Anexo C Introducción a las series de potencias

Anexo C
Introducción a las series de potencias
Este apéndice tiene como objetivo repasar los conceptos relativos a las series de potencias
y al desarrollo de una función ne serie de potencias en torno a un punto.
C.1.
Series de potencias
Una serie de potencias en torno al punto x0 es una expresión de la forma
∞
X
an (x − x0 )n = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + · · ·
(C.1)
n=0
donde x es una variable y los coeficientes an son constantes.
Se dice que (C.1) converge en
X∞
el punto x = r si la serie infinita (de números reales)
an (r − x0 )n converge; esto es, el
n=0
lı́mite de las sumas parciales,
N
X
lı́m
an (r − x0 )n ,
N →∞
n=0
existe (como número finito). Si este lı́mite no existe, se dice que la serie de potencias diverge
en x = r. Obsérvese que (C.1) converge en x = x0 ya que
∞
X
an (x0 − x0 )n = a0 + 0 + 0 + · · ·
n=0
Pero, ¿qué se puede decir acerca de la convergencia para otros valores de x?. Como se
establece en el Teorema C.1 de más abajo, una serie de potencias de la forma (C.1) converge
217
218
Introducción a las Series de Potencias
para todo el valor de x perteneciente a cierto “intervalo” con centro en x0 , y diverge para
los valores de x que estén fuera de este intervalo. Además, en los puntos interiores de dicho
∞
P
intervalo, se dice que la serie de potencias converge absolutamente si
|an (x − x0 )n |
n=0
converge. (Recuérdese que la convergencia absoluta de una serie implica la convergencia
(ordinaria) de la serie.)
Teorema C.1 (Radio de convergencia).- Para cada serie de potencias de la forma (C.1),
existe un número ρ (0 ≤ ρ ≤ ∞), llamado radio de convergencia de la serie de potencias,
tal que (C.1) converge absolutamente para |x − x0 | < ρ y diverge para |x − x0 | > ρ. (Véase
la figura C.1.)
Si la serie (C.1) converge para todo valor real de x, entonces ρ = ∞. Si la serie (C.1)
converge solamente en x0 , entonces ρ = 0.
Divergencia
?
x 0+ρ
Convergencia
absoluta
x0
? Divergencia
x 0+ρ
Figura C.1: Intervalo de convergencia
Obsérvese que el Teorema C.1 resuelve la cuestión de la convergencia de las series de
potencias en todos los puntos de la recta real excepto en los extremos x0 = ±ρ del intervalo
de convergencia. Estos dos puntos requieren un análisis independiente. Para determinar el
radio de convergencia ρ, un método que a menudo resulta fácil de aplicar es el criterio del
cociente.
Teorema C.2 (Criterio del cociente).- Si
¯
¯
¯ an+1 ¯
¯ = L,
lı́m ¯
n→∞ ¯ an ¯
donde 0 ≤ L ≤ ∞, entonces el radio de convergencia de la serie de potencias
1
es ρ = , con ρ = ∞ si L = 0 y ρ = 0 si L = ∞.
L
P∞
n=0
an (x−x)n
Observación Se debe observar que si el lı́mite del cociente |an+1 /an | no existe, entonces
se deben emplear otros métodos distintos del criterio del cociente para determinar ρ. Por
ejemplo, el criterio de la raı́z:
C.1 Series de potencias
219
Teorema C.3 (Criterio de la raı́z).- Si
lı́m
p
n
n→∞
|an | = L,
donde 0 ≤ L ≤ ∞, entonces el radio de convergencia de la serie de potencias
∞
P
an (x − x)n
n=0
1
es ρ = , con ρ = ∞ si L = 0 y ρ = 0 si L = ∞.
L
Ejemplo C.4 Determı́nese el intervalo de la convergencia de
∞
X
(−2)n
n+1
n=0
(x − 3)n .
(C.2)
(−2)n
, se tiene
n+1
¯
¯
¯
¯
¯ an+1 ¯
¯ (−2)n+1 (n + 1) ¯
¯
¯
¯
¯
lı́m
=
lı́m
n→∞ ¯ an ¯
n→∞ ¯ (−2)n (n + 2) ¯
Solución.- Puesto que an =
=
lı́m
n→∞
2(n + 1)
= 2 = L.
(n + 2)
1
Por el criterio del cociente, el radio de convergencia es ρ = . Por lo tanto, la serie (C.2) con2
1
1
verge absolutamente para |x − 3| < , y diverge cuando |x − 3| > . Sólo queda determinar
2
2
5
7
lo que sucede cuando |x − 3| = 1/2. Esto es, cuando x = ó x = .
2
2
∞
P
1
5
, la serie (C.2) se convierte en la serie armónica
, la cual es
2
n=0 n + 1
∞ (−1)n
P
7
divergente. Si x = , la serie (C.2) se convierte en la serie armónica alternada
,
2
n=0 n + 1
la cual es convergente.
µ
¸ Ası́ que la serie de potencias converge para todo x en el intervalo
5 7
,
semiabierto
; fuera de este intervalo, la serie diverge.
2 2
Haciendo x =
Para cada valor x para el cual la serie de potencias
∞
P
n=0
an (x − x0 )n converge, se obtiene
un número que es la suma de la serie. Resulta apropiado denotar esta suma con f (x), ya que
su valor depende de la elección de x. Ası́ que se escribe
∞
X
f (x) =
an (x − x0 )n ,
n=0
220
Introducción a las Series de Potencias
para todo número x contenido en el intervalo de convergencia. Por ejemplo, la serie geométrica
∞
∞
P
P
1
xn tiene radio de convergencia ρ = 1 y, cuando |x| < 1 la suma
xn es
. En efecto
1−x
n=0
n=0
SN = 1 + x + · · · + xN y xSN = x + x2 + · · · + x + xN +1 ,
de modo que
SN (1 − x) = 1 − xN +1
y
lı́m
N →∞
N
X
xn = lı́m SN =
N →∞
n=0
1
1−x
porque lı́mN →∞ xN +1 = 0 por ser |x| < 1. En consecuencia,
∞
P
xn =
n=0
1
función suma es, en este caso, f (x) =
.
(1 − x)
1
. Es decir, la
1−x
Dadas dos series de potencias
∞
X
f (x) =
an (x − x0 )n ,
∞
X
g(x) =
bn (x − x0 )n ,
n=0
(C.3)
n=0
con radios de convergencia distintos de cero, se desea obtener representaciones en series de
potencias para la suma, producto y cociente de las funciones f (x) y g(x). La suma se obtiene
simplemente por medio de la adición término a término:
∞
X
f (x) + g(x) =
(an + bn )(x − x0 )n
(C.4)
n=0
para todo x perteneciente al intervalo de convergencia común de las series de potencias (C.3).
La representación en serie de potencias del producto f (x)g(x) es un poco más complicada.
Para obtener la fórmula, se trata a las series de potencias de f (x) y g(x) como “polinomios
largos”, se aplica la ley distributiva y se agrupan los términos en potencias de x − x0 ):
[a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + · · · ] · [b0 + b1 (x − x0 ) + b2 (x − x0 )2 + · · · ]
= a0 b0 + (a0 b1 + a1 b0 ) (x − x0 ) + (a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 ) (x − x0 )2 + · · · .
La fórmula general del producto es
f (x)g(x) =
∞
X
cn (x − x0 )n ,
n=0
donde
cn =
n
X
k=0
ak bn−k .
(C.5)
C.1 Series de potencias
221
La serie de potencias (C.5) se llama producto de Cauchy, y será convergente para todo x
en el intervalo abierto común de convergencia de las series de potencias (C.3).
f (x)
también tendrá un desarrollo en serie de potencias en torno a x0 siempre
g(x)
que g(x0 ) 6= 0. Sin embargo, el radio de convergencia de esta serie del cociente puede resultar
menor que el de f (x) o g(x). Desafortunadamente, no existe una fórmula cómoda para
f (x)
obtener los coeficientes de la serie de potencias de
.
g(x)
El cociente
El siguiente teorema explica, en parte, por qué las series de potencias son tan útiles
Teorema C.5 (Diferenciación e integración de series de potencias).- Si la serie f (x) =
∞
P
an (x − x0 )n tiene un radio de convergencia positivo ρ, entonces la diferenciación término
n=0
a término da lugar a la serie de optencias de la derivada de f :
∞
X
f (x) =
na(x − x0 )n−1 para |x − x0 | < ρ
0
n=1
y la integración término a término proporciona la serie de potencias de la integral de f :
Z
∞
X
an
(x − x0 )n+1 + C para |x − x0 | < ρ.
f (x) dx =
n
+
1
n=0
Ejemplo C.6 .- Empezando con la serie geométrica
∞
P
xn cuya suma es f (x) =
n=0
encuentre una serie de potencias para cada una de las siguientes funciones:
(a)
1
,
1 + x2
(b)
1
,
(1 − x)2
1
,
(1 − x)
(c) arc tg x.
Solución.(a) Reemplazando x por −x2 en f (x) resulta que
∞
X
1
2
4
6
=
1
−
x
+
x
−
x
+
·
·
·
=
(−1)n x2n .
1 + x2
n=0
(C.6)
222
Introducción a las Series de Potencias
(b) Obsérvese que
∞
P
1
es la derivada de la función f (x). Por tanto, diferenciando
(1 − x)2
xn término a término se obtiene
n=0
∞
X
1
2
3
f (x) =
=
1
+
2x
+
3x
+
4x
+
·
·
·
=
nxn−1 .
(1 − x)2
n=0
0
(c) Puesto que
Z
x
arc tg x =
0
(C.7)
1
dt,
1 + t2
se puede integrar la serie (C.6) término a término para obtener la serie de arc tg x. De
esta manera,
Z x
Z x
©
ª
1
dt =
1 − t2 + t4 − t6 + · · · + (−1)n t2n + · · · dt
2
0 1+t
0
Es decir
∞
X (−1)n x2n+1
1
1
arc tg x = x − x3 + x5 + · · · =
.
3
5
2n
+
1
n=0
(C.8)
Es importante tener presente que puesto que la serie geométrica tiene como intervalo de
convergencia (−1, 1), las representaciones (C.6), (C.7) y (C.8) son válidas por lo menos en
este intervalo. (En realidad, la serie (C.8) de arc tg x converge para todo |x| ≤ 1.)
El ı́ndice sumatorio de una serie de potencias es un ı́ndice ficticio al igual que la variable de
integración de una integral definida En consecuencia, las siguientes expresiones representan
lo mismo.
∞
∞
∞
X
X
X
k
n
an (x − x0 ) =
ak (x − x0 ) =
ai (x − x0 )i .
n=0
k=0
i=0
Ası́ como hay ocasiones en las que conviene cambiar la variable de integración, existen
situaciones en las que es conveniente cambiar o desplazar el ı́ndice sumatorio.
Ejemplo C.7 .- Exprese la serie
∞
X
n=2
utilizando el ı́ndice k, donde k = n − 2.
n(n − 1)an xn−2
(C.9)
C.2 Funciones analı́ticas
223
Solución.- Puesto que k = n − 2, se tiene n = k + 2. Si n = 2, entonces k = 0. Por tanto,
sustituyendo en (C.9) resulta
∞
X
n(n − 1)an xn−2 =
n=2
C.2.
∞
X
(k + 2)(k + 1)ak+2 xk
k=0
Funciones analı́ticas
No todas las funciones se pueden expresar como series de potencias. Aquellas funciones
que sı́ se pueden se llaman analı́ticas.
Definición C.8 (Función analı́tica).- Se dice que una función f es analı́tica en x0 si,
en un intervalo abierto en torno a x0 , esta función es la suma de una serie de potencias
∞
P
= an (x − x0 )n que tiene un radio de convergencia positivo.
n
Por ejemplo, una función polinomial b0 + b1 x + · · · + bn xn es analı́tica para todo x0 ,
ya que siempre se pueden reescribir en la forma a0 + a1 (x − x0 ) + · · · + an (x − x0 )n . Una
p(x)
función racional
, donde p(x) y q(x) son polinomios sin ningún factor común, es una
q(x)
función analı́tica excepto en aquellos x0 para los cuales q(x0 ) = 0. Otras funciones analı́ticas
importante son ex , sen x y cos x, que son analı́ticas para todo x, mientras que ln x es analı́tica
para x > 0. En efecto, se tienen las conocidas representaciones siguientes:
x2 x3
e =1+x+
+
+ ···
2!
3!
x
x3 x5
+
− ···
sen x = x −
3!
5!
cos x = 1 −
=
∞
X
xn
n!
n=0
,
∞
X
(−1)n 2n+1
=
x
,
(2n + 1)!
n=0
x2 x4
+
− ···
2!
4!
1
1
ln x = (x − 1) − (x − 1)2 + (x − 1)3 − · · · =
2
3
=
∞
X
(−1)n
n=0
(2n)!
∞
X
(−1)n−1
n=1
n
x2n ,
(x − 1)n .
(C.10)
(C.11)
(C.12)
(C.13)
donde (C.10), (C.11) y (C.12) son válidas para todo x, mientras que (C.13) es válida para
los valores x pertenecientes al intervalo semiabierto (0, 2]. En (C.13) el desarrollo es en torno
224
Introducción a las Series de Potencias
a x0 = 1. Sin embargo, se puede obtener una representación en serie de potencias para ln x
en torno a cualquier x0 > 0.
Del Teorema C.5 sobre la diferenciación de series de potencias, vemos que una función
f analı́tica en x0 es diferenciable en un entorno de x0 . Además, dado que f 0 tiene una
representación en serie de potencias en este entorno, también es analı́tica en x0 . Repitiendo
este argumento, vemos que f 00 , f 000 , etc., existen y son analı́ticas en x0 .
El siguiente famoso teorema proporciona una fórmula para los coeficientes de la serie de
potencias de una función analı́tica.
Teorema C.9 (Series de Taylor y de Maclaurin).- Si f es analı́tica en x0 , entonces la
representación
∞
X
f (n) (x0 )
f (x) =
(x − x0 )n
(C.14)
n!
n=0
es válida en cierto intervalo abierto con centro en x0 .
La serie (C.14) se llama serie de Taylor de f en torno a x0 . Cuando x0 = 0, también
se le conoce como serie de Maclaurin de f .
Una forma directa, aunque a veces tediosa, para determinar la serie de Taylor de una
función analı́tica f , consiste en calcular las derivadas sucesivas de f y evaluarlas en x0 . Por
ejemplo, las series (C.10), (C.11), (C.12) y (C.13) pueden obtenerse en esta forma.
Conviene recordar que los desarrollo en serie de potencias tienen también una propiedad
de unicidad; a saber, si la ecuación
∞
∞
X
X
an (x − x0 )n =
bn (x − x0 )n
n=0
n=0
es válida en algún intervalo abierto en torno a x0 , entonces an = bn para n = 0, 1, 2, . . .. Por
lo tanto, si de alguna manera se puede obtener un desarrollo en serie de potencias para una
función analı́tica, entonces esta serie de potencias debe ser su serie de Taylor. Por ejemplo,
el desarrollo arc tg x, dado en (C.8) del Ejemplo C.6, deber ser su desarrollo de Taylor.
Un problema diferente pero muy importante es el del radio de convergencia de la serie
de potencias que representa a una función analı́tica en un punto x0 . Es decir, el entorno
de x0 en el que f es analı́tica. El Teorema C.14, tal y como ha sido enunciado, no aclara
este punto. Claro que este radio de convergencia se puede calcular mediante el criterio del
cociente o de la raı́z, pero hay un resultado más directo que enunciamos sin una rigurosidad
absoluta a fin de hacerlo asequible:
C.2 Funciones analı́ticas
225
Teorema C.10 .- Supongamos que la variable x toma valores complejos y sea z0 el punto
más próximo a x0 en el plano complejo en el que “algo va mal” con f (x). Calcúlese la
distancia, ρ, en el plano complejo, entre x0 y z0 . Entonces, la serie de Taylor de f en torno
a x0 converge para |x − x0 | < ρ y diverge para |x − x0 | > ρ.
Ilustremos este teorema con un ejemplo. Consideremos la función f (x) =
hemos visto en el Ejemplo C.6 que admite, en torno a x0 = 0, el desarrollo:
f (x) =
∞
X
1
, que ya
1 + x2
(−1)n x2n .
n=0
También sabemos que tiene un radio de convergencia ρ = 1 porque se obtiene de la serie
1
geométrica sustituyendo x por −x2 . Para x real la función f (x) =
está siempre bien
1 + x2
2
definida porque si x ∈ R entonces x + 1 > 0. Pero para x complejo tenemos que x2 + 1 se
anula para x = ±i. Es decir, si permitimos que x tome valores complejos, f no está definida
en x = i ni en x = −i. Estos son los puntos z0 del plano complejo en los que “algo va mal”
con f . En este caso ambos se encuentran a igual distancia de x0 = 0: ρ = |x0 − z0 | = 1.
Otra aplicación del Teorema C.10 es que el radio de convergencia de la serie de Taylor
p(x)
en torno a 0 de una función racional (cociente de polinomios),
es la magnitud de la
q(x)
raı́z más pequeña de q(x); es decir, el módulo de dicha raı́z (recordemos que aunque los
coeficientes de q(x) sean reales puede tener raı́ces complejas).
Finalmente es útil tener presente que si f y g son analı́ticas en x0 , también lo son f + g,
cf , f g y f /g, siempre que, en el último caso, g(x0 ) 6= 0. Estos hechos se deducen de cómo
se construyen la suma, producto, etc. de las series de potencias tal y como hemos visto más
arriba.
226
Introducción a las Series de Potencias