléctrico que crea cada una de ellas no está influido por la
presencia de las cargas restantes. Por eso, la intensidad del campo eléctrico
en un punto cualquiera se calcula aplicando el denominado principio de
superposición de campos, que se puede enunciar de la manera siguiente:
La intensidad del campo eléctrico creado en un punto del espacio para un
conjunto de cargas puntuales es igual a la suma vectorial de las intensida­
des de los campos que crearía por separado cada una de estas cargas.
ejemplo
1. Tres cargas eléctricas puntuales QA = 0,2 μC, QB = – 0,3 μC i QC = 0,1 μC están situadas, respectivamente, en los puntos cuyas coordenadas en metros son A(–2, 3), B(9, –9) y C(7, 7). Calcula la
intensidad del campo eléctrico creado por estas cargas en el punto P(4, 3), si la permitividad relativa del medio en que se hallan es er = 1,5.
Las intensidades de los campos eléctricos que cada una de estas cargas crea en el punto P tendrán
direcciones diferentes. Por eso, tendremos que expresarlas vectorialmente. Para calcularlas
aplicaremos:
r
E =
Q r
1
ur
4 π ε r2
Para encontrar los vectores unitarios correspondientes
uur uur uur a los campos creados por cada una de las tres
cargas, primero calcularemos los vectores AP, BP y CP y sus módulos (obser va la figura):
uur
r
r
r A = AP = (4, 3) – (–2, 3) = (6, 0) = 6 i
r
r A  = 6 m
uur
r
r
r
r B = BP = (4, 3) – (9, –9) = (–5, 12) = –5 i + 12 j
r
rB = (–5)2 + 122 = 13 m
uur
r
r
r
r C = CP =(4, 3) – (7, 7) = (–3, –4) = –3 i – 4 j
r
rC = (–3)2 + (–4)2 = 5 m
C
Y
A
uA
+
+
uC
P
O
X
Los vectores unitarios correspondientes son:
r
r
r
r
u A = rA = i (como se deduce de la figura)
rA
r
r
r
r
r
–5 i + 12 j
u B = rB =
13
rB
r
r
r
r
r
–3 i – 4j
u C = rC =
5
rC
uB
–
B
Si la permitividad relativa del medio es de 1,5, entonces:
1
N m2
1
9  10 9
=
=
N m 2 C –2 = 6  10 9
4πε
1,5
4 π ε 0 εr
C2
193
187-222_U6.FIS.2BCH.CAS.indd 193
12/5/09 12:05:00
6 | Campo eléctrico
Ahora podemos calcular las intensidades de los campos creados por cada una de las tres cargas:
r
EA =
r
r N 
QA r
N m 2 0,2310 –6
1
u A = 6  10 9

C i = 33,3 i  
2
2
2
4 π ε rA
C
(6 m)
C
r
EB =
r
r
r
r N 
QB r
N m 2 –0,3310 –6 C
1
u B = 6  10 9

(–5 i + 12 j ) = 4,1 i – 9,8 j  
2
2
2
4 π ε rB
C
(13 m)
C
r
EC =
2
r
r
r
r N 
QC r
1
0,1310 –6 C
9 N m
u
=
6

10

(–3 i – 4 j ) = –14,4 i – 19,2 j  
C
2
2
2
4 π ε rC
C
(5 m)
C
La intensidad del campo eléctrico en el punto P es la suma vectorial de las tres intensidades de campo
que hemos calculado:
r
r
r
r
r
r N 
E = E A + E B + E C = 23 i – 29 j  
C
recuerda que
Los campos vectoriales se representan por medio de líneas
de campo. En un campo vectorial se denominan líneas de
campo las líneas tangentes en cada punto al vector corres­
pondiente a este punto. Se asigna a estas líneas el sentido
del vector intensidad de campo.
E
a de
Líne
campo
E
E
El número de líneas de campo es infinito. Si se trazaran muchas, toda la
superficie del dibujo estaría ocupada por las líneas y no sería posible distin­
guir unas de otras, por lo cual solo se traza un número limitado.
En la figura 11 se han representado las líneas del campo eléctrico creado
por dos cargas puntutales positivas e iguales, y en la figura 12, las del
campo creado por dos cargas puntuales iguales, pero de signo contrario.
En ambos casos, todas las líneas del campo son cur vas, excepto las situa­
das sobre la recta que pasa por las dos cargas.
+
+
11. Campo creado por dos cargas
positivas iguales.
+
–
12. Campo creado por dos cargas iguales
y de signo contrario.
194
187-222_U6.FIS.2BCH.CAS.indd 194
12/5/09 12:05:06
Campo eléctrico | 6
En las zonas en las que las líneas están muy próximas entre sí, la intensi­
dad del campo es mayor que en las zonas donde están muy separadas. Así
pues, el diagrama de líneas de campo no informá solo de la dirección y del
sentido del vector intensidad de campo, sino también de su módulo.
Las líneas de campo no son las trayectorias que siguen las partículas elec­
trizadas al moverse libremente bajo la acción de las fuerzas del campo. Por
el contrario, cuando solo actúan estas fuerzas y las líneas de campo son
cur vas, es imposible que una par tícula electrizada se desplace.
Como sabemos, en todo movimiento cur vilíneo, la fuerza que actúa sobre
el móvil debe tener un componente normal en la trayectoria; este compo­
nente es precisamente el que hace variar la dirección del movimiento. Si la
trayectoria fuera una línea de campo, no existiría este componente normal
de la fuerza, ya que es tangente a la línea.
8 | Potencial elèctric
Se denomina potencial de un campo eléctrico en un punto a la energía
potencial de la unidad de carga positiva situada en este punto por unidad
de carga.
La unidad de potencial eléctrico en el SI es el julio por culombio, que se
denomina voltio (V).
El potencial del campo eléctrico de una carga puntual Q en un punto situado
a una distancia r de la carga es:
V =
U E (r )
Q’
=
1
Q
4πε r
9 | Potenciales de los campos creados por
una o diversas cargas puntuales
Para calcular el potencial en un campo creado por diversas cargas puntua­
les, se puede aplicar el principio de superposición; es decir, el potencial en
un punto es la suma algebraica de los potenciales que crearía en este
punto cada una de las cargas.
Pero, en general, más que el valor del potencial en un punto, interesa la
diferencia de potencial entre los puntos del campo. Mediante esta diferen­
cia se puede calcular fácilmente el trabajo que realiza la fuerza electrostá­
tica cuando se desplaza una carga Q entre dos puntos.
Supón que se traslada la carga Q de un punto A (cuyo potencial es VA) a otro
punto B (de potencial VB). La energía potencial de la carga Q en estos pun­
tos será Q VA y Q VB, respectivamente. Por lo tanto, el trabajo realizado por
el campo es:
WC = –∆UE = –(Q VB – Q VA) = Q (VA – VB)
195
187-222_U6.FIS.2BCH.CAS.indd 195
12/5/09 12:05:08
6 | Campo eléctrico
ejemplo
2.Dos cargas puntuales, QA = +10–10 C y QC = –2  10–10 C, se hallan, respectivamente, en los vértices A
y C de un cuadrado ABCD de 10 cm de lado (observa la figura). Calcula el potencial en el centro O
del cuadrado y en el vértice D, si el medio en el que se hallan las cargas es el aire.
¿Qué trabajo realiza el campo cuando se traslada una carga Q = 5  10–9 C desde D hasta O?
La distancia de cada una de las cargas en el centro O del cuadrado es:
r =
(0,1 m)2 + (0,1 m)2
= 0,0707 m
2
D
–
C
VO =
Q
QC
Q 
QA
1
1
1
+
=
 A + C
r 
4πε r
4πε r
4πε  r
O
1
Q , Q y r por sus valores, resulta:
4πε A C
Si sustituimos
N m 2  10 –10 C
–2310 –10 C 
VO = 9  10
+

 = –12,7 V
2
0,0707 m 
C
 0,0707 m
9
10 cm
El potencial en O se obtiene sumando los potenciales de los
campos que crearían QA y QC por separado:
A
+
10 cm
B
El potencial en el vér tice D se calcula de la misma manera; la
única diferencia es que la distancia de cada carga en el punto
D es r = 0,1 m. Así pues, el potencial en D es:
VD = 9  10 9
N m 2  10 –10 C
–2  10 –10 C 
+

