LA LÓGICA - filosofiagaudi

LA LÓGICA
LENGUAJE NATURAL Y LENGUAJES ARTIFICIALES
Dentro de las distintas clasificaciones que se pueden hacer de los lenguajes humanos, a
nosotros nos interesa ahora la distinción entre lenguaje natural y artificial.
EL LENGUAJE NATURAL
Es el que se habla dentro de una comunidad en la que se ha gestado y desarrollado. Los
miembros de ese pueblo lo aprenden espontáneamente en los primeros años de su vida. En
definitiva, el lenguaje natural es la lengua materna, que se aprende en la infancia en toda su
extensión y riqueza.
El lenguaje natural es el vehículo de comunicación por excelencia, tiene por ello una gran
riqueza expresiva, pueden expresarse las ideas de muchas formas diferentes y darles infinitos
matices, pero esta que es su gran ventaja es también su principal inconveniente para ser utilizado
como vehículo del conocimiento científico. La ciencia ha de expresar sus conocimientos de forma
rigurosa, y el lenguaje natural encierra, debido a su riqueza y expresividad, diferentes tipos de
errores.
ERRORES:

POLISEMIA: El problema se halla en el propio mensaje que presenta diferentes significados:
o Equivocidad: Términos con igual grafía y pronunciación pero con distintos significados:
o



Ej: cuco, lagarta, cabo, cuenta…
Anfibología: La frase misma tiene una doble interpretación
Ej: “El libro es de Borges”,¿Cómo quieres que vaya de noche a verte,
si el perro de tu padre sale a morderme”, “Me choqué con la cerda de tu tía”
“Come el pollo deprisa”, “Vino la madre de Julio que tiene 14 años”
IMPRECISIÓN: Error en la interpretación del mensaje. Por ejemplo: “Algunos alumnos irán a
Madrid” o “Si tomas natillas serás grande, los jugadores de baloncesto son grandes, ya sabes lo
que han tomado…”
INFERENCIAS FALSAS: Al recibir un mensaje se añade al significado del mismo, información
que el mensaje no proporciona de forma directa y objetiva. El receptor añade información que no
se da, hace suposiciones, inferencias.
RUMORES: Al pasar el mensaje de un receptor a otro, se distorsiona la información hasta
quedar irreconocible en relación al mensaje original.
LENGUAJE ARTIFICIAL
Para expresar de modo riguroso las teorías científicas se siente la necesidad de crear
lenguajes con menor riqueza, pero con mayor precisión y rigor. Para ello se elaboran lenguajes
artificiales, con uso de términos con significado único y preciso. Y para facilitar su rigor, relacionar
precisamente los conceptos e, incluso, hacer posible el cálculo, se recurre al uso de variables y a la
formalización de sus enunciados.
Un lenguaje artificial es el producto de diseño consciente por parte de una comunidad de
especialistas, basándose en acuerdos arbitrarios sobre los signos y reglas que van a formar ese
lenguaje. Su aprendizaje es deliberado y requiere una enseñanza explícita.
Existen distintos tipos de lenguajes artificiales, de los cuales vamos a hablar del lenguaje
formal, sistema formal o cálculo y lenguaje formalizado:
 Lenguaje formal: Se compone de los siguientes elementos:
o Vocabulario primitivo: los símbolos elementales que van a formar parte del lenguaje
o Reglas de formación de fórmulas bien formadas (FBF): establecen las relaciones
posibles entre signos
1
 Sistema formal o cálculo:
A los dos elementos del lenguaje formal hay que añadir un tercero: las reglas de transformación de
unas fórmulas en otras.
Un sistema formal no es propiamente lenguaje porque es una estructura puramente
sintáctica, no tiene semántica, sus signos y expresiones formadas por sus reglas carecen de
significado. Un cálculo al que se le da significado es un lenguaje formalizado
 Lenguaje formalizado: Es la interpretación de un cálculo. Para ello hay que adjudicar
significado a los signos de este lenguaje y a sus expresiones bien formadas. Cada interpretación
del cálculo se llama MODELO.
La lógica y las matemáticas pueden considerarse como cálculos o sistemas formales, pero
también pueden considerarse como lenguajes formalizados o cálculos interpretados donde los signos
son interpretados lógica o matemáticamente.
LA LÓGICA
¿QUÉ ES?
Es la ciencia que estudia los principios (leyes y reglas) de la validez formal de la
inferencia.

