Matemática Básica Parte 01
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DIRECCIÓN NACIONAL GERENCIA ACADÉMICA Estudios Generales Matemática P.T. Parte 01 CÓDIGO: 89001295 SERVICIO NACIONAL DE ADIESTRAMIENTO EN TRABAJO INDUSTRIAL MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 AUTORIZACIÓN Y DIFUSIÓN MATERIAL DIDÁCTICO ESCRITO CICLO : ESTUDIOS GENERALES CURSO : MATEMÁTICA BÁSICA P.T. PARTE 01 Con la finalidad de uniformizar el desarrollo de la formación profesional en el Ciclo de Estudios Generales a nivel nacional y dando la apertura de un mejoramiento continuo, se autoriza la APLICACIÓN Y DIFUSIÓN del material didáctico escrito referido a MATEMÁTICA BÁSICA P.T. PARTE 01 Los Directores Zonales y Jefes de Centros de Formación Profesional son los responsables de su difusión y aplicación oportuna. DOCUMENTO APROBADO POR EL GERENTE ACADÉMICO DEL SENATI N° de Páginas:…............. 188.…...........….. Firma: ………………………………….….. Lic. Jorge Chávez Escobar Fecha: …………………………...………. ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 2 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 INDICE UNIDAD 01. Números Naturales .............................................................................. 4 UNIDAD 02. MCM y MCD ....................................................................................... 43 UNIDAD 03. NUMEROS RACIONALES: FRACCIONES ................................................ 73 UNIDAD 04. FRACCIONES: ADICIÓN, SUSTRACCIÓN, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN .......... 88 UNIDAD 05. Números Decimales .......................................................................... 112 UNIDAD 06. POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN ......................................................... 145 UNIDAD 07. TRIGONOMETRÍA BÁSICA ................................................................. 172 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 3 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 UNIDAD 01 NÚMEROS NATURALES ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 4 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 1.1. Número Natural. Definición. Un número natural es cualquiera de los números: 0, 1, 2, 3... que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos de la naturaleza. Numeral. Los numerales "1, 2, 3, 4, 5,..." son numerales arábicos, diferentes de los numerales romanos "I, II, III, IV, V,..." pero ambos representan los mismos números. Incluso los mismos símbolos a veces pueden representar números distintos: 11 es el tres binario pero el once decimal. 1.2. Lectura y escritura de números naturales. En la escritura de un número natural se debe tener en cuenta que la cifra forma un orden, cada tres órdenes forman una clase y por cada dos clases, forman un período. ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 5 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 4° Período 8° Clase 7° Clase 3° Período 5° Clase 4° Clase 2° Período ENTEROS 6° Clase 3° Clase 1° Período 2° Clase 1° Clase 24° Orden Centenas de millar de trillón. 23° Orden Decenas de millar de trillón. 22° Orden Unidades de millar de trillón. 21° Orden Centenas de trillón. 20° Orden Decenas de trillón. 19° Orden Unidades de trillón. 18° Orden Centenas de millar de billón. 17° Orden Decenas de millar de billón. 16° Orden Unidades de millar de billón. 15° Orden Centenas de billón. 14° Orden Decenas de billón. 13° Orden Unidades de billón. 12° Orden Centenas de millar de millón. 11° Orden Decenas de millar de millón. 10° Orden Unidades de millar de millón. 9° Orden Centenas de millón. 8° Orden Decenas de millón. 7° Orden Unidades de millón. 6° Orden Centenas de millar. 5° Orden Decenas de millar. 4° Orden Unidades de millar. 3° Orden Centenas simples. 2° Orden Decenas simples. 1° Orden Unidades simples. Para facilitar la escritura y la lectura las cifras se agrupan de tres en tres a partir de la derecha, separando dichos grupos por espacios en blanco y sin usar ningún otro símbolo así el número de la tabla siguiente se escribe: 79 142 031 789 358. TRILLONES BILLONES MILLONES UNIDADES MILLAR UNIDAD MILLAR UNIDAD MILLAR UNIDAD MILLAR UNIDAD C D U C D U C D U C D U C D U C D U C D U C D U 24º 23º 22º 21º 20º 19º 18º 17º 16º 15º 14º 13º 12º 11º 10º 9º 8º 7º 6º 5º 4º 3º 2º 1º 7 9 1 4 2 0 3 1 7 8 9 3 5 8 Y se lee: “Setenta y nueve billones, ciento cuarenta y dos mil treinta y un millones, setecientos ochenta y nueve mil, trescientos cincuenta y ocho unidades.” ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 6 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 Aplicaciones: 1: Aún recordando, se realizarán los ejercicios siguientes: Escribir cómo se lee cada número: a) 4 121.................................................................................................................. b) 20 305................................................................................................................ c) 2 000……........................................................................................................... d) d) 5 001 008...................................................................................................... 2: Leer y escribir con cifras cada número: a) Tres mil cinco................................................................................................... b) Cien mil cuarenta y dos.................................................................................. c) Un millón trescientos mil................................................................................ d) Dieciocho millones tres mil uno........................................................................ e) Seis millones quince mil.................................................................................... f) Doscientos tres millones cuatro mil uno…….................................................... 3: ¿Qué número está formado por 14D, 134UM, 14DM, 19CM? a) 2480014 b) 2040814 c) 2174140 d) 2304014 e) 2048014 4: Se tiene 2C, 3UM, 7DM, 4U, 6D., dicho número es: a) 73 264 b) 74 326 c) 72 364 d) 76 324 e) 24 763 5: ¿Cuántas Centenas hay en 75 CM; 4 DM; 16 UM? a) 75 560 b) 75 326 c) 72 364 d) 76 560 e) 74 560 6: ¿Cuántas Decenas forman Dos Millares? a) 20 b) 200 c) 2000 d) 2 e) 0,2 7. ¿Cómo se puede escribir el producto de: 345x11? a) 30CM 79D 5U b) 31C 69D 5U c) 37D 95U d) 30C 71D 5U e) NA ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 7 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 1.3. Operaciones en el conjunto de números naturales. 1.3.1. Adición. Definición. Dados dos números naturales a y b, se llama suma de a y b la cual se denota (a + b) al número natural S, tal que a + b = S. Se denomina “adición” a la operación que hace corresponder a ciertos pares de números naturales (a; b) su suma a + b. Ejemplo 1: 15 + 17 = 32 7 + 8 + 13 Ejemplo 2: = 28 Sumandos Aplicación 1: Si: a + b + c = 15, Suma hallar: abc + bca + cab Rpta: 1665 Aplicación 2: Hallar la suma de todos los números de tres cifras del sistema decimal. Rpta: 494550 Suma notables: I) Suma de los “n” primeros números naturales. S S = 1+2+3+4+ ....+n Ejemplo: 1 + 2 + 3 + 4 + …..…. + 25 n (n 1) 2 n = 25 S 2525 1 325 2 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 8 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 II) Suma de los “n“ primeros impares. n 1 S 2 S = 1 + 3 + 5 + …….... + n Ejemplo: 2 n = 39 39 1 S 400 2 2 1 + 3 + 5+ 7 + …..…. + 39 III) Suma de los “n” primeros pares. S nn 1 S = 2 + 4 + 6 + …... + 2n n = 10 Ejemplo: S 1010 1 110 2 + 4 + 6 + 8 + …..…. + 20 1.3.2. Sustracción. Definición. Dados dos números naturales a y b, se llama diferencia de a y b la cual se denota (a - b) al número natural D, tal que a - b = D. Se denomina “sustracción” a la operación que hace corresponder a ciertos pares de números naturales (a; b) su diferencia a - b. DIFERENCIA ( D ) Ejemplo 1: 235 - 140 = 95 SUSTRAENDO ( S ) MINUENDO ( M ) Aplicación 1: Si, a4b - 3c5 = 418; Hallar: a+b–c Rpta: 6 Propiedades de la sustracción: 1. Si se suma o resta un mismo número natural al MINUENDO y al SUSTRAENDO, la diferencia NO SE ALTERA. ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 9 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 2. Si se suma o resta un mismo número natural SÓLO AL MINUENDO, la DIFERENCIA queda aumentada o disminuida en esa misma cantidad. 3. Si se suma o resta un mismo número natural SÓLO AL SUSTRAENDO, la DIFERENCIA queda disminuida o aumentada en esa misma cantidad. 4. La suma del SUSTRAENDO y la DIFERENCIA es igual al MINUENDO. S + D = M 5. la suma de los TRES TÉRMINOS de la sustracción es igual al DOBLE DEL MINUENDO. M + S + D = 2M Aplicación 1: La diferencia de dos números es 305, si al menor se le quita 20 y al mayor se le aumenta 85 ¿Cuál es la nueva diferencia? Rpta.: 410 Aplicación 2: La diferencia de dos números es 157, si al menor se le aumenta 48 y al mayor se le quita 31 ¿Cuál es la nueva diferencia? Rpta.: 78 Aplicación 3: La suma de términos de una sustracción es 478 ¿Cuánto es el minuendo? Rpta. : 239 1.3.3. Multiplicación. Definición. Dados dos números naturales a y b, se llama producto de a y b la cual se denota a.b al número natural P, tal que a.b = P. Se denomina “multiplicación” a la operación que hace corresponder a ciertos pares de números naturales (a; b) su producto a.b. Ejemplo 1: 18 x Multiplicando 15 = Multiplicador 270 Producto ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 10 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 Ejemplo 2: 7 Multiplicando Multiplicador Productos parciales Producto final 3 4 4 6 4 4 4 0 2 9 3 6 3 3 7 6 x 734 x 6 734 x 4 4 Aplicación 1: El producto de dos factores es 29016, si se aumenta 112 unidades al multiplicando, el producto total aumenta en 13888 unidades ¿Hallar la suma de cifras del multiplicador? Rpta. 7. Aplicación 2: El producto de dos factores es 74495, si se aumenta en 23 unidades al multiplicador, el producto total aumenta en 5405 ¿Hallar la suma de cifras del multiplicador? Rpta. 11. Potenciación. Es una operación matemática que consiste en multiplicar un número por sí mismo varias veces. an = a x a x a x .………a = P Elementos de la potenciación, donde: a: es la base n: es el exponente P: es la potencia perfecta de grado n. “n” veces a Potencia de exponente cero: a0 = 1 siempre que a ≠ 0 Nota: 00 = no está definido. Ejercicio mental: Resolver las siguientes operaciones mentalmente. 23 = ….. 34 = ….. 112 = ….. 162 = ….. 33 = ….. 54 = ….. 122 = ….. 172 = ….. 43 = ….. 25 = ….. 132 = ….. 182 = ….. 53 = ….. (14+17)0 = ….. 142 = ….. 192 = ….. = ….. 2 = ….. 2 4 = ….. 0 (2X3 – 6) = …. 15 2 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 20 11 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 1.3.4. División. Definición. Dados dos números naturales a y b ≠ 0, se llama cociente de a y b, se denota a , al número natural c, si existe, tal que a = b.c. b Se denomina “división” a la operación que hace corresponder a ciertos pares de números naturales (a; b) su cociente Elementos de una división: a . b Divisor (d) Dividendo (D) Dividir 104 entre 11 104 11 99 9 Cociente (q) 5 Residuo (r) Además: 104 = 11. (9) + 5 Algoritmo de la división Clases de división: Exacta (residuo = 0). 28 0 7 4 D 0 28 = 7. (4) d q D = d.q Inexacta (residuo ≠ 0). Defecto: Residuo por defecto 75 9 75 = 11.(6) + En donde : 9 + r(defecto) Exceso: 11 6 75 2 Residuo por exceso 9 11 7 75 = 11.(7) - 2 = + r(exceso) 2 11 = divisor ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 12 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 En general: Exceso: Defecto: D r d q D r* D = d.(q) + r d q+1 D = d.(q + 1) - r* Propiedades de la división: Si: r = 0, la división es exacta. Algoritmo de la división: Residuo máximo : D r(máx) Residuo mínimo : r(defecto) = = d. (q) + r (d - 1) r(min) = 1 + r(exceso) = divisor residuo < divisor Si se multiplica o divide el DIVIDENDO (D) y el DIVISOR (d) por un mismo número natural distinto de cero, el COCIENTE NO SE ALTERA, pero el RESIDUO queda MULTIPLICADO o DIVIDIDO por dicho número natural. D r d q D.k r.k d.k q Aplicación 1: El cociente de una división inexacta es 61, se suman 800 unidades al dividendo y se repite la división, siendo el cociente 50 más que el anterior y sin alterar el residuo ¿Cuál es el divisor de la división? Rpta.: 16 Aplicación 2: El cociente de una división inexacta es 63, se suman 750 unidades al dividendo y se repite la división, siendo el cociente 6 más que el anterior y el residuo disminuye en 42. ¿Hallar la suma de las cifras del divisor? Rpta: 6 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 13 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 1.3.5. Radicación. Es una operación matemática inversa a la potenciación que consiste en que dados dos números llamados índice y radicando se calcula un tercer número llamado raíz, donde este último elevado al índice reproduzca el radicando. Así se tiene: n K R Rn K TÉRMINOS DE LA RADICACIÓN Resolver los siguientes ejercicios: 64 3 8 4 16 81 3 64 4 81 3 27000 144 3 125 4 625 4 810000 169 3 1000 4 1012 3 8 27 1600 1.3.6. OPERACIONES COMBINADAS. Para resolver operaciones combinadas, se resuelven teniendo en cuenta los signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves, etc.) Ejemplo: 8 3 3 3 6 = 5 3 3 6 = 15 3 6 = = 18 6 3 Si una operación combinada no tiene signos de agrupación se resolverá en el siguiente orden : ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 14 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 o Primero: o Segundo: La potenciación o radicación. La multiplicación o división (en el orden en que aparecen) “de izquierda a derecha” Adición o Sustracción. o Tercero: Ejemplo: 32 : 8 + 6 x 5 4 + Observar, con atención, las operaciones indicadas. Fueron efectuados: la división (32:8) y multiplicación (6 x 5). Finalmente, fue efectuada la suma (4 + 30). = 30 = 34 = la Resolver la expresión: 45 x 5 + 36 ÷ 6 - 8 x 0 = La respuesta debe haber sido 231; sino, corregir lo que hizo. No olvidar que cero veces cualquier numeral es cero. 7 + 3 x (40 – 9 x 4 ) – 23 = = 7 + 3 x ( 40 – 36 ) =7 + 3 x =7 +3 x =7 + 12 = 19 = 11 4 4 – Observar paréntesis. Fue efectuada la multiplicación contenida en los paréntesis (9 x4). También fue hecha la resta: (40 – 36) 3 Fue efectuada la potencia 2 . – 23 = – 23 = – 8 = – 8 = 8 = Fue realizada la multiplicación: (3 x 4) Se realizó la suma ( 7 + 12 ) Finalmente, fue hecha la resta: (19 – 8) EJERCICOS Resolver las siguientes operaciones combinadas: OPERACIÓN COMBINADA RESPUESTA ( 70 – 8 x 4 ) x 3 – 32 + 35 : 7 = 6 x 8 + 13 - 9 = 250 x 2 + 32 + 4 x 5 – 6 + 73 = 12 x 2 2 + 3 2 x 4 2 + 5 2 = ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 15 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 PROBLEMAS SOBRE CORTES Y ESTACAS. partes Longitud Total Longitud unitaria Ejemplo: Se tiene un rollo de alambre que mide 100 m ¿Cuántos pedazos de alambre de 5 m se podrán obtener? Nº de pedazos 100 m 20 pedazos de 5 m c/u 5m Número de cortes LÍNEA ABIERTA Nº cortes = LÍNEA CERRADA Longitud total 1 Longitud unitaria Nº cortes = Longitud total Longitud unitaria Número de estacas Nº estacas = Longitud total 1 Longitud unitaria Nº estacas = Longitud total Longitud unitaria Ejemplo (LINEA ABIERTA): 1. ¿Cuántos árboles podrán plantarse en una avenida de 200 m de longitud, si cada árbol están separados 50 m? Nº árboles = (estacas) 50 m 50 m 50 m 50 m 200 1 50 = 4 + 1 = 5 árboles 200 m 2. Se tiene una soga de 200 m de longitud ¿cuántos cortes serán necesarios realizar para obtener trozos de 50 m? CORTES 50 m 1º 50 m 2º 50 m Nº cortes 3º 50 m = 200 1 50 = 4 - 1 = 3 cortes 200 m ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 16 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 Ejemplo (LINEA CERRADA): 1. ¿Cuántos árboles podrán plantarse alrededor de un parque cuyo perímetro es 200 m y los árboles deben estar separados 50 m? Perímetro = 200 m (Longitud total) 50 m 50 m Nº de árboles = (estacas) 50 m 50 m 200 = 4 árboles 50 2. Se tiene un anillo metálico de 20 m de longitud ¿cuántos cortes serán necesarios realizar, para obtener trozos de 5 m? 2º 5m 5m Nº de cortes = 3º 1º 5m 20 = 4 cortes 5 5m cortes 4º LÍNEA ABIERTA Número de = Número - 1 Cortes de partes Número de = Número espacios de puntos - 1 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 17 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 PROBLEMAS: 1. Una barra de acero de 196” de longitud se divide en trozos de 1”, en donde cada corte pierde 1 64 a) 193 ”. ¿Cuántos trozos se obtiene? b) 235 c) 195 2. Dividir una barra de Hierro 10 d) 425 e) 194 1" en 5 partes iguales perdiendo en cada corte 8 1 “¿Qué longitud tendrá cada parte? 32 a) 3” b) 5” c) 2” d) 4” e) 1” 3. Dividir una barra de bronce de 120m en trozos iguales de 35 cm., perdiendo en cada corte de 0,05m ¿Cuántos trozos se obtiene y cuánto material sobra? a) 342; 30cm b) 142; 30cm c) 342; 20cm d) 352; 30cm e) 12; 30cm 1" en trozos iguales de 2”, se pierde en cada 8 ”. ¿Cuántos cortes se obtiene? 4. Dividir una barra de cobre 10 corte 1 32 a) 3 1.4. b) 5 c) 2 d) 4 e) 1 PLANTEO DE ECUACIONES. Planteo de una ecuación es TRADUCIR el lenguaje común a lenguaje matemático, por ello es que debe detenerse a reflexionar sobre algunos aspectos de este lenguaje. El Lenguaje matemático es un lenguaje universal. Es además, un lenguaje conciso, preciso, con reglas que no sufren excepciones. El lenguaje matemático está conformado por diversos símbolos. A través de la combinación de estos se puede representar diversidad de situaciones SUSCEPTIBLES de ser representados matemáticamente; esto quiere decir que no todo aquello que pasa diariamente puede ser representado en forma matemática. Por ejemplo, la expresión: Esmeralda está alegre, no puede representarse de la manera mencionada; en cambio la expresión: El dinero de Esmeralda es la cuarta parte de lo que posee Johana, sí es susceptible de ser representado matemáticamente. En resumen: el lenguaje matemático es para ser usado fundamentalmente en todo aquello que sea MEDIBLE y CUANTIFICABLE. ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 18 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 Ejemplo: ¿Cuál es el precio de un Kg. de cobre, si al multiplicarlo por cuatro, añadirle 18, y dividir dicha suma entre 19 se obtiene 2 como resultado? x ¿Cuál es el precio de un Kg. de cobre? 4x si al multiplicarlo por cuatro 4x + 18 añadirle 18 4 x 18 19 4x 18 19 4 x 18 2 19 y dividir dicha suma entre 19 se obtiene 2 como resultado? Resolviendo la ecuación: 4 x 18 2 19 4 x 18 2.(19) 4 x 38 18 4 x 20 x5 TEORÍA ADICIONAL: Operaciones fundamentales con fracciones: a. Conversión de un número mixto a Fracción: E N ED N D D = b. Suma de Fracciones: x p r t M q p M s r M u t q s u M MCM q, s, u ÷ c. Número natural. d. Ejemplos: 2 y 5 son números naturales. ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 19 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 Pero para problemas, ejercicios el alumno debe recordar que elementos y/o partes tiene el número natural, porque las computadoras cuando hacen las operaciones de sumar y restar, multiplicar y dividir tienen en consideración. Se completa con ceros la parte decimal Ejemplo 1 Exponente +1 Parte variable Signo + + 2+1,000 x a0 El denominador es +1 +1 Ejemplo 2 + 5+1,000 x b0 =2 La coma divide la parte entera de la parte decimal. =5 +1 NOTA. Si se da cuenta; que es útil saber que un número natural tiene todas estas partes o elementos; potencia +1, signo positivo, la coma a la derecha que representa el número decimal, puede estar dividido entre el valor UNO positivo, a la derecha de la coma redondear con CEROS y al último parte variable elevado a la potencia CERO que equivale a uno. En esta época, siglo 21, aún las computadoras lo ven así para poder operar sumas, restas, multiplicar y/o dividir. e. Reducción de fracción de fracciones : a b ad c bc d Ejemplos: 3 3 3 1 1 1 a. 4 4 6 6 46 4 2 8 1 c. Es importante esta teoría base para hacer las 4 operaciones de fracciones. ( ,,, ) b. 3 3 1 3 6 9 1 4 4,5 4 4 1 4 2 2 6 6 3 2 3 20 15 7 1 7,5 4 2 4 2 2 20 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 20 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 Problemas que tengan relación Parte – Todo: Qué Fracción o Qué Parte Cantidad de partes iguales que se han tomado. f = Cantidad de partes iguales en que se han dividido a la unidad Ejemplos: Son fundamentales; por el ORDEN de las palabras? *¿Qué parte de 27 es 9? 9 / 27 <> 1 / 3 *¿Qué fracción de b es c? c/b *¿M representa que fracción de N? M/N *¿Q que fracción representa respecto de P? Q/P *¿Qué fracción es 24 respecto de 60? 24 / 60 *¿Qué fracción es “a” respecto de “b”? a / b *¿Qué fracción de “b” respecto de “a”? b / a *¿Qué parte de representa 11 de 33? 11 / 32 <> 2 / 5 <> 1 / 3 ENUNCIADOS VS EXPRESIÓN MATEMÁTICA: Enunciados Forma verbal 1) La suma de 2 números consecutivos más 3. 2) Yo tengo 20 más que tú Lo que tengo = 20 más lo que tú tienes 3) A es el doble de B Expresión Matemática Forma Simbólica x x 1 3 Yo: 20 + x Tu: x A = 2B A = 2K A es 2 veces B B=K B es la mitad de A A tiene una vez más de lo que posee B B = K ; A = 2K ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 21 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 4) 5) A es 2 veces más que B ó A es 2 veces mayor que B A = 3B A = 3X B=X A es a B como 3 es a 5 ó La relación entre A y B es 3/5 ó A 3 B 5 A = 3k A y B están en la razón de 3 a 5 ó B = 5k A es a 3 como B es a 5 6) El cuadrado de la suma de 2 números x y 2 7) La suma de los cuadrados de 2 números x2 y 2 8) El cuádruplo de lo que tengo, aumentado en 20 Tengo : y 9) El cuádruplo, de lo que tengo aumentado en 20 Tengo : y 4 y 20 4 y 20 A B 4 A x4 10) A excede a B en 4 ó A es mayor que B en 4 ó El exceso de A sobre B es 4 Bx 11) Tres menos 2 veces un número X 3 2x 12) Tres menos de 2 veces un número X 2x 3 13) El producto de 5 números consecutivos es m. xx 1x 2x 4 m ó a 2a 1aa 1a 2 m R 3 A 4 14) Por cada 3 fichas rojas tengo 4 fichas azules. R 3k ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO ; A 4k 22 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 1.4.1. ECUACIONES DE 1ER GRADO. Ecuación: La ecuación es una igualdad de dos expresiones algebraicas que se verifica o satisface sólo para determinados valores de sus incógnitas. Propiedades de las ecuaciones: 1. Si se suma o resta a los dos miembros de una ecuación una cantidad constante, la ecuación que se obtiene es EQUIVALENTE a la primera. 2. Si se multiplica o divide a los dos miembros de una ecuación por una cantidad constante diferente de cero, la ecuación que se obtiene es EQUIVALENTE a la primera. Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación: 2X + 3X + 20 = 140 – 1X Solución: 2X + 3X + 20 = 140 – 1X 2X + 3X + 1X = 140 – 20 6X = 120 X = 120 / 6 X = 20 Ejemplos de aplicación: Resolver las siguientes ecuaciones mostrando el procedimiento: 1. 4 x 1 x 4 2. 40 x 97 120 x 63 3. 3( x 1) 4(2 x 1) 5( x 5) 2( x 3) 4. 1 x 1 x 2 2 5. 1 2 3 x x 4 5 4 2 6. x2 x2 2 6 3 5 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 23 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 7. 1 1 ( x 1) 2 (2 x 1) 2 2 3 8. 2 x 4 5 x 5 x 3 7 9. 1 3 x 5 2 x 6 x 4 2 2 3 x 1 30 3 10. 13 3x 2 4 11 6 2 x 2 1 PROBLEMAS DE APLICACIÓN: Los problemas que aquí se plantean son resolubles a través de ecuaciones de primer grado. Es importante leer el problema 2 o 3 veces hasta comprenderlo, hacer el planteamiento y resolver. 1. Los alumnos del ciclo de Estudios Generales contrataron un autobús para seguir a su equipo de fútbol. Si el autobús se hubiera llenado, cada uno habría pagado S/. 9.00; pero quedaron 12 asientos vacíos y el viaje costó S/. 13.00 ¿Cuántos asientos tenía el autobús? 2. La suma de tres números pares consecutivos es 60. Hallar esos números. 3. Un ciclista sale por una carretera a 25 Km./h. 30 minutos después sale otro en su persecución a una velocidad de 30 Km./h. ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzarle? Comprobando respuestas: 1. El autobús tenía 39 asientos. 2. Los números son 18, 20 y 22. 3. El ciclista tardará 2h y 30 minutos. ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 24 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 SISTEMAS DE ECUACIONES. En matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas. Una solución para el sistema debe proporcionar un valor para cada incógnita, de manera que en ninguna de las ecuaciones del sistema se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que se reemplaza en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN. Método de Sustitución: El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor. En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la se ha despejado. En ese instante, se tendrá un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en la que se podrá seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, suponiendo que se quiere resolver por sustitución este sistema: En la primera ecuación, se selecciona la incógnita por ser la de menor coeficiente y que posiblemente facilite más las operaciones, y se despeja, obteniendo la siguiente ecuación: El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la . ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 25 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 Al resolver la ecuación se obtiene el resultado , y si ahora se substituye esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales se obtendrá con lo que el sistema queda ya resuelto. , Método de Igualación. El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones. Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si se despeja la incógnita en ambas ecuaciones queda de la siguiente manera: Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que se puede afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí. Llegados a este punto, la ecuación resultante es resoluble y se puede obtener el valor de la incógnita x, y a partir de aquí, sustituyendo dicho valor en una de las ecuaciones originales, obtener el valor de la y, que además ya se encuentra despejada. Método de Reducción. Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que se obtengan dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple. ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 26 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 Por ejemplo, en el sistema no se tiene más que multiplicar la primera ecuación por incógnita . Al multiplicar, dicha ecuación queda así: para poder cancelar la Si se suma esta ecuación a la segunda del sistema original, se obtiene una nueva ecuación donde la incógnita ha sido reducida y que, en este caso, da directamente el valor de la incógnita : -4x - 6y = -10 5x + 6y = x 4 + = -6 El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita en cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que 17 el valor de es igual a . 3 Ejercicios de Aplicación: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones empleando los tres métodos. 1) 3) 5) 7) x 2 y 15 x 2 y 5 a 14 5b 2a 3b 11 x 5 3y 7 x 39 9 y 7 y x 2x 1 25 2 y x 7 y 1 32 2) 4) 6) 8) x y 4 3 x 4 y 68 7 m 2n 34 0 5m 3n 11 0 ( x 2 y ) (2 x y ) 8 x 1 y 2 x 1 3x 4 y 72 x y 10,5 14 x 3 y 4 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 27 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 1.4.2. ECUACIONES DE 2DO GRADO. Una ecuación de segundo grado es aquella que puede reducirse a la forma. ax 2 bx c 0 . Donde no se anula a Si se observan los coeficientes b y c, se pueden clasificar en incompletas si se anula b o c, o completas si no se anula ninguno de los coeficientes. Número de soluciones: Solucionar una ecuación de segundo grado consiste en averiguar qué valor o valores al ser sustituidos por la indeterminada convierten la ecuación en una identidad. Se denomina discriminante b 4ac , en función del signo del discriminante se conocerá el número de soluciones de la ecuación, así: 2 Si el discriminante es menor que 0 la ecuación no tiene solución. Si el discriminante es 0 hay una solución. Si el discriminante es mayor que 0 hay dos soluciones. Ejemplo de Aplicación 1: ¿Cuántas raíces tiene la ecuación 8x2 9 x 8 0 ? a) Ninguna solución c) Dos soluciones: x1 = b) Una solución: x = ; x2 = Resolución de una ecuación de segundo grado cuando b=0. Si b=0 la ecuación queda ax2+c=0, despejando se llega: Ejemplos: ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 28 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 Ejemplo de Aplicación 1: La ecuación x 9 0 2 a) No tiene solución c) Tiene dos soluciones b) Tiene una solución x1 = ; x = x2 = Resolución de una ecuación de segundo grado cuando c=0. Si c=0 la ecuación queda ax2+bx=0. Sacando factor común se tiene que x(ax+b)=0 de donde se deduce que x=0; ax + b = 0 por lo que ax=-b ; x=-b/a. Las soluciones son x1=0 y x2=-b/a. Conclusión: Las ecuaciones de este tipo siempre tienen solución y una de las soluciones es x=0 Ejemplo: Ejemplo de Aplicación 1: Resolver la ecuación Soluciones x1= x2= Ecuación de segundo grado completa. Una ecuación de segundo grado se dice completa si a , b y c son todos no nulos. Para resolver estas ecuaciones se aplica la fórmula: ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 29 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 Ejemplo: Ejemplo de Aplicación 1: La ecuación a) No tiene solución x2 6x 9 0 b) Tiene una solución c) Tiene dos soluciones x1 = ; x = x2 = PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE ECUACIONES DE 2DO GRADO. 1. Determinar los lados de un rectángulo, sabiendo que su perímetro es 70 m y su área es 286m2. El lado mayor mide m y el menor m 2. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la edad del padre será el doble que la de su hijo. ¿Qué edad tienen el padre y el hijo? La edad del padre es años y la del hijo años 3. Un deportista caminó 40 km en un cierto número de horas. Si hubiese caminado 3 km más por hora habría tardado 3 hora menos en recorrer la misma distancia. ¿Cuántas horas ha estado caminando? El deportista ha caminado horas 4. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 35 años la edad del padre será el doble que la de su hijo. ¿Qué edad tienen el padre y el hijo? La edad del padre es años y la del hijo ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO años 30 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 5. Una persona compró cierto número de objetos por 360 euros. Podría haber comprado 3 objetos más, si cada uno hubiese costado 4 euros menos. ¿Cuántos objetos compró?¿Cuánto costó cada objeto? Compró objetos a un precio de euros 6. Determinar los lados de un rectángulo, sabiendo que su perímetro es 50 m y su área es 144m2. El lado mayor mide m y el menor m Comprobando respuestas: 1) El lado mayor mide 22 m y el lado menor mide 13 m 2) La edad del padre es 36 años y la del hijo 6 años 3) Ha estado caminando 8 horas 4) La edad del padre es 49 años y la del hijo 7 años 5) 15 objetos y cada uno costo 24 euros 6) El lado mayor mide 16 m y el lado menor 9 m Resolver: 1. José compró una maquina por S/. 250, una sierra circular por S/. 198, y un par de calculadoras por S/. 320. ¿Con cuánto se queda si tenía S/ 1 000?. Rpta. S/. 232 2. Se gastó S/. 58 en cuadernos y S/ .135 en libros ¿Cuánto tenía si aún se tiene el doble de la cantidad que se gastó? Rpta. S/. 579 3. En un almacén hay dos docenas y media de cajas rojas y dos decenas y media de cajas blancas ¿Cuántas cajas rojas hay demás? Rpta. 5 cajas 4. Luís compró una computadora en S/. 5 150, dando una cuota inicial de S/. 830 y el resto en 8 letras de cambio iguales. ¿Cuál es el valor de cada letra? Rpta. S/. 540 5. Mi padre cumplió 48 años en 1970. ¿En qué año nació? Rpta. 1922 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 31 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 6. En una división el cociente es de 17, el resto es 8 y el divisor es el triple del residuo. ¿Cuál es el dividendo? Rpta. 416 7. Si una docena de cuadernos cuesta S/. 177. ¿Cuántos cuadernos se podrán comprar con S/ 78? Rpta. 8 cuadernos 8. Se dio un cheque de S/. 200, para pagar 9 metros de alambre, se recibió de vuelto S/ 20. ¿Cuánto se pagó por el metro de alambre? Rpta. S/. 20 9. María compró 20 docenas de bombones, para repartir igualmente entre los 75 alumnos del jardín de la infancia, de su colegio. ¿Cuántos bombones recibió cada uno si aún sobran 15 bombones? Rpta. 3 bombones 10. Con S/. 2 340 se podrán comprar 4 casacas ó 9 camisas. ¿Cuál es la diferencia de precio entre una casaca y una camisa ? Rpta. S/. 325 11. Un tarugo de 300 milímetros fue cortado en 2 pedazos .Si uno de los pedazos tenía 128 milímetros, ¿Cuánto medía el otro? (Se desprecia la pérdida de corte). Rpta. 172 mm 12. Un aprendiz hizo 58 tornillos en una semana y 49 tornillos en otra, en total, 29 estaban con defecto ¿Cuántos tornillos perfectos entregados al final? Rpta. 78 tornillos 13. En cierta fábrica hay 10 máquinas .Cada Máquina produce 30 piezas por hora. ¿Cuál es la producción de esa fábrica en 8 horas? Rpta. 2 400 piezas 14. El divisor y el residuo de una división son respectivamente 48 y 36. Si se multiplica al dividendo por 25 y se efectúa nuevamente la división, el ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 32 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 cociente queda multiplicado por 26 y el resido no se altera. ¿Cuál fue el dividendo inicial? Rpta. 900 PROBLEMAS RESUELTOS 1) Si reparto mis S/. 250 entre mis hijos, sólo me queda S/. 2; pero si accidentalmente 4 de ellos desapareciesen, me sobraría S/. 126; ¿Cuántos hijos tengo? A) 10 2) B) 48 C) 24 D) 12 E) 192 B)90 C)72 D)84 E)108 B)6 000 m C)5 800 m D)3 800 m E)4 500m En una compra un cliente se equivoca al pagar y abona S/.24 más de lo que debía, costándole así cada artículo S/.2 más de lo normal. ¿Cuántos artículos compró? A)10 6) E)8 Un tren eléctrico de 200 m de largo , demora 2 segundos en pasar frente a una persona y 1 minuto en pasar por un túnel. Hallar la longitud del túnel. A)5 000 m 5) D)4 Andrés sube hasta el 5° piso de un edificio, luego baja al 2° y vuelve a subir al 4° piso .Si entre piso y piso las escaleras tienen 12 peldaños ¿Cuántos peldaños ha subido en total Andrés? A)60 4) C)6 Un número es tantas veces 8 como el doble de las veces que 144 contiene a dicho número. Calcular el doble del número. A) 96 3) B)1 B)8 C)12 D)16 E)20 Un tren de 200 m de longitud viaja a 50m/s .¿Cuánto demora en pasar un túnel de 500 m? A)35 s B)14 s C)10 s D)16 s ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO E)12 s 33 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 7) En una jaula donde hay conejos y gallinas pueden contarse 132 cabezas y 420 patas. ¿Cuántos animales hay de cada clase? A)10 y 25 8) B)54 y 78 C)98 y 34 D)13 y 22 E)200 y 32 Un obrero, gana diariamente S/.5 más que otro. Después de trabajar cada uno el mismo número de días , el primero recibe S/.143 y el segundo S/.88.¿Cuánto gana por cada día el obrero peor pagado? A)S/.11 9) B)S/13 C)S/.5 D)S/.12 E)S/.8 Se tiene un montón de 84 monedas de 10 g cada una y otro de 54 monedas de 25 g cada una. Halle el número de monedas que debe intercambiarse (el mismo número) para que ambos montones adquieran el mismo peso. A)14 B)15 C)16 D)17 E)18 10) ¿Cuál es el mayor número del cual , al dividirlo entre 83 , se obtiene como residuo un número que es el triple del cociente contenido? Dar como respuesta la suma de cifras de dicho número. A)9 B)10 C)8 D)7 E)6 SOLUCIÓN 1) C/U : S/ .x Sobrarían: S/.x + S/.x + S/.x + S/.x + 2 = 126 4x 2 126 x 31 250 2 Clave: E N º de hijos 8 31 2) Sea “ x” el numero , entonces : x 144 2 x 2 2 304 8 x x 48 El doble del número es : 2(48) 96 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO Clave: A 34 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 3) * Cuando asciende al 5to piso sube: 12 x 4 = 48 peldaños * Cuando desciende hasta el 2do piso baja: 12 x 4 = 36 peldaños * Cuando asciende hasta el 4to piso sube: 12 x 2 = 24 peldaños * Finalmente, lo que ha subido en total será: 48 + 24 = 72 peldaños 4) Clave: C 200 2s 60s x 200 600 X 5 800 m 5) Sea a x Costo por cada artículo Clave: C n : lo que debía pagar Nº de artículos Luego a x n + 24, lo que pagó. a n 24 lo que costó cada artículo n an 24 a 2 n 12 n n Compro 12 artículos Clave: C 6) túnel + tren = para que pase por el túnel 500 + 200 =700 t 700 m 14 s 50 m s Clave: B 7) Nº de cabezas = 132 Suponiendo que los 132 son conejos 132 x4 528 patas Se observa un exceso de patas de 108 108 2 54 veces , para convertir ese exceso en gallinas Finalmente: Número de gallinas: 54 Número de conejos: 132 – 54 = 78 Clave: B ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 35 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 8) 1er obrero = S/.143 recibe S/.55 más que el 2do 2do obrero = S/. 88 Nº de días trabajados será: S/.55 S/.5 = 11 1er obrero = S/.143 11 = S/.13 2do obrero = S/. 88 11 = S/.8 Clave: E 9) Peso 1er montón = 84(10) = 840 g Peso 2do montón = 54(25) = 1 350 g Peso total = 840 + 1 350 = 2 190 g Al intercambiar el mismo número de monedas, cada montón debe pesar: 2190 2 = 1095g Una moneda del 2do montón aumenta al 1er montón en: 25 – 10 = 15g Luego, para que aumente: 1095- 840 = 255g Se debe intercambiar: 255 15 = 17 monedas Clave: D 10) Sea N el número, entonces: N 3q 83 q N 83q 3q 3q 83 N 86 q q 27,6 El mayor número N se obtiene para " q " 27 N 86 x27 N = 2322 Suma de cifras 2 3 2 2 9 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO Clave: A 36 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I TRANSPOSICIÓN DE ECUACIONES I. Ejercicios: 1. Resolver x: a) 6 + x = 18 b) 18 - x = 14 c) x - 6 = 24 d) e) f) b d x + x = 18 - x = 14 - 3 = 24 g) h) i) b + x=a d - x= c x -e = a 2. a) 14 = 7 + x b) 10 = x + 14 c) 1 = 6 - x 3. d) e) f) m =7 + x r = x+4 z = 6-x g) h) i) m=k + x r=x+v z=1-x R1 = R – R2 C2 = C – C 2 t = t1 + t2 Resolver cada una de las letras: a) a + b = c b) k - d = v c) 1 + m = - d d) e) f) l1 + l 2 = L g1 + g2 = G F1 + F 2 = F3 g) h) i) a) a + b = 86 b) c - t = - 65 c) F - G = 80 d) e) f) 684 - G = 65 + K 456 + H = Z - 65 W - 45 = 32 + 14 g) h) i) 4. -24 + F = 36 + x V – 18 = - 42 + L -16 + W = Z + 36 5. Un cuarto tiene una longitud de 4,25 m. Otro cuarto es 1,12 m. más corto. ¿Qué longitud tiene éste? 6. Los tres lados de un triangulo tiene una longitud total de 318 mm. Calcular la base cuando los otros dos lados tienen una longitud de 114 mm y 62 mm respectivamente. 