 = –9 V
0,1 m 
C 2  0,1 m
El hecho de que los potenciales resulten negativos significa que una unidad de carga positiva tendría
menos energía potencial si estuviera situada en los puntos O o D, que si estuviera infinitamente ale­
jada de las cargas QA y QC.
El trabajo realizado por el campo cuando trasladamos la carga Q de D a O es:
WC = Q (VD – VO) = 5  10–9 C  (–9 + 12,7) V = 18,5  10–9 J
recuerda que
Los campos escalares se representan en un plano por medio de líneas formadas por puntos en los que la
magnitud escalar toma el mismo valor. Estas líneas se denominan isolíneas.
En el espacio de tres dimensiones, los puntos en los que una magnitud escalar adquiere el mismo valor no
forman líneas, sino super ficies.
En el campo creado por una carga puntual, todos los puntos situados a una
distancia r de la carga tienen el mismo potencial. Estos puntos forman una
super ficie esférica de radio r con centro en la carga puntual.
196
187-222_U6.FIS.2BCH.CAS.indd 196
12/5/09 12:05:11
Campo eléctrico | 6
Las super ficies formadas por puntos que poseen el mismo potencial se
denominan superficies equipotenciales.
Así pues, las super ficies equipotenciales son un conjunto de super ficies
esféricas concéntricas (Fig. 13).
Si no consideramos todos los puntos del espacio, sino solo un plano que
pase por el centro del campo, los puntos de igual potencial determinarán
un conjunto de circunferencias concéntricas que, como ya sabemos, reci­
ben el nombre de isolíneas (Fig. 14).
13. Las superficies equipotenciales en el
campo creado por una carga puntual son
superficies esféricas concéntricas.
14. Las isolíneas del campo creado por
una masa puntual son circunferencias
concéntricas.
Naturalmente, existen infinitas isolíneas; pasa una por cada punto del
espacio. Pero, a la hora de representar un campo, solo se trazan algunas,
de manera que la diferencia de potencia entre dos isolíneas consecutivas
sea siempre la misma. Aparecen muy cerca una de otra en la zona próxima
al centro del campo. Al alejarse del centro, la separación entre isolíneas
consecutivas va aumentando (Fig. 14).
Cuando una carga eléctrica se mueve sobre una super ficie equipotencial,
el trabajo realizado por el campo es constantemente nulo, ya que no hay
diferencia de potencial entre los diferentes puntos del recorrido.
Como actúa una fuerza sobre la carga y esta se desplaza, el trabajo solo
puede ser nulo si la fuerza es perpendicular al desplazamiento. Por este
motivo, las líneas de campo, que tienen la dirección de la fuerza, son siem­
pre perpendiculares a las super ficies equipotenciales (Fig. 15).
En las figuras 15 y 16 se han representado las isolíneas y las líneas de
campo en el caso del campo creado por dos cargas puntuales iguales del
mismo signo y de signos contrarios. Las isolíneas representan las intersec­
ciones de las super ficies equipotenciales con el plano del dibujo. Se puede
ver claramente cómo cada isolínea forma un ángulo recto con todas las
líneas de campo que cor ta.
+
+
16. Líneas equipotenciales en el campo
creado por dos cargas positivas iguales.
+
+Q
A
B
15. La intensidad del campo es
perpendicular a la superficie
equipotencial.
–
17. Líneas equipotenciales en el campo
creado por dos cargas iguales de signo
contrario.
197
187-222_U6.FIS.2BCH.CAS.indd 197
12/5/09 12:05:29
6 | Campo eléctrico
e x p e r i e nc i a
Simulación de líneas de campo e isolíneas de campos eléctricos
Diversas aplicaciones representan los campos eléc­
tricos alrededor de una o más cargas eléctricas. El
objetivo de la experiencia que proponemos es obte­
ner unas nociones más completas del comportamien­
to de los campos eléctricos, de sus efectos y sus
representaciones en el espacio.
Un ejemplo de aplicación es fislab.net de la xtec. En
este entorno podemos escoger la simulación de
electrostática.
Podemos establecer diferentes situaciones:
– Escoger el valor de la carga eléctrica, entre –5 mC
y 5 mC, en valores enteros. Haciendo clic con el
ratón sobre el lugar donde está la carga, esta va
cambiando su valor en mC de uno en uno.
– Situarla en un lugar determinado del plano fijando
sus coordenadas car tesianas. Se puede arrastrar
la carga con el ratón o establecer sus coordena­
das en las casillas correspondientes.
b) ¿Qué diferencia hay entre la representación de
las líneas de campo por una carga positiva o por
una carga negativa?
3. Obser vamos conjuntamente las líneas de campo
y las isolíneas para cada una de las cargas: –4
mC, –2 mC, 1 mC, 3 mC y 5 mC. Después de esta
obser vación, responde a la pregunta:
¿Cómo son las líneas de campo respecto a las
isolíneas?
4. Aprovechando la representación de los ejes de
coordenadas, con divisiones de longitud de 10 m
en 10 m, completa una tabla como la siguiente, a
par tir de una carga determinada:
Valor de la carga, Q = 4 mC
Distancia
a la carga
r (m)
– Añadir más cargas.
50
– Representar los vectores campo eléctrico, hacien­
do clic con el ratón en un punto del plano diferente
de aquel donde está la carga. En la par te inferior
del área de trabajo se dan los valores del módulo
del vector intensidad de campo, de sus componen­
tes, del ángulo que forma con el eje horizontal y
del potencial eléctrico en este punto señalado,
además de las coordenadas de este.
100
– Representar las líneas de campo.
– Representar isolíneas equipotenciales.
– Representar las superficies equipotenciales en 3D.
Campo creado por una carga puntual
Comenzaremos escogiendo la representación del
campo de una sola carga.
1. Obser varemos y anotaremos cómo varía la repre­
sentación del campo al ir incrementándose el
valor de la carga, entre 1 mC y 5 mC. Podemos
situar esta carga en el centro de coordenadas.
2. Repetiremos la obser vación con cargas negati­
vas, entre –1 mC y –5 mC.
Después podremos responder a las preguntas
siguientes:
a) ¿Cómo varía la representación de las líneas de
campo al ir aumentando el valor absoluto de la
carga?
Valor del
campo
eléctrico
E (N/C)
Valor del
potencial
eléctrico
E × r2
V×r
V (V)
150
200
250
Una vez completada la tabla, resuelve las cuestiones:
a) ¿Qué relación hay entre el valor del campo eléctri­
co, E, la carga, Q, y la distancia, r, entre la carga
y el punto?
b) Determina la relación entre el valor del potencial
eléctrico, V, la carga, Q, y la distancia, r, de la
carga al punto considerado.
Campo creado por dos cargas puntuales
5. Escogeremos primero dos cargas del mismo valor
y de signos opuestos, y situaremos las cargas en
posiciones simétricas respecto al origen de coor­
denadas. Obser varemos cómo son las líneas de
campo.
a) ¿Cómo se han modificado las líneas de campo res­
pecto a su representación para una sola carga?
A par tir de una de las líneas de campo, represen­
ta el vector intensidad de campo eléctrico a lo
largo de la línea, en unos cuantos puntos que
vayan de la carga positiva a la negativa, y anota
los valores del campo eléctrico y del potencial en
cada punto.
198
187-222_U6.FIS.2BCH.CAS.indd 198
12/5/09 12:05:31
e x p e r i e nc i a
Campo eléctrico | 6
b) ¿Cómo son los vectores intensidad de campo
eléctrico respecto a las líneas de campo?
b) ¿Cómo son los vectores intensidad de campo
eléctrico respecto a las líneas de campo?
c) ¿Cómo cambia el potencial eléctrico?
c) ¿Cómo cambia el potencial eléctrico?
6. Escogeremos ahora dos cargas del mismo valor y
de igual signo, y las situaremos en posiciones
simétricas respecto al origen de coordenadas.
Obser varemos cómo son las líneas de campo.
7. Para cada una de las situaciones de los apar ta­
dos 5 y 6, obser va la representación conjunta de
las líneas de campo y de las isolíneas. Después,
responde a las preguntas siguientes:
a) ¿Cómo se han modificado las líneas de campo en
relación a su representación para una sola carga?
a) ¿Cómo son, en cada situación, las líneas de
campo respecto a las isolíneas?
A partir de una de las líneas de campo, representa
el vector intensidad de campo eléctrico a lo largo
de la línea en unos cuantos puntos que vayan
desde una de las cargas hacia puntos cada vez
más alejados de la carga. Anota los valores del
campo eléctrico y del potencial en cada punto.
b) ¿Es posible establecer algunas simetrías en la
representación de las líneas de campo?
c) En la representación de las isolíneas, ¿podemos
ver alguna simetría?
10 | Campo eléctrico creado por una
distribución esférica de carga
En el caso de distribuciones uniformes de carga en una esfera, los campos
creados en el exterior de esta serán iguales a los que crearía una masa o
una carga de igual magnitud, situada en el centro de la esfera.
Cuando se trate de una esfera conductora cargada, habrá que tener presen­
tes las consideraciones siguientes:
En todos los conductores cargados estáticamente, la carga eléctrica se dis­
tribuye de forma automática, de manera que la intensidad del campo es nula
en en interior del conductor y el potencial es igual en todos sus puntos.
La explicación es la siguiente: todo conductor lo es porque contiene una can­
tidad enorme de partículas que poseen carga eléctrica y pueden moverse
libremente por su interior. Pero, si un conductor está cargado estáticamente,
no circula por él corriente eléctrica; es decir, las partículas cargadas que con­
tiene no se desplazan en una dirección determinada. Eso demuestra que no
hay campo eléctrico en el interior del conductor, ya que, si lo hubiera, ejercería
una fuerza sobre las partículas cargadas que las obligaría a desplazarse.
Por otro lado, como la intensidad del campo es nula, el trabajo W realizado
sobre cualquier par tícula con carga Q que se desplazara de un punto A a
otro B en el interior del conductor también sería nulo. Por lo tanto, la dife­
rencia de potencial entre A y B valdrá:
VA – VB = W/Q = 0/Q = 0
De aquí se deduce que VA = VB; es decir, que todos los puntos en el interior
del conductor tienen el mismo potencial eléctrico.
En la figura 18 se puede ver cómo se distribuyen las partículas cargadas en
una esfera metálica electrizada negativamente. Los puntos rojos representan
las partículas positivas (iones del metal) y los negros, las
18. Esfera metálica cargada
negativamente. Los puntos rojos son
partículas positivas y los negros,
negativas.
199
187-222_U6.FIS.2BCH.CAS.indd 199
12/5/09 12:05:34
6 | Campo eléctrico
+
+
++ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++ +
+
+
+
+
+
+ + +
+ + +
19. Representación de la carga en un
conductor macizo y en un conductor vacío.
La carga se distribuye en ambos de la
misma manera: en la superfície del
conductor y más concentrada en las zonas
salientes.
E
r P
++ + +
+
+
+
+
+
+
O
+
+
+ + ++
negativas (electrones). El interior de la esfera contiene la misma cantidad
de par tículas de cada signo, por lo cual es eléctricamente neutro. Solo en
la super ficie las par tículas negativas superan en número a las positivias;
por eso esta zona está cargada negativamente.
En los conductores cargados estáticamente, la carga eléctrica se sitúa siempre
en la superficie, mientras que el interior permanece eléctricamente neutro.
La carga estática se sitúa en la super ficie de los conductores porque las
cargas con el mismo signo tienden a alejarse las unas de las otras lo máxi­
mo posible debido a la fuerza de repulsión entre ellas. Por esta misma
razón, las cargas eléctricas tienden a concentrarse más en las zonas
salientes o puntiagudas.
Tanto si el conductor está vacío como si es macizo, la carga eléctrica se
distribuye de la misma manera (Fig. 19), ya que se encuentra toda única­
mente en la super ficie.
