CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

Congruencia de triángulos.
1
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Dos figuras geométricas son congruentes si tienen el mismo tamaño y la misma forma.
DEFINICIÓN:
Dos triángulos son congruentes si tienen sus lados respectivamente congruentes, lo mismo
que sus ángulos.
Si ABC  DEF , entonces:
AB  FD; AC  DE; BC  FE
A  D; B  F ; C  E
Lados correspondientes son los que se oponen a ángulos congruentes y viceversa.
Hay seis condiciones, que se pueden reducir a 3 mediante teoremas. Antes de demostrar los
teoremas se da el siguiente postulado
POSTULADO DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS. POSTULADO LADO – ANGULO –
LADO (L – A – L)
Dos triángulos son congruentes si dos lados y el ángulo que forman en uno, son
respectivamente congruentes a los dos lados y el ángulo que forman en el otro.
Si
AB  DF ; BC  FE; B  F
Entonces ABC  DEF
DEFINICIÓN: Un corolario es una proposición que no necesita prueba particular, sino que
se deduce fácilmente de lo demostrado antes.
TEOREMA: (COROLARIO DEL POSTULADO ANTERIOR)
Si dos triángulos rectángulos tienen sus catetos congruentes, entonces son congruentes.
AB  DE; BC  EF  ABC  DEF
Congruencia de triángulos.
2
TEOREMA
En todo triangulo isósceles los ángulos de la base son congruentes
HIPÓTESIS: ABC es isósceles con CA  CB
TESIS:
CAB  CBA
RAZÓN
1. En CA se toma un punto D y en CB se
toma un punto E, tal que CD  CE
AFIRMACIÓN
1. Postulado de construcción de segmentos
2. Trazamos DB y AE
3. CA  CB
4. CD  CE
5. C  C
6.  CAE  CBD
7. CAE  CBD
2. Dos puntos determinan un segmento
3. De hipótesis
4. De 1. Construcción.
5. Propiedad reflexiva
6. L – A – L. De 3, 4, 5
7. De 6. Ángulos correspondientes en
triángulos congruentes.
8. De 1
9. De 8. Adición de segmentos
10. Sustitución de 3 en 9
11. De 10. La ley cancelativa
8. CD  CE
9. CA + AD = CB + BE
10. CA + AD = CA + BE
11. AD  BE
CDB  CEA; DB  AE
12. De 6. Partes correspondientes de
triángulos congruentes
13. De 11 y 12. L – A – L
13. ABD  EAB
14. De 13. Ángulos correspondientes en
14. EAB  DBA
triángulos congruentes.
15. De 14 y 7. Resta de ángulos.
15. CAB  CBA
NOTA: Este teorema también se puede enunciar así: Si dos lados de un triángulo son
congruentes entonces los ángulos opuestos a ellos son congruentes.
COROLARIO:
En un triángulo equilátero sus ángulos son congruentes, es decir es equiángulo.
12.
HIPÓTESIS: ABC es un triángulo equilátero
TESIS:
A
B
C
Congruencia de triángulos.
3
TEOREMA
En todo triangulo isósceles la bisectriz del ángulo opuesto a la base es mediana, altura y
pertenece a la mediatriz de la base.
HIPÓTESIS: CD es la bisectriz de ACB
ABC es isósceles con CA  CB
A–D–B
TESIS: CD es mediana, altura y pertenece a la mediatriz.
1. CA  CB
2. 1  2
3. CD  CD
4. CDA  CDB
1. De hipótesis.
2. De hipótesis. Definición de bisectriz.
3. Propiedad reflexiva
5. AD  DB
6. D punto medio de AB
7. CD es mediana
8. CDA  CDB
9. m (
CDA) + m (
CDB) = 180º
10. m ( CDA) + m ( CDA) = 180º
11. 2m ( CDA) = 180º, m ( CDA) = 90º
12. CD  AB
13. CD es altura
14. CD es mediatriz
4. De 1, 2 y 3. Postulado L – A – L
5. De 4. Por ser lados correspondientes en
triángulos congruentes.
6. De 5. Definición de punto medio
7. De 6. Definición de mediana
8. De 4, por ser ángulos correspondientes en
triángulos congruentes.