INFERENCIA (argumento o razonamiento): Es el paso de unas premisas a una conclusión.
o Inferencia inductiva: paso de premisas particulares a una conclusión general.
Este paso no es lógicamente necesario y la lógica clásica no se ocupa de tales inferencias.
Inferencia deductiva o deducción: La conclusión se sigue necesariamente de las
premisas por la forma de éstas. El paso de las premisas a la conclusión es necesario.
La lógica clásica se ocupa de las inferencias deductivas, es decir, de la deducción.
Una inferencia o argumento se compone de enunciados. Un enunciado o proposición es una
frase que declara algo y puede, por tanto, ser verdadera o falsa.
Los enunciados pueden ser simples o compuestos. La verdad de los enunciados compuestos
depende de los enunciados simples.
Los razonamientos no son verdaderos o falsos, son VÁLIDOS O NO VÁLIDOS, CORRECTOS O
INCORRECTOS.
o

LA VALIDEZ FORMAL
La lógica estudia la validez de los argumentos, y esta es una validez formal, es decir, se
centra en si el paso de las premisas a la conclusión es correcto: si aceptadas unas premisas, la
conclusión se sigue de ellas necesariamente.
La Lógica no se ocupa de la verdad o falsedad de las premisas o conclusión, sino de si la
conclusión se extrae de las premisas de forma necesaria por la relación que las premisas tienen entre
sí.
Todo razonamiento tiene una forma y una materia o contenido. La forma es la estructura del
argumento, el modo en que se relacionan las premisas, el contenido o materia es de lo que se habla,
del tema a que se hace referencia. La lógica estudia la validez de la forma, no la verdad material que
posean las premisas, no se ocupa del contenido. Es la forma la que es válida o no, correcta o
incorrecta. Por eso podemos prescindir del contenido, y quedarnos con la estructura, con la forma
para analizar si es correcta.
Y ¿cuándo una forma de razonamiento es válida? Cuando al llenarla de contenido, si sus
premisas son verdaderas, su conclusión ha de ser necesariamente verdadera. Pero a la lógica – hay
que insistir en ello- no le interesa si de hecho las premisas son verdaderas, simplemente garantiza
que aceptando que lo sean, un razonamiento válido nos llevará necesariamente a una conclusión
verdadera.
2
La verdad de las premisas es independiente de la validez de la inferencia. Existen argumentos
no válidos con premisas y conclusión verdaderas y argumentos válidos con premisas y conclusión
falsas. Pero si un argumento es válido, si las premisas son verdaderas la conclusión lo será
necesariamente, puesto que se ha razonado de forma correcta a partir de enunciados verdaderos.
Todos los españoles son australianos
El rey de Marruecos es australiano
__________________________________
El rey de Marruecos es español
P: F R: No-Vál
Si las esmeraldas son verdes entonces la luna
es lenta.
Pero la luna no es lenta
Por tanto, las esmeraldas no son verdes
Pr: F y concl: F Raz: Val

Todas las chicas de esta clase hablan español
Susana es una chica que habla español
________________________________________
Susana es una chica de esta clase
P: V R: N-Val
Si estudias entonces apruebas
Y no apruebas
Por tanto, no estudias
Pr y Concl:V
Raz válido
PRINCIPIOS
Puesto que hay formas válidas de razonar, la lógica pretende sistematizar un conjunto de leyes y
reglas (principios) que establezcan estas formas del razonar correcto. Es decir, unos esquemas
válidos de inferencia.
CIENCIA
La lógica es una ciencia formal, es la ciencia que se ocupa de estudiar la forma correcta de
deducir. Su objeto de estudio es la deducción, y para llegar a establecer cómo se llevan a cabo de
manera válida las deducciones, ha de deducir de manera válida. Esto es, ha de regirse por los
mismos principios que estudia: estudia la deducción deduciendo, es la ciencia deductiva de la
deducción.