En los conductores esféricos, la carga se distribuye uniformemente en toda
la super ficie, ya que no tiene ninguna zona que sobresalga. Las líneas de
campo son radiales como las del campo creado para una carga puntual,
pero no existen en el interior de la esfera, ya que, como sabemos, la inten­
sidad de campo es nula en esta zona (Fig. 20).
En el espacio que rodea la esfera, la intensidad del campo es la misma
que crearía una carga puntual igual a la carga total de la esfera, situada en
su centro. En un punto P, el vector posición respecto al cual el centro de la
r
esfera es r (Fig. 20), la intensidad del campo será, por lo tanto:
20. Campo creado por un conductor
esférico cargado eléctricamente.
r
E =
r
Q r
1
Q r
1
u
=
r
4 π ε r2 r
4 π ε r2
El potencial eléctrico en la superficie y en el exterior de un conductor esférico es:
V =
1
Q
4πε r
En las dos expresiones anteriores, ε representa la permitividad del medio
que rodea el conductor esférico.
En el interior de un conductor esférico, el potencial es el mismo que en su
super ficie, ya que todos los puntos de un conductor cargado estáticamente
tienen el mismo potencial eléctrico.
ejemplo
3.Una esfera conductora de radio R = 10 cm se halla en un medio cuya permitividad relativa es εr = 3. Se
carga la esfera de electricidad hasta que el potencial en su superficie es de V = 180 V. Calcula:
a) La carga de la esfera.
b)El módulo de la intensidad del campo y el potencial eléctrico a 15 cm de la superficie.
c) La intensidad del campo y el potencial eléctrico a 5 cm del centro.
a) El potencial en la super ficie de la esfera es:
V =
1
Q
4πε r
200
187-222_U6.FIS.2BCH.CAS.indd 200
12/5/09 12:05:41
Campo eléctrico | 6
Aislamos Q, y obtenemos:
Q =
V R
180 V  0,1 m
=
= 6  10 –9 C
–2
1
9  10 9 N m 2 C
4πε
3
b)Un punto situado a 15 cm de la super ficie de la esfera de 10 cm de radio se halla a 25 cm del
centro. El módulo de la intensidad de campo en este punto es:
E =
1
Q
9  10 9 N m 2 C –2 6  10 –9 C
N
=
= 288
2
3
4πε r
C
(0,25 m)2
El potencial eléctrico en este punto es:
V =
1
Q
9  10 9 N m 2 C –2 6  10 –9 C
=
= 72 V
(0,25 m)
3
4πε r
c)Un punto a 5 cm del centro está situado en el interior de la esfera, por lo cual la intensidad del
campo eléctrico será nula.
El potencial eléctrico es el mismo en el interior que en la super ficie del conductor, es decir, será de
180 V.
11 | Campo uniforme
En el caso del campo eléctrico, se obtienen campos uniformes en el espa­
cio que queda entre las láminas de unos dispositivos denominados conden­
sadores planos, que están formados por dos láminas planas metálicas
iguales, paralelas, situadas una delante de la otra a una distancia muy
pequeña en comparación con sus dimensiones y separadas por un dieléc­
trico. El campo eléctrico creado por un condensador plano es uniforme y
pendicular a las armaduras y se limita prácticamente a la zona comprendi­
da entre estas. La intensidad del campo es igual en todos los puntos y las
líneas de campo son rectas perpendiculares a ambas armaduras (Fig. 21).
El campo solo presenta una ligera distorsión en la zona próxima a los bor­
des de las placas.
Las super ficies equipotenciales son planas y paralelas a las armaduras del
condensador.
En los campos uniformes existe una relación sencilla entre la variación del
potencial y el vector intensidad de campo.
21. Líneas de campo (en rojo) y
superficies equipotenciales (en azul) en un
condensador plano.
r
Recordemos que la fuerza, F E, sobre una cargar eléctrica, Q, en un punto
donde el vector intensidad de campo eléctrico, E , es conocido, vale:
r
r
FE= QE
Si el campo eléctrico es uniforme, la fuerza será constante.
La variación de energía potencial de una carga Q, al ir de una posición ini­
cial, A, a una final, B, se puede determinar así:
∆UE= Q (VA – VB) = Q ∆V
Por otro lado, esta variación de energía potencial también se puede calcular
como el trabajo, cambiado de signo, de la fuerza del campo eléctrico al
201
187-222_U6.FIS.2BCH.CAS.indd 201
12/5/09 12:05:45
6 | Campo eléctrico
trasladar la carga, Q, de A a B. En el caso de un campo uniforme, al ser la
fuerza constante, este trabajo será:
r
r
r
r
r
r
r
r
r
∆UE = –WA→B (F E) = – F E · (r B – r A) = –Q E · (r B – r A) = –Q E · ∆r
r
r
Por lo tanto, Q ∆ V = –Q E · ∆r
r
r
Y simplificando la carga, Q, ∆ V = –E · ∆r
Esta última expresión relaciona el vector intensidad de campo eléctrico con
la variación de potencial en un campo uniforme. Tal como se puede obser­
var, si el desplazamiento se produce en el mismo sentido que el del vector
intensidad de campo, el potencial disminuye, mientras que si se hace en
sentido contrario, el potencial aumenta. Las líneas de campo indican el
sentido de la disminución del potencial.
Si d es la distancia entre las super ficies planas de potenciales VA y VB, la
componente del vector intensidad de campo eléctrico en la dirección per­
pendicular a las super ficies vale:
E =–
∆V
d
El vector intensidad de campo tendrá el sentido opuesto al aumento de
potencial.
ejemplo
4.Una partícula con carga eléctrica de 2 nC y una masa de 4 mg se halla en equilibrio en el espacio central que hay entre las dos láminas paralelas y horizontales de un condensador.
Todo este sistema se encuentra en un laboratorio cerca de la superficie de la Tierra.
a)Dibuja un esquema de las fuerzas que producen este equilibrio.
b)Calcula el campo eléctrico en el lugar donde está situada la partícula.
c)¿Cuál es la diferencia de potencial entre las láminas del condensador, separadas por una distancia de 2 cm? ¿Cuál de las dos láminas tiene un potencial más elevado?
d)Explica qué pasará si situamos este sistema en un avión
que vuela a una altura de 10 000 m sobre la superficie
de la Tierra.
a) Tal como muestra la figura, las fuerzas que equilibran la
par tícula son la fuerza de atracción gravitatoria, cerca de
la super ficie de la Tierra, y la fuerza electrostática sobre
la partícula, que crea el campo eléctrico entre las láminas
del condensador. Según esto:
r
r
F E + m g = 0
FE
+
FG
b) De la expresión anterior y del valor de la fuerza electros­
tática respecto a la cargareléctrica,
r
r podemos obtener el
valor del campo eléctrico E : F E = Q E .
r
r
r N 
r
4  10 –6kg  (–9,8j N/kg)
m g
=–
= 19 600j  
E =–
–9
Q
2  10 C
C
202
187-222_U6.FIS.2BCH.CAS.indd 202
12/5/09 12:05:49
Campo eléctrico | 6
c) En un campo uniforme sabemos que la relación entre el vector intensidad de campo y la diferencia
de potencial entre dos puntos situados a una distancia d, en la misma dirección y sentido del vec­
tor intensidad, se expresa:
E =–
∆V
d
De donde
∆V = – d E
Sustituyendo valores, tenemos:
∆V = – 0,02 m  19 600 V/m = – 392 V
El signo negativo indica que el potencial disminuye en el sentido del vector intensidad del campo
eléctrico; por lo tanto, la lámina con el potencial eléctrico más alto es la inferior.
d) Si situamos este sistema 10 000 m más arriba, la fuerza de atracción del campo gravitatorio será
r
más pequeña, al disminuir el vector g . De esta forma, si se mantiene la diferencia de potencial
entre las láminas del condensador, la fuerza electrostática sobre la par tícula será mayor que la
gravitatoria y la resultante no será nula, sino que habrá una aceleración en sentido ascendente.
No obstante, esta aceleración será pequeña.
12 | El tubo de rayos catódicos
El científico británico William Crookes (1832-1919) fue el descubridor del tubo
de rayos catódicos o tubo de Crookes. Se trataba de un tubo o recipiente de
vidrio en el que se había hecho parcialmente el vacío, que contenía dos elec­
trodos entre los que se aplicaba una diferencia de potencial muy elevada. Se
producía un rayo de partículas que salían del cátodo y se desplazaban en línea
recta, produciendo fosforescencia al chocar contra determinadas sustancias.
En 1897, J. J. Thomson realizó un experimento con el que demostró que los
rayos catódicos pueden ser desviados por campos eléctricos y magnéticos.
Por lo tanto, están formados por partículas cargadas negativamente.
+
–
C
A
D
P
B
F
22. Esquema del tubo de rayos catódicos que utilizó Thomson para medir la relación q/m
de las partículas que forman los rayos catódicos.
En el esquema de la figura 22 podemos obser var que los electrones gene­
rados en el cátodo, C, son acelerados hasta el ánodo, A, con una diferencia
determinada de potencial entre estos dos electrodos. Finalmente, se redu­
ce el haz haciendo pasar los electrones por una pequeña rendija del ánodo
203
187-222_U6.FIS.2BCH.CAS.indd 203
12/5/09 12:05:58
6 | Campo eléctrico
B. Después, son desviados de esta por las placas metálicas cargadas, D y
F (D es positiva y F es negativa), entre las cuales hay un campo eléctrico
uniforme. Este campo produce en los electrones una desviación igual a la
del tiro horizontal de una masa en el interior del campo gravitatorio constan­
te cerca de la super ficie de la Tierra.
En lugar de las placas metálicas planas cargadas, que generan un campo
eléctrico uniforme, se pueden utilizar electroimanes con el campo magné­
tico perpendicular al eléctrico de las placas. Este campo magnético tendrá
un efecto similar al del campo eléctrico, aunque la aceleración producida
será centrípeta, no ver tical y constante. A pesar de esto, si la anchura del
campo magnético constante no es muy grande, su efecto será muy pareci­
do al del campo eléctrico uniforme.
J. J. Thomson utilizó este campo magnético uniforme junto con el campo
eléctrico –también uniforme y perpendicular al magnético– para calcular la
velocidad de las par tículas al entrar en la zona situada entre las placas.
Si conocemos la energía comunida a los electrones por la diferencia de
potencial entre el cátodo y el ánodo, podemos calcular la desviación que
tendrán al cruzar la anchura de las placas cargadas y, finalmente, veremos
la desviación posterior hasta que impacten sobre la pantalla fosforescente.
La velocidad que alcanzan los electrones acelerados entre el cátodo y el
ánodo se puede calcular aplicando la conservación de su energía mecánica:
∆Ek = –∆UE
Entonces:
1
m v 2 = Qe ∆V
2
Y, por lo tanto:
v2 =
2 Qe ∆V
m
Donde m es la masa del electrón, Qe es su carga eléctrica, v es la velocidad al
llegar al ánodo y DV es la diferencia de potencial entre el ánodo y el cátodo.
Esta es la velocidad con la que los electrones entran en el espacio que hay
entre las placas D y F, en el que se genera un campo eléctrico ver tical y
uniforme. Al cruzar este espacio, los electrones son desviados verticalmen­
te. Se puede calcular la velocidad de salida aplicando la dinámica de un
movimiento uniformemente variado, con la fuerza perpendicular en la velo­
cidad inicial. Se trata de un movimiento de tiro horizontal:
Pantalla
Placas
deflectoras
y1
vx
d
vy
vx
y2
L
23. Esquema de las desviaciones de un electrón al cruzar el campo eléctrico uniforme y
llegar hasta la pantalla fosforescente en el experimento de J. J. Thomson.
204
187-222_U6.FIS.2BCH.CAS.indd 204
12/5/09 12:06:00
Campo eléctrico | 6
Consideramos E el campo eléctrico entre las placas y vx la velocidad hori­
zontal de entrada a las placas, la cual será igual a la velocidad alcanzada
en el ánodo por los electrones. Por lo tanto, la aceleración ver tical de los
electrones será:
a =
Qe E
m
;
El electrón tarda en cruzar las placas:
∆t =
d
.
vx
La velocidad de salida de la par tícula de las placas tendrá un componente
ver tical de valor:
v y = a ∆t =
Qe E
m
d
vx
Además, en este mismo inter valo de tiempo la par tícula habrá experimen­
tado un desplazamiento ver tical y1:
Q E
1
y1 =
a (∆t )2 = e
2m
2
d