9. De hipótesis A – D – B. Forman un par
lineal
10. Sustitución de 8 en 9.
11. De 10. Propiedad de los Reales
12. De 11. Definición de perpendicularidad
13. De 12. Definición de altura
14. De 12 y 6. Definición de mediatriz.
NOTA: Se demuestra también que si en un triángulo, una altura es mediana o bisectriz
entonces el triángulo es isósceles. Que es el RECIPROCO del teorema anterior.
Demuéstrelo.
TEOREMA DE CONGRUENCIA. ANGULO LADO ANGULO (A – L – A)
Si dos triángulos tienen un lado congruente, adyacente a dos ángulos respectivamente
congruentes, entonces los triángulos son congruentes.
HIPÓTESIS:
A  P; AB  PQ; B  Q
TESIS: ABC  PQR
NOTA: Este teorema se demostrará cuando se vea el método indirecto de demostración.
Congruencia de triángulos.
4
TEOREMA DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS. LADO-LADO-LADO (L – L – L)
Si dos triángulos tienen sus tres lados respectivamente congruentes, entonces son
congruentes.
AB  DE
HIPÓTESIS: AC  DF
BC  EF
TESIS: ABC  DEF
1. En el semiplano de borde AB que no
contiene a C, se traza AP , tal que
1. Postulado de construcción de ángulos y
segmentos.
BAP  D y AP  DF
2. Trazamos PB
2. Dos puntos determinan un segmento
3. AB  DE
4. APB  DEF
3. De hipótesis.
5. PB  EF
6. PB  EF  BC
7. PBC es isósceles
8. BCP  BPC
9. AP  DF  AC
10. CAP es isósceles
11. ACP  APC
12. m ( ACB) = m( ACP) + m( BCP)
13. m ( APB) = m ( APC) + m ( BPC)
14. m ( APB) = m( ACP) + m( BCP)
15. m ( ACB) = m( APB)
16. ABC  APB
17. ABC  DEF
4. De 3 y 1. L – A – L
5. De 4. Por ser lados correspondientes en
triángulos congruentes.
6. De hipótesis y 5. Propiedad transitiva
7. De 6 y definición de triangulo Isósceles
8. De 7. En un triángulo isósceles a los lados
congruentes se oponen ángulos
congruentes.
9. De hipótesis y de 1
10. De 9. Definición de triangulo isósceles.
11. De 10. En un triángulo isósceles a los
lados congruentes se oponen ángulos
congruentes.
12. Adición de ángulos.
13. Adición de ángulos
14. Sustitución de 8 y 11 en 13
15. De 12 y 14. Ley transitiva
16. De 15, 6, 9. L – A – L
17. De 4 y 16. Propiedad transitiva
Congruencia de triángulos.
5
EJERCICIOS RESUELTOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
 Demostrar que en un triángulo isósceles las bisectrices de los ángulos de la base son
congruentes.
HIPÓTESIS: ABC es isósceles con AB  AC
BD y CE son bisectrices
TESIS: BD  CE
1. m  ACB   m  ABC 
m  ACB 
2
m  ABC 
ECB  
2
DBC   m  ECB 
2. m  DBC  
3. m 
4. m 
5. BC  BC
6. ECB  DBC
7. BD  CE
1. De hipótesis. Los ángulos opuestos a los lados
congruentes de un triángulo isósceles son congruentes.
2. De hipótesis. Definición de bisectriz
3. De hipótesis. Definición de bisectriz
4. De 1, 2, 3. Por ser mitades de ángulos congruentes.
5. Propiedad reflexiva.
6. De 1, 4, 5. A – L – A
7. De 6. Por ser lados correspondientes de triángulos
congruentes.
 Si AB y CD se bisecan en un punto K, demostrar que 1) AC  BD 2) AD  BC
HIPÓTESIS: K es punto medio de AB
K es punto medio de CD
TESIS: AC  BD y AD  BC
1. K es punto medio de AB
1. De hipótesis
2. AK  KB
3. K es punto medio de DC
4. CK  KD
5. AKC  DKB
6. AKC  DKB
7. AC  BD
2. De 1. Definición de punto medio
3. De hipótesis.
4. De 3. Definición de punto medio.
5. Por ser opuestos por el vértice.
6. De 5, 4, 2. Postulado L – A – L
7. De 6. Por ser lados correspondientes en triángulos
congruentes.
NOTA: La segunda parte se demuestra de la misma manera.
Congruencia de triángulos.
6

HIPÓTESIS: ABC es equilátero.
AE  BF  CD
TESIS: EFD es equilátero.
1.
A B  C
1. De hipótesis. Un triángulo
equilátero es equiángulo.
