Examen 3a evaluación matemáticas. 2o Matemáticas aplicadas a

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Examen 3a evaluación matemáticas. 2o Matemáticas aplicadas a las CC.SS.
1. En una urna hay 2 bolas rojas, 3 bolas negras y 5 azules. Se extraen 3 bolas sin reemplazamiento. Calcular
la probabilidad de:
a) Sacar 3 bolas negras.
b) Sacar, al menos, una roja.
c) Sacar, al menos, una roja sabiendo que las dos primeras bolas que se sacaron eran azules.
d) ¿Cuál serı́a la probabilidad, en el apartado anterior, si fuese con reemplazamiento?
Solución:
a) Sacar 3 bolas negras.
La probabilidad será:
p(3negras) =
3 2 1
· ·
10 9 8
b) Sacar, al menos, una roja.
Este caso se resuelve mucho más rápidamente calculando el suceso contrario (no sacar bola roja):
p(al menos 1roja) = 1 −
8 7 6
· ·
10 9 8
c) Sacar, al menos, una roja sabiendo que las dos primeras bolas que se sacaron eran azules.
En la urna quedan 2 rojas, 3 negras y 3 azules, por lo tanto:
p(1roja/2azules) =
2
8
d) ¿Cuál serı́a la probabilidad, en el apartado anterior, si fuese con reemplazamiento?
En la urna quedan 2 rojas, 3 negras y 5 azules, por lo tanto:
p(1roja/2azules) =
2
10
2. Un arquero acierta en un 80 % de los tiros. Calcular:
a) Dispara 10 veces a una diana, cuál es la probabilidad de que acierte 5 veces.
b) Cuál es la probabilidad de que acierte, al menos, 8 veces, si dispara diez veces.
c) Si dispara 5 veces, cuál es la probabilidad de que acierte 4 veces seguidas.
d) Si dispara 100 veces, ¿cuál será la media de aciertos?
a) Dispara 10 veces a una diana, cuál es la probabilidad de que acierte 5 veces.
Este es un ejemplo tı́pico de binomial:
10
B(5, 10) =
0,85 · 0,25
5
b) Cuál es la probabilidad de que acierte, al menos, 8 veces, si dispara diez veces.
Acertar, al menos, 8 veces significa acertar 8, 9 ó 10 veces:
10
10
10
8
2
9
1
p = B(8, 10) + B(9, 10) + B(10, 10) =
0,8 · 0,2 +
0,8 · 0,2 +
0,810 · 0,20
8
9
10
2
c) Si dispara 5 veces, cuál es la probabilidad de que acierte 4 veces seguidas.
Para acertar 4 veces seguidas de 5 puede, fallar la primera y acertar el resto, o bien, acertar las 4 primeras y
fallar la última:
p = 0,2 · 0,8 · 0,8 · 0,8 · 0,8 + 0,8 · 0,8 · 0,8 · 0,8 · 0,2
d) Si dispara 100 veces, ¿cuál será la media de aciertos?
La media de aciertos será:
x = n · p = 100 · 0,8 = 80
3. La altura de los habitantes de una población se distribuyen según una normal N(167,10). Calcular:
a) La probabilidad de que sus alturas sean merores de 150 cm.
b) La probabilidad de que sus alturas estén entre 150 cm y 180 cm.
c) Repetir los apartados anteriores suponiendo que se toma una muestra de 100 habitantes.
Solucion:
a) La probabilidad de que sus alturas sean merores de 150 cm.
En este caso la normal tiene la forma: N (167, 10) Tipificando:
z=
x−x
150 − 167
=
= −1,7
σ
10
p(x < 150) = p(z < −1,7) = 0,044565
b) La probabilidad de que sus alturas estén entre 150 cm y 180 cm.
x−x
180 − 167
=
= 1,3
σ
10
p(x < 180) = p(z < 1,3) = 0,90320
z=
p(150 < x < 180) = 0,90320 − 0,044565 = 0,85864
c) Repetir los apartados anteriores suponiendo que se toma una muestra de 100 habitantes.
La normal se debe transformar:
10
n=100
N (167, 10) → N (167, √
) = N (167, 1)
100
Por lo tanto:
150 − 167
x−x
=
= −17
σ
1
p(x < 150) = p(z < −17) = 0
z=
x−x
180 − 167
=
= 13
σ
1
p(x < 180) = p(z < 13) = 1
z=
p(150 < x < 180) = 1 − 0 = 1
4. Una fabrica de pasteles fabrica, en su producción habitual, un 3 % de pasteles defectuosos. Un cliente
recibe un pedido de 500 pasteles. Calcular:
a) Probabilidad de que encuentre más del 4 % de pasteles defectuosos.
b) Probabilidad de que encuentre menos del 1 % de pasteles defectuosos.
Solución: Este ejercicio se encuentra resulto en los ejercicios de clase.
3
5. La vida media de los tubos fluorescentes de una fábrica es de 1570 horas, con una desviación tı́pica de
120 horas. ¿Se puede afirmar con un nivel de significación del 0,05 que la duración media de una muestra
100 tubos es de 1600 horas?
Solución:
En este caso α = 0,05, por lo que
α
2
= 0,025. Buscando en las tablas z α2 = −1,96.
En este caso la normal es: N (1570, √120
) = N (1570, 12)
100
k1 = µ + z α2 · σ = 1570 + (−1,96) · 12 = 1593
k2 = µ − z α2 · σ = 1570 − (−1,96) · 12 = 1546
En este caso, el intervalo con nivel de significación 0.05 es el (1546,1593), 1600 no está dentro de dicho intervalo,
por lo que no se puede decir que la media son 1600.