v x
2



r
r
r
Una vez que ha salido de las placas, continúa con una velocidad v = vx i + vy j
, y cuando llega a la pantalla, su desplazamiento ver tical se incrementa en
una cantidad y2:
y2 = v y
Q E d L
L
= e
m vx vx
vx
El desplazamiento ver tical total se puede escribir de este modo:
y1 + y2 =

Qe E  d 2
+ d L

2
m vx  2

J. J. Thomson utilizó esta expresión para determinar la relación entre la
carga y la masa de las par tículas que formaban los rayos catódicos.
Estableció la velocidad de las par tículas al entrar en la zona del campo
eléctrico uniforme situando en esta misma zona un campo magnético uni­
forme, perpendicular al campo eléctrico y a la dirección de la velocidad de
las par tículas. Cuando las par tículas no se desviaban, se debía a que la
fuerza del campo eléctrico se equilibraba con la del campo magnético sobre
las cargas en movimiento (Fig. 24).
Qe E
+
+
+
+
+
+
–
–
–
–
E
Qe
–
vx
–
Qe vx B
–
B
24. Equilibrio entre las fuerzas de un campo eléctrico y un campo magnético
perpendiculares sobre unas partículas cargadas en movimiento.
205
187-222_U6.FIS.2BCH.CAS.indd 205
12/5/09 12:06:03
6 | Campo eléctrico
Qe E = Qe v x B; de donde v x =
E
B
A par tir de este valor de la velocidad de entrada en el espacio entre las
placas que crean el campo eléctrico, J. J. Thomson pudo calcular la relación
entre la carga eléctrica y la masa de las par tículas que forman los rayos
catódicos. Denominó electrones a estas par tículas.
El descubrimiento de J. J.Thomson impulsó la utilización del tubo de rayos
catódicos en la formación de imágenes sobre pantallas, que tuvo aplicacio­
nes diversas, como el osciloscopio, los monitores de radares y los ordena­
dores, los monitores utilizados en la exploración biomédica (como las
ecografías actuales) y como receptores de las imágenes de televisión.
En el osciloscopio hay dos pares de placas de desviación (Fig. 25): un par
produce desviación horizontal del haz de electrones; el otro par desvía el
haz de rayos catódicos en dirección ver tical. El primer par hace barrer la
pantalla en la dirección horizontal y sigue una función del tiempo, mien­
tras que el par que produce la desviación ver tical es función de una
variable física que da lugar a una variación de un potencial eléctrico a lo
largo del tiempo. De esta manera, el osciloscopio se usa para analizar la
respuesta en el tiempo de la magnitud física que queremos estudiar y
describir.
plaques de desviació
horizontal
càtode
plaques
de desviació
verticals
ànode
accelerador
pantalla
fluorescent
reixa de control
escalfador
ànode d’enfocament
26. Señal producida por el sonido de un diapasón a través de un micrófono conectado al
osciloscopio.
En la figura 26 aparece un ejemplo de la aplicación de un osciloscopio; en
él se aprecia la imagen que ha registrado el sonido producido por las osci­
laciones de un diapasón, transformado en variación de potencial eléctrico
por un micrófono conectado al osciloscopio.
25. Esquema del tubo de rayos catódicos
de un osciloscopio.
En el tubo de rayos catódicos de un televisor (como el representado en el
esquema de la figura 27), en lugar de pares de placas creadoras de los
campos eléctricos que desvían los rayos catódicos, se utilizan dos pares
de bobinas deflectoras. Las bobinas generan unos campos magnéticos
variables, perpendiculares a la velocidad de los electrones, que los desvían
de tal modo que barren una pantalla horizontal y ver ticalmente, con una
frecuencia bastante elevada. Así, los puntos de la pantalla se iluminan,
durante un pequeño inter valo de tiempo, al recibir el impacto del haz de
electrones, y forman una imagen que podemos ver en el otro lado del vidrio
que muestra la pantalla en el exterior.
206
187-222_U6.FIS.2BCH.CAS.indd 206
12/5/09 12:06:08
Campo eléctrico | 6
1
2
3
4 5
6
7
8
27. Esquema transversal de un tubo de rayos catódicos de televisor.
1. Rejilla de control
2. Ánodo
3. Bobinas deflectoras
4. Filamento calentador
5. Cátodo
6. Haz de electrones
7. Bobina de enfoque
8. Pantalla fluorescente
Hay dos bobinas deflectoras más, perpendiculares al plano de la figura, situadas
aproximadamente en la misma zona de las bobinas 3.
En un televisor en color se crean tres haces de rayos catódicos, uno por
cada color: verde, azul y rojo. Una vez desviados por las bobinas deflecto­
ras, los haces inciden sobre la pantalla (después de pasar por una rejilla)
y cada uno ilumina una pequeña porción de la pantalla del color corres­
pondiente. En toda la super ficie interior de la pantalla hay una distribu­
ción más o menos uniforme de pequeñas porciones de los materiales
fosforescentes correspondientes a los tres colores que forman las imá­
genes (Fig. 28). Cuando vemos la imagen a distancia, en cada zona de la
pantalla la combinación de las intensidades de los tres colores básicos
–verde, rojo y azul– nos ofrecerá el color correspondiente a la imagen que
se está representando.
28. Esquema de la distribución de las celdas de los colores verde, rojo y azul en la
pantalla de un televisor en color.
207
187-222_U6.FIS.2BCH.CAS.indd 207
12/5/09 12:06:14
6 | Campo eléctrico
ejemplo
5.En un tubo de rayos catódicos, los electrones son acelerados por una diferencia de potencial de
2 000 V entre el cátodo y el ánodo. Después, los electrones entran en una zona situada entre dos
placas metálicas horizontales y paralelas a la dirección de la velocidad de las partículas, separadas
por una distancia de 2 cm y cargadas con una diferencia de potencial de 100 V, que crean un campo
eléctrico perpendicular a estas y a la velocidad de los electrones. La anchura de la zona de placas
es de 5 cm. Finalmente, los electrones desviados continúan su camino, con la velocidad alcanzada
a la salida, hasta llegar a una pantalla fosforescente situada a 25 cm del final de las placas.
a)Determina la velocidad de los electrones acelerados entre el cátodo y el ánodo del tubo.
b)Calcula el tiempo que tardan los electrones en cruzar la zona del campo eléctrico vertical y uniforme, la desviación que experimentan al pasar por este lugar y su velocidad de salida.
c) Señala qué carga tiene cada lámina, si el rayo de electrones se desvía en dirección vertical y
ascendente.
d) Calcula la desviación vertical que experimenta un electrón desde la salida de las placas hasta
chocar con la pantalla fosforescente que hay en el extremo del tubo.
Datos: masa del electrón, me = 9,1  10–31 kg, carga del electrón, Qe = 1,6  10–19 C.
+
A
C
–
Pantalla
B
h
Placas
deflectoras
d
L
a) Aplicaremos las características de esta situación, donde podemos considerar que la energía mecá­
nica se conser va.
Así, la energía cinética final de los electrones será igual a la pérdida de energía potencial
eléctrica.
1
m e v x2 = –Qe ∆V
2
Por lo tanto:
vx =
me
Sustituimos los valores correspondientes:
vx =
2 Qe ∆V
2  1,6  10 –19 C  2 000 V
9,1  10
–31
kg
= 2,65  107
m
s
La velocidad de los electrones justo a la entrada de las placas es de 2,65 × 107
m
s
208
187-222_U6.FIS.2BCH.CAS.indd 208
12/5/09 12:06:25
Campo eléctrico | 6
b) El tiempo que tardarán los electrones en cruzar las placas es el necesario para recorrer una dis­
tancia igual a la anchura de las placas, a la velocidad horizontal de entrada en esta zona.
t1 =
d
0,05 m
=
vx
2,65  107 m
= 1,89  10 –9 s
s
La desviación ver tical será la consecuencia de la aceleración que el campo eléctrico uniforme, en
la región entre placas, provoca sobre los electrones. La fuerza del campo eléctrico sobre los elec­
trones en el interior de las placas vale:
F = Qe E = Qe
∆V
100 V
= 1,6  10 –19 C
= 8  10 –16 N
h
0,02 m
Y la aceleración ver tical de los electrones será:
a =
m
F
8  10 –16 N
=
= 8,79  10 14 2
me
9,1  10 –31 kg
s
El desplazamiento ver tical al cruzar las placas se halla de este modo:
∆y 1 =
m
1
1
a t 12 =
8,79  10 14 2  1,89  10 –9 s
2
2
s
(
)
2
= 1,57  10 –3 m
I el component ver tical de la velocitat en sor tir d’aquest espai serà:
v y = a t 1 = 8,79  10 14
m
s
2
 1,89  10 –9 s = 1,66  10 6
m
s
c) Si los electrones se desvían ver ticalmente y en sentido ascendente, la placa superior atraerá los
electrones y, entonces, la placa inferior los repelerá. Por lo tanto, la placa inferior estará cargada
negativamente, mientras que la superior lo estará con carga positiva.
d) Cuando el electrón sale de las placas desviadoras, continúa a una velocidad constante:
r
r
r
r m 
r
v = v x i + v y j = 2,65  107i + 1,66  10 6 j  
s
El tiempo que tardará en llegar a la pantalla, después de salir de las placas, será:
t2 =
L
0,25m
=
vx
2,65  107 m
= 9,43  10 –9 s,
s
Y la desviación ver tical en este desplazamiento será:
∆y 2 = v y t 2 = 1,66  10 6
m
 9,43  10 –9 s = 1,57  10 –2 m
s
Finalmente, el desplazamiento ver tical de un electrón desde la entrada al espacio entre placas
hasta chocar contra la pantalla será:
∆y = ∆y1 + ∆y2 = 1,57  10–3 m + 1,57 x 10–2 m = 1,73 x 10–2 m
209
187-222_U6.FIS.2BCH.CAS.indd 209
12/5/09 12:06:26
6 | Campo eléctrico
13 | Gradiente de un campo escalar
Una manera de describir cómo varía un campo escalar a través del espacio
consiste en utilizar un operador matemático denominado gradiente. El gra­
diente es la operación matemática inversa de la integral de un vector a lo
largo de un camino o de una trayectoria. Así se relacionan las magnitudes
escalares con las magnitudes vectoriales de los campos conser vativos,
como actualmente el campo eléctrico y el campo gravitatorio.
Hemos definido la energía potencial como el trabajo de la fuerza conser va­
tiva, cambiado de signo:
r r
r
U E (r ) = –  F · dr ;
Si diferenciamos esta expresión, obtendremos:
r
r
r
dUE(r) = – F · dr ; de donde podemos aislar la fuerza dividiendo por dr ,
uuuuur
r
dU E (r ) r
dU E (r )
=–
u r = – grad (U E )
F =–
r
dr
dr
El operador gradiente genera un vector a par tir de una función escalar.
Si tenemos, por ejemplo, la energía potencial eléctrica de una par tícula
cargada en el interior de un campo creado por otra carga puntual, podemos
obtener el valor de la fuerza de interacción entre las cargas aplicando el
operador gradiente:
U E (r ) =
k Q Q’
1
Q Q’
=
r
4πε
r
uuuuur
dU E (r ) r
1
Q Q’ r
grad (U E ) =
ur = –
ur
dr
4 π ε r2
Por lo tanto, la fuerza será:
uuuuur
r
F = – grad (U E ) = +
1
Q Q’ r
ur
4 π ε r2
De una manera similar, se puede hallar la relación entre el escalar poten­
cial eléctrico y el vector intensidad del campo eléctrico. Aplicando las defi­
niciones de potencial y de campo eléctrico, respecto a la energía potencia
y a la fuerza del campo eléctrico, podemos escribir:
VE =
r
r
F
; i E = E.
Q
Q
UE
Por lo tanto, si dividimos la relación entre la energía potencial y la fuerza
entre Q, resulta:
VE =
UE
Q
=
r r
r
–  F · dr
Q
= –
r
r
r r
r
r
F
· dr = –  E · dr
Q
Diferenciamos esta expresión y aislamos el vector intensidad de campo
eléctrico. Así obtendremos:
uuuuur
r
dVE (r ) r
dVE (r )
u r = – grad (VE )
E =–
r =–
dr
dr
210
187-222_U6.FIS.2BCH.CAS.indd 210
12/5/09 12:06:28
Campo eléctrico | 6
Si aplicamos esta relación al potencial creado por una carga puntual a su
alrededor, tendremos:
VE (r ) =
k Q
1
Q
=
r
4πε r
uuuuur
dVE (r ) r
1
Q r
grad (VE ) =
ur = –
ur
dr
4 π ε r2
Y, por lo tanto, el vector intensidad de campo eléctrico será:
uuuuur
r
E = – grad (VE ) = +
1
Q r
ur
4 π ε r2
Físicamente, el gradiente de una magnitud escalar distribuida en el espacio
es un vector que indica la dirección de la máxima variación de la función
escalar respecto a la distancia recorrida. Si representamos esta relación
entre el gradiente y una función escalar (Fig. 29), veremos que la dirección
de máxima variación de la función escalar en el recorrido más cor to es
justamente la dirección perpendicular a las isolíneas. En una representa­
ción de super ficies equipotenciales, la dirección del gradiente sería la de
un vector perpendicular a estas super ficies.
Dado que el gradiente tiene el sentido del aumento de la función escalar
correspondiente, tanto la fuerza asociada a la energía potencial como el
vector intensidad de campo eléctrico respecto al potencial tendrán una
dirección perpendicular a las líneas o super ficies de la misma energía
potencial o al mismo potencial. Pero su sentido será el de disminución de
estas funciones escalares (Fig. 30).
+30
+20
+10
29. Ejemplo de vectores gradiente
respecto a las isolíneas. En este caso, las
isolíneas pueden representar las
diferentes curvas de nivel de un mapa
topográfico. Los diversos vectores
gradiente de la altitud indicarán la dirección
de máxima pendiente del terreno.
– 300 V
– 400 V
E12
– 600 V
E10
E3
E1
E6
E8
E7
– 1 200 V
E5
E2
E4
E9
E11
30. Dirección del vector intensidad de
campo eléctrico respecto a las isolíneas
de potencial, alrededor de una carga
puntual negativa.
ejemplo
6. un condensador de láminas paralelas, situadas horizontalmente, se halla cargado con una diferencia
de potencial de 200 V, entre la placa superior y la inferior. La distancia de separación entre estas
placas es de 5 mm. Las superficies equipotenciales entre las dos láminas son planos paralelos a
estas y el potencial varía linealmente con la altura entre las dos láimnas. Suponiendo que hemos
asignado valor nulo al potencial de la lámina inferior:
a)Escribe la función que determina el valor del potencial respecto a la altura sobre la lámina inferior. ¿Cuál será el potencial de un punto situado a 2 mm de la lámina inferior?
b)Calcula el vector intensidad de campo eléctrico. ¿Cuál es la característica de este campo?
¿Puedes ver algún paralelismo con otro campo de fuerzas conocido?
c)Representa en un esquema las isolíneas de potencial y las líneas de campo en el interior de las
placas del condensador.
a)Tomaremos como eje de coordenadas, Oy, un eje ver tical con el origen en la posición de la placa
inferior. Entonces, dado que el potencial eléctrico varía de forma lineal con la altura, podremos
escribir la función de potencial como:
V = k y;
donde k será el factor de proporcionalidad e y será la variable de posición en la dirección vertical.
211
187-222_U6.FIS.2BCH.CAS.indd 211
12/5/09 12:06:32
6 | Campo eléctrico
El dato es que a una altura y = 5 mm = 0,005 m le corresponde un potencial de 200 V. Si sustitui­
mos estos datos en la función anterior, hallamos el valor del factor k.
k =
V
200 V
= 4  10 4
m
0,005 m
Por lo tanto, la función que determina el potencial de una lámina a otra será:
V = 4  104 y;
Para y = 2 mm = 0,002 m, el valor del potencial será:
V = 4  10 4
V
 0,002 m = 80 V
m
b) Calculamos el vector intensidad de campo eléctrico aplicando el gradiente en la función potencial:
(
)
uuuuur
d 4  10 4 y r
r
r V
E = – grad (V ) = –
j = –4  10 4 j  
dy
m 
Como podemos ver, se trata de un vector constante, ver tical y su sentido es hacia abajo: diremos
que un campo de estas características es un campo uniforme.
Este campo de fuerzas se parece mucho al campo gravitatorio uniforme que consideramos cuando
tratamos situaciones de cuerpos situados cerca de la super ficie de la Tierra. En este caso, el
campo se designa por:
r N
r
g 0 = –9,8 j  
 kg 
c) Un esquema que represente las isolíneas de potencial y las líneas de campo entre las láminas del
condensador será como el de la figura siguiente:
200 V
160 V
120 V
80 V
40 V
0
14 | Relaciones entre campo eléctrico
y campo magnético. Ecuaciones de
Maxwell. La síntesis electromagnética
James Clerk Maxwell fue un físico y matemático escocés nacido en
Edimburgo en 1831. Estudió en Edimburgo y en Cambridge, y fue profesor
de la Universidad de Aberdeen, del King’s College de Londres y de
Cambridge. Hizo apor taciones muy impor tantes en diversos campos de la
Física: elaboró las teorías de la mecánica estadística conjuntamente con
Ludwig Boltzmann y desarrolló experimentos importantes sobre la visión de
212
187-222_U6.FIS.2BCH.CAS.indd 212
12/5/09 12:06:35
Campo eléctrico | 6
los colores, obteniendo la primera fotografía en color; escribió el primer
artículo impor tante de la teoría de control y estableció los fundamentos de
una nueva área científica, la dinámica de los gases enrarecidos, que se
desarrolló en los años posteriores. Su contribución más impor tante es la
denominada síntesis electromagnética, en la que se resumen las interac­
ciones de los campos eléctricos, de los campos magnéticos, de las cargas
y las corrientes que las producen, y de unas y otras en la denominada inte­
racción electromagnética.
Todo esto se concreta en cuatro ecuaciones, que se conocen como ecuaciones de Maxwell:
r
r
Q
E · dS = interior
s
ε0
r
r
 B · dS = 0

s

r
r
r
d  r
E · dr = –
  B · dS 

c
dt  s
La primera es la ley de Gauss, que establece que el flujo neto del campo
eléctrico a través de una super ficie cerrada cualquiera es igual a la carga
neta en su interior dividida entre la permeabilidad del vacío, ε0.
La segunda es parecida a la ley de Gaussr para el campo magnético.
Establece que el flujo del campo magnético B a través de cualquier super­
ficie cerrada es nulo. Describe la obser vación experimental de la inexisten­
cia de monopolos magnéticos; las líneas de campo no salen desde un
punto y van a parar a otro.
La tercera es la ley de Faraday. La circulación del campo eléctrico a lo largo
de una cur va cerrada es la fuerza electromotriz, que es, a su vez, la deriva­
da, respecto al tiempo y cambiada de signo, del flujo magnético a través de
cualquier super ficie limitada por la cur va.
La cuar ta ecuación es la ley de Ampère, ampliada por Maxwell, para apli­
carla a casos en los que la corriente no es continua, con la introducción de
la corriente de desplazamiento en el segundo término de la derecha de la
igualdad.
A par tir de sus teorías, Maxwell aseguró que se podían propagar ondas
electromagnéticas transversales formadas por las oscilaciones armónicas
de un vector intensidad de campo eléctrico y de un vector intensidad de
campo magnético, perpendicuales uno de otro, cuyas variaciones estaban
ligadas íntimamente. Maxwell, además, calculó la velocidad de propagación
de estas ondas electromagnéticas, llegando a la expresión siguiente de
esta velocidad:
c=
1
ε0 μ 0
Lo más sorprendente del caso es que, si utilizamos los valores conocidos
de la permitividad eléctrica y la permeabilidad magnética del vacío:
ε0 = 8,8542  10–12 C2 / N m2; y m0 = 4 π  10–7 N/A2
213
187-222_U6.FIS.2BCH.CAS.indd 213
12/5/09 12:06:38
6 | Campo eléctrico
El resultado que se obtiene para la velocidad de propagación de las ondas
electromagnéticas es idéntico a la velocidad de la luz en el vacío, determi­
nada experimentalmente:
c = 3  108 m/s
Este hecho indujo a Maxwell a considerar que la luz es un tipo de onda
electromagnética.
Pocos años después de la muer te de Maxwell, en 1879, el físico alemán
Heinrich Her tz consiguió producir y detectar experimentalmente ondas
electromagnéticas, con unas frecuencias situadas en la banda de las
ondas de radio, las cuales son de frecuencias inferiores a las de la luz visi­
ble. En honor a este físico, estas ondas recibieron el nombre de ondas
hercianas, como también se dio el nombre de hercio (Hz) a la unidad de
frecuencia de los fenómenos periódicos.
Las ecuaciones de Maxwell unificaban, por un lado, los fenómenos eléctri­
cos y magnéticos; por otro, los fenómenos ópticos, al asociar la luz a una
onda electromagnética. De esta manera, se unificaron bajo unas mismas
leyes tres par tes de la Física consideradas diferentes a principios del
siglo XIX: la electricidad, el magnetismo y la óptica.
Las teorías de Maxwell abrieron el camino de las telecomunicaciones, con
la producción de ondas electromagnéticas por par te de Her tz. Otros cientí­
ficos y tecnólogos han investigado las propiedades de los diferentes tipos
de ondas electromagnéticas existentes: ondas de radio y televisión, micro­
ondas, infrarrojos, luz visible, radiación ultravioleta, rayos X y rayos γ. En
todos estos campos se han desarrollado numerosas técnicas y se han lle­
vado a cabo aplicaciones en muchos campos de la ciencia y la tecnología,
todas ellas dirigidas a mejorar la calidad de vida de la humanidad.
ejemplo
7.Una esfera conductora de 2 cm de diámetro tiene una carga total de 4 µC, en equilibrio, distribuida de
manera uniforme en toda su superficie. Aplicando la ley de Gaus, determina el vector intensidad de
campo eléctrico que crea a su alrededor y en el interior de la esfera, así como también el potencial
eléctrico alrededor y en el interior de esta esfera.
Para calcular el flujo del vector intensidad de campo eléctrico a través de una super ficie cerrada, a la
vista de la simetría esférica de la distribución de carga, escogeremos una super ficie esférica de radio
r > 1 cm para el campo en el exterior de la esfera; otra de radio r > 1 cm para el campo en el interior
de la esfera y con el centro en el centro de la esfera conductora.
Si r > 1 cm:
Dada la simetría esférica de la distribución de la carga, supondre­
mos que el vector intensidad de campo tendrá la dirección radial
respecto al centro de la esfera conductora. También podremos
considerar que el módulo de este vector intensidad será igual en
todos los puntos situados a una misma distancia del centro de la
esfera.
Si aplicamos ahora la ley de Gauss, resulta:
E
ds
r
+
++
++
++
+++
+++
+++
++
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
++
++
++
++
+ r+
++
++
++
++
++
++
++
u
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
++
++
++
++
++
+
1 cm
r
r
Q
E · dS = interior
s
ε0

214
187-222_U6.FIS.2BCH.CAS.indd 214
12/5/09 12:06:47
Campo eléctrico | 6
r
Como el campo E es perpendicular a la super fície y, además, su módulo es constante en toda la
super ficie de integración, que es una super ficie esférica de radio r tenemos:

s
r
r
E · dS =

s
E · dS = E

s
dS = E 4 π r 2 =
Qinterior
ε0
De aquí podemos aislar el campo eléctrico:
E =
Qinterior
1
4 π ε0
r2
Sabemos que tiene dirección radial y, como la carga interior es positiva, tendrá sentido saliente,
tal y como se representa en la figura. Podemos escribir, entonces:
E =
Qinterior r
N m 2 4310 –6 C r
1
3,6  10 4 r  N m 2 
u r = 9  10 9
ur =
ur 

2
2
2
4 π ε0
r
C
r2
r
 C 
Obser vamos que es igual que el campo que crearía a su alrededor una carga puntual de 4 µC,
situada en el centro de la esfera conductora, como ya hemos visto anteriormente.
Para r < 1 cm
Podemos aplicar las mismas hipótesis que en el caso ante­
rior. El resultado de aplicar la ley de Gauss será:
Qinterior
1
; y en este caso, Qinterior = 0; por lo tanto, E = 0.
4 π ε0
r2
+
En el interior de la esfera conductora, el campo eléctrico
será nulo, lo cual es razonable, ya que, de otro modo, la
carga de la esfera no estaría en equilibrio.
+
+
E =
+
+
+
+
r
+
Para calcular el potencial, estableceremos el valor nulo de
potencial a una distancia infinita del centro de la esfera;
después aplicaremos el cálculo integral para determinar el
potencial en otro punto a una distancia r, del centro de la
esfera.
+
ur
1 cm
+
+
+
+
+
+
Para r > 1 cm:
VE (r ) =
VE (r ) =
U E (r )
Q
1
4 π ε0
=
–

r
r
r
F · dr
Q
Qinterior
r2
=–
= 9  10 9

r
r
r
F
· dr = –
Q
Nm
C2
2
–6

r
r
r
S · dr = –
4  10 C
3,6  10
=
r
r

4
r
 1
Qinterior
Qinterior 
1
dr = 

2
4 π ε0
r
r2 
 4 π ε0
Nm
C2
2
r
�
4
=
3,6  10
Vm
r
Para r = 1 cm, obtendremos el potencial en la super ficie de la esfera conductora:
VE ( 0,01 ) =
3,6  10 4
V m = 3,6  10 6 V
0,01 m
Para cualquier punto interior en la esfera conductora cargada, el potencial será constante, ya que
el vector intensidad de campo es nulo en esta zona. Por lo tanto, no se producirá ninguna diferen­
cia de potencial al desplazarnos entre dos puntos cualesquiera de esta esfera. Así pues, el poten­
cial en toda la esfera conductora será constante e igual al valor del potencial en su super ficie,
3,6  106 V.
215
187-222_U6.FIS.2BCH.CAS.indd 215
12/5/09 12:06:52
6 | Campo eléctrico
15 | El contador Geiger-Müller.
Campos de vectores con simetría radial
Un dispositivo bastante aplicado en la detección de par tículas radiactivas
es el denominado contador de Geiger-Müller (Fig. 31). Consta de un tubo
metálico cilíndrico, en cuyo eje hay una varilla metálica aislada del tubo.
Este tubo está cerrado y se llena de un gas iner te, como un gas noble,
con una pequeña cantidad de un gas halógeno. Este gas enrarecido no es
conductor, pero cuando alguna par tícula radiactiva o un fotón de rayos γ
penetra en el espacio interior del tubo, ioniza el gas; entonces, el campo
eléctrico creado entre la pared cilíndrica del tubo (con funciones de cáto­
do) y la varilla situada en el eje del cilindro (en funciones de ánodo) produ­
ce una descarga en cascada por el choque sucesivo de los iones y los
electrones acelerados a causa del campo eléctrico creado entre el cátodo
y el ánodo. Esta descarga es detectada por un aparato, denominado con­
tador, que indica la actividad radioctiva por medio de una aguja sobre una
escala graduada en descargas por unidad de tiempo, además de por un
ruidito, como el de un pequeño chasquido por cada descarga.
ÁNODO
+
–
– CÁTODO
R
500 V
31. Esquema de un contador Geiger-Müller.
E
ds
Entre el cátodo (las paredes exteriores del tubo) y el ánodo (el eje central) se
aplica una diferencia de potencial bastante elevada, entre unos centenares y
algún millar de voltios. Esta diferencia de potencial crea en la región interna del
tubo un campo eléctrico de simetría radial, respecto al eje del cilindro, que
acelera los iones positivos hacia el cátodo y los electrones hacia el ánodo.
Podemos determinar el campo eléctrico en el interior del tubo. Excepto en
los extremos del tubo, podremos considerar que el campo eléctrico tendrá
la dirección de un radio trazado desde el eje del cilindro; por lo tanto, será
perpendicular a este y con el sentido hacia afuera (Fig. 32), dado que el eje
tiene carga positiva.
32. Esquema del campo eléctrico creado
en el interior de un tubo de Geiger-Müller.
Si aplicamos la ley de Gauss en una super ficie cilíndrica coaxial con el tubo
de Geiger-Müller, de radio más pequeño que el tubo metálico, podemos ver
que el flujo del campo eléctrico a través de las super ficies de las bases
superior e inferior del cilindro es nulo, ya que el vector intensidad de campo
eléctrico es paralelo a estas super ficies y, por lo tanto, no las cruza. Para
216
187-222_U6.FIS.2BCH.CAS.indd 216
12/5/09 12:07:09
Campo eléctrico | 6
un radio determinado, considerando la simetría cilíndrica de la distribución
de carga, podemos establecer que el vector intensidad de campo eléctrico
creado es igual, en módulo, en todos los puntos de la super ficie lateral de
este cilindro y perpendicular a esta en todos sus puntos.