7. Antes de comenzar un viaje, el cuentakilómetros de un automóvil marca 312,4 km. Terminado el viaje indica 618,7 km. ¿Cuántos kilómetros se ha viajado? ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 37 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 .TRANSPOSICIÓN DE ECUACIONES II. 1. Resolver x: a) b) c) d) 3x = 24 9x = 36 56 = 7x 3x = A e) f) g) h) 9x = F 56 = F . x b . x = A p . x =F 2. a) 0,3 x = 3 4 b) 9x = 36 4 c) 51 = 17x 3 d) 0,2 x = A e) f) g) h) 9x = R 4 51 = G . x L B . x=A Q. x =R 4 3. Hay que cortar un hierro plano de 1,85m de longitud en una relación de 2:3. Calcular las longitudes parciales. 4. La altura de una tuerca hexagonal es de 28,8 mm. Esta dimensión es 8/10 del diámetro del tornillo. ¿Qué tamaño tiene el diámetro? 5. Un trecho es 12 m más largo que otro; la suma de ambos es de 48m ¿Cuál es la longitud de los trechos? ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 38 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 PROBLEMAS DE REFUERZO NIVEL II 1. La suma del dividendo y el divisor de una división inexacta es 31 veces el resto, y la diferencia de los mismos es 21 veces dicho resto. ¿Cuál es el cociente de dicha división? A)26 B)15 C)5 D)10 E)20 2. El cociente de una división inexacta es 61 .Se suman 800 unidades al dividendo y se repite la división , siendo el cociente 50 más que el anterior y sin alterarse el residuo ¿Cuál es el divisor de la división? A) 16 B) 20 C) 24 D) 30 E) 32 3. Un señor quiso dar limosna a un grupo de ancianos , si les daba S/.5 a cada uno , le faltaría S/.30,si les daba S/.3 a cada uno , le sobraría S/.70.¿Con cuánto de dinero contaba esa persona? A) S/. 200 B) S/. 220 C) S/. 250 D) S/. 280 E) S/. 310 4. Entre cierto número de personas compran una computadora que cuesta S/.1200. El dinero que paga cada persona excede en 194 al número de personas .¿Cuántos participaron en la compra? A) 18 B) 36 C) 6 D) 12 E) 20 5. Un padre compra entradas para sus hijos, si paga las entradas de 14 soles le falta para tres de ellos , pero si paga las de 7 soles le alcanza para todos y le sobra 14 soles .¿Cuántos hijos tiene? A)5 B)6 C)7 D) 8 E)9 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 39 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 6. Calcular : 116 32 10 5 x100 25 4 x8 A)2 B)3 C)4 D)8 E)10 7. El producto de 2 factores es 29 016; si se aumenta 112 unidades al multiplicando, el producto total aumenta en 13 888 unidades Hallar la suma de cifras del multiplicador. A)5 B)6 C)7 D)10 E)11 8. Hallar la suma de las cifras del producto abc x 27 .Si los productos parciales suman 4 851. A)18 B)20 C) 22 D) 23 E)24 9. El cociente de dos números es 45,su resta es 3 435 y el residuo de su división es 3 ,Calcular la suma de los dígitos de los dos números . A) 20 B)23 C)25 D)27 E)29 10. Si la diferencia entre el dividendo y el residuo de una división es 3 510.Calcular el divisor si el cociente es 45. A)45 B)65 C)68 D)47 E)78 11. La suma del dividendo y el divisor de una división inexacta es 31 veces el resto, y la diferencia de los mismos es 21 veces dicho resto. ¿Cuál es el cociente de dicha división? A)26 B)15 C)5 D)10 E)20 12. El cociente de una división inexacta es 61 .Se suman 800 unidades al dividendo y se repite la división , siendo el cociente 50 mas que el anterior y sin alterarse el residuo ¿Cuál es el divisor de la división? A) 16 B) 20 C) 24 D) 30 E) 32 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 40 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 13. Un señor quiso dar limosna a un grupo de ancianos , si les daba S/.5 a cada uno , le faltaría S/.30,si les daba S/.3 a cada uno , le sobraría S/.70.¿Con cuánto de dinero contaba esa persona? A) S/.200 B) S/.220 C) S/.250 D) S/.280 E) S/.310 14. Entre cierto número de personas compran una computadora que cuesta S/.1200.El dinero que paga cada persona excede en 194 al número de personas .¿Cuántas personas participaron en la compra? A) 18 B) 36 C) 6 D) 12 E) 20 15. Un padre compra entradas para sus hijos, si paga las entradas de 14 soles le falta para tres de ellos , pero si paga las de 7 soles le alcanza para todos y le sobra 14 soles .¿Cuántos hijos tiene? A)5 B)6 C)7 D) 8 E)9 16. Esmeralda gasta cada día la mitad de lo que tiene , más 2 soles .Si luego de cuatro días se quedó sin dinero. ¿Cuánto tenia al inicio? A) S/. 30 B) S/. 28 C) S/. 60 D) S/. 40 E) S/. 50 17. Un recipiente lleno de vino cuesta S/ 700, si se saca 80 litros, vale solamente S/140. ¿Cuál es la capacidad del recipiente? A) 1 401 B) 1 081 C) 1 001 E) 2 001 18. Un espectáculo público cubre sus gastos con las entradas de 30 adultos más 70 niños o de 42 adultos más 18 niños. Si entraron solo niños .¿Con cuántas entradas cubrirá sus gastos? A)216 B) 200 C)160 D)178 E)232 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 41 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 19. En SENATI existe un santo que hace el milagro de duplicar el dinero; pero con la condición que deje 8 soles de limosna .Si al cabo de 3 milagros Rossmery salió sin dinero .¿Cuánto dinero tuvo al ingresar? A) S/.8 B) S/.9 C) S/.7 D) S/.14 E) S/.10 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 42 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 UNIDAD 02 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO. 43 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 2. NÚMEROS ENTEROS. Los números enteros se pueden clasificar en: Números enteros negativos Z - = ...... 3;2;1 El cero y Números enteros positivos Z+ = 1;2;3;4;......... 2.1. DIVISIBILIDAD. Un número entero A es divisible por otro numero entero positivo B si al dividirlos, el cociente resulta exacto. Si A 0 entonces B k “A es divisible por B ó B es un divisor de A “ además, por ser una división exacta se cumple que : A = B . k donde k es un número entero , entonces también se dice que “ A es un múltiplo de B “ Ej. 1) ¿20 es divisible por 4? * 3 es un factor de 0. * 0 es un múltiplo de 3. Sí, porque: 3) ¿- 42 es divisible por 7? 20 4 Sí es, porque: 0 5 - 42 7 0 -6 luego, se cumple que : * 20 es divisible por 4. * 4 es un divisor de 20. * 4 es un factor de 20. * 20 es un múltiplo de 4. 2) ¿0 es divisible por 3? luego, se cumple que : * - 42 es divisible por 7. * 7 es un divisor de – 42. * 7 es un factor de - 42. * - 42 es un múltiplo de 7. Sí es, porque: 0 0 3 0 luego, se cumple que : * 0 es divisible por 3. * 3 es un divisor de 0. 4) 15 no es divisible por 0. (V) (F) Verdadero, porque por definición el divisor debe ser diferente de cero. ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO. 44 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 5) 36 no es divisible por - 9 (V) (F) Verdadero, porque debe ser positivo. el divisor Ej. Hallar todos los divisores de: 8 y 18 D( 8 ) : 1 ; 2 ; 4 y 8 D( 18 ) : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 y 18 2.2. MULTIPLICIDAD. Un número entero A es múltiplo de otro número entero positivo B, si se cumple que A = B . K donde K es un número entero. Ej. Responder las siguientes preguntas. 1) ¿15 es múltiplo de 3? Sí, porque 15 = 3 5 y 5 es un número entero. 2) ¿- 12 es múltiplo de 4? Sí, porque - 12 = 4 - 3 y - 3 es un número entero. 3) ¿Cero es múltiplo de 5? Sí, porque 0 = 5 0 y 0 es un entero. 4) ¿5 es múltiplo de cero? No, porque 5 = 0 K, no hay ningún número entero que multiplicado por cero nos de 5. 5) ¿8 es múltiplo de - 2? No, porque por definición un número entero no puede ser múltiplo de un entero negativo. Si un número A es múltiplo de B, su notación será: ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO. 45 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 A = B.K donde K es un número entero múltiplo de B “. 0 ó A = B y se leerá “A es 0 Ej. 1) 20 = 5 20 = 5.K ó 0 2) 18 = 3 ó 18 = 3.K ó 0 = 2.K 0 3) 0 = 2 donde , para todos los casos K = 0;1;2;3;4;……….. Ej. Hallar los múltiplos de 3 y de 5. Eso se escribirá 3K y 5K, entonces: M ( 3 ) : 0 ; 3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; 18 ; 21 …….. M ( 5 ) : 0 ; 5 ; 10 ; 15 ; 20 ; 25 ; 30 ; ……… Relación entre un múltiplo y un divisor: Ej. Entre 24 y 6 múltiplo 24 6 divisor Ej. Entre 9 y 27. divisor 9 27 múltiplo ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO. 46 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 Cuando un número no es divisible por otro. Si un número entero A no es divisible por otro número entero positivo B , entonces , eso se puede expresar de dos maneras : 0 0 A = B + rd ó A = B - re Donde rd y re son los residuos por defecto y por exceso respectivamente de la división de A entre B, además, recordar que: rd + re = divisor Ejemplo: 1) 15 no es divisible por 2 porque 3) 26 no es divisible por 7 porque 15 2 26 7 1 7 5 3 Entonces: Entonces: 0 0 26 = 7 + 5 15 = 2 + 1 ó ó 1 + 1 = 2 5 + 2 = 7 0 0 15 = 7 - 2 15 = 2 - 1 2) 23 no es divisible por 5 porque 4) 526 no es divisible por 12 porque 23 5 520 3 4 4 Entonces: 43 Entonces: 0 0 520 = 12 + 4 23 = 5 + 3 ó 3 + 2 = 5 0 15 = 5 - 2 12 ó 4 + 8 = 12 0 520 = 12 - 8 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO. 47 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 PROPIEDADES: 1) La cantidad de divisores de un número es una cantidad limitada. 2) La cantidad de múltiplos de un número es una cantidad ilimitada. 3) El menor divisor de un número es la unidad y el mayor, el mismo número. 4) El cero es divisible por todo número entero positivo. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD. Divisibilidad por 2n. Para que un número sea divisible por 2n, las últimas “n” cifras del número debe ser divisible por 2n, o terminar en “n” ceros. Divisibilidad por 21 = 2: Para que un número sea divisible por 2, la última cifra del número debe ser divisible por 2, o terminar en un cero. Ejemplos. a) 2 064 es divisible por 2 porque la última cifra del número es 4 y 4 es divisible por 2. b) 30 650 es divisible por 2 porque su última cifra, cero, es divisible por 2. c) 357 no es divisible por 2 porque su última cifra 7 no es divisible por 2. Divisibilidad por 22 = 4: Para que un número sea divisible por 4, las dos últimas cifras del número debe ser divisible por 4, o terminar en dos ceros. Ejemplos. a) 78 124 es divisible por 4 porque las dos últimas cifras del número es 24 y 24 es divisible por 4. b) 30 600 es divisible por 4 porque sus dos últimas cifras son ceros, y cero es divisible por 4. ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO. 48 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 c) 7 518 no es divisible por 4 porque sus dos últimas cifras 18 no es divisible por 4. Divisibilidad por 23 = 8. Para que un número sea divisible por 8, las tres últimas cifras del número debe ser divisible por 8, o terminar en tres ceros. Ejemplos. a) 78 136 es divisible por 8 porque las tres últimas cifras del número es 136 y 136 es divisible por 8. b) 78 000 es divisible por 8 porque sus tres últimas cifras son ceros, y cero es divisible por 8. c) 7 222 no es divisible por 8 porque sus tres últimas cifras 222 no es divisible por 8. Divisibilidad por 5n. Para que un número sea divisible por 5n, las “n” últimas cifras del número debe de ser múltiplo de 5n, o terminar en “n” ceros. Divisibilidad por 51 = 5. Para que un número sea divisible por 5, la última cifra del número debe ser múltiplo de 5, o terminar en un cero. Ejemplos. a) 2 060 es divisible por 5 porque la última cifra del número es 0 y 0 es divisible por 5. b) 30 685 es divisible por 5 porque su última cifra es 5 y 5 es divisible por 5. c) 357 no es divisible por 5 porque su última cifra 7 no es divisible por 5, 0 además 7 = 5 + 2, entonces al dividir 357 entre 5, obtendremos como residuo 2. ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO. 49 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 Divisibilidad por 52 = 25. Para que un número sea divisible por 25, las dos últimas cifras del número debe ser múltiplo de 25, o terminar en dos ceros. Ejemplos. a) 2 700 es divisible por 25 porque las dos últimas cifras del número son ceros. b) 30 675 es divisible por 25 porque las dos últimas cifras es 75 y 75 es divisible por 25. c) 257 088 no es divisible por 25 porque sus dos últimas cifras 88 no es 0 divisible por 25, además 88 = 25 + 13, entonces al dividir 257 088 entre 25, se obtendrá como residuo 13. Divisibilidad por 3. Un número será divisible por 3 cuando la suma de las cifras del número dé un número que es divisible por 3. Ejemplos. Verificar si los siguientes números son divisibles por 3. 0 1) 2 358, 2 + 3 + 5 + 8 = 18 y 18 = 3 2) 283, 2 + 8 + 3 = 13 y 13 no es divisible por 3. por lo tanto, si es divisible por 3. 0 Además, 13 = 3 + 1 lo que significa que al dividir 283 entre 3 el residuo debe ser 1. 0 3) 57 014, 5+7+1+4 = 17 y 17 no es divisible por 3, además, 17 = 3 + 2 lo que significa que al dividir 57 014 entre 3 , se obtiene como residuo 2. Divisibilidad por 9. Un número será divisible por 9 cuando la suma de las cifras del número nos dé un número que es divisible por 9. Ejemplos. Verificar si los siguientes números son divisibles por 9. ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO. 50 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 0 9 por lo tanto, sÍ es divisible por 9. 1) 9 558, 9 + 5 + 5 + 8 = 27 y 27 = 2) 283, 2 + 8 + 3 = 13 y 13 no es divisible por 9, además 13 = 9 + 4 lo que significa que al dividir 283 entre 9 el residuo es 4. 3) 57 014, 5+7+1+4 = 17 y 17 no es divisible por 9, además, 17 = 9 + 8 lo que significa que al dividir 57 014 ÷ 9, se obtiene como residuo 8. 0 0 Divisibilidad por 7. Un numeral es divisible por 7 si al multiplicar cada una de sus cifras (de la derecha hacia la izquierda) por los valores 1; 3; 2; -1; -3; -2; 1; 3; …. y luego realizar la suma, este resulte divisible entre 7, por ejemplo (0; ±7; ±14; ±21 …) 0 abcdefg = 7 0 g + 3f + 2e – d – 3c – 2b + a = 7 1231231 + + Ejemplos. Verificar si los siguientes números son divisibles por 7 , en caso contrario hallar su residuo1). 1) 3 738 8x1 + 3x3 + 7x2 - 3x1 = 28 y 3) 99 148 8x1 + 4x3 + 1x2 - 9x1 - 9x3 = -14 0 28 = 7 , si es. 2) 35 266 6x1 + 6x3 + 2x2 - 5x1 - 3x3 = 14 y 0 14 = 7 , si es. 0 y -14 = 7 , si es . 4) 264 0 4x1 + 6x3 + 2x2 = 26 y 26 = 7 + 5 no es , y su residuo es igual a 5 Divisibilidad por 11. Para que un número sea divisible por 11, se debe de cumplir que la suma de las cifras de lugar impar menos la suma de las cifras de lugar par, nos dé un número que sea divisible por 11, por ejemplo (0; ±11; ±22; ±33;…) ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO. 51 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 Lugares pares 0 Para el número: a (g + e + c + a) – (f + d + b) = 11 b c d e f g Lugares impares Ejemplos: 1) Verificar si los siguientes números son divisibles por 11. 539 4) 0 8 074 0 9 + 5 – 3 = 11 = 11 , entonces 4 + 0 – 7 – 8 = -11 = 11 , entonces 539 es divisible por 11. 8 074 es divisible por 11. 5) 7 364 0 4 + 3 – 6 – 7 = -6 ≠ 11 , entonces 2) 5379 0 9 + 3 – 7 - 5 = 0 = 11 , entonces 5 379 es divisible por 11 7 364 no es divisible por 11 ya que al dividir 7 364 entre 11 dejará como residuo por exceso 6 y por defecto será 5 0 0 7 364 = 11 - 6 = 11 + 5 3) 381 909 6) 579 0 9 + 9 + 8 – 0 – 1 – 3 = 22 = 11 , 0 Entonces 381 909 es 11 0 9 + 5 – 7 = 7 ≠ 11 entonces 579 no es divisible por 11. El residuo por defecto es 7 y por exceso es 4. Divisibilidad por 6. Un número será divisible por 6, si es divisible por 2 y 3 a la vez. Ejemplos. a) 11 028 es divisible por 6 porque 11 028 es divisible por 2 y por 3 a la vez. b) 3152 es divisible por 2, pero no es divisible por 3, entonces no es divisible por 6. ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO. 52 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 Divisibilidad por 12. Un número será divisible por 12, si es divisible por 3 y 4 a la vez Ejemplos. a) 11 028 es divisible por 12 porque 11 028 es divisible por 4 y por 3 a la vez. b) 3152 es divisible por 4, pero no es divisible por 3, entonces no es divisible por 12. Divisibilidad por 10. Un número será divisible por 10, si su última cifra es cero. Ejemplos. a) 11 720 es divisible por 10 por que 11 720 termina en cero. b) 3102 no es divisible por 10, por que su última cifra no termina en cero. PRÁCTICA Marcar con un aspa (X), si el número N de la columna izquierda es divisible por alguno de los números de la fila horizontal superior. Número N 2 3 4 324 X X X 5 6 X 7 8 9 X 10 11 12 X 570 1 120 3 240 1 540 20 310 1 120 8 690 9 372 189 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO. 53 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 2.3. OTRA FORMA DE CLASIFICAR LOS NÚMEROS ENTEROS. Los números enteros, también se pueden clasificar según la de divisores que tenga el número como: a) cantidad NÚMEROS SIMPLES. Son aquellos que tienen uno o dos divisores como máximo. Ej. Son números simples: 1) 1, D ( 1 ) : 1 2) 5, D ( 5 ) : 1 y 5 3) 11, D ( 11 ) : 1 y 11 b) NÚMEROS PRIMOS. Son aquellos que tienen exactamente dos unidad y el mismo número. divisores, que son la Ej. 1) D( 2 ) : 1 y 2 , entonces 2 es primo. 2) D( 11 ) : 1 y 11 , entonces 11 es primo. NOTA: “El menor número primo es 2” c) NÚMEROS COMPUESTOS. Son aquellos que tienen dos o más divisores. Ej. 1) D (6): 1, 2, 3 y 6 entonces 6 es un número compuesto. 2) D (9): 1, 3 y 9 entonces 9 es un número compuesto. NÚMEROS PRIMOS MENORES A 200. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 123, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, . . . . ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO. 54 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 1) ¿Cuántos números primos hay entre 30 y 50? Están los: 31; 37; 41; 43 y 47. Hay 5. 2) ¿Cuántos números primos menores a 23 existen? Menores a 23 son : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 y 19. Hay 8. 3) La suma de todos los números primos menores a 19 es 77. (V) (F) La suma de los números primos menores a 19 es: 2+3+5+7+11+13+17 = 58 2.4. PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR SI UN NÚMERO ES PRIMO O NO. 1) Hallar la raíz cuadrada en forma aproximada del número. 2) Dividir al número entre todos los números primos menores a la raíz hallada , si todos los cocientes resultan inexactos entonces el número será primo, en caso que uno de los cocientes resulte exacto entonces el número no será primo . Ej. Verificar si 97 es primo. Paso 1 : 97 9,…. es 9 y algo más , ese algo más , no se considera y se trabaja con 9. A esto se refiere el método como “extraer la raíz cuadrada en forma aproximada “. Paso 2 : dividir a 97 entre los números primos menores a la raíz hallada : 2 ; 3 ; 5 y 7, en todos los casos , las divisiones son inexactas por lo que se concluye que 97 es primo . Ej. Verificar si 163 es primo. Paso 1 : 163 12,… es 12 y algo más, se trabaja sólo con 12. Paso 2 : divide a 163 entre todos los números primos menores a 12 , que son : 2 , 3 , 5 , 7 y 11 , en todos los casos el cociente es inexacto por lo que concluye que 163 es primo . ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO. 55 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 Ej. 91 no es primo. (V) (F) Solución: Paso 1 : 91 en forma aproximada es 9. Paso 2 : Números primos menores a 9: 2; 3; 5 y 7. 91 es divisible por 7 por lo tanto, no es primo. Ej. 247 es primo. (V) (F) Solución: Paso 1: 247 en forma aproximada es 15. Paso 2: Números primos menores a 15: 2; 3; 5; 11 y 13. 247 no es divisible por : 2 ; 3 ; 5 ; 7 y 11 pero sí es divisible por 13, entonces 247 no es primo. 2.5. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ (PESI). Dos o más números son PESI si solo tienen como único divisor común la unidad. Ej. Verificar si 4 y 9 son PESI. Solución. D (4): 1 ; 2 y 4 D (9): 1 ; 3 y 9 Como se puede observar, el único divisor común que tienen es la unidad, por lo tanto , se concluye que 4 y 9 son PESI. Ej. Verificar si 6; 14 y 25 son PESI. Solución. D (6) : 1 ; 2; 3 y 6. D (14) : 1 ; 2; 7 y 14. D (25) : 1 ; 5 y 25 Se puede observar que el único divisor común que tienen los tres números es la unidad, por lo que se concluye que los 3 números son PESI. ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO. 56 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 Ej. 15; 12 y 18 son PESI. Solución. (V) (F) D ( 15 ) : 1 ; 3 ; 5 y 15. D ( 12 ) : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 y 12. D ( 18 ) : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 y 18. Como los tres números tienen 2 divisores comunes entonces no son PESI. 2.6. DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN SUS FACTORES PRIMOS O DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA. Todo número se puede descomponer como producto de sus factores primos, elevados a exponentes que son números enteros positivos. Para un número N, descompuesto en sus factores primos, se tiene: N = Aa x Bb x Cc x Dd Donde A , B , C y D son los factores o divisores primos de N y a , b , c y d , son los exponentes de los factores primos . Ej. Descomponer en sus factores primos los números: 1) 90 2) 120 90 2 120 2 45 3 60 2 15 3 30 2 5 5 15 3 5 5 1 1 2 90 = 2 3 5 3 120 = 2 3 5 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO. 57 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 2.7. CANTIDAD DE DIVISORES DE UN NÚMERO N (CD(N)). Para hallar la cantidad de divisores de un número, se hallará la descomposición del número en sus factores primos. a b c Para la descomposición del número N = A B C D la cantidad de divisores de N será : d se cumple, que CD ( N ) = a 1b 1c 1d 1 donde: a ; b ; c y d son los exponentes de los factores primos del número. También la cantidad de divisores se puede con las siguientes fórmulas: CD = 1 + CDprimos + CDcompuestos ó CD = CDsimples + CDcompuestos Ej. ¿Cuántos divisores tiene 60? Solución. 2 Como 60 = 2 3 5 entonces CD (60) = 2 11 11 1 = 12. Ej. Hallar la cantidad de divisores de 1 008. Solución. 4 2 Como 1 008 = 2 3 7 entonces CD (1 008) = (4+1)(2+1)(1+1) = 30. SUMA DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO N (SD (N)). Dada la descomposición de un número N en sus factores primos: N = Aa Bb Cc Dd , entonces : SD (N) = A a 1 b 1 c 1 d 1 1 B 1 C 1 D 1 A 1 B 1 C 1 D 1 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO. 58 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 Ej. Hallar la suma de todos los divisores de 60. Solución. 2 Como 60 = 2 3 5 entonces 3 SD (60) = Ej. 2 2 2 1 3 1 5 1 = 7 4 6 = 168. x 2 1 3 1 5 1 Hallar la suma de todos los divisores de 504. Solución. 3 2 Como 504 = 2 3 7 entonces, 4 SD (504) = 3 2 2 1 3 1 7 1 = 15 13 7 = 1 365. 2 1 3 1 7 1 PROBLEMAS RESUELTOS. Problema 1. ¿Cuántos divisores primos tiene 700? Solución. 2 2 Descomponiendo 700 en sus factores primos se tiene que 700 = 2 5 7 y sus divisores primos serán: 2; 5 y 7 por lo que tendrá 3. Problema 2. Hallar la suma de todos los divisores primos de 644. Solución. 2 Descomponiendo en sus factores primos se tiene que 644 =2 7 23 entonces la suma de sus divisores primos será 2+7+23 = 32. Problema 3. ¿Cuántos divisores pares tiene 252? Solución. Los números pares se caracterizar por ser divisibles por 2, por lo tanto de la descomposición del número en sus factores primos, se extrae el factor 2. 2 2 2 .252 = 2 3 7 = 2 2 3 7 , entonces, CD pares = 1 12 11 1 = 12 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO. 59 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 Problema 4. ¿Cuántos divisores impares tiene 360? Solución. Como los números pares se caracterizan por ser múltiplos de 2 entonces de la descomposición de 360 en sus factores primos, se va a eliminar el factor 2 elevado a su mayor exponente , de esta manera los divisores que resulten serán divisibles por cualquier otro número , menos por 2 . 3 2 360 = 2 3 3 2 5 = 2 ( 3 5) entonces la cantidad de divisores impares será igual a la cantidad de divisores del número que está entre paréntesis . CD( 360 )impares = (2+1)(1+1) = 6 . Problema 5. ¿Cuántos divisores impares tiene 1404? 2 3 2 3 Solución. 1404 = 2 3 13 = 2 (3 13), entonces CDimpares= (3+1)(1+1)= 8. PROBLEMAS PROPUESTOS. 1. De las siguientes afirmaciones : I 3 es divisor de - 18 II - 4 es un divisor de 12 III 20 es un divisor de 5 IV 72 es un múltiplo de 9 V 4 es un múltiplo de 12 VI 8 no es múltiplo de cero ¿Cuáles son falsas? A) I, III y VI B) II, III y V C) III y V D) II y III E) III , V y VI 2. Del siguiente grupo de números : 53 ; 91 ; 187 ; 209 ; 163 y 71 ¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor número primo? A) 118 B) 134 C) 72 D)110 3. Calcular la suma de los números primos comprendidos entre 40 y 50. A)84 B)90 C)93 D)131 E)120 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO. 60 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 4. Calcular la suma de todos los divisores primos de 120. A) 3 B) 16 C) 10 D) 8 E)12 5. ¿Cuántos divisores no primos tiene 24? A) 1 B) 2 C) 8 D) 6 E) 4 2.8. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD). De un grupo de números enteros, el MCD de éstos es el mayor de los divisores comunes. Ej. Hallar el MCD de 12 y 18. D( 12 ): 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 D( 18) : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 El mayor de los divisores comunes es 6, por lo tanto, el MCD = 6. Si se hallan los divisores del MCD, D(6): 1;2;3;6 y justamente éstos son los divisores comunes de 12 y 18 , por lo tanto, los divisores comunes de un grupo de números son los divisores del MCD. Los divisores comunes de un grupo de números son los divisores del MCD de dichos números. Propiedades: 1) El MCD está contenido en los números. 2) De un grupo de números, cada uno de ellos, es un múltiplo del MCD. ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO. 61 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 2.9. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM). De un grupo de números, el MCM, es el menor de los múltiplos comunes. Ej. Hallar el MCM de 4 y 6. M ( 4 ) : 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 ; 24 ; 28 ; 32 ; 36 ;….. M ( 6 ) : 6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 ; 36 ; 42 ,…………. Se ve que de todos los múltiplos comunes , el menor de todos es 12 , por lo tanto el MCM ( 4 y 6 ) = 12 . Si se hallan los múltiplos del MCM, se tendrá, M ( 12 ) = 12 , 24 , 36 , … que justamente son los múltiplos comunes , entonces , los múltiplos comunes de un grupo de números son los múltiplos del MCM de dichos números . Métodos para calcular el MCD y MCM. 1) Por descomposición simultanea. Ej. Hallar el MCD y MCM de 18 y 24. 18 - 24 9 12 3 4 2 3 mcd = 2 3= 6 2) 18 - 24 2 9 12 3 3 4 3 1 4 4 1 1 mcm = 2 3 3 4= 72 Por descomposición de los números en sus factores primos. El MCD será igual al producto de los factores primos comunes , elevados a su menor exponente , y el MCM será igual al producto de los factores primos comunes y no comunes , elevados a su mayor exponente. Ej. Hallar el MCD y MCM de 18 y 60. Descomponiendo los números en sus factores primos, se tiene: 18 = 2x3 2 2 y 60 = 2 3 5 . Luego se aplica la propiedad. ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO. 62 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 2 2 y MCM = 2 3 5 = 180. MCD = 2x3 = 6 3) Por divisiones sucesivas. Este método sólo se aplicará para calcular el MCD de dos números. Ej. Calcular el MCD de 144 y 56. Cocientes 2 1 1 3 144 56 32 24 8 32 24 8 0 residuos MCD=8 Ej. Calcular el MCD de 480 y 572. cocientes 572 1 5 4 1 1 2 480 92 20 12 8 4 92 20 12 8 4 0 MCD = 4. residuos Propiedades. 1) El producto de dos números es igual al producto de su MCM por su MCD. Ej. Para los números 6 y 9 su MCD = 3 y su MCM = 18 entonces se cumple que 6 9 es igual que 3 x 18. 2) Si dos números son PESI, su MCD es igual a 1 y su MCM es igual al producto de dichos números . Ej. Los números 4 y 9 son PESI por lo tanto su MCD = 1 y su MCM = 4 x 9 = 36. 3) Si un número está contenido dentro de otro entonces el MCD de dichos números será el menor de los números. Ej. Para los números 12 y 48. El MCD = 12 y 12 es justamente el menor de los números. ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO. 63 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 4) Si un grupo de números es multiplicado o dividido por una cantidad entonces su MCD ó MCM también quedará multiplicado o dividido por esta misma cantidad. Ej. Para los números 8; 12 y 20 su MCD = 4 y su MCM = 120. Si a los números se dividen entre 2 se tendrá 4; 6 y 10 y su nuevo MCD será igual a 2 y su MCM = 60. 5) Si un número N es: 0 a 0 b N 0 c entonces N = mcm( a ; b ; c ) , ó si : 0 a 0 N b 0 c r r r entonces N = mcm( a ; b ; c ) r Ej. Si un número N es divisible por 2; 3 y 4 entonces ¿Por cuánto es divisible? Solución. Por propiedad, 0 0 N = MCM (2;3;4) = 12 Ej. 0 0 0 ¿Cuál es el menor número que es: 3 +2; 7 - 5 y 6 - 4? Solución. Ese número N que se busca debe de ser: ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO. 64 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 0 3+ 2 0 0 0 0 7 -5= 7 +2 N 6 -4= 6 +2 Por lo tanto, por propiedad se sabe que: 0 0 N = mcm 3;7;6 + 2 = 42 + 2, como se pide el menor valor, este sería 44. PROBLEMAS RESUELTOS. Problema 1. ¿Cuántos divisores comunes tienen: 14, 28 y 42? Solución. Por teoría, se sabe que la cantidad de divisores comunes de un grupo de números es igual a la cantidad de divisores del MCD de dichos números. Por lo tanto, MCD (14; 28; 42) = 14 D (14): 1, 2, 7 y 14 Entonces tendrán 4 divisores comunes. Problema 2. ¿Cuál es la menor longitud que debe tener un tubo de acero , si se desea obtener un número exacto de pedazos de : 24 , 15 ó 12 cm ? Solución. La longitud del tubo debe ser un múltiplo de cada u no de los pedazos para obtener una cantidad exacta de cada uno. De todos los múltiplos comunes queremos el menor. Longitud del tubo = MCM ( 24 ; 15 ; 12 ) = 120 cm. ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO. 65 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 Problema 3. ¿Cuál es el menor número de losetas de 34 x 18 cm necesarios para construir un cuadrado? Solución. Sea X el valor de la medida del lado del cuadrado. X X 34cm 18 cm De la figura, se observa que la medida de x debe ser un múltiplo común de 34 y de 18, pero de todos los múltiplos comunes se necesita el menor porque se quiere emplear la menor cantidad de losetas, por eso es que : X = mcm (34; 18) = 306 La cantidad de losetas es igual a: 306 306 x = 153 34 18 Problema 4. De una plancha de metal de 96 m de largo y 72 m de ancho, se desea obtener el menor número de pedazos de forma cuadrada, sin que sobre material. ¿Cuántos pedazos se obtendrán? Solución. Sea X: longitud del lado del pedazo de forma cuadrada. 96 cm 72 cm X X Para dividir la plancha en pedazos de forma cuadrada, el valor de X debe de ser un divisor común de 96 y 72. Como se quiere la menor cantidad ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO. 66 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 de pedazos entonces el valor de X esto que : X = MCD (96; 72) = 24 cm debe de ser el mayor posible, por El número de pedazos que se obtendrán será: 96 72 # pedazos = x = 4 x 3 = 12 24 24 Problema 5 Tres ciclistas A, B y C parten juntos desde un mismo punto en una pista circular con velocidades constantes. A da una vuelta en 3 min. , B en 3 min. y medio , y C en 4 min.. Cuando los tres se junten nuevamente, ¿Cuántas vueltas habrá dado el ciclista A ? Solución. Transformando las medidas a segundos PARTIDA A : 3 min = 180 s B : 3 min y medio = 210 s C : 4 min = 240 s El tiempo que debe transcurrir para que un ciclista vuelva a pasar nuevamente por el punto de partida será un múltiplo de los tiempos empleado en dar una vuelta . Para que los tres ciclistas vuelvan a pasar por el punto de partida , el tiempo a transcurrir será un múltiplo común de los 3 tiempos dados . # vueltas que habrá 5040 ciclista A = 180 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO. dado el = 28. 67 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I 1. A una fiesta asistieron 400 personas entre hombres y mujeres. De las mujeres, se conoce que la sexta parte tiene cabello largo, los 3/8 usan aretes y que los 5/11 son rubias. ¿Cuántos varones asistieron a la reunión? a) 118 2. e) 220 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20 b) 396 c) 468 d) 684 e) 639 d) 2025 e) 2184 Si N 3 2x.5 x , tiene 15 divisores, hallar N. a) 2000 5. d) 164 Hallar el mayor de 2 números tales que su M.C.D. sea 36 y su M.C.M. sea 5148 a) 143 4. c) 136 ¿Cuántos múltiplos de 7 existen entre 180 y 300? a) 16 3. b) 132 Si A 12.45n b) 2075 y c) 3196 B 12n.45 , hallar “n” para que su MCM presente 90 divisores. a) 5 6. c) 8 d) 6 e) 3 En una Institución Educativa se cuentan menos de 700 estudiantes pero más de 600. Si se cuentan de 6 en 6, de 8 en 8, de 10 en 10 y de 12 en 12, siempre sobran 5; pero si se cuentan de 11 en 11 no sobra ninguno. ¿Cuántos alumnos eran? a) 600 7. b) 2 b) 605 c) 660 d) 671 e) 796 En una fábrica laboran 150 personas y repartidas en dos turnos, de día y de noche. Si los que trabajan de día se les agrupara de 10 en 10, de 12 en 12 o de 20 en 20, siempre sobrarían 6, pero si se les agrupara de 18 en 18 no sobraría ninguno. ¿Cuántas personas trabajan en el turno de la noche? ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO. 68 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 a) 20 8. c) 32 d) 126 e) 36 El número de páginas de un libro está comprendido entre 400 y 500. Si se cuentan de 2 en 2 sobra 1, de 3 en 3 sobran 2, de 5 en 5 sobran 4 y de 7 en 7 sobran 6. ¿Calcular el número de páginas del libro? a) 417 9. b) 24 b) 419 c) 420 d) 463 e) 472 ¿Cuál es la menor capacidad de un depósito que se puede llenar con tres caños que vierten 24; 42 y 15 litros por minuto? a) 420 l b) 480 l c) 640 l d) 840 l e) 960 l 10. ¿Cuál es el menor número de trozos que se puede obtener dividiendo 3 varillas de medidas: 540 cm; 480 cm y 360 cm, sin desperdiciar material. a) 60 b) 23 c) 24 d) 12 e) 30 11. ¿Cuál es la menor cantidad de cuadrados de igual medida en que podemos dividir un terreno de forma rectangular cuyo largo mide 1680 m y su ancho 700 m? a) 20 b) 40 c) 60 d) 80 e) 90 12. Dos letreros luminosos se encienden con intermitencia de 42 s y 54 s. Si a las 20 h 15 min se encienden simultáneamente, ¿A qué hora volverán a encenderse nuevamente juntos? a) 21 h b) 20 h 21 s c) 21h 18 s d) 22 h e) 20 h 21 min 18s 13. Si se tiene que llenar 4 cilindros de 72; 24; 56 y 120 litros de capacidad, ¿Cuál es la máxima capacidad de un balde que permite llenarlos exactamente? a) 8 l b) 15 l c) 17 l d) 4,5 l e) 9 l 14. Se dispone de ladrillos cuyas dimensiones son: 24 cm de largo, 12 cm de ancho y 10 cm de altura. ¿Cuántos ladrillos serán necesarios para formar el menor cubo compacto? ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO. 69 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 a) 600 b) 400 c) 550 d) 580 e) 500 15. Una caja mide 82 cm de largo, 46 cm de ancho y 32 cm de alto; esta caja se quiere llenar de cajitas cúbicas y de la mayor arista posible, ¿Cuántas cajitas cúbicas entrarían? a) 30 176 b) 15 088 c) 16 745 d) 13 272 e) 15 176 16. ¿Cuál es la menor cantidad de losetas cuadradas, sin partir ninguna, se necesita para cubrir un patio cuyo largo mide 744 cm y el ancho 528 cm? a) 745 b) 826 c) 682 d) 724 e) 842 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO. 70 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II 1. Hallar la suma de divisores: 4; 9 y 12. A) 6 2. 6 C) 25 D) 18 E) 9 B) 71 C) 89 D)108 E) 40 B) 720 C)3 600 D)3 240 E) 2 400 B) 5 C) 4 D) 420 E) 8 Calcular el menor número de cuadrados iguales en las que se puede dividir una plancha de madera rectangular de dimensiones 360 cm por 210 cm. A) 30 7. B) 15 Se tiene 3 varillas de cobre cuyas longitudes son 3 780; 3 360 y 2 520 cm. Se quiere dividirlas en trozos de igual medida y de la mayor longitud posible, ¿Cuántos cortes fueron necesarios hacer en la varilla de menor longitud. A) 6. E) 5 El MCD de los números 36K; 54K y 90K es 1620. Hallar el menor de los números. A) 900 5. D) 9 como Un número A es el triple de otro B y su MCD es igual a 27. Hallar la suma de A más B. A) 27 4. C) 10 cifras del menor número que tenga El MCM de dos números es 48. Si el producto de los mismos es 864. ¿Cuál es su MCD? A) 20 3. B) 8 las B)19 C) 84 D) 48 E) 30 Se quiere llenar 4 cilindros de capacidades: 50; 75; 100 y 80 litros respectivamente. ¿Cuál será la mayor capacidad que puede tener un balde de tal manera que pueda llenar los cilindros en una cantidad exacta de veces? ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO. 71 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 A)10 lt 8. C)8 lt D)25lt E) 12 lt Un terreno rectangular de medidas 255m por 225 m se quiere dividir en el menor número de parcelas cuadradas e iguales. Si se va a colocar una estaca en cada vértice de las parcelas, ¿Cuántas estacas se necesitarán? A) 255 9. B)5 lt B) 288 C) 300 D) 260 E) 280 Se tiene 90 galletas, 54 chocolates y 150 bombones. Se desea envasarlas en la menor cantidad de bolsas y que contengan la misma cantidad de cada artículo. ¿Cuántas bolsas más habrá de bombones que de chocolates? A) 16 B) 6 C) 9 D) 25 E) 34 10. En un taller de carpintería, el total de los salarios es S/ 525 y en otro S/ 810, recibiendo cada trabajador el mismo salario. ¿Cuántos trabajadores hay en cada taller si el salario es el mayor posible? A) 45 y 35 B) 54 y 53 C)15 y 35 D) 54 y 35 E) 30 y 40 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO. 72 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 UNIDAD 03 NÚMEROS RACIONALES: FRACCIONES ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 73 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 3. FRACCIÓN. 