2. De hipótesis.
3. De hipótesis. Definición de
triángulo equilátero.
4. De 3. Adición de segmentos
5. Sustitución de 2 en 4
6. De 5. Ley cancelativa
7. De 6, 2, 1. L – A – L
8. De7. Por ser lados
correspondientes en triángulos
congruentes.
9. De 8. Definición de triángulo
equilátero
2. AE  BF  CD
3. AB = BC = CA
4. AE+EB=BF+FC=CD+DA
5. AE+EB=AE+FC=AE+DA
6. EB = FC = DA
7. AED  EBF  FCD
8. DE  EF  FD
9.
DEF
es equilátero.

HIPÓTESIS: DE  AE
DE  EC; AE  EB
D A
D – F – H – B; A – G – H – C
TESIS:
1)CEG  BEF
2)CFH  BGH
1.
D A
2. DE  AE
1. De hipótesis.
2. De hipótesis.
3. AEG = DEF
4. DEF  EAG
5. DFE  EGA
3. De hipótesis. Son ángulos rectos.
4. De 1,2, 3, A – L – A
5. De 4. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes
Congruencia de triángulos.
6. EFH  EGH
7. FEG  FEG
8. EF  EG
9. CEG  BEF
10. C  B
11. HFC  HGB
12. EC  EB
13. FC  GB
14. FHC  BGH
7
6. De 5. Por tener el mismo suplemento
7. Propiedad reflexiva
8. De 4. Lados correspondientes en triángulos congruentes
9. De 6, 7, 8. A – L – A
10. De 9. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes
11. Tienen el mismo suplemento
12. De 9. Lados correspondientes en triángulos congruentes
13. De 12 y 8. Resta de segmentos
14. De 10, 11, 13. A – L –A

HIPÓTESIS: AB  EF
DB  LF
AC y EH son medianas
AC  EH
TESIS: LEF  ABD
1. LF  DB
1. De hipótesis.
2. AC y EH son medianas
3. H y C son puntos medios
2. De hipótesis
4. LH  HF y DC  CB
5. m( HF ) 
m( LF )
m( DB)
y m(CB) 
2
2
6. HF  CB
7. EH  AC; EF  AB
8. EHF  ACB
9. F  B
10.
ABD  LEF
3. De 2. Definición de mediana
4. De 3. Definición de punto medio
5. De 4. Definición de punto medio.
6. De 1 y 5. Propiedad transitiva
7. De hipótesis
8. De 6 y 7. L – L – L
9. De 8. Ángulos correspondientes en
triángulos congruentes
10. De 1, 7, 9. L – A – L
Congruencia de triángulos.
8

HIPÓTESIS: CA  CB
DA  DB
C–E–D;A–E–B
TESIS: AB  CD
1. AC  BC
2. ABC es isósceles.
3. 1  2
4. AD  BD
5. ADB es isósceles.
6. 3  4
7. m ( CAD)=m ( 1)+m ( 3)
8. m ( CBD)=m ( 2)+m ( 4)
9. m ( CBD)= m ( 1)+m ( 3)
10. m ( CAD) = m ( CBD)
11. CAD  CBD
12. ACD  DCB
13. CE es bisectriz
14. CE es altura
15. CE  AB
16. CD  AB
1. De hipótesis.
2. De 1. Definición de triangulo isósceles.
3. De 2. Los ángulos de la base de un triángulo
isósceles son congruentes
4. De hipótesis.
5. De 4. Definición de triangulo isósceles.
6. De 5. En un triángulo isósceles a los lados
congruentes se oponen ángulos congruentes.
7. Adición de ángulos.
8. Adición de ángulos
9. Sustitución de 3 y 6 en 8
10. De 7 y 9. Propiedad transitiva.
11. De 10 y de hipótesis. L – A – L
12. De 11. Ángulos correspondientes en triángulos
congruentes.
13. De 12. Definición de bisectriz
14. De 13 y 2. En un triángulo isósceles la bisectriz del
ángulo opuesto a la base es también altura.
15. De 14. Definición de altura.
16. De 15 y de hipótesis C – E – D
Congruencia de triángulos.
9

HIPÓTESIS: AB  AF
AC  AE
A – B – C; A – F – E
TESIS: 1)BE  CF
2)AD es bisectriz de
1.
2.
3.
4.
5.