s
r
r
E · dS =

sL
E · dS = E

sL
dS = E 2 π r L =
Qinterior
ε0
De donde se obtiene:
E =
Qinterior
1
;
2 π ε0 r L
o bien:
r
E =
Qinterior r
1
ur
2 π ε0 r L
Si denominamos densidad lineal de carga, λinterior, de la varilla interna del
tubo de Geiger en la relación λ interior =
Qinterior
L
, de la cantidad de carga por
unidad de longitud, podremos escribir:
r
E =
λ interior r
1
ur
2 π ε0 r L
En esta última expresión podremos obser var que el vector intensidad
de campo eléctrico es más intenso cuanto más cerca está el punto del
eje del tubo por fuera. A medida que se aleja, su valor va disminuyendo
de forma inversamente proporcional al radio. Las super ficies equipo­
tenciales serán super ficies laterales cilíndricas, concéntricas con el
tubo.
16 | Diferencias y semejanzas entre los campos conservativos gravitatorio y eléctrico
Si obser vamos las funciones que describen los campos gravitatorio y eléc­
trico correspondientes a masas o cargas puntuales, podemos obser var
analogías y diferencias entre ellas.
Las expresiones de la ley de Newton, de atracción entre masas, y la ley de
Coulomb de la fuerza de interacción entre par tículas cargadas tienen
mucha similitud:
r
m m’ r
FG = –G
ur , (ley de Newton)
r2
r
Q Q’ r
FE = k
ur , (ley de Coulomb)
r2
Ambas son directamente proporcionales al producto de una característica
de las par tículas (la masa, en el caso del campo gravitatorio, y la carga
eléctrica, en el caso del campo eléctrico); son inversamente proporcionales
al cuadrado de la distancia de separación de las partículas y la dirección de
la fuerza es la del vector que une las dos par tículas.
217
187-222_U6.FIS.2BCH.CAS.indd 217
12/5/09 12:07:12
6 | Campo eléctrico
En cambio, la fuerza entre dos masas siempre es de atracción, mientras
que la fuerza eléctrica entre par tículas cargadas depende del signo: será
de atracción si las cargas son de signos opuestos y de repulsión si las
cargas son del mismo signo. Esta es otra diferencia: la magnitud creadora
del campo gravitatorio, la masa, es positiva, mientras que la magnitud que
genera un campo eléctrico, la carga eléctrica, puede ser positiva o
negativa.
Además, la constante de proporcionalidad es universal para el campo gra­
vitatorio, G = 6,67  10 –11
N m2
, mientras que la del campo eléctrico depen­
1
de del medio donde se hallan las cargas, k =
, donde ε = εr ε0 es la
4πε
kg 2
permitividad eléctrica del medio relacionada con la permitividad del vacío,
1
C2
ε0 =
. A par tir de aquí podemos obtener el valor de la
9
4 π 9  10 N m2
2
9 N m
.
constante del campo eléctrico en el vacío, k = 9  10
2
C
Si comparamos estos dos valores, constatamos la relación de un factor 10 20
de orden de magnitud de la constante del campo eléctrico respecto a la del
campo gravitatorio.
En lo referente a los vectores intensidad de campo, podemos obser var las
mismas semejanzas y diferencias.
r
r
Q r
m r
g = –G 2 ur ; del campo gravitatorio, y E = k 2 ur
r
r
De manera muy similar podemos hacer las comparaciones de las expresio­
nes de la energía potencial y del potencial:
U G = –G
m m’
Q Q’
, del campo gravitatorio, y UE = k
, del campo eléctrico.
r
r
O bien:
VG = –G
m
Q
, del potencial gravitatorio, y, V = k , del potencial eléctrico.
r
r
En ambos casos, el valor nulo de energía potencial y de potencial se ha
situado a distancia infinita de la partícula que crea el campo: la masa en el
caso del gravitatorio o la carga en el caso del eléctrico.
También en los dos casos las líneas de campo, que indican la dirección y el
sentido del vector intensidad de campo, son perpendiculares a las super fi­
cies equipotenciales y su sentido va de potenciales más altos a potenciales
más pequeños.
Una par tícula sometida a la acción de un campo gravitatorio o eléctrico, en
general, no seguirá las líneas del campo. Su aceleración sí que tendrá la
dirección de las líneas de campo, pero que la trayectoria sea una u otra
dependerá de su velocidad.
218
187-222_U6.FIS.2BCH.CAS.indd 218
12/5/09 12:07:15
Campo eléctrico | 6
RE S UME N
Un campo es una zona del espacio donde existe
una distribución de valores de una determinada
magnitud física. Si la magnitud es escalar, tenemos
un campo escalar, mientras que si es un vector, se
tratará de un campo vectorial.
la carga en equilibrio, esta se distribuye en toda su
super ficie de manera uniforme; en el interior de la
esfera el vector intensidad de campo eléctrico es
nulo y el potencial eléctrico es constante e igual al
potencial en la super ficie de esta esfera.
Los campos escalares se representan con isolíneas o super ficies en las que todos los puntos tie­
nen el mismo valor de la magnitud escalar, mien­
tras que los campos vectoriales se representan
mediante líneas de campo, que son líneas tangen­
tes al vector correspondiente en cada punto del
espacio donde está definido el campo vectorial.
Un campo uniforme se caracteriza por un vector
intensidad de campo constante en todos los puntos
del espacio. Las líneas de campo son paralelas y
uniformemente distribuidas. Las super ficies equi­
potenciales son planos paralelos y, a su vez, per­
pendiculares a las líneas de campo. A lo largo de
una línea de campo, si en un desplazamiento ∆r, el
potencial eéctrico cambia en ∆V, el componente del
Una carga eléctrica crea a su alrededor un campo
eléctrico. Si otra carga se sitúa dentro del campo, se
ve afectada por la fuerza del campo, que entre dos
partículas cargadas se expresa según la
r
1
Q Q’ r
Q Q’ r
ley de Coulomb: F = k
ur =
ur · ε
2
4 π ε r2
r
es una característica del medio denominada permitividad eléc­tri­ca y su valor se da respecto al valor
de la permitividad eléctrica del vacío, ε = εr ε0,
ε0 =
1
C2
4 π 9  10 9 N m 2
. La energía potencial eléc­
trica de una carga eléctrica en el campo creado por
Q Q’
. Asociadas a la
r
otra se calcula así: U E = k
fuerza del campo y a la energía potencial, tenemos
las dos magnitudes características del campo: el
vector intensidad del campo eléctrico y el potencial eléctrico, que se definen der manera parecida
r
respecto a las dos anteriores: E =
U
F
, vector intensidad
Q’
de campo eléctrico, V = E , potencial eléctrico. La
Q’ de campo eléctrico en
unidad del vector intensidad
el SI es N/C y la del potencial eléctrico es el J/C =
V (voltio). Cuando dos o más cargas puntuales
inter vienen en la creación del campo, se aplica el
principio de superposición de campos. Entonces el
campo resultante es la suma de los campos indi­
viduales que crea cada una de las cargas que con­
tribuyen al campo total. Esta suma será vectorial
para los vectores intensidad de campo eléctrico
yr escalar
para
los potenciales eléctricos:
r
r
r
E = E 1 + E 2 + E 3, y V = V1 + V2 + V3; para el caso del
campo ceado por tres cargas eléctricas.
Una distribución esférica de carga crea, en su exte­
rior, un campo eléctrico como el de una par tícula
puntual con la misma carga eléctrica situada en el
centro de la esfera. Si la esfera es conductora con
vector intensidad de campo valdrá:
∆V
.
∆r
En un tubo de rayos catódicos se produce un haz de
electrones, acelerados por un campo eléctrico ali­
neado con la corriente de electrones entre un cáto­
do y un ánodo, entre los que se aplica una diferen­
cia de potencial muy elevada, de miles de voltios.
Después este haz se concentra y se desvía por
campos eléctricos uniformes, o por campos magné­
ticos también uniformes, perpendiculares a la velo­
cidad de los electrones y finalmente choca al final
del tubo con una pantalla impregnada de un mate­
rial fosforescente que, al recibir el impacto de los
electrones, se ilumina durante unos breves instan­
tes. Esta característica se aprovecha para formar
imágenes en la pantalla, producidas por un barrido
de esta por el haz de electrones con una frecuencia
bastante elevada.
La relación entre las magnitudes escalares y las
vectoriales se obtiene por medio del operador gra­
diente, que, aplicado a una función escalar, obtiene
un vector:
uuuuur
r
dU E (r ) r
dU E (r )
=–
u r = – grad (U E ) ;
F =–
r
dr
dr
uuuuur
r
dVE (r ) r
dVE (r )
u r = – grad (VE )
E =–
r =–
dr
dr
Maxwell resumió todos los efectos de los campos
eléctricos y los campos magnéticos en sus cuatro
ecuaciones, que constituyen la denominada síntesis electromagnética. Con ello, Maxwell unificó
bajo unas mismas leyes la electricidad, el magne­
tismo y la óptica.
Contenido básico de la unidad en formato hipermedia, en el CD.
187-222_U6.FIS.2BCH.CAS.indd 219
E =
219
12/5/09 12:07:18
6 | Campo eléctrico
A C T I V IDADE S
Campos creados por dos o más cargas
eléctricas puntuales
6 Dos cargas puntuales, Q1 = 25 × 10–9 C y
Q2 = 2,4 × 10–9 C, se hallan en dos vér tices
opuestos de un rectángulo de lados 10 cm y
8 cm, en un medio de permitividad relativa
de 1,5.
1 Dos cargas eléctricas puntuales de 6 × 10–8
C i –3 × 10–8 C se encuentran en las posicio­
nes representadas en la figura.
12 cm
7 En tres de los vér tices de un cuadrado de
4 cm de lado están situadas sendas cargas
eléctricas puntuales de 0,5 µC cada una.
Determina la intensidad del campo en el
cuar to vér tice, si la permitividad relativa del
medio que las separa es de 1,2.
4 cm
O
+
–
+Q
–Q
Calcula:
a) La intensidad del campo eléctrico en el
punto medio del segmento que une las
dos cargas.
b) La intensidad del campo en el punto O.
2 Dos cargas puntuales de 0,4 µC y –0,3 µC
están situadas, respectivamente, en los
puntos cuyas coordenadas en metros son
(0, 0) y (0, 5). Si la permitividad relativa del
medio es de 1,5, ¿cuál es la intensidad del
campo en el punto (0, 2)?
3 Tres cargas eléctricas puntuales se hallan
sobre el eje Ox en el vacío. Una de estas, de
1 nC, está en el origen de coordenadas. Otra
carga, cuyo valor se desconoce, está situada
en el punto x = 5 m. Una tercera carga, de
0,5 nC, se encuentra en el punto x = 10 m.
Calcula el valor de la carga desconocida,
sabiendo que la intensidad del campo en el
punto x = 12 m del eje Ox es de 53 N/C en
sentido positivo.
Calcula la intensidad del campo eléctrico en el
vértice del rectángulo situado a 10 cm de Q1.
8 Hay tres cargas eléctricas puntuales situa­
das en los vértices de un triángulo equilátero
de 20 cm de lado. Dos de ellas son de
+20 µC y la tercera de –20 µC. Determina la
intensidad del campo eléctrico creado por
estas cargas en los puntos medios de los
lados del triángulo.
9 Dos cargas puntuales de +200 µC y –200 µC
se encuentran en las posiciones que se indi­
can en la figura, rodeadas por aire. Calcula:
a) La intensidad del campo eléctrico creado
en el punto A por las citadas cargas.
b) La intensidad del campo en el punto A.
A
10 cm
+Q
–Q
O
+
10 cm
–
10 cm
4 Dos cargas puntuales de 0,1 µC y 0,3 µC
están en el aire separadas 1 m. ¿En qué
punto de la recta que pasa por ambas car­
gas es nula la intensidad del campo eléctri­
co? ¿Cambiaría la respuesta si las cargas se
encontrasen en un medio de permitividad
relativa igual a 2?
10 En los vértices de un rectángulo ABCD están
situadas cuatro cargas eléctricas puntuales:
QA = +20 nC, QB = –30 nC, QC = +10 nC y
QD = –20 nC. El lado AB del rectángulo mide
32 cm y el BC, 24 cm. Calcula la intensidad
del campo eléctrico en el centro del rectán­
gulo, si las cargas están en un medio cuya
permitividad relativa es de 2,25.
5 En el punto (–4, 0) hay una carga eléctrica
puntual –q y, en el punto (4, 0), otra carga
+2q. Dibújalas y representa la intensidad del
campo eléctrico en el punto (0, 3).
11 En el origen de coordenadas está situada
una carga eléctrica puntual de + 4 μC. En el
punto (–4, 0) hay otra carga puntual Q
desconocida.
220
187-222_U6.FIS.2BCH.CAS.indd 220
12/5/09 12:07:24
Campo eléctrico | 6
dificultad:
SENcILLA
MediA
ALTA
Sin clasificar
En el punto (0, 3) la intensidad del campo eléc­
trico creado por ambas cargas es
r
r
r
E = –3 600 i + 1 300 j (N/C).
Calcula el valor de Q, si las cargas se encuen­
tran en el vacío. Las coordenadas están
expresadas en metros.
12 Dos partículas, con cargas eléctricas –Q/2 y
Q, están en el vacío situadas, respectiva­
mente, en los puntos (1/2, 0) y (2, 0) (coor­
denadas en metros). Determina el potencial
en los puntos (1, 0) y (0, 1).
13 Dos cargas eléctricas puntuales de +0,6 μC y
–0,45 μC, están separadas 17,5 cm en el vacio.
Halla los puntos de la recta que pasa por ambos
puntos donde el potencial eléctrico es nulo.
14 Dos cargas eléctricas puntuales de +0,3 μC
y –0,5 μC están separadas 40 cm en un
medio cuya permitividad relativa es de 1,2.
Calcula el potencial en el punto de la recta
que pasa por ambas cargas donde es nula la
intensidad del campo eléctrico.
15 En cada uno de los vér tices de un hexágono
regular de 15 cm de lado hay una carga eléc­
trica puntual de –25 nC.
Calcula la intensidad del campo eléctrico y el
potencial en el centro del hexágono, si la
permitividad relativa del medio en el que se
encuentra es de 2.
Trabajo y energía en el campo eléctrico
16 La diferencia de potencial entre dos puntos A y
B de un campo eléctrico es de VA – VB = 100 V.
Calcula el trabajo que se ha de realizar
mediante una fuerza exterior para trasladar
una carga de –60 nC desde B hasta A sin
modificar su energía cinética.
17 Una carga puntual de +80 μC se encuentra a
20 cm de otra carga, también puntual, de
–200 μC, en el aire. ¿Qué trabajo se ha de
realizar para poner la primera carga a 30 cm
de la segunda?
b) ¿Qué trabajo se ha de realizar para sepa­
rarlas 20 cm más?
c) ¿Cómo variarían las anteriores respuestas,
si la permitividad relativa del medio en el
que se hallan las cargas fuese de 1,5?
19 Situadas en los vér tices A, B y C de un trián­
gulo equilátero de 20 cm de lado, en el
vacío, hay tres cargas puntuales de –20 nC,
+5 nC y +10 nC, respectivamente. ¿Qué tra­
bajo se ha de realizar para trasladar la carga
de –20 nC desde A hasta el punto medio de
BC?
20 Un protón se encuentra inicialmente en repo­
so en un punto A de un campo eléctrico y es
acelerado por la fuerza que ejerce ese
campo sobre este. Si el potencial electrostá­
tico de A es de 80 V, ¿qué velocidad poseerá
el protón al pasar por un punto B cuyo poten­
cial es de –40 V?
Datos: carga del protón = 1,6 × 10–19 C; masa del protón = 1,67 × 10–27 kg.
21 Dos cargas eléctricas puntuales de 50 µC
cada una están separadas 30 cm en el aire.
En el punto medio del segmento que las une
hay una tercera carga de 10 µC. Calcula el
trabajo que se ha de realizar para desplazar
esta tercera carga a lo largo del segmento
hasta situarla a 10 cm de una de las cargas
y a 20 cm de la otra.
22 Dos cargas puntuales de 0,8 µC cada una
están fijas en los puntos cuyas coordenadas
en centímetros son (0, 20) y (0, –20). En el
punto (–15, 0) hay una par tícula de 0,1 g de
masa que posee una carga eléctrica de
–0,2 µC y que puede moverse libremente.
Calcula la velocidad que tendrá esa partícula
al pasar por el origen de coordenadas, si
par te del reposo.
23 En los puntos cuyas coordenadas en metros
son A(0, –12), B(7, –12) y C(16, 0) están
situadas, respectivamente, las cargas pun­
tuales QA = 4 µC, QB = –3 µC i QC = –2 µC. El
medio en el que se encuentran las cargas es
el vacío.
18 Dos cargas eléctricas puntuales de 3 nC y
–2 nC están separadas 20 cm en el vacío.
Calcula:
a) La intensidad del campo electrostático en
el punto P(7, 12).
a) ¿Cuál es la intensidad del campo eléctrico
en el punto medio entre ambas cargas?
221
187-222_U6.FIS.2BCH.CAS.indd 221
12/5/09 12:07:25
6 | Camp elèctric
b) El trabajo necesario para trasladar hasta
P la carga QB.
24 Una par tícula cargada eléctricamente se
desplaza de un punto A a otro B; entre
ambos existe una diferencia de potencial
VA – VB = 0,4 V. Si la partícula parte del repo­
so y tiene una velocidad de 6 km/s al pasar
por B, ¿cuánto vale la relación Q/m entre su
carga eléctrica y su masa?
Esfera conductora cargada
25 ¿Qué carga eléctrica debe poseer una esfera
conductora de 5 cm de radio situada en el
aire, para que a 20 cm de su centro el poten­
cial eléctrico sea de 200 V? ¿Cuáles serán, en
este caso, los valores de la intensidad de
campo y el potencial en la superficie del
conductor?
26 Dos esferasmetálicas de10 cm y 5 cm de
radio cargadas eléctricamente se encuentran
tan distantes, que prácticamente no existe
influencia entre sus cargas. Los potenciales
en sus superficies son de 400 V y 1 000 V,
respectivamente. Al conectarlas mediante un
hilo conductor, la carga se reparte entre
estas, de manera que las dos esferas adquie­
ren el mismo potencial. Calcula el valor de
este potencial común.
Campo uniforme
27 La Tierra tiene un campo eléctrico en su
atmósfera de 150 N/C, dirigido hacia arriba,
que
podemos
considerar
uniforme.
Determina el módulo, la dirección y el senti­
do de la fuerza que este campo ejerce sobre
una carga de –0,2 μC. Si consideramos nulo
el potencial en el suelo, ¿cuál es el valor del
potencial en un punto situado a 4 m de
altura?
28 Un electrón se halla en el vacío entre las
armaduras de un condensador plano, que
están separadas 3 cm.
a) Calcula su aceleración cuando la diferen­
cia de potencial entre ambas armaduras
es de 200 V.
b) Si el electrón estaba en reposo en una
armadura, ¿con qué velocidad llega a la
otra?
c) ¿Qué tiempo empleará el electrón en des­
plazarse de una a otra armadura?
29 Las armaduras de un condensador plano
tienen 200 cm2 de super ficie (cada una) y
están en posición horizontal a 2 cm una de
otra en el vacío. Entre ellas hay una pequeña
esfera de 0,12 mg de masa cargada negati­
vamente. La esfera se mantiene en equili­
brio, equidistante de ambas placas, cuando
la diferencia de potencial entre estas es de
800 V.
a) ¿Cuál de las armaduras tiene mayor poten­
cial? Razona la respuesta.
b) Calcula la carga eléctrica de la esfera.
30 Un electrón se desplaza horizontalmente en
el vacío a 1 000 km/s cuando entra en el
espacio comprendido entre dos láminas con­
ductoras horizontales entre las que hay una
distancia de 1 cm y una diferencia de poten­
cial de 0,12 V. Suponiendo que el campo
eléctrico es uniforme y se limita al espacio
comprendido entre las láminas:
a) Determina la fuerza que actúa sobre el
electrón y comprueba que, frente a esta,
su peso es despreciable.
b) Calcula la aceleración del electrón y expre­
sa su vector posición en función del tiempo
mientras se desplaza entre las placas.
c) Indica qué distancia se habrá separado de
su trayectoria inicial después de recorrer
entre las placas 6 cm, medidos horizon­
talmente?
Datos: masa del electrón: 9,1 × 10–31 kg; carga del electrón: –1,6 × 10–19 C.
222
187-222_U6.FIS.2BCH.CAS.indd 222
12/5/09 12:07:27