3.1. FRACCIÓN: Elementos. Se llama fracción a un número racional a/b donde: a Z, b Z, b 0, å b Fracción = a b Numerador Denominador - Numero racional (Q) es aquel que se puede expresar como el cociente de dos números enteros con denominador diferente de cero. - Una fracción racional también se llama quebrado, número fraccionario o fracción. - Toda fracción tiene 3 signos. A A B B A A B B A A B B A A B B REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FRACCIONES: El numerador indica las partes iguales que se han tomado de la unidad. El denominador indica el total de partes en que se ha divido a la unidad. S=¼ S= 3 10 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 74 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 5 4 S= S = 1/12 Ejemplo Aplicativo: Del gráfico que se muestra: k k k k k k k Parte sombreada = 3k Parte no sombrada = 5k Total = 8k k a) ¿Qué fracción es la parte sombreada? Fsombrada= Parte.sombrada Total Fsombrada= 3k 3 = 8k 8 b) ¿Qué fracción es la parte no sombreada? Fno sombrada= Parte.no.sombrada Total Fno sombrada= 5 5k = 8k 8 c) ¿Que fracción es la parte sombreada de la no sombreada? denominador Fsombrada de la no sombrada = Parte.sombrada Parte.no.sombrada Fsombrada= 3k 3 = 5k 5 d) ¿Que fracción de la sombreada es la parte no somberada? denominador Fno sombrada de la sombrada = Parte.no.sombrada Parte.sombrada Fsombrada= ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 5k 5 = 3k 3 75 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 3.2. CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES. 1) POR COMPARACION DE SUS TÉRMINOS. . Fraccion Propia: el numerador es menor de que el denominador. El valor de una fracción propia es menor que la unidad. 1 5 17 2 a 1 a b Ejemplos: , , , ,... b 3 7 23 3 Fracción Impropia:. El numerador es mayor de que el denominador. El valor de una fracción propia es mayor que la unidad. a 7 4 14 11 1 a b Ejemplos: , , , ,... b 2 3 9 3 2) POR SUS DENOMINADORES. Fracción Ordinaria ó común: Es aquella cuyo denominador es diferente a una potencia de 10. a 1 5 17 52 = es ordinaria, si: b 10 n , , , ,... 5 7 25 23 b Fracción Decimal: Es aquella cuyo denominador es una potencia de 10. a = es decimal, si: b = 10 n b 1 5 12 57 , , , ,... 10 100 1000 10000 3) DE ACUERDO A LA COMPARACIÓN DE LOS DENOMINADORES DE VARIAS FRACCIONES. Fracciones Homogéneas: Igual denominador. 1 5 17 2 , , , ,... 3 3 3 3 Fracciones Heterogéneas: Diferente denominador. 7 4 4 1 , , , ,... 2 5 9 3 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 76 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 4) DE ACUERDO A LOS DIVISORES DE SUS TÉRMINOS. a = es irreducible, si a y b son PESI. b Fracción irreductible. a = es reductible, si a y b tiene divisores b comunes a parte de la unidad. Fracción reductible. 5) FRACCIÓN EQUIVALENTE. Son aquellas fracciones que tiene el mismo valor pero sus términos son diferentes. Su representación gráfica es por ejemplo: 1 2 3.3. 2 4 3 6 4 8 CONVERSIÓN DE UNA FRACCIÓN IMPROPIA A NÚMERO MIXTO Y DE UN NÚMERO MIXTO A FRACCIÓN IMPROPIA. De Fracción a número mixto: Ejemplo: convertir 17 5 p a = n b b ; donde ; p < b a número mixto Primero dividir 17 entre 5. numerador 17 5 denominador 2 3 Parte Entera ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 3 2 5 77 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 De un número mixto a fracción: n p n.b p b b Ejemplo: = a (Fracción Impropia) ; p < b b convertir 3 2 5 a fracción. + 3 x 3.4. = 2 17 5 5 MCM Y MCD DE FRACCIONES. a c e MCD(a; c; e) MCD ; ; b d f MCM (b; d ; f ) a c e MCM (a; c; e) MCM ; ; b d f MCD(b; d ; f ) a c e Nota: donde las fracciones ; ; , deben ser fracciones irreductible “si no lo b d f son, se tienen que simplificar”. Ejemplo: Hallar el MCD y el MCM de 6/21 y 15/20. 1º. 2º. Simplificar 6/21 y 15/20, hasta obtener fracciones irreductibles, se obtiene 2/7 y 3/4. Hallar el MCD y el MCM de las fracciones ya simplificadas: M CD(2;3) 1 2 3 MCD ; 28 7 4 M CM(7;4) 6 2 3 M CM(2;3) MCM ; 6 M CD(7;4) 1 7 4 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 78 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 3.5. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES. Simplificar una fracción significa transformarla en otra EQUIVALENTE y, a la vez, IRREDUCTIBLE. Al simplificar una fracción hasta hacerla irreductible, es cuando a sus términos (numerador y denominador) se dividen entre su MCD. Ejemplo: ¿Simplificar la fracción 24/180? Solución: 1º Forma: Dividir sucesivamente los términos de la fracción por los divisores comunes hasta lograr una fracción irreducible. Pasos: Dividir ambos términos por 2, nuevamente por 2 y sigue por 3. 2 6 12 24 180 = 2 15 90 45 15 2º Forma: Dividir al numerador y denominador entre su MCD: 24 24 M CD(24;180) 24 12 2 180 180 M CD(24;180) 180 12 15 3.5.1. PROPIEDADES: 1. aaa a bbb b Ejemplo: Simplificar: Porque: 333 777 3 333 = 7 777 3 333 3 111 = = 7 777 7 111 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 79 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 2. abab ab cdcd cd Ejemplo: Simplificar: Porque: 3.6. 1212 3737 12 101 1212 = ; 3737 37 101 1212 12 = 3737 37 se elimina 101 y queda 12 37 FRACCIONES EQUIVALENTES. Cuando los dos o más fracciones representan un mismo valor. 2 4 12 8 .... 5 10 30 20 a ak , donde b bk 3.7. k 1,2,3.... HOMOGENIZACIÓN DE DENOMINADORES DE FRACCIONES. Para reducir varias fracciones al mínimo común denominador: 1. Reducir a su más simple expresión. 2. Calcular el Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.) de los denominadores. 3. Dividir el M.C.M. por el denominador de cada fracción y el cociente obtenido se multiplica con cada numerador correspondiente. Ejemplo: Homogenizar los denominadores de las fracciones: 4 6 ; 5 6 ; 10 8 Solución: Para homogenizar, reducir dichas fracciones a su más simple expresión: 4 5 6 2 1 3 ; ; ; <> ; ; 6 10 8 3 2 4 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 80 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 Ahora, se calcula el M.C.M. de los denominadores: M.C.M. (3, 2, 4) = 12. Luego, se divide el M.C.M. entre cada uno de sus denominadores, el resultado de cada uno se multiplica por sus numeradores correspondiente, obteniendo: 8 6 9 ; ; 12 12 12 Esquemáticamente: 2 1 3 ; ; 3 2 4 8 6 9 ; ; 12 12 12 3.8. MCM (3, 2, 4 ) = 12 COMPARACIÓN DE FRACCIONES. Al comparar dos fracciones de diferentes signos, mayor es la fracción positiva y menor la fracción negativa. 3 2 Ejemplo: > 7 2 Al comparar dos o más fracciones positivas de igual denominador, será mayor el que tenga mayor numerador y el menor será el que tenga menor numerador. Ejemplo: Ordenar en forma ascendente las siguientes fracciones: 2 7 8 1 ; ; ; 3 3 3 3 Solución: Ordenando de menor a mayor se obtiene: 1 2 7 8 ; ; ; 3 3 3 3 Al comparar dos o más fracciones positivas de igual numerador, será mayor el que tenga menor denominador y el menor será el que tenga mayor denominador. Ejemplo: Ordenar en forma ascendente las siguientes fracciones: 7 7 7 7 ; ; ; 3 2 9 13 Solución: Ordenando de menor a mayor se obtiene: 7 7 7 7 ; ; ; 13 9 3 2 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 81 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 Al comparar dos o más fracciones de diferentes denominadores se procederá a homogenizar los denominadores y se luego se procederá como en el caso anterior. Ejemplo: Ordenar en forma ascendente las siguientes fracciones: 7 3 1 5 ; ; ; 3 2 9 6 Solución: Primero se homogenizan denominadores (MCM). MCM (3, 2, 9, 6) = 18 7 3 1 ; ; ; 3 2 9 5 6 Fracciones Equivalentes 42 27 81 15 ; ; ; 18 18 18 18 Fracciones Homogéneas Ordenando de menor a mayor se obtiene: 15 27 42 81 ; ; ; que son las fracciones equivalentes a 18 18 18 18 5 3 7 ; ; ; 6 2 3 1 respectivamente. 9 Al comparar dos fracciones de diferentes denominadores se procederá realizando el producto cruzado. Y se comparan los productos obtenidos. Ejemplo: Comparar las siguientes fracciones: Solución: 56 > 45 7 9 5 8 Entonces Ejemplo: Comparar las siguientes fracciones: Solución: 25 5 8 < 7 5 y 9 8 7 9 > 5 8 5 8 < 4 5 5 4 y 8 5 32 4 5 Entonces ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 82 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 EJERCICIOS NIVEL I 1. Completar: a. 3 12 4 16 e. 5 8 128 b. f. 5 8 32 3 12 16 c. 1 8 8 g. d. 3 16 64 1 4 32 h. 3 24 8 2. Reducir a un mismo denominador (homogenizar denominadores): 1 5 ; 4 8 1 3 b. ; 2 4 3 5 c. ; ; 8 16 Res pues ta a. 2 5 ; 8 8 Res pues ta 1 4 Res pues ta 3. Completar los espacios vacíos adecuadamente: a) Dadas varias fracciones de igual denominador es mayor la que tiene…......................…......... numerador b) Dadas varias fracciones de igual numerador, es mayor tiene…........................…......denominador la que 4. Colocar los signos > ó < como en los ejemplos: a. 5/8 < 7/8 b. 3/8 1/ 8 c. 3/4 5/4 e. 3/7 < 3/5 f. 1/2 1/3 g. 2/5 > 2/7 d. 1/4 5/4 h. 4/5 4/6 5. Reducir a un mismo denominador las siguientes fracciones; y colocarlas en el orden solicitado: 3/4 ; 5/8 ; 1/16; 3/8 --- < ---- < ----- ---- (Orden Creciente) 4/5 ; 2/3 ; 7/12 ; 3/4 --- >---- > ---- > ----(Orden decreciente) 6. Completar los espacios en blanco: ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 83 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 a. Simplificar una fracción es encontrar otra cuyos términos sean…................................. que los de la primera. b. Para simplificar una fracción basta dividir ambos términos por un mismo número diferente de cero y diferente de …................................................................. c. Cuando el numerador y denominador son primos entre sí, una fracción …...................... ser simplificada. d. La fracción propia con denominador 64, tendrá como mayor numerador posible …........................................... e. Las fracciones de términos diferentes, que representan un mismo número, son llamadas fracciones …............................................ A continuación se puede comparar las respuestas. 4. b. > c< d. < 5. a. 1/16 < 6/16 <10/16 < 12/16 f. < h. > R. 1/16 < 3/8 <5/8 < 3/4 b. 48/60 > 45/60 > 40/60 > 35/60 R. 4/5 >3/4 > 2/3 > 7/12 6. a. b. c. d. e. más simples uno. no puede 63 equivalentes 7. Reducir a su menor expresión, las siguientes fracciones (simplificar): 2 = 4 96 = 128 48 = 64 8 = 16 12 = 15 120 = 128 24 = 32 15 = 20 6 = 9 100 = 128 4 = 32 15 = 18 40 = 8 60 = 64 25 = 100 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 84 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 8. Colocar falso (F) o verdadero (V) a. 4/5 > 3/5 ( ) b. 3 > 15/3 ( ) c. 2/5 < 3/7 ( ) d 1/3 < 34/72 ( ) e. 2/5 > 2/7 ( ) d. 7/8 > 6/7 ( ) 9. Completar las siguientes clases de equivalencias, hasta con cinco elementos (cinco fracciones equivalentes): a. 1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10 = 6/12 b. 2/3 = ----- = ----- = ----- = ----- = ----c. 3/8 = ----- = ----- = ----- = ----- = ----d. 3/4 = ----- = ----- = ----- = ----- = ----- Tratar de corregir 7, 8, 9 con las respuestas siguientes: 7. =1/2 = 3/4 = 3/4 =1/2 = 4/5 =60/64 =3/4 = 3/4 = 2/3 =25/32 = 1/8 =5/6 =5 = 15/16 =¼ 8. a. (V) b. (F) c. (V) d. (V) e . (V) 9. a) 1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10 = 6/12 b) 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12 = 10/15 = 12/18 c) 3/8 = 6/16 = 9/24 = 12/32 = 15/40 = 18/48 d) 3/4 = 6/8 = 15/20 = 18/24 = 9/12 = 12/16 10. Marcar con (X) las fracciones irreductibles: 2/3 (X) 3/5 ( ) 4/8 ( ) 4/6 ( ) 7/8 ( ) 5/6 ( X ) 1/3 ( ) 6/2 ( ) 4/12 ( ) 9/10( ) ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 85 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 EJERCICIOS PROPUESTOS NIVEL II 1. Distribuir en el cuadro las fracciones en orden creciente: a. 1/4; 1/32; 1/16; 1/128; 1/2;1/8;1/64 b 15/16; 5/16; 11/16; 9/16; 1/16;3/16;7/16 c. 3/4; 5/16; 7/8; 1/2; 15/32; 5/64; 1/128 A B C 2. Al simplificar una fracción se obtuvo 1/7. Sabiendo que la suma de los términos es 40, Calcular la diferencia de los mismos. A.30 B.15 C.8 D.1 E.13 3. ¿Cuántas fracciones propias tienen denominador 32 y son mayores que 1/6? A.3 B.15 C2 D. 4 E.13 4. ¿Cuántas son las fracciones comprendidos entre 1/2 y 4/3? A.30 B.5 C8 D. 4 irreductibles con denominador 10 E.13 5. ¿Cuántas fracciones propias y irreductibles de denominador 720 existen? A.192 B.13 C.24 D.15 E.2 6. ¿Qué fracción representa el área no sombreada? A. 5/7 B.3/4 C.4/7 D.3 E.1/4 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 86 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 7. Simplificar las fracciones: 9240 / 6930 y 4158 / 43 68 Rpta: 4/3; 99/104 8. Un cartero dejo en una oficina 1/6 de las cartas que llevaba; en un banco; 2/9 del resto y todavía tiene 70 cartas para repartir. ¿Cuántas cartas le dieron para repartir? A. 10 B.108 C.23 D.25 E.19 9. Una piscina está llena hasta sus 2/3 partes. Si sacara 2100 litros quedará llena hasta sus 3/8 ¿Cuánto falta para llenarla? A. 2400 B.2700 C.234 D.1235 E. 1300 10. Un depósito contiene 36 litros de leche y 18 de agua. Se extrae 15 litros de mezcla ¿Cuántos litros de leche salen? A.13 B. 15 C. 10 D.14 E.5 11. Qué fracción representa el área sombreada en el cuadrado? A. 5/16 B. 3/13 C.1/5 D. 3/5 E. 2/3 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 87 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 UNIDAD 04 FRACCIONES: ADICIÓN, SUSTRACCIÓN, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 88 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 4.1. a) ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES: ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HOMOGÉNEA. Observar el siguiente gráfico: 3 6 1 6 La parte sombreada es: 1 3 4 6 6 6 Para sumar o restar fracciones homogéneas se procede operando los numeradores y se escribe el mismo denominador: a c d a cd b b b b Ejemplo: Efectuar: 8 5 2 7 3 85273 9 13 13 13 13 13 13 13 Si son números mixtos, se opera la parte entera y después la parte fraccionaria. a Ejemplo: Efectuar: b) 3 b e g beg d f a d f c c c c 1 7 2 5 1 7 2 5 1 8 4 3 8 4 7 13 13 13 13 13 13 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS. Para sumar o restar fracciones de diferentes denominadores se busca transformarlas a otras equivalentes, de tal forman que todas tengan el mismo denominador y se procede de la forma anteriormente vista. Considerando los siguientes casos: ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 89 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 1. DENOMINADORES MÚLTIPLOS DE OTROS. Ejemplo 1. Efectuar: 3 1 3 3 1 4 3 2 3 4 6 3 46 1 8 2 4 8 2 4 4 2 8 8 8 8 8 Multiplicar por un factor a ambos términos de la fracción, tal que los denominadores sean iguales. Ejemplo 2. Efectuar: 5 1 7 5 3 1 72 15 1 14 15 1 14 28 4 12 6 4 3 12 6 2 12 12 12 12 12 ¡Fracciones Equivalentes! 2. MÉTODO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM). Se seguirá el siguiente procedimiento: Primero: Hallar el MCM de los denominadores y se escribe como DENOMINADOR del resultado. Segundo: Dividir el MCM por cada denominador y el cociente se multiplica por cada numerador; luego efectuar la suma de estos resultados. Ejemplo 1. Efectuar: = 2 3 7 96 90 56 130 13 5 8 30 240 240 24 MCM(5;8;30) = 240 3. REGLA DE PRODUCTO CRUZADO. Regla práctica para operar con dos fracciones de términos pequeños. Ejemplo 1. Efectuar: 3 5 3 8 5 5 24 25 5 8 58 40 34 21 2 7 3 Ejemplo 2: Efectuar 2 3 17 7 17 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 13 119 90 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 EJERCICIOS I. Resolver con el método de “Denominadores múltiplos de otros”. a) c) 7 5 6 12 41 2 1 45 5 3 b) d) 7 3 60 10 1 3 5 7 2 4 8 16 II. Resolver con el método de “Mínimo Común Múltiplo”. a) b) c) 3 1 1 4 10 2 4 5 1 1 1 1 2 3 4 5 3 5 7 4 6 8 III. Resuelve con el método de “Producto Cruzado”. 5 2 9 3 1 1 d) 2 3 a) 5 3 3 5 3 1 e) 8 2 b) 5 9 7 2 1 1 f) 13 12 c) ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 91 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 4.2. OPERACIONES COMBINADAS DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES: Se tiene que tener en cuenta que primero se resuelven las operaciones que se encuentran al interior de los signos de agrupación. Ejemplo: resolver la siguiente operación: 1 1 2 1 1 2 1 1 2 47 87 1 3 5 3 3 20 3 3 60 60 2 2 4 También, se puede resolver eliminando primero los signos de agrupación. 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 3 5 3 3 4 5 3 2 2 4 2 1 1 1 1 40 30 15 12 20 87 3 2 4 5 3 60 60 EJERCICIO Efectuar las siguientes operaciones combinadas de adición y sustracción. 1 2 1 1 1 1. = 6 7 5 2 5 1 2 2 3 1 2. 3 2 1 = 6 3 5 2 5 1 1 1 1 5 3. 1 2 1 = 7 2 3 2 7 1 5 3 3 1 5 4. = 3 6 8 4 2 6 1 5 5 3 5. 2 2 = 7 4 2 7 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 92 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 4.3. MULTIPLICACIÓN Y POTENCIACIÓN DE FRACCIONES: Para multiplicar fracciones, se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. a c ac b d bd Ejemplos: a) 3 2 6 3 2 63 2 b) 9 10 7 9310 7 35 5 5 2 5 2 10 9 7 9 7 63 Para elevar una fracción a cualquier potencia, se eleva cada uno de los términos de la fracción, al exponente indicado. n an a n b b Ejemplos: 2 4 22 4 2 a) 2 7 49 7 14 1 1 b) 4 3 81 3 EJERCICIO 1. Escribir en el casillero en blanco el producto de las fracciones que se indican: X 1 7 6 3 5 1 4 5 7 2 3 4 9 2 5 7 4 7 21 2. Multiplicar: ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 93 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 1 7 35 a) 2 5 = 5 3 3 3 d) 2 1 5 3 4 2 3 1 1 c) 3 1 4 5 3 1 2 5 2 1 1 f) 1 1 2 3 b) 4 5 e) 3. Escribir en los casilleros en blanco las potencias indicadas: a b 1 2 3 2 2 5 3 5 n Al cuadrado Al cubo A la cuarta 1 8 4. La palabra “de”, “del", “de los” es una orden que indica que se debe multiplicar. Teniendo en cuenta este criterio, resolver los siguientes problemas: a) Hallar los 3/5 de 20 b) ¿Hallar la mitad de los 2/3 de 24? c) ¿Hallar lo 2/7 de los 7/8 de los 5/2 de d) ¿Hallar los 2/9 de la mitad de 45 kg?. 400 soles? e) ¿Los 3/5 de que número es 120? f) ¿La mitad de 80 es los ¾ de los 2/3 de que número? 4.4. DIVISIÓN DE FRACCIONES. Para dividir fracciones, se multiplica a la fracción dividendo por la fracción divisor invertida. a c a d ad b d b c bc Fracción inversa Ejemplo: ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 94 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 a) 2 3 2 4 2 4 8 5 4 3 3 3 3 9 1 14 7 3 73 1 b) 2 3 3 3 14 3 14 2 Una división de fracciones también se puede presentar como una fracción de fracción: Producto de Producto de medios extremos a b ad c bc d Ejemplo: 7 73 7 a) 24 2 24 2 16 3 7 b) 20 7 4 7 1 20 1 5 4 EJERCICIOS 1. Escribir en el casillero en blanco el cociente de las fracciones que se indican: 1 7 6 3 5 1 4 5 7 2 3 4 9 2 5 9 7 7 2. Escribir la expresión más simple equivalente a: 1 1 a) 2 3 = 1 4 1 1 5 4 14 b) 3 2 23 4 5 1 1 1 4 2 3 c) 1 24 2 1 1 d) 5 3 2 = 7 30 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 95 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 2 10 3 19 5 7 7 5 1 = e) 6 3 35 28 1 1 1 2 7 2 3= 1 1 1 1 14 3 2 f) 4.5. RADICACIÓN DE FRACCIONES: Para extraer una raíz a una fracción, se extrae la raíz indicada a cada término de la fracción. n a b n n a b Ejemplo: a) 3 3 1 1 1 3 125 125 5 b) 64 64 8 121 121 11 EJERCICIO 1. Encontrar las fracciones que elevadas al cuadrado reproducen las respectivas fracciones dadas. 