AB  AF
A A
AC  AE
ABE  ACF
BE  CF
6. BC  AC  AB
7. FE  AE  AF
8. FE  AC  AB
9. BC  FE
10. ABE  AFC
11. CBD es el
suplemento de ABE
12. DFE es el
suplemento de AFC
13. CBD  DFE
14. C  E
15. BDC  DFE
16. DB  DF
17. AD  AD
18. BAD  FAD
19. BAD  FAD
20. AD es bisectriz de
CAE
CAE
1. De hipótesis
2. Propiedad reflexiva
3. De hipótesis
4. De 1, 2, 3. L – A – L
5. De 4. Por ser lados correspondientes en triángulos
congruentes
6. Resta de segmentos
7. Resta de segmentos.
8. Sustitución de 1 y 3 en 7.
9. De 6 y 8. Propiedad transitiva.
10. De 4. Por ser ángulos correspondientes en triángulos
congruentes.
11. De hipótesis. A – B – C. Definición de ángulos
suplementarios
12. De hipótesis. A – F – E. Definición de ángulos
suplementarios
13. De 10, 11 y 12. Por tener el mismo suplemento.
14. De 4. Por ser ángulos correspondientes en triángulos
congruentes.
15. De 14, 9, 13. A – L – A
16. De 15. Por ser lados correspondientes en triángulos
congruentes
17. Propiedad reflexiva.
18. De1, 16, 17. L – L – L
19. De 18. Por ser ángulos correspondientes en triángulos
congruentes.
20. De 19. Definición de bisectriz.
Congruencia de triángulos.
10
PROPOSICIONES DE VERDADERO O FALSO
1. Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y el lado de uno, son respectivamente
congruentes a dos ángulos y el lado del otro. (
)
2. Si los catetos de un triángulo rectángulo son congruentes a los catetos de otro triangulo
rectángulo, entonces los triángulos son congruentes. (
)
3. Dos triángulos son congruentes si dos lados y un ángulo de uno son respectivamente
congruentes a dos lados y un ángulo del otro. (
)
4. L – L – A siempre se cumple en la congruencia de triángulos. (
)
5. Dos triángulos que tienen un lado congruente y las alturas trazadas a esos lados
congruentes, son congruentes. (
)
6. Dos triángulos equiláteros son congruentes. (
)
7. Dos triángulos equiláteros son congruentes si un lado de uno de ellos es congruente a un
lado del otro. (
)
8. Dos triángulos son congruentes si tienen sus ángulos respectivamente congruentes. (
)
9. Si los lados congruentes de un triángulo isósceles son congruentes s los lados
congruentes de otro triangulo isósceles entonces los triangulo son congruentes. (
)
10. La altura de un triángulo pasa por el punto medio del lado al cual fue trazada. (
)
11. Si dos triángulos tienen sus lados correspondientes congruentes, entonces sus ángulos
correspondientes son congruentes. (
)
12. Si dos triángulos tienen sus ángulos correspondientes congruentes, entonces los lados
correspondientes son congruentes. (
)
13. Ningún par de ángulos de un triángulo escaleno son congruentes. (
)
14. Los lados de un triángulo son rectas. (
)
15. Existe un triángulo RST en el cual el ángulo R sea congruente con el ángulo T. (
)
16. El suplemento de un ángulo, siempre es un ángulo obtuso. (
)
17. Una perpendicular a una recta biseca a la recta. (
)
18. La mediana trazada a la base de un triángulo isósceles es perpendicular a la base. (
)
19. Un triángulo equilátero es equiángulo. (
)
20. Si dos ángulos tienen el mismo suplemento entonces son congruentes. (
)
21. Si dos ángulos tienen el mismo complemento entonces son congruentes. (
)
22. La bisectriz de un ángulo de un triángulo biseca al lado opuesto al ángulo. (
)
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
En la figura se tiene que:
AG  GE  ED  FG  GB  BC .
Demostrar que: D  C
Congruencia de triángulos.
11
2.
HIPÓTESIS: CD es altura. AD  DB
TESIS: 1) ACD  BCD
2) CA  CB
3. Demostrar que en un triángulo isósceles las medianas trazadas a los lados congruentes
son congruentes.
4.
HIPÓTESIS:
TESIS:
E  B; ADE  ACB; B – C – D – E
EAD  BAC
5.
HIPÓTESIS: AB  AD; AE es bisectriz de
A–C–E
TESIS:
1) BC  CD
2) BCE  DCE
6.