LÓGICA DE ENUNCIADOS O LÓGICA PROPOSICIONAL
Cuando definíamos los lenguajes artificiales hablábamos de la lógica como un sistema
formal o cálculo. En realidad, sería un conjunto de cálculos que se contienen unos a otros. El
cálculo más elemental, el más simple, de la lógica es la lógica proposicional. Se pretende en
él matematizar o formalizar los razonamientos analizándolos en sus enunciados y las
relaciones que éstos mantienen entre sí, tomando los enunciados como un todo, sin entrar a
diseccionarlos en sus términos componentes.
Los enunciados son el contenido de los argumentos, la forma son las relaciones que
vienen dada por los nexos o conectivas.
Argumento o Razonamiento: Contenido  Enunciados y es variable
Forma conectivas, operadores, juntores, functores son
constantes
Se va a matematizar o formalizar tanto el contenido como la forma de los argumentos para
poder calcular.
FORMALIZACIÓN DEL CONTENIDO
a) LAS VARIABLES DE ENUNCIADO O VARIABLES PROPOSICIONALES
El contenido es lo variable de los argumentos, sus enunciados, que varían aunque
permanezca la forma. Los enunciados se van a sustituir por variables proposicionales. Y los
símbolos que se utilizarán serán las letras minúsculas a partir de la p: p, q , r , s …..
3
b) VALORES DE VERDAD
Todo enunciado puede ser verdadero o falso.
Si es verdadero tiene un valor de verdad positivo y se simboliza bien con una V o con un 1.
(Nosotros utilizaremos el 1 en la mayoría de las ocasiones)
Si el enunciado es falso, tiene un valor de verdad negativo y se simboliza con una F o con un
0. (Nosotros utilizaremos normalmente el 0)
c) PRINICIPIO DE BIVALENCIA
La lógica clásica acepta el principio de bivalencia que dice que una proposición puede
ser verdadera o falsa pero no ambas a la vez o ninguna de las dos. De modo que si un
enunciado no es falso, entonces es necesariamente verdadero.
Si un enunciado es simple puede tener dos valores de verdad: 1 o 0
Si es compuesto, su valor de verdad dependerá de las distintas combinaciones de los valores
de verdad de sus enunciados simples, y habrá que calcular todas estas posibilidades. Puesto
que cada enunciado tiene 2 valores de verdad, el número de posibles combinaciones son 2n
siendo n el número de proposiciones distintas que se relacionan en el enunciado complejo.
p : 1, 0
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
Etc
FORMALIZACIÓN DE LA FORMA
Se formalizan los operadores o nexos que relacionan los enunciados entre sí. Existen
operadores monádicos, que afectan a una sola proposición, sea ésta simple o compleja. Y
operaores diádicos, que relacionan dos proposiciones.

NEGACIÓN O NEGADOR, OPERADOR MONÁDICO ( No)
¬ : ¬P ( Se lee no p) Cambia el valor de verdad de la proposición a la que afecta.
p
1
0
¬p
0
1
4
OPERADORES DIÁDICOS:

CONJUNCIÓN O CONJUNTOR: ^ ( Y )
p ^ q ( p y q ) : El valor de la verdad de la conjunción será verdadero cuando los sean las
dos proposiciones y será falso en todos los demás casos.
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p^q
1
0
0
0

DISYUNCIÓN, DISYUNTOR O ALTERNATIVA: V ( O INCLUSIVA)
p V q ( p o q ) : La disyunción será verdadera cuando lo sea al menos uno de sus miembros,
falsa cuando sean falsos los dos.
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
pVq
1
1
1
0
 CONDICIONAL o IMPLICADOR:  ( Si … entonces …)
p  q ( Si p entonces q) p es el antecedente, q el consecuente.
Sólo será falso si el antecedente es V y el consecuente falso, es decir, si cumpliéndose la
condición no se cumple lo condicionado a ella. El antecedente es condición suficiente pero no
necesaria del consecuente: basta con que ocurra p para que se dé q, pero no es necesario
que p sea verdadero para que lo sea el condicional.
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0

BICONDICIONAL  (Si y sólo si … entonces … o únicamente si…. entonces…)
p q
1
0
1
1
p q ( si y sólo si p, entonces q) Es un doble condicional, y como tal ambos son
condiciones necesarias y suficientes de ambos. Si se da p se da q y viceversa. Si no se da p,
no se da q.
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
pq
1
0
0
1
5
EJERCICIOS DE FORMALIZACIÓN (PG DE EJERCICIOS)
TAUTOLOGÍAS, CONTRADICCIONES Y FÓRMULAS MERAMENTE CONSISTENTES



TAUTOLOGÍA: Fórmula o expresión que es siempre verdadera en virtud de su forma
lógica. Son las leyes lógicas
CONTRADICCIÓN: Fórmula que es siempre falsa en virtud de su forma lógica.
FÓRMULA MERAMENTE CONSISTENTE: expresión cuya forma lógica no es suficiente para
establecer su verdad o falsedad, en unos casos es verdadera, en otros falsa, en función
del contenido.
UN MÉTODO DE DECISIÓN: LAS TABLAS DE VERDAD
Es un método proporcionado por el filósofo del lenguaje Ludwig Wittgenstein, para
averiguar si una FBF es V o F en virtud de su forma lógica o si esta no es suficiente para
determinar su verdad, en cuyo caso será meramente consistente.
Se conjugan todos los valores de verdad posibles de una fórmula, partiendo de los
enunciados simples que la componen, y hallando los valores de los enunciados que van
formando según el modo de relacionarse con los operadores, hasta llegar a la fórmula final.
Si el resultado final es que todos los casos son verdaderos, estaremos en una
tautología, si todos son falsos, será una contradicción, si hay valores verdaderos y falsos,
una fórmula meramente consistente.
EJEMPLO
[(p  q) ^ p ] q
p
q
(p  q)
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
Es una tautología
[(p  q) ^ p ]
1
0
0
0
[(p  q) ^ p ] q
1
1
1
1
6
EJERCICIOS DE FORMALIZACIÓN DEL LENGUAJE NATURAL AL LENGUAJE
LÓGICO:
El alma de las flores divaga entre la niebla
Cuando tú me mirabas, su gracia en mí tus ojos imprimía
No es suficiente no ser ciego para ver los árboles y las flores
Algo es triángulo si y sólo si tiene tres ángulos
Si el alma habla, entonces estás vivo
La primavera ha venido, nadie sabe cómo ha sido
Cuando alguien escribe como Borges, puede disculpársele todo
Hace frío, luego no es verano
No habrá ni sueño ni olvido
Vi el fondo del misterio con los ojos o con el pensamiento
Tengo estos huesos hechos a las penas y a las cavilaciones estas sienes
Ni contigo, ni sin ti.
No es cierto que no te escuche
No es cierto que cantaran y bailaran
O estudias o serás un desgraciado
Si buscas palabras de amor en la tierra, mata tus palabras y oye tu alma vieja
Ni puedo prohibirlo, ni puedo tolerarlo
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EL CÁLCULO DE LA DEDUCCIÓN NATURAL
Se puede entender la Lógica como un conjunto de cálculos de los cuales el más sencillo es el cálculo
de la deducción natural en la lógica proposicional.
Deducir es obtener unas FBF a partir de otras dadas en virtud de las relaciones lógicas que existen
entre ellas, a las expresiones lógicas de las que se parte se le llaman premisas, la que se obtienen es
la conclusión… La deducción será correcta cuando se base en esquemas válidos de razonamiento,
esto es, en reglas lógicas correctas, en ese caso se puede asegurar que la conclusión se sigue de las
premisas.
La lógica va a sistematizar reglas básicas y otras que se derivan de ellas, que son las reglas del
razonar correcto.
¿Qué es una regla?
Una regla es una instrucción para pasar de forma correcta o válida de unas fórmulas bien formadas
que son las premisas a otra que es la conclusión. No son propiamente expresiones lógicas, sino que
hablan de las expresiones lógicas, son, por tanto, un metalenguaje…
Se diferencian de las tautologías o leyes lógicas en que éstas sí están expresadas en lenguaje
lógico… Aunque cada ley puede en una regla y viceversa, si se pasan al formato adecuado.
¿QUÉ ES UNA DEDUCCIÓN?
Paso de unas premisas a una conclusión, que se sigue necesariamente de ellas
DEDUCCIÓN DIRECTA: Aquellas en las que las premisas llevan de un modo directo a la conclusión
al aplicar correctamente las reglas de inferencia válida.
DEDUCCIÓN INDIRECTA o REDUCCIÓN AL ABSURDO: Se parte de la negación de la
conclusión, y al intentar derivar de las premisas dicha fórmula se llega a una contradicción por lo que
se niega el punto de partida y se afirma lo contrario de lo que se partió, es decir, la conclusión, de
modo que queda probado que la conclusión se sigue de las premisas.
INFERENCIA INMEDIATA: Se obtiene una fórmula a partir de otras aplicando una sola regla de
inferencia.
DEDUCCIÓN NATURAL O FORMAL (También llamada DERIVACIÓN)
Es una secuencia finita de fórmulas tales que cada una de ellas es:
- Un supuesto inicial o premisa
- Un supuesto subsidiario o provisional que se utiliza como apoyo de la deducción pero después
se elimina
- O una fórmula que se obtiene por inferencia inmediata, es decir, por la aplicación de una sola
regla de inferencia de otras.
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REGLAS LÓGICAS
MODUS PONENS M.P.
A B
A
_______
B
Si se tienen como premisas un condicional y la afirmación de su
antecedente, se puede obtener como conclusión, la afirmación de su
consecuente
1.- p  q, q r, p l- r
2.- si los lobos aúllan a la luna llena, las noches son escalofriantes y los elefantes caminan sin cesar.
Si las noches son escalofriantes y los elefantes caminan sin cesar, los niños lloran de terror
Y los lobos aúllan a la luna llena
Por tanto
Los niños lloran de terror
3.- p  q, q  r V s, r V s  u V w, p l- u V w
4.- (p ^q)  r , r  ¬ s , ¬ s  t, p ^q l- t
5.- Manuela está preocupada, ayúdala en sus dudas:
Si sale diariamente con sus amigos, entonces baila alocadamente
Si baila alocadamente no puede estudiar todas las horas que necesita
Si no estudia todas esas horas no aprobará lógica
Si no aprueba lógica, no podrá dedicarse a descansar plácidamente en vacaciones
Y Manuela sale diariamente con sus amigos…
¿Cuál es la conclusión?
6.- p  ¬ q , ¬ q  r, r  s, s ¬ u, ¬ u ¬ t, p l- ¬t
MODUS TOLLENS
M.T.
A B
¬B
_______
¬A
Si se tienen como premisas un condicional y la negación de su
consecuente, se puede obtener como conclusión, la negación de su
antecedente.
1.- p  q, q  r, r  s , ¬ s l- ¬ p
2.- Si fueras un mandarín de la China, vivirías con lujo y no tendrías que trabajar
Si vivieras de esa manera, te distraerías haciendo viajes alrededor del mundo o alimentando faisanes en tu
majestuoso palacio
Como no es este el caso
Deduzco
Que no eres un mandarín de la China
3.- p  (q ^¬ r), (q ^¬ r)  (s V t ) , ¬ (s V t ) l- ¬ p
4.- w  (r ^¬s ), ¬ ( u  h), t  (m V ¬n), (r ^¬ s)  (u  h), (m V ¬n)  w, (¬ p V ¬q)  t l- ¬(¬p V ¬ q)
9
5.-( Sandra quiere meterse a detective y probar con la práctica su lógica aplastante, pero no se le presenta
ningún caso a resolver, parece que la gente aún no confía en ella… Esto acabará el día que tenga su primer
caso, por eso ella no se queda de brazos cruzados esperando, sino que llama a toda puerta que le parece
sospechosa… cuando le abren la puerta larga el siguiente razonamiento:)
Si se hubiese cometido un crimen en esta casa, ustedes habrían necesitado los servicios de un detective
Si los hubiesen necesitado, lo habrían llamado por teléfono. Si así lo hubieran hecho, habrían buscado el
número de teléfono en internet y habrían marcado el número… Si hubiesen buscado y marcado el número,
habrían estado perdiendo el tiempo… Pero ustedes niegan haber perdido el tiempo de ese modo… Así que
concluyo que en esta casa no se ha cometido crimen alguno
6.- p  ¬ (q ^r( , p, s  (q ^r) , ¬ s  t l- t
7 .- ¬ ( P ^q)  ( r V s) , (r V s)  t , q  ¬ t, q l- (p ^q )
DOBLE NEGACIÓN
¬¬ A
______
A
Si se tiene una fórmula doblemente negada, se puede obtener como
conclusión su afirmación
1.- p  ¬ q, ¬¬q, ¬(r ^s)  p, (r ^ s)  (t V ¬¬u) l- (t V ¬¬u)
SILOGISMO DISYUNTIVO S.D.
AV B
AV B
¬B
¬A
_______ SD₁
_______ SD₂
A
B
1.- p v q , ¬ q V r , ¬ r l- p
PRODUCTO
Prod
Si se tienen como premisas cualesquiera dos fórmulas bien formadas,
que se aceptan como verdaderas, se puede concluir la conjunción o
producto de ambas fórmulas, pues éste también será necesariamente
verdadero.
A
B
_______
A ^ B
SIMPLIFICACIÓN
A ^ B
______
A
Si se parte de una disyunción, y se tiene la negación de uno de sus
miembros, se puede concluir la afirmación del otro miembro de la
disyunción
Simpl
A^ B
______
B
Si se acepta como premisa una conjunción, puede concluirse cualquiera
de sus miembros.
1.- p q, p, r ^ ¬ s, q ^¬ s  t l- t (producto y simplificación)
“DE MORGAN”
¬(A ^ B)
_______ DM₁
¬A V ¬ B
DM
¬(A v B)
________ DM₂
¬A ^ ¬ B
DM 1: La negación del producto equivale a la disyunción de las
negaciones
DM 2“: La negación de una disyunción equivale al producto de las
negaciones
1.- q, p ^r  ¬q, p ^ s, ¬ r u l- u
2.- p V q, ¬p, q¬(r V s) l- ¬ r
10
PRUEBA POR CASOS
A v B
A
.
.
C
B
.
.
C
_____________
C
Si partimos de una disyunción y se sigue una determinada fórmula al
suponer por separado la verdad de cada uno de sus miembros, se puede
afirmar como conclusión la fórmula que se sigue de ellos.
1.- pV q, p  ¬r ^ s, s  t, q  r V w, w t l- t
TEOREMA DE LA DEDUCCIÓN
A
.
.
B
__________________
AB
Si se supone una fórmula como verdadera y de ella, se sigue otra, se
puede concluir que la primera es una condición de la segunda, es decir,
se puede obtener como conclusión, el condicional que tiene como
antecedente la primera fórmula y como consecuente la derivada de ella
1.- p ¬t, t V m, m  ¬¬s l- p  m^s
2.- p V w  r, r  s, t  ¬ s, t V ¬ q l- q ¬ w
REDUCCIÓN AL ABSURDO
A
.
.
Si se supone una fórmula como verdadera, y esto lleva a contradicciones,
se niega la fórmula que ha sido el punto de partida
X ^¬ X
__________________
¬A
1.- p  ¬ q, r  q l- ¬ (p ^r )
2.- p ^q  r, r  s, q ^¬ s l- ¬p
SILOGISMO HIPOTÉTICO
AB
BC
___________
AC
Si partimos de dos condicionales en los cuales, el consecuente del
primero es el antecedente del segundo, se puede concluir con un
condicional formado por el antecedente del primero y el consecuente del
segundo.
1.- p  q ^r, q  ¬s, ¬s  t l- t ^r
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