2 1 b) 9 2 4 e) 81 2 16 h) 81 16 a) 25 49 d) 64 1 g) 100 2 36 c) 25 2 2 100 f) 49 2 i) 25 121 c) 3 2 2 2. Hallar la raíz en cada caso: a) 3 27 8 b) 3 1 8 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 8 1000 96 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 d) 16 25 e) 5 32 243 f) 4 16 625 g) 36 49 h) 3 27 125 i) 4 81 1000 4.6. OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES. 1. 6 1 5 6 7 3 3 10 61 41 2 = 1 1 1 1 1 1 2 3 9 2. = 1 1 3 1 1 5 3 3. 4. 5. 7 1 1 1 1 2 3 8 8 1 1 1 2 6 12 2 = 5 11 13 14 1 1 1 2 3 = 1 1 1 8 4 6 3 1 4 2 3 4 7 1 1 3 4 93 = 1 1 56 6 2 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 97 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 5 6. 1 1 2 2 5 3 = 1 1 3 3 5 7 7. 16 7 817 1 12 25 1 36 9 Comprobar respuestas: Pregunta Nº 1 2 3 4 5 6 7 Respuesta 1 -4 1 4 1 1 5 8 PROBLEMAS APLICATIVOS La pulgada (en inglés inch) es una unidad de longitud antropométrica que equivalía a la longitud de un pulgar. 1” representa una PULGADA Equivalencia: 1´ representa un PIE 1 pulgada = 2,54 cm. 1 pulgada = 25,4 mm 1 pie = 12 pulgadas 1 yarda = 3 pies = 36 pulgadas Ejemplo: 7" 3 Representa tres pulgadas y siete octavos de pulgada. 8 Las comillas (“) simbolizan la pulgada, una comilla ( ´ ) simboliza un pie. 2 3 Representa dos pies y 3 pulgadas. ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 98 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 La pulgada es una unidad de medida del Sistema Inglés que se aplica en nuestro país principalmente en las especificaciones de materiales y de productos de uso industrial. GRADUACIONES de la REGLA EN PULGADAS. Las graduaciones de la escala son hechas, dividiéndose la pulgada en 2; 4; 8; 16; … 2n, partes iguales, existiendo en algunos casos escalas hasta con 128 divisiones (27= 128). Si se divide una pulgada en dos partes iguales, cada parte es 1/2 pulgada. Si se divide una pulgada en cuatro partes iguales, cada parte es 1/4 pulgada. Si se divide una pulgada en ocho partes iguales, cada parte es 1/8 pulgada. Si se divide una pulgada en dieciséis partes iguales, cada parte es 1/16 pulgada. Si se divide una pulgada en treinta y dos partes iguales, cada parte es 1/32 pulgada. ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 99 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 A continuación surgirá en los ejercicios con fracciones, la representación de la pulgada, pie, yarda. Con la ayuda del instructor realizar las lecturas de las siguientes medidas, la regla esta graduada en pulgadas. ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 100 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 01 1 7 8 08 Lectura Lectura Lectura Lectura Lectura Lectura Lectura Escribir en el siguiente cuadro las lecturas realizadas: 02 03 04 05 06 07 09 10 11 12 13 14 Realizar las siguientes operaciones con las lecturas efectuadas: a) 01 + 02 b) 07 x 10 - 03 = = PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I-A 1. Determinar la cota “Y” en la pieza representada. a) 49 ” 17 b) 17 16 c) 3 d) 2. Calcular “X” en la pieza. ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO ” 1 16 “ 14 ” 46 e) a) 4 31 ” 32 b) 3 31 ” 32 c) 12 ” 64 d) 3 13 ” 32 c) d) e) 101 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 3. Determinar la longitud C del tornillo, dibujado. a) 6 11 ” 16 b) 5 1 ” 32 4. c) 3 ” 16 d) 6” ¿Cuánto mide el diámetro externo de la arandela? a) 1 5 ” 8 b) 1 3 ” 7 c) 2 3 ” 5 d) 1” e) 5. Completar el cuadro conforme las indicaciones del dibujo. D c 1” 5" 8 15" 32 35" 64 3" 4 1" 16 D 31 1 32 9 64 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 102 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 6. Un agujero de diámetro 7" 5" debe ser agrandado en más. ¿Cuál será el 8 32 nuevo diámetro? a) 1 4 7. ” b) 1 1 ” 32 e) 3/4” 1" de longitud, de la cuál cuatro pedazos miden, 2 9" 1" 13" 1" respectivamente 6 , 8 , 10 y 5 . Despreciando por pérdida de corte, 16 16 4 2 ¿Calcule que pedazo de la barra fue utilizado? 1” 8 b) 31 2” 5 c) 31 Una barra de hierro mide 26 pierde en cada corte material? a) 10 9. d) 2 1 64 ” c) 2” Una barra de bronce tiene 32 a) 31 8. 32 b) 12 1 ” 16 d) 3 1” 8 e) 1” 8 25" 1" , si se divide en partes iguales de 2 y se 32 32 1" ¿Cuántos cortes se realizarán si no sobra ni falta 32 c) 14 d) 15 e) 18 Se tiene una barra de metal cuya longitud es de 26 ¾”, se necesita obtener 18 trozos iguales cortándolo con una sierra de ¼” de grosor. ¿Cuál es la medida de cada trozo? (en cada corte se pierde el espesor de la sierra) a) 1¾” b) 1½” c) 22½” d) 2” e) 1¼” Calcular la medida del diámetro interno de la arandela, representada. ” a) 1 b) 1 ” 3 c) 2 d) 1/2” 1 1 4 ” 7 2 2 1 2 e) ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 103 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 10. Determinar las dimensiones A, B, C, y D , dar como respuesta A + B + C – D. a) 3” b) 2” c) 1” d) 4” e) 5” 11. Una barra de cobre mide 26 pierde en cada corte 25" 1" , si se divide en partes iguales de 2 y se 32 32 1" ¿Cuántos cortes se realizarán si no sobra ni falta 32 material? a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) 18 12. Se tiene una barra de metal cuya longitud es de 26 ¾”, se necesita obtener 18 trozos iguales cortándolo con una sierra de ¼” de grosor. ¿Cuál es la medida de cada trozo? (en cada corte se pierde el espesor de la sierra). a) 1¾” b) 1½” c) 2½” d) 2” 13. Dividir una barra de aluminio 10 e) 1¼” 1" en 5 partes iguales perdiendo en cada corte 8 1 “¿Qué longitud tendrá cada parte? 32 a) 1 7 ” 32 b) 1” c) 2 5 ” 32 d) 7 ” 16 e) 3 ” 4 14. Calcular la distancia X, en la siguiente plancha: a) 12 1 b) 13 1 c) 12 1 ” 4 ” 4 ” 2 d) 12 1 ” 8 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 104 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 Nota: Por lo general, al interior de al interior de las máquinas, motores, piezas, etc., los agujeros son equidistantes y simétricos. 15. Calcular la distancia “x” si las siguientes son equivalentes: a) 19 ½” b) 13” c) 14” d) 13 ¼” e) 7 1/8” 16. Calcular “a” en la siguiente placa a) 2 1/64” b) 2 1/32” c) 2 3/64” d) 3 ½” e) 3 1/64” 17. La longitud de la circunferencia puede ser calculada, aproximadamente, 1 multiplicando su diámetro por ( = 3.14 = 3 ). Siendo así, completar el 7 cuadro siguiente, conforme el ejemplo. Lc = D Donde: r : radio de la circunferencia D : Diámetro de la circunferencia Lc = 2.r DIÁMETRO 1" 2 1" 1 8 3 CÁLCULOS 3 22 3,14 7 LONGITUD DE CIRCUNFERENCIA 1" 1 7 22 3 11 2 7 2 7 11” 6 7 7 1pie 2pulg ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 105 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 La circunferencia ha girado una vuelta completa D LC “Al dar una vuelta la rueda, esta se desplaza aproximadamente 3.14 veces la longitud del diámetro, sobre una superficie recta.” 18. Completar el cuadro, usando: Lc = D LC = Longitud de circunferencia 3" 5 4 1" 2 2 5" 15 6 D = 2.r Cálculos 5 D = diámetro r = radio 73" 88 161" 176 3" 1 23 7 161 73 :3 x 1 4 7 4 22 88 88 1 3" 4 1" 4 19. ¿Cuántas vueltas tendrá que girar una rueda, para recorrer 19,80 m, si el radio de la rueda es de 21 cm? Fórmula: Distancia recorrida = Numero de vueltas x Longitud de la circunferencia a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 5 20. Las resistencias de una conexión en paralelo son R1 = 15 ohmios, R2 = 12 ohmios, R3 = 9 ohmios. Calcular la resistencia total. a) 3 29 47 b) 3 39 47 c) 1 d) 39 47 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO e) 4 39 47 106 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 Fórmula: 1 1 1 1 1 . . . R t R1 R 2 R 3 Rn Donde: Rt: Resistencia Total R1 = 15 A R1 = 12 B R1 = 9 21. Susana tiene S/. 120 y pierde 3 veces consecutivas ½; 1/3 y 1/4 de lo que le iba quedando, ¿Con cuánto se queda? Solución: 3 21 3 2 120 30 120 4 3 2 4 3 2 Se tiene al inicio Se pierde 1/2 queda 1/2 Se pierde 1/3 queda 2/3 Se pierde 1/4 queda 3/4 R. Se quedó con S/. 30. ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 107 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO I-B 108 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II 1. Dos tercios de los docentes de nuestro instituto son mujeres. Doce de los instructores varones son solteros, mientras que los 3/5 de los mismos son casados. ¿Cuál es el número de docentes? a) 70 2. b) 120 c)1/6 d)1/7 e)1/9 b) 57 c) 55 d) 54 e) 75 b) 500 c) 600 d) 400 e) 700 De los dos caños que fluyen a un tanque, uno sólo lo puede llenar en 6 horas, y el otro sólo lo puede llenar en 8 horas. Si abrimos los dos caños a la vez, estando el tanque vacío, ¿En qué tiempo se llenará dicho tanque? a) 3 1/7 h 6. b) 1/3 Cada vez que un profesor entra al salón deja la mitad de las hojas que posee y 8 hojas más. Si entra sucesivamente a 3 salones y al final se queda con 61 hojas, ¿Cuál es la cantidad de hojas que tenía al entrar al primer salón? a) 800 5. e) 90 Cada día una persona escribe en un cuaderno 1/3 de las hojas en blanco más dos hojas; si después de tres días consecutivos le quedan aun 18 hojas en blanco, ¿Cuántas hojas ha escrito dicha persona? a) 56 4. d) 56 Al tesorero de una sección de 1° grado le falta 1/9 del dinero que se le confió. ¿Qué parte de lo que le queda restituirá lo perdido. a)1/8 3. c) 60 b) 3 2/7 h c) 3 3/7 h d) 2 ½ e) 3 1/4 Un estanque tiene 2 llaves y un desagüe. La primera lo puede llenar en 12 horas y la segunda en 4 horas; estando lleno el desagüe lo vacía en 6 horas, ¿En cuánto tiempo se llenará el estanque, si estando vacío se abren las tres llaves a la vez? a) 8h b) 7h c) 6h d) 5h ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO e) 4h 109 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 7. Una pelota pierde un quinto de su altura en cada rebote que da. Si se deja caer desde 1,25 m de altura ¿qué altura alcanzará después del tercer rebote? a) 50cm 8. b) 64 cm d) 62cm e) 72 cm Si se deja caer una pelota desde cierta altura, ¿Cuál es esta altura, sabiendo que después del cuarto rebote se eleva 32 cm y que en cada rebote se eleva 2/3 de la altura anterior? a) 81cm 9. c) 24cm b) 162cm c) 324cm d) 62cm e) 72cm ¿Cuál es el número por el que hay que dividir 18 para obtener 3 1/3? a) 5 1/5 b) 5 7/9 c) 5 2/5 d) 5 1/9 e) 5 1/3 10. Me deben los 3/7 de S/. 252. Si me pagan 1/9 de S/. 252, ¿Cuánto me deben? a) S/.80 b) S/.100 c) S/.120 d) S/.140 e) S/.125 11. Se llena un recipiente de 3 litros con 2 litros de alcohol y el resto con agua. Se utiliza una tercera parte de la mezcla y se reemplaza con agua, luego se utiliza la cuarta parte de la mezcla y se reemplaza con agua. ¿Cuánto de alcohol queda en el recipiente? a) 7/12 litro b) 1 c) 2/3 d) nada e) 1/2 12. En una mezcla alcohólica de 20 litros de alcohol con 10 litros de agua, se extrae 15 litros de la mezcla y se reemplaza por agua, luego se extrae 6 litros de la nueva mezcla y se vuelve a reemplazar por agua. ¿Cuántos litros de alcohol queda al final? a) 8 b) 10 c) 9 d) 5 e) 6 13. Un comerciante compró un cierto número de computadoras y el precio que pagó por c/u era la cuarta parte del número de computadoras que compró. Si gastó S/ 30976.00 ¿Cuántos computadoras compró? a) 176 b) 88 c) 253 d) 352 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO e) 264 110 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 14. Un barril con cal pesa 3720 kg, cuando contiene 5/8 de su capacidad pesa 95/124 del peso anterior. Hallar el peso del barril vacía? a) 2100 b) 1400 c) 1000 d) 7000 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO e)2400 111 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 UNIDAD 05 NÚMEROS DECIMALES ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 112 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 5.1. NÚMERO DECIMAL. Es la expresión lineal de una fracción ordinaria o decimal, que se obtiene al dividir el numerador por el denominador. Ejemplos: (1) 3 0,375 Resulta de dividir 3 entre 8. 8 (2) 4 0,444..... Resulta de dividir 4 entre 9. 9 (3) 7 0,233.... Resulta de dividir 7 entre 30. 30 TABLERO POSICIONAL DE CIFRAS DE UN NÚMERO DECIMAL. , Millonésimo 3 o cienmilésimos 7 Centésimos de milésimos 0 o diezmilésimos milésimos 1 centésimos 7 décimos Unidades PARTE DECIMAL Decenas Centenas Unidades de Millar Decenas de Millar Centenas de Millar PARTE ENTERA Décimos de milésimos 5.2. 9 La parte decimal tiene las siguientes órdenes, contadas de izquierda a derecha a partir del coma decimal: 1° Orden decimal décimos. 2° Orden decimal centésimos. 3° Orden decimal milésimos. etc. ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 113 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 5.3. LECTURA DE NÚMEROS DECIMALES. La lectura de un número decimal, se efectúa del siguiente modo: Se lee la parte entera cuando existe y luego el número formado por las cifras de la parte decimal, expresando el nombre del orden de la última cifra. Los ejemplos siguientes esclarecerán cómo hacer la lectura de un número decimal. Completar: a) 12,7 doce enteros y siete décimos o doce unidades y siete décimos. b) 3,125 tres ......................... y ciento veinticinco ....................................... c) 0,000 4 ........................ diez milésimos. d) 3,1416 ..................y mil cuatrocientos ...................... décimos de milésimos. e) 8,30 ocho ......................... y.................................................................... f) 12,005 ........................................................................................................... 5.3.1. ESCRITURA DE UN NÚMERO DECIMAL: Se escribe la parte entera si hubiera, en seguida la coma decimal y luego la parte decimal teniendo cuidado de colocar las cifras en el orden que le corresponde. Observemos los ejemplos: (1) Quince enteros y veintiséis milésimos : 15,26 (2) Seis enteros y veintitrés diez milésimos : 6,002 3 Cuando no hay parte entera, ésta se representa por cero (0). (1) 12 milésimos : 0,012 (2) 50 millonésimo : 0,000 050 Completar: (1) Quince enteros y seis centésimos : ............................................. (2) Cuatro centésimos : ............................................. (3) Tres enteros y veinte centésimos de milésimos : ........................ (4) Veinticinco milésimos : .............................................. ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 114 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 Escribir como se lee, observando el ejemplo, y asociar las UNIDADES. (1) 3,7 chapas ................ 3 chapas y 7 décimos (de chapas) (2) 0,50 soles ........................................................................ (3) 5,4 metros ........................................................................ (4) 2,5 pulgadas .................................................................... (5) 3,175 centímetros ............................................................ (6) 8,0025 segundos ............................................................. Observar cómo se pueden resolver los siguientes problemas: (1) ¿Cuántos milésimos hay en 54 centésimos? Representación Literaria x 1000 54 100 = Representación Matemática Despejando “x”: (2) x = 540 “Rpta: hay 540 milésimos en 54 centésimos” ¿Cuántos centésimos de décimos hay en 20000 diezmilésimos de centésimos? x 100 . 1 10 = 20000 1 . 10000 100 x = 20 Rpta: Existen 20 centésimos de décimos en 20000 diezmilésimos de centésimos. (3) ¿Cuántos milésimos hay en 2,4 centésimos? (4) ¿Cuántos cienmillonésimos diezmilésimos? (5) ¿Cuántos décimos de centésimos de milésimos hay en 240000 diezmillonésimos de milésimo? de centésimos ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO hay en 4,52 115 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 5.4. 1º. 2º. (1) PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS DECIMALES: Un número decimal no ve alterado su valor si se le añade o suprime CEROS A SU DERECHA. Ejemplos: 4,8 = 4,80 (1) 4,8 = 4,800 000 0 (2) 312,240 000 00 = 312,24 (3) 7,500 0 = 7,50 Si a un número decimal le corremos la coma decimal a la derecha un o más lugares, para que su valor no se altere debemos dividir por la unidad seguida de tantos ceros como lugares se corrió el coma decimal. Ejemplos: 0,253 0,253 25,3 100 0,253 25,3 10 2 2 lugares 2 lugares 0,253 25,3 10 2 Potencia de 10 con exponente negativo (2) 0,000002 0,000002 0,02 10000 0,000002 0,02 10 4 4 lugares 4 lugares 0,000002 0,02 10 4 Potencia de 10 4 lugares (3) 0,0075 = 75 104 4 lugares Potencia de 10 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 116 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 EJERCICIOS: (1) 0,007 = 7 x 10..... (2) 0,00016 = 16 x 10..... (3) 0,000064 = 64 x 10..... (4) 0,0025 = 250 x 10..... (5) 0,06 = 6000 x 10..... 3º. Si a un número decimal, se le corre el coma decimal a la izquierda uno o más lugares, para que su valor no se altere, se debe multiplicar por la unidad seguida de tantos ceros como lugares se corrió la coma decimal. Ejemplos: (1) 70002,5 = 7,00025 10000 4 lugares 4 lugares = 7,00025 10 4 Potencia de 10 con exponente positivo (2) = 2 1000 2000 3 lugares 3 lugares = 2 10 3 Potencia de 10 con exponente positivo (3) 50000000 = 50 10 6 6 lugares EJERCICIOS: (1) 8302,5 = 83,025 x 10..... (2) 160,5 = 0,1605 x 10..... (3) 6400000000= 6,4 x 10..... ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 117 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 (4) 25000000000 = 25 x 10..... (5) 3200000000000 = 32 x 10..... 5.5. COMPARACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES. 1º. Si dos números decimales son de signo diferente, será menor el de signo negativo sin mayor discusión por su ubicación en la recta numérica. Ejemplo: Entre los números –16,257 y +2,3 es menor el primero por ser negativo. 2º. Si dos números decimales son de igual signo, se procede del siguiente modo: se iguala el número decimal con ceros, para luego eliminar la coma decimal y comparar como si fueran números enteros. Ejemplos: (1) Comparar 3,2 con 3,574 Como el primer número tiene sólo un decimal, se le agrega DOS CEROS para que ambos números dados tengan tres decimales cada uno: 3,200 3,574 Ahora, se elimina la coma decimal en ambos números: 3 200 3 574 Como 3200 es menor que 3574, entonces: 3,2 3,574 (2) Comparar -2,31 con - 2,310 000 Por propiedad de números decimales, podemos suprimir ceros a la derecha del segundo número dado: Entonces ambos números quedarán así: -2,31 = -2,31 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 118 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 5.6. CLASIFICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES: NÚMERO DECIMAL EXACTO PERIÓDICO PURO NÚMERO DECIMAL RACIONAL (Se pueden escribir como Fracción; tienen Generatriz) NÚMERO DECIMAL NÚMERO DECIMAL INEXACTO (tienen Período) PERIÓDICO MIXTO NÚMERO DECIMAL Números decimales inexactos que no tienen período; resultan de las raíces inexactas. IRRACIONAL.Ejemplo: 2 = 1,414213562373095 . . . . = 3,1415926535897932 . . . NÚMERO DECIMAL EXACTO. Es aquel número que tiene una cantidad limitada de cifras decimales. Ejemplos: 0,25 ; 2,75 ; 1,2 - Una fracción da lugar a un NÚMERO DECIMAL EXACTO si en el denominador aparecen sólo factores que son potencias de 2 ó de 5 ó de ambos (la fracción tiene que ser irreductible). Ejemplos: (1) La fracción 17 ¿Equivale a un número decimal exacto? 