HIPÓTESIS: ABC es equilátero
AE  BF  CD
TESIS: EFD es equilátero.
BAD
Congruencia de triángulos.
12
7. Sea ABC un triángulo isósceles, con CA  CB . D es el punto medio de AC y E es el punto
medio de BC . Demostrar que el triángulo ACE es congruente con el triángulo BCD.
8.
HIPÓTESIS: E – F – C; E – G – B; A – G – H – C;
D–F–H–B
ED  EA
DE  EC
AE  EB
D A
TESIS:
1)CEG  BEF
2)CFH  BGH
9.
HIPÓTESIS: AI  IC  CD  BI  IH  HF
TESIS: EH  EC
10.
HIPÓTESIS: B es punto medio de AC
AD  CE; BD  BE
TESIS:
1) E  D
2)APC es isosceles.
Congruencia de triángulos.
13
11.
AB  AF
HIPÓTESIS: BD  DF
BAC  FAE
TESIS:
1) AC  AE
2) BC  FE
12. Demostrar que en un triangulo isósceles:
A. Las medianas trazadas a los lados congruentes son congruentes.
B. Las alturas trazadas a los lados congruentes son congruentes.
C. Los segmentos de las bisectrices de los ángulos opuestos a los lados congruentes son
congruentes.
13. Si en un triángulo ABC se cumple que AB  AC . R es un punto que pertenece al lado
AB ; D es un punto que pertenece al lado AC ; RC  DB .En base con esta información se
puede demostrar que AR  AD ? Justificar la respuesta.
14.
HIPÓTESIS:
TESIS:
AE  BC
AC  BE
1) DEA  DCB
2)ABD es isosceles
15.
HIPÓTESIS:
TESIS:
1
2
3 4
A–E–CyD–E–B
1) AE  EC
2) DE  AC
Congruencia de triángulos.
14
16.
HIPÓTESIS: AB  AF ; DB  DF ; 1 
TESIS:
2
1) B  F
2) DC  DE
SUGERENCIA: Trazar AD
17.
OED 
HIPÓTESIS:
ODE
A C
AE  DC
TESIS:
1) BF  BH
2)OF  OH
18.
HIPÓTESIS: AF  AB; FE  BC; DF  DB
TESIS:
1) EAD  CAD
2) ED  CD
19.
HIPÓTESIS:
TESIS:
EAD 
AF  AB
1) DF  DB
2) EF  CB
CAD
Congruencia de triángulos.
15
20.
HIPÓTESIS: AR  SC; AB  CD; BS  DR
TESIS:
1) BSA  DRS
2) PR  PS
21.
HIPÓTESIS: BD es mediana
AE  BF ; CF  BF
TESIS: AE  CF
22.
HIPÓTESIS:
AC  AE
CF y EB son medianas
TESIS: AD  CE
23.
HIPÓTESIS:
AB  BC; DC  BC
ABD  DCA
TESIS: ABC  DCB
24. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados congruentes de
un triángulo isósceles al punto medio de la base son congruentes.
25. Si el segmento de recta que une el vértice B del triángulo ABC al punto medio M de AC
se alarga en una distancia igual a su propia longitud hasta E entonces EC  AB
26. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados de un triángulo
equilátero forman otro triángulo equilátero.
Congruencia de triángulos.
16
27.
HIPÓTESIS: TR  TS ; PR  PS
TESIS:
TRP  TSP
28.
HIPÓTESIS: A – B – C – D
1 2
AB  CD
TESIS:
A D
29.
HIPÓTESIS:
TESIS:
AB  AC
BD  CE
1)ACD  ABE
2)BDC  CEB
30.
HIPÓTESIS:
 
CE biseca a BF
TESIS:
C E
Congruencia de triángulos.
17
31. Se tiene un triángulo isósceles ABC, con AB  AC , se toma un punto E sobre AB y se
toma un punto F sobre AC de tal manera que AE  AF . Se traza la altura AH , se traza
el triángulo EHF. Demostrar que EHA  FHA y que EFH  FEH
Algunos de estos ejercicios fueron tomados y modificados de los siguientes textos:
 Geometría Euclidiana de Nelson Londoño
 Geometría Euclidiana de Hemmerling
 Curso de Geometría. Reunión de profesores
 Geometría de Clemens y otros, de la serie Awli
 Geometría de Edwin E. Moise
Recopilados por: José Manuel Montoya Misas.