32 La fracción debe ser irreductible Descomponiendo el denominador: Entonces (2) 17 32 17 17 32 25 Potencia de 2 17 17 da origen a un número decimal exacto: = 0,53125 32 32 La fracción 24 ¿Equivale a un número decimal exacto? 375 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 119 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 La fracción debe ser irreductible Se descompone el denominador: 8 8 3 125 5 La fracción 13 ¿Equivale a un número decimal exacto? 80 La fracción debe ser irreductible Se descompone el denominador: Entonces Potencia de 5 24 24 da origen a un número decimal exacto: = 0,064 375 375 Entonces (3) 24 8 375 125 13 80 13 13 4 80 2 5 Potencia de 2 y 5 13 13 da origen a un número decimal exacto: = 0,1625 80 80 ¿Se puede saber cuántas cifras decimales tendrá el número decimal resultante antes de efectuar la división? Sí; bastará con saber cuál es el mayor exponente de 2 ó 5 en el denominador de la fracción irreductible. Ejemplo: Se descompone el denominador: Entonces 13 13 4 80 2 5 Potencia de 2 y 5. El mayor exponente es 4 13 al convertirlo en número decimal, tendrá solamente 4 80 cifras decimales. Comprobar con 2071 . 500 NÚMERO DECIMAL INEXACTO. Es aquel número que tiene una cantidad ilimitada de cifras decimales. A. DECIMAL PERÍÒDICO PURO: Es aquel en cuya parte decimal aparece una o un grupo de cifras llamado período que se repite indefinidamente a partir de la coma decimal. Ejemplo: 0,27272...... = 0,27 PERÍODO (2 cifras) ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 120 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 ¿Cómo se puede saber si una fracción puede ser representada por un DECIMAL PERIÓDICO PURO? 1º. Se simplifica la fracción hasta que sea irreductible. 2º. Descomponer el denominador en sus factores primos. 3º. El número decimal correspondiente será periódico puro si los factores del denominador son distintos a 2 y 5. Por ejemplo: 1/7; 2/3; 5/63 B. DECIMAL PERIÒDICO MIXTO: Es aquel cuyo período empieza luego de una cifra o grupo de cifras después del coma decimal. A esta cifra o grupo de cifras se denomina parte no periódica. Ejemplo: 0,7312512512........ = 0,73125 Parte No Periódica Parte Periódica ¿Cómo se puede saber si una fracción puede ser representada por un DECIMAL PERIÓDICO PURO? 1º. Simplificar la fracción hasta que sea irreductible. 2º. Descomponer el denominador en sus factores primos. 3º. El número decimal correspondiente será periódico mixto si los factores del denominador son 2 ó 5 ó ambos, además de otros factores primos distintos de 2 y 5. Por Ejemplo: 2/15 ; 5.7. 6/35 ; 5/24 GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL. Todo número decimal racional tiene su equivalente en forma de fracción. La fracción que genera un número decimal se llama FRACCIÓN GENERATRIZ. A. GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL EXACTO: 1º. Se escribe como numerador todo el número sin el coma decimal. 2º. Se escribe como denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 121 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 Ejemplos: a) 0,75 = 75 100 2 ceros 2 cifras decimales 2058 1000 b) 2,058 = 3 ceros 3 cifras decimales B. GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO PURO : CUANDO EL NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO PURO TIENE LA PARTE ENTERA NULA : 1º. En el numerador escribimos el período. 2º. En el denominador se escribe tantos nueves como cifras tenga el período. Ejemplo: a) 0,54 = 54 99 2 CIFRAS b) 0,1 = 6 11 = 2 NUEVES 1 9 CUANDO EL NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO PURO TIENE LA PARTE ENTERA DISTINTA DE CERO: 1º. Se desdobla la parte entera de la decimal, así: 3,54 = 3 + 0,54 2º. Escribir la fracción generatriz de la parte decimal : 3,54 = 3 + 3º. 54 99 Finalmente, volver a sumar, pero ahora como una suma de fracciones: 3,54 = 3 + 54 99 = 3 + 6 11 = 39 11 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 122 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 C. GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO MIXTO: CUANDO EL NÚMERO DECIMAL TIENE LA PARTE ENTERA NULA: 1º. En el numerador de la fracción generatriz, escribimos el número decimal sin el coma y se resta la PARTE NO PERIÓDICA. 2º. En el denominador, escribimos tantos nueves como cifras tenga el PERIÓDO seguido de tantos ceros como cifras tenga la PARTE NO PERIÓDICA. Ejemplos: (1) 0,235 = 235 2 990 2 cifras 2 nueves 1 cifra 1 cero (2) 0,235 = 0,372 = 0,372 = 233 990 372 37 900 . . . Completar. CUANDO EL NÚMERO DECIMAL TIENE LA PARTE ENTERA NO NULA : Se procede a desdoblar la parte entera de la decimal. Ejemplo: 3,254 = 3 + 0,254 3,254 = 3 + 254 25 900 3,254 = 3 + 229 900 3,254 = 2999 900 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 123 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 5.8. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS DECIMALES. Si se trata de decimales exactos, se busca que tenga la misma cantidad de cifras en la parte decimal completando con ceros. Al sumar o restar, se escribe un número bajo el otro cuidando que la coma decimal esté alineada para luego proceder a operar como si se trataran de números enteros. En el resultado, se vuelve a escribir la coma decimal en la misma línea vertical que las demás. Ejemplos: (1) Efectuar: 0,3 12,78 3,2057 Completando con ceros y escribiendo un número bajo el otro: Se efectúa como si fueran enteros : 0,3000 12,7800 3,2057 16,2857 (2) La coma conserva el lugar de los demás Efectuar: 78,13 9,087 Completando con ceros y escribiendo un número bajo el otro: Efectuando como si fueran enteros : 78,130 9,087 La coma conserva el lugar de los demás 69,043 Si se trata de decimales inexactos, se opera con sus fracciones generatrices: Ejemplos: (1) Efectuar: 0,3 2,5 1,6 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 124 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 Solución: Se van a reemplazar los decimales periódicos puros por sus fracciones generatrices: = 3 5 6 2 1 9 9 9 = 3 = 41 4,555.... 9 Respuesta: (2) Efectuar: 14 9 0,3 2,5 1,6 = 4,5 31,62 - 7,36 Solución: Reemplazar los decimales periódicos mixtos por sus fracciones generatrices: = Suprimiendo los paréntesis 62 6 36 3 31 7 90 90 = 31 56 33 7 90 90 = 24 23 90 = 2183 90 = 24,25 =24,2555… 5.8.1. OPERACIONES COMBINADAS DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE DECIMALES. Viendo un ejemplo: Efectuar: 1,25 0,5 13,1 0,1 0,025 2,2 Eliminando paréntesis = 1,25 0,5 13,1 0,1 0,025 2,2 Suprimiendo corchetes = 1,25 0,5 13,1 0,1 0,025 2,2 Suprimiendo llaves 1,25 0,5 13,1 0,1 0,025 2,2 = Se suman los positivos y negativos por separado: = 1,25 13,1 0,1 2,2 0,5 0,025 = 16,65 – 0,525 = 16,125 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 125 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 Ahora, resolver los siguientes ejercicios de reforzamiento: (1) 18,5 5,2 6,7 0,4 25,15 A) 41,75 B) 31,75 C) 41,57 D) 75,41 E) 75,31 (2) 0,08 0,032 0,4 0,75 2,1 A) 2,75 B) 3,50 C) 1,578 D) 2,498 E) 5,310 (3) 0,1 0,2 0,85 3,2 0,85 0,2 0,1 A) 4,6 B) 3,50 C) - 1,5 D) 2,4 E) - 3,2 (4) 0,22... 0,11... 1,22... 0,33... A) 2/9 B) –11/9 C) –5/9 D) 1 E) 2 (5) 0,25 0,33... 0,5 0,22... 0,75 0,44... A) 11/18 (6) B) –11/18 C) 7/9 D) 12/7 E) 1 3 décimos 85 milésimos + 458 centésimos A) 4,965 centésimos B) 496,5 milésimos D) 496,5 centésimos E) 49,65 milésimos C) 49,65 centésimos (7) 75 décimos – 457 milésimos + 32 centésimos A) 7363 centésimos D) 73,63 centésimos B) 7363 milésimos C) 736,3 décimos E) 736,3 milésimos (8) 200 décimos de centésimos + 40000 diezmilésimos de centésimos A) 0,24 B) 2,4 C) 1,5 D) 4,24 E) 3,2 (9) Elio le dice a Oswaldo; si me dieras S/. 3,75 ambos tendríamos la misma cantidad de dinero. Si entre los dos tiene S/. 42,50 ¿Cuánto dinero tiene Oswaldo? A) S/ 12,50 B) S/ 38,75 C) S/. 25,00 D) S/ 40,00 E) S/ 35,50 Comprobar respuestas: 1A 2D 3E 4B 5A 6D 7B 8A 9C ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 126 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 5.9. MULTIPLICACIÓN Y POTENCIACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES. 5.9.1. Multiplicación y División por potencias de 10. Para multiplicar por potencias de base 10, basta correr la coma decimal hacia la derecha tantas órdenes como ceros tenga la potencia, y para dividir basta correr la coma decimal para la izquierda. Observar que correr la coma decimal para la derecha, equivale a multiplicar ó aumentar el valor, en tanto que, para la izquierda equivale a dividir o disminuir el valor: Ejemplo 1: Para multiplicar 47,235 por 100, esto es, por 10 2. Basta correr la coma decimal dos órdenes hacia la derecha. Entonces: 47,235 x 100 = 4723,5 El valor relativo de 7 pasó ser 700 Corre 2 espacios a la derecha Además: 38,31152 x 1000 = 38311,52 8 pasa a ser 8000 Corre 3 espacios a la derecha Completar a simple vista: a) 0,2356 x 1000 = _______ b) 0,7568565 x 100000 = ______ c) 0,012021 x 100000 = ______ d) 1,2 x 1000 = ________ e) 0,26 x 102 = ________ f) 0,000005 x 105 = ________ g) 2,58 x 104 = ________ h) 10,3 x 103 = ________ i) 0,5 x 105 = ___________ ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 127 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 Verificar los resultados y corregir, si es necesario: a) b) c) d) e) 235,6 75685,65 1202,1 1200 26 f) g) h) i) 0,5 25800 10300 50000 Ejemplo 2: Para Dividir 47,235 entre 1000 esto es 103 basta correr la coma decimal tres órdenes hacia la izquierda. Así: 13,235 1000 = 0,013235 El valor relativo de 13 enteros pasa a ser 0,013 (trece milésimos). “Corre 3 espacios a la izquierda” O también: 352,7 100 = 3,527 El valor relativo de 300 pasa a ser 3. “Corre 2 espacios a la izquierda” Completar a simple vista, según el ejemplo: a) 385,2 100 = 3,852 b) 2500 10000 = c) 2335,8 100000 = d) 25000000 105 = e) 3,20 104 = f) 3002,4 107 = g) 30000000 109 = Verificar la respuesta: b) c) d) e) f) g) 0,25 0,023358 250 0,00032 0,00030024 0,03 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 128 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 5.9.2. Multiplicación Por Números Diferentes de Potencias de 10. Recordar que la multiplicación es una suma indicada de sumandos iguales, entonces 3 3,6 puede efectuarse como sigue: 3,6 + 3,6 3,6 Complete el ejercicio: 10,8 3,6 x 3 0,175 + 0,175 x 10,8 Por tanto, para multiplicar números decimales: Se multiplican los números como si fuesen enteros, y en el producto se separan tantos decimales, como tengan los factores. Ejemplos: a) 5 x 1,41 = 7,05 b) 1,732 x 5 = 8,660 c) 0,012 x 1,2 = 0,0144 8,66 1,75 d) 1,25 x 1,4 = 1,750 Observar cómo se forman los resultados en los dos últimos ejemplos: 0,012 1,2 3 órdenes decimales 1 orden decimal 1,25 1,4 24 12 0,0144 2 órdenes decimales 1 .......................... 500 125 4 ordenes decimales 1,750 ............................... Resolver los siguientes ejercicios: 23,12 x 0,14 Rpta: 3,2368 24,786 x 2,5 Rpta: 61,965 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 0,0048 x 3,9 Rpta: 0,01872 129 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 Observar el primer ejemplo y escribir la respuesta (a simple vista) de los ejercicios de reforzamiento que continúan. 0,35 x 0,2 x 0,0006 = 420 2 cd + 1 cd + 4 cd = 7 cd Se multiplica como si fuesen números enteros Se completa con ceros, las cifras decimales que faltan. = 0,0000420 = 0,000042 a) 0,005 x 0,06 = g) 3,4 x 0, 11 = b) 0,15 x 0,05 = h) 2,5 x 1,1 c) 5 x 0,0054 = i) 0,071 x 0,011 d) 2,48 x 0,005 = j) 1,2 x 1,1 x 0,01 = e) 0,5 x 0,624 = k) 0,03 x 0,002 x 0,1 = f) 3,20 x 0,5 = l) 4 x 0.02 x 0,1 x 0,05 = Comprobar las respuestas: a) 0,00030 b) 0,0075 c) 0,0270 d) 0,01240 e) 0,3120 f) 1,60 g) h) i) j) k) l) 0,374 2,75 0,000781 0,0132 0,000006 0,00040 5.9.3. Potenciación de Números Decimales. Por definición de potenciación, se sabe que: (0.2)3 = (0.2) (0.2) (0.2) = 0.008 Se puede hallar la potencia de algunos números decimales mentalmente de una forma práctica, por ejemplo: (0,03)4 = 0.00000081 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 130 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 Multiplicar la cantidad de cifras decimales por el exponente. = 8 cifras decimales (0,03)4 = 0.00000081 Hallar la potencia de la cifra 4 significativa: 3 = 81 2 cifras decimales Resolver siguiente: mentalmente las potenciaciones que se muestran en el cuadro 1. (0.003)2 = 2. (0.07)2 = 3. (0.2)5 = 4. (0.05)3 = 5. (0.012)2 = 6. (0.13)2 = 5.10. DIVISIÓN POR NÚMEROS DIFERENTES DE POTENCIAS DE 10. Suponiendo que se tienen 13 caramelos para repartir entre 5 niños. El cálculo será: 13 5 2 3 caramelos para cada niño sobrando 3 caramelos Propiedad: Si al dividendo y al divisor se multiplica por cualquier número entero “K”, y se repite la división, el cociente no se altera, sigue siendo el mismo, pero el verdadero residuo varía quedando multiplicado por el número “K”. Comprobando, multiplicar al dividendo y al divisor del ejemplo anterior por 4 y volver a dividir: 52 20 2 12 El cociente no varía el residuo quedó multiplicado por 4 Comprobando otra vez la propiedad, multiplicando al dividiendo y al divisor por 100, y volviendo a dividir: 1300 500 2 300 El cociente no varía el residuo quedó multiplicado por 100 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 131 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 Esta propiedad permite convertir a DIVISOR ENTERO al hacer operaciones con números decimales. Tomando por ejemplo, la división 39,276 0,5. Observar que el divisor se convierte en un número entero, multiplicando en este caso por 10 al dividendo y al divisor (recordar que al multiplicar por una potencia de diez a un número decimal, se corre el coma decimal hacia la derecha) quedando así: 392,76 5 042 002 7 00 025 78,55 000,01 Cociente 0,01 es el Residuo falso (quedó multiplicado por 10) El verdadero residuo es 0,01 10 = 0,001. Respuesta: Al dividir 39,276 0,5 se obtiene Cociente: 78,55 Residuo: 0,001 Comprobando, utilizando el Algoritmo de la división: Dividendo = divisor x cociente + residuo 39,276 = 0,5 x 78,55 + 0,001 Desarrollar los siguientes cálculos como comprobación: 78,55 x 0,5 + Luego, se llega a la conclusión que para dividir decimales con coma decimal en el divisor, se sigue la siguiente regla: Se convierte el divisor a entero, multiplicando por una potencia de 10. Se compensa esto multiplicando el dividendo con el mismo número (Potencia de 10). El verdadero residuo se obtendrá dividiendo el falso residuo entre el mismo número (Potencia de 10). ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 132 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 Realizar la división de 38,49 entre 0,6 y confirmar el resultado como se hizo con el ejemplo anterior. EJERCICIOS: 1. Convertir en enteros los divisores, como el ejemplo: a) 4,6 0,02 460 e) 1,2 4,325 2 b) 1,45 0,5 f) 4,82 1,4 c) 8 0,001 g) 6,247 21,34 d) 4 1,25 2. Dividir siguientes ejercicios, hasta llegar a obtener los cocientes en milésimos y además indicar cual es el verdadero residuo. 0,32 0,13 = 32, 13 06 0 2,461 Cociente 00 80 000 20899 00,007 Falso residuo = 0,007 Verdadero Residuo = 0,007 100 = 0,00007 a) 0,17 15 = b) 0,1 0,03 = c) 0,325 0,19 = d) 25,0087 3,02 = Corregir los ejercicios 1 y 2: ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 133 1. 2. b) 14,5 5 c) 8000 1 d) 400 25 e) 1200 4325 f) 48,2 14 g) 624,7 21,34 a) b) c) d) Cociente = 0,011 Residuo = 0,005 Cociente = 3,333 Residuo = 0,00001 Cociente = 1,710 Residuo = 0,0001 Cociente = 8,281 Residuo = 0,00008 EJERCICIOS: 3. Calcular la distancia “x” de la pieza. x 5,7 m 4. Halla la medida de la distancia de “x”. x x x 2,15 m 3,015 m ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 134 5. En la Figura “O” y “P” son puntos medios de AB y CD respectivamente. Calcular el valor de “x”. 6,24 7,02 P C D O A B x 15,6 Comprobando respuesta de los ejercicios 3; 4 y 5: 3. 1,9 4. 0,865 5. 1,95 5.11. RADICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES. Definición de una radicación: n n : índice radical a : radicando b : raíz a b b a n n Reconociendo qué números decimales tienen raíz exacta a simple vista. Por ejemplo, hallar la raíz cúbica de 0,000064: Primero, analizar si la cifra significativa del número decimal tiene raíz exacta. Bien, ahora se tiene que contar la cantidad de cifras decimales. Esta debe ser múltiplo o divisible por el índice radical. 3 3 0,000064 0,000064 3 3 64 4 0,000064 6 cifras decimales y es divisible por el índice radical que es 3 Si cumple estas dos condiciones, entonces se puede afirmar con seguridad que el número 0,000064 tiene raíz cúbica exacta. Esa raíz exacta se obtendrá a simple vista de la siguiente manera: ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 135 Hallar la raíz de la parte significativa. Dividir la cantidad de cifras decimales, entre el índice radical, este cociente indicará la cantidad de cifras decimales que debe tener la raíz. 3 Ejemplo, hallar: 4 0,000064 2 cifras decimales 0,04 6 cifras decimales 3 64 4 0,000000000625 4 3 cifras decimales 0,000000000625 0,005 4 12 cifras decimales 625 5 EJERCICIOS I. Completar el siguiente cuadro a simple vista, no usar calculadora. 1,44 ¿Tiene raíz exacta? Si tiene raíz exacta, ¿Cuál es? sí 1,2 ¿Tiene raíz exacta? 3 0,000008 0,0625 3 0,125 0,000049 3 0,027 1,21 3 0,00000036 4 0,00009 II. Si tiene raíz exacta, ¿Cuál es? 0,0001 0,00000081 5 0,00001 Resolver las siguientes operaciones combinadas con números decimales 1. 0,09 3 0,027 0,36 8 Rpta: 0 3 2. 3. 6 0,008 3 0,125 5 0,00001 0,5 Rpta: 1,2 0,000064 0,027 - 0,00000001 0,95 400 3 4 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 136 Rpta: 2 4. 0,000004 0,00000025 - 0,0001 Rpta: 0,2 PROBLEMAS RESUELTOS 1. Una rueda de 0,12 m de longitud Solución: ¿Cuántas vueltas dará al recorrer Fórmula: (Lc : Longitud circunferencia) 1,80 m? Distancia recorrida = # vueltas x Lc. 1,80 m = # vueltas.(0,12 m) 15 = # de vueltas 2. Para comprar 20 tornillos faltarían 8 Solución: céntimos de sol, si se compran 15 Se tiene : T Precio de cada tornillo : P tornillos, sobraría S/. 0,12. ¿Cuánto vale cada tornillo en soles? 20P = T + 0,08 15P = T - 0,12 Restar miembro a miembro. 5P = 0,20 P = 0,04 3. ¿En cuántos ochentavos es mayor Solución: x 0,32 que 0,1325? 0,32 - 0,1325 80 x 80.(0,1875) x 15 4. Un frasco con aceite vale S/. 4,75 y Solución: el aceite vale S/. 3,75 más que el Frasco : F Perfume : P frasco; entonces el precio del frasco es: F + P = 4,75 P - F = 3,75 Restando miembro a miembro. 2F = 1 F = 0,50 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 137 5. Efectuar: 924,3555... 24,3555... E 97,666... 2,333 Solución: 900 100 E = 3 6. En el dibujo hallar a - b + c Solución: R c 3,25 mm R 19,50 mm 3R = 19,50 R = 6,50 b a = 21,75 - 2R = 21,75 - 13 = 8,75 b = 2R = 13 a 21,75 mm c = 2R + 3,25 = 13 + 3,25 = 16,25 a - b + c = 8,75 - 13 + 16,25 a - b + c = 12 mm 7. Guido da a un mendigo tantas veces 15 centavos como soles llevaba en la billetera. Si aún le queda S/. 170.00 ¿Cuánto llevaba en la billetera? 8. Se compran 200 alfileres a S/. 5 el ciento; se echan a perder 20 y los restantes los vendo a S/. 0,84 la docena. ¿Cuánto se gana? Solución: Soles que llevaba en la billetera : x x - 0,15 x = 170 0,85x = 170 x = 200 9. Andrés vendió 60,80 kg de hortalizas por S/.160,72 sabiendo que en los 40 primeros kg ha ganado S/. 0,60 por kg y en los restantes ha perdido S/.0,35 por kg ¿Cuál fue el precio de compra? Solución: 10. ¿Qué fracción de 6,025 es 1,205? Solución: Solución: Quedan por vender 180 alfileres que es igual a : 180/12 = 15 docenas Se vendió: 15 Docenas x 0,84 = S/. 12,60 Se Invirtió: S/. 10 por los dos cientos. Ganancia: S/.12,60 - S/. 10,00 = S/. 2,60 En los 40 kg., ganó = 40.(0,60) = S/. 24 En el resto : 60,80 - 40 = 20,80 Kg perdió = 20,80.(0,35) = 7,28 Ganancia liquida: 24 – 7,28 = S/. 16,72 P. de Compra = P. de Venta - Ganancia P. de Compra = 160,72 - 16,72 = S/.144 Fracción = ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 1,205 = 1/5 6,025 138 PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I 1. Tres cajas contienen diferentes artículos. La primera con segunda pesan 76,58 Kg., la segunda con la tercera 90,751 Kg. y la primera con tercera pesan 86,175 Kg. ¿Cuánto pesa la segunda caja? a) 40,84 Kg. b) 50,17 Kg. c) 40,578 Kg .d) 42,57 Kg e) 48,25 Kg. 2. Un depósito de 425,43 litros de capacidad, se puede llenar con dos caños .La primera vierte 25,23 litros en 3min. y la segunda 31,3 litros en 5min. Si trabajan los dos juntos, ¿en cuánto tiempo podrán llenar el depósito? a) 27min b) 28min c) 29min d) 30min e) 8min 3. Un rodillo de piedra tiene de circunferencia 6,34m. De un extremo a otro de un terreno da 24,75 vueltas. ¿Cuál es la longitud del terreno? a) 60,254 m b) 62,558 m c) 54,058 m d) 56,915 m e) 52,128 m 4. Después de comprar 12 cuadernos, me sobran S/. 4,2 y para comprar otro cuaderno, me falta S/1,3. ¿Cuánto dinero tenía al inicio? a) S/. 70,20 b) S/. 72,28 c)S/.73 d) S/. 71,20 e) S/. 70 5. El precio del pasaje adulto en S/. 1,20y del medio pasaje es S/. 0,70. Si la recaudación fue S/. 18,60, además se observa que por cada niño que subió, subieron 2 adultos. Calcule el número de pasajeros. a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18 6. ¿Cuántos centésimos hay en 6 decimos? a) 0,6 b) 60 c) 600 d) 0,06 e) 6000 7. Si Juan vende todos sus helados a S/. 1,50 cada uno, le faltaría S/. 15 para comprarse un par de zapatos, pero si vende todos los helados a S/. 2 cada uno le sobrarían S/. 30. ¿Cuánto cuesta un par de zapatos? a) S/. 125 b) S/. 100 c) S/. 75 d) S/. 150 e) S/. 162 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 139 8. Si vendo cada lápiz a S/. 0,70 gano S/. 1,2 pero si vendo a S/. 0,5 perdería S/. 0,6. ¿Cuántos lápices tengo? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 9. De una barra de 520cm de longitud se quiere cortar la mayor cantidad de pedazos de 32cm. Si el ancho de la sierra de corte es de 0,25cm. ¿Cuánto sobrará de la barra en cm? a) 4 b) 4,52 c) 3,75 d) 4,25 e) 2,28 10. En el recorrido de un micro se observo que en total Viajaron 63 personas entre adultos y universitarios. Si el pasaje de un adulto es S/. 1,25 y el de un Universitarios S/.0,75. ¿Cuántos adultos viajaron, si en total se recaudó S/. 64,75? a) 28 b) 53 c) 35 d) 45 e) 42 11. Si tiene 5 cajas y en cada caja hay 2,5 docenas de paquetes de medio ciento de lápices cada uno. Si en total se pagó s/.9 975. ¿A cómo tiene que vender cada ciento de lápices para ganar S/. 0,65 en cada lápiz? a) 140 b) 192 c) 190 d) 198 e) 178 c) 10 d) 19 e) 9 12. Calcular la suma de cifras de M. Si: 0,4 0,25 0,12225 M a) 14 1,16 b) 11 13. Se tiene un recipiente que contiene vino y agua, en el cual 0,4 de su capacidad es agua Si luego se extraen 100 litros del recipiente, ¿cuántos litros de vino se extrajo? a) 50 b) 65 c) 70 d) 50 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO e) 60 140 14. En el gráfico, hallar “L”, si r = 2,6 m L a) 12,40 m b) 14,20 m c) 11,84 m d) 15,30 m e) 13,64 m R r 13,6m 15. Efectuar la siguiente operación. 0,0062 0,0025 0,0000042 a) 72 10 2 b) 1 c) 36 10 4 d) 3,6 10 4 e) 18 10 2 16. Si la raíz cuadrada de “T” es “M”, hallar la raíz cuadrada de “M” T 8,3521 a) 1, 3 b) 1,2 c) 1,7 d) 1,01 e) 1,4 17. Hallar el valor de “E” E 2,3 0,375 0,83 1,3 a) 0,72 b) 0,50 c) 0,60 d) 0,55 e) 0,333… d) 8,25 e) 5,444… 18. Hallar el decimal equivalente a: a) 6,4 2 0,916 3,6 b) 12 c) 8 19. Un rodillo de piedra tiene de circunferencia 6,34m. De un extremo a otro de un terreno da 24,75 vueltas. ¿Cuál es la longitud del terreno? a) 60,254 m b) 62,558 m c) 54,058 m d) 56,915 m e) 52,128 m 20. Después de comprar 12 cuadernos, me sobran S/. 4,2 y para comprar otro cuaderno, me falta S/1,3. ¿Cuánto dinero tenía al inicio? a) S/. 70,20 b) S/. 72,28 c)S/.73 d) S/. 71,20 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO e) S/. 70 141 21. El precio del pasaje adulto en S/. 1,20y del medio pasaje es S/. 0,70. Si la recaudación fue S/. 18,60, además se observa que por cada niño que subió, subieron 2 adultos. Calcule el número de pasajeros. a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18 22. ¿Cuántos centésimos hay en 6 decimos? a) 0,6 b) 60 c) 600 d) 0,06 e) 6000 23. Si Juan vende todos sus helados a S/. 1,50 cada uno, le faltaría S/. 15 para comprarse un par de zapatos, pero si vende todos los helados a S/. 2 cada uno le sobrarían S/. 30. ¿Cuánto cuesta un par de zapatos? a) S/. 125 b) S/. 100 c) S/. 75 d) S/. 150 e) S/. 162 24. Si vendo cada lápiz a S/. 0,70 gano S/. 1,2 pero si vendo a S/. 0,5 perdería S/. 0,6. ¿Cuántos lápices tengo? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 25. De una barra de 520cm de longitud se quiere cortar la mayor cantidad de pedazos de 32cm. Si el ancho de la sierra de corte es de 0,25cm. ¿Cuánto sobrará de la barra en cm? a) 4 b) 4,52 c) 3,75 d) 4,25 e) 2,28 26. Calcular la suma de cifras de M. Si: a) 14 0,4 0,25 0,12225 M 1,16 b) 11 c) 10 d) 19 e) 9 27. Se tiene un recipiente que contiene vino y agua, en el cual 0,4 de su capacidad es agua Si luego se extraen 100 litros del recipiente, ¿cuántos litros de vino se extrajo? a) 50 b) 65 c) 70 d) 50 e) 60 28. En el gráfico, hallar “L”, si r = 2,6 m L ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO R r 8,4 m 142 a) 12,40 m b) 14,20 m c) 11,84 m d) 15,30 m e) 13,64 m 29. Efectuar la siguiente operación. 0,0062 0,0025 0,0000042 a) 72 10 2 b) 1 c) 36 10 4 d) 3,6 10 4 e) 18 10 2 30. Si la raíz cuadrada de “T” es “M”, halle la raíz cuadrada de “M” T 8,3521 a) 1, 3 b) 1,2 c) 1,7 d) 1,01 e) 1,4 31. Hallar el valor de “E” E 2,3 0,375 0,83 1,3 a) 0,72 b) 0,50 c) 0,60 d) 0,55 e) 0,333… 32. Hallar el decimal equivalente a: a) 6,4 2 0,916 3,6 b) 12 c) 8 d) 8,25 e) 5,444… 33. Pierdo s/.19 al vender 95 pelotas a s/.9,65 cada una. ¿Cuál es el precio de compra de una gruesa de pelotas? a) S/.1418,40 b) S/.1400 c) S/. 985 d) S/.1280 e) S/. 1346 PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 143 1. Doce pernos cuestan S/. 1,20; si se venden 4 pernos por S/0,50 ¿Cuántas docenas de pernos hay que vender para ganar S/. 2,40? A) 12 B) 10 C) 8 D) 18 E) 24 2. Efectuar : 8,3144... 0,31414... B 1,444... 0,555... A) 1/2 B) 2/3 1 C) 4 D) 1/4 E) 2 3. Se vio una muestra de bronce que pesaba 4,55 kg, contenía 3,18 kg de cobre y 1,37 kg de zinc. ¿En 500 kg de bronce cuánto cobre habrá? (Nota: la razón de cobre a bronce será constante en cualquier cantidad de bronce) A) 300 kg B) 250 kg C) 324 kg D) 349 kg E) 180 kg 4. En una tienda hay arroz de dos calidades cuyos precios son S/. 2,00 y S/. 1,50 el kg. ¿Cuántos kg de arroz de mayor precio se deben poner para obtener una mezcla de 50 kg de arroz de S/ 1,80 el Kg? A) 30 kg B) 25 kg C) 32 kg D) 49 kg E) 18 kg 5. Se quiere formar un cubo sólido con ladrillos cuyas dimensiones sean 0,12m; 0,10m; y 0,18m. ¿Calcule el menor número de ladrillos? A) 3000 B) 2500 C) 3240 D) 2700 E) 2800 6. ¿Cuántas de las siguientes fracciones generan números decimales inexactos periódicos mixtos? 23 9 17 301 5 43 ; ; ; ; ; 60 900 41 30 16 47 A) 1/2 7. Hallar R B) 2 C) 4 D) 3 E) 1 R , si: 3 (0,028)(0,00005)(2,25) (0,002)(0,15)(0,007) A) 1,20 B) 2,50 C) 1,50 D) 0,80 E) 0,50 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 144 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 UNIDAD 06 POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 145 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 6.1. POTENCIACIÓN. Es la operación que consiste en repetir número llamado base, tantas veces como factor, como lo indica otro llamado exponente, denominando al resultado de esta operación potencia. b : base n : exponente bn P P : potencia bn b b b .... b P “n” veces Ejemplos: a. 54 5 5 5 5 625 b. 33 3 3 3 27 c. 71 7 7 d. 25 2 2 2 2 2 32 3 2 2 2 2 8 e. 3 3 3 3 27 6.2. f. 0,53 0,5 0,5 0,5 0,125 SIGNOS DE LA POTENCIACIÓN. El signo de la potencia dependerá del exponente y del signo de la base. a. b. c. PositivoPar o impar Positivo Negativo Par Positivo Negativo Impar Negativo Ejemplos: a. (+2)4 = +16 b. (+2)5 = +32 c. (-2)4 = +16 d. (-3)2 = +9 e. (-2)5 = -32 f. (-3)3 = -27 4 16 2 g. 81 3 3 1 1 h. 64 4 NOTA: Observar el siguiente ejemplo: - 34 - 3 3 3 3 - 81 “El exponente solo afecta al número 3”, mientras que: ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 146 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 - 34 - 3 3 3 3 81 “El exponente afecta al signo y al número 3” Por lo tanto: -34 ≠ (-3)4 6.2.1. PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN. PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN PROPIEDAD NOTACIÓN a0 = 1; (a ≠ 0) Exponente cero EJEMPLO 00 = Indeterminado b) Producto de potencias de igual base an x am = an+m Cociente de potencias de igual base an a n -m m a 0 7 a) 70 1 3 7 210 Indeterminado 5 3 2 x 2 2 5 3 2 8 28 283 25 23 n a n 1 1 n a a Exponente negativo a b n n bn b n a a 3 4 2 4 3 2 Potencia de un producto a bn a n bn Potencia de un cociente an a bn b 3 3 4 42 Potencia de una potencia a 2 Exponente de exponente c c a b a b n b c a bc 4 5x2 4 2 3 5 5 4 x2 4 4 2 2 3 x5 2 15 2 3 2 3x3 2 9 2 a) 18 = 1 Potencia de la unidad n 1 =1 b) 115 = 1 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 147 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 EJERCICIOS Completar el número que falta en el casillero correspondiente: 1) (-5)3 = 2) (+7)2 = 3) (-1)715 = 4) (-10)3 = 5) (-9)2 = 6) (-4)3 = 7) (+5)3 = 8) (+1)17 = 9) (-7)3 = 10) (-4)4 = 11) (-1)13 = 12) -113 = 13) (-1)80 = 14) -180 = 15) (-5+5)3 ─ 3 = 16) 2 = 5 17) 2 = 5 18) 2 = 3 19) 2 = 5 20) 2 = 5 21) 3 3 4 3 4 4 2 = 3 Completar los casilleros para que se verifique las siguientes igualdades 1) 77 72 73 7 7 2) 17 250 17 125 17 17 373 3) 273 98 275 38 3 4) 72 1388 5) 13 19 69 13 19 6) ..13 13 7) 3 2 5 8) 253 19 9) 515 159 315 156 15 .5 .2 .3 4 6 5 .3 .57 .20 .77 3. . 2. . 5 .3 .58 .0 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 148 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 10) 517 11) 3 5 3 12) 2 .3 8 7 7 2 13) 3 5 14) 132 15) 3 5 7 11 = 5 7 11 3 .87 .9 ......... .9 .3 .4 11 9 9 9 .27 5.12 15 2 11 11 11 Escribir en los casilleros en blanco las potencias indicadas: a b n Al cuadrado Al cubo A la cuarta 1 2 2 3 1 2 3 2 2 5 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 149 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 6.3. RADICACIÓN. La RADICACION es una operación inversa de la potenciación. En la potenciación se vio que: 23 = 2 x 2 x 2 = 8. Al factor 2 que se repite (BASE) se llama raíz cúbica de 8. Simbólicamente se tiene: 3 8 = 3 2 3 =2 Si 24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16 Se dice que 2 es la raíz ………………de 16. La notación será: 4 16 ........ ............ O que es lo mismo, raíz cuarta de 16 es 2. Al trabajo de sacar raíz se denomina RADICACIÓN, que es una operación inversa de la POTENCIACIÓN. OBSERVACIONES: A LA RAIZ TERCERA se le llama también RAIZ CÚBICA. A LA RAIZ SEGUNDA se le llama RAIZ CUADRADA. Así mismo: 23 = 8 3 15 = 1 5 = 1 (se lee RAÍZ……………………………………………… ) 32 = 9 2 = 3 ( se lee……………………………………………………) 51 = 5 …...= 5 (se lee RAÍZ PRIMERA DE CINCO RAIZ…………… 8 = 2 (se lee RAÍZ CÚBICA DE OCHO) Ver los nombres de los términos de la radicación ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 150 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 Luego: La radicación es la operación que asocia al par ordenado (b;n), con b |R y n |N, un número real (si existe) llamado raíz enésima de b, que se denota n b Radicación: |R x |N* |R (b, n) n b = a an = b Donde: Si b> 0, entonces a > 0 Si b >0 entonces a< 0 (si existe) Ejemplos: a) b) 3 0,027 0,3 36 = no existe en el conjunto de números reales (R) ALGORITMO DE UNA RAÍZ CUADRADA. Se va a hacer un ejemplo paso a paso para mostrar cómo se hace. Suponiendo que se quiere hallar la raíz cuadrada de 59074 En primer lugar se separan las cifras de dos en dos empezando de derecha a izquierda así: 5.90.74 Buscando un número cuyo cuadrado sea 5 o menor que 5, que será 2. Se escribimos el 2 en la caja de la derecha: Se eleva 2 al cuadrado, que da 4 y se le resta al 5, quedando 1: ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 151 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 Se bajan las dos cifras siguientes, o sea el 90, separando la última cifra de la derecha, o sea el cero. Se pone el doble de 2 debajo, o sea un 4: Y se divide 19 entre 4 que cabe a 4. Se añade ese 4 a la derecha del otro 4 y se multiplica por 4 el 44: Se resta 190 menos 176 y se escribe debajo del 190, subiendo ya el 4 a la derecha del 2: Se bajan las dos cifras siguientes, o sea el 74, separando la última cifra de la derecha: ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 152 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 Se baja el doble de 24, o sea 48 y se divide 147 entre 48: Como esa división cabe a 3, se añade un 3 a la derecha del 48 y se multiplica 483 por 3: Se resta 1474 menos 1449, quedando 25 de resto: De tal forma que: radicación.” 2432 25 59074 “Donde 25 es el residuo de la Si el número del que se quiere hallar la raíz es decimal la separación de las cifras de dos en dos se hace desde la coma hacia la derecha y hacia la izquierda. Si en la raíz cuadrada anterior se quiere sacar decimales, se bajan dos ceros a la derecha del 25, se pone una coma después del 243 y se sigue el mismo procedimiento. ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 153 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 EJERCICIOS. Calcular la raíz cuadrada de los siguientes números e indicar su raíz cuadrada, el residuo y realizar su comprobación. Número Raíz cuadrada Residuo Comprobación 242 144 58708 242 2 144 58708 99500 734449 1522756 RAIZ CUADRADA POR DESCOMPOSICIÓN EN SUS FACTORES PRIMOS. Se va a hallar la raíz cuadrada de 435 600, empleando el método descomposición en sus factores primos. Primero. Descomponer en sus factores primos el número 435600. 435600 24 32 52 112 Segundo. Extraer la raíz cuadrada de 435600, utilizando la propiedad de radicales (Raíz de una multiplicación indicada). 435600 24 32 52 112 24 32 52 112 22 3 5 11 660 Entonces 435600 660 Otro ejemplo: Hallar la raíz cúbica de 216000. 3 216000 3 2 6 33 53 2 2 3 5 60 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 154 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 EJERCICIOS Calcular la raíz que se indica en cada caso (ver cuadro), utilizar le método de descomposición de factores primos. Número 3 Procedimiento 3 2744 Respuesta 2744 3 23 7 3 2 7 14 14 7744 4 50625 18225 6.3.1. SIGNOS DE LA RADICACIÓN. SIGNOS DE LA RADICACIÓN EJEMPLOS 1) a) Par o Impar 2) 3) 4) Impar b) - 1) 2) c) Par No existe en el conjunto de números reales (R) 1) 2) 4 81 3 5 32 2 724 1 1 725 1 1 3 64 4 547 4 1 1 16 No existe en R. 1 No existe en R. 540 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 155 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 6.3.2. PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN. PROPIEDAD Raíz de un Producto Raíz de un Cociente NOTACIÓN n n EJEMPLOS ab n a .n b a b n n 1) 3 27x64 3 27 3 64 3 4 12 2) 4 810000 4 8110000 4 81 4 1000 3 10 30 1) 4 4 256 256 16 4 10000 10000 10 a . b 25 36 25 36 5 6 30 49 121 49 121 7 11 77 2) 1) 2) Raíz de una Potencia Raíz de una raíz n ab n a a n m b b 82 3 35 105 3 n 3) 15 4) 6 8 2 3 (2 )2 4 105 35 3 33 27 ¡Se simplifica el exponente fraccionario! 2 125 10 3 1252 3 125 52 25 ¡ Se simplifica el índice radical con el exponente! 218 7 3 56 6 218 6 493 6 56 1) 4 5 7 20 7 2) 8 4 7 32 32 7 32 71 7 a n.m a. 3 5 8 3) 23 2 49 8 7 56 5 5 5 3120 8 40 120 3120 120 8 40 31 3 8 120 13240 132 13240 3 2 6 169 169 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 156 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 1) n 8 5 3 8 3 a m b n a n m b 2) Consecuencia de las propiedades anteriormente mencionadas 3 a n b n an b 81 16 2 5 26 5 81 3 2 6 1) 5 3 5 2 3 75 2) 23 10 3 2 3 10 3 80 x n a m 16 4 81 4 16 x . x bp xc x 3 2 2 + x + ( a . m b ).p c n . m. p Ejemplo: 8. 8 4 3 33 2 2 2 ( 33 3) 2 2 23 2 2 26 12 13 6 2 6.3.3. RADICALES HOMOGENEOS Y RADICALES SEMEJANTES. Radicales Homogéneos. Son aquellos radicales que tiene el mismo índice radical. Ejemplos: a) 7; 8; 5 6; b) 53 2 ; 3 3 ; 5 3 3 2 5 7; 3 “Todos son raíces cuadradas” 5 “Todos son raíces cúbicas” Radicales Semejantes. Son aquellos radicales que tiene el mismo índice radical y la misma cantidad subradical. Ejemplos: a) 7; 3 7 ; 2 7 5 “Todos son raíces cuadradas de siete” ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 157 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 b) 53 2 ; 3 2 ; 5 3 2 ; 43 2 “Todos son raíces cúbicas de dos” 6.3.4. SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES. Consiste en transformar un radical en otro equivalente, cuyo radicando debe tener factores cuyos exponente no deben ser mayores que el índice de la raíz. Ejemplos: 720 1) Simplificar Se descompone factores primos: 720 en sus 720 24 32 5 Algunos factores tienen exponentes divisibles por el índice radical; se procede a extraer esos factores: 2) Simplificar 3 720 2 4 3 2 5 2 2 3 5 12 5 17280 Se descompone 8640 en sus factores primos: 17280 2 7 33 5 3 Algunos factores tienen exponentes mayores que el índice radical, se descomponen de tal forma que tengan exponentes divisibles por el índice radical. 17280 3 2 6 2 33 5 3 2 6 3 33 3 2 5 22 3 3 2 5 123 10 3) Simplificar 50 Se puede simplificar a simple vista algunos radicales, esto dependerá mucho de la habilidad del ejecutor, observar con cuidado: 50 25 2 25 2 5 2 Se buscan 2 números cuyo producto sea 50 y uno de ellos debe tener raíz cuadrada exacta. ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 158 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 3) Simplificar 7 32 7 32 7 16 2 7 16 2 7 4 2 28 2 EJERCICIOS Simplificar los siguientes radicales: a) 3 77 2 b) 3 875 c) 3 54 d) 5 12500 e) 5 1080 f) 7 3 76 7 2 3 76 3 7 3 2 7 2 3 7 2 493 14 1920 6.3.5. OPERACIONES CON RADICALES. ADICION Y SUSTRACCION DE RADICALES. Se podrán sumar y restar radicales, si estos son semejantes. Algunos ejemplos: 1) Efectuar: 3 2 2 8 2 4 2 3 2 2 8 2 4 2 3 1 8 4 2 6 2 Sumar y restar sólo los coeficientes. 2) Efectuar: 23 5 8 6 3 5 3 6 23 5 8 6 3 5 3 6 23 5 3 5 8 6 3 6 3 5 11 6 Se suman y restan solo los radicales semejantes. ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 159 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 2) Efectuar: 3 2 2 50 32 Se tiene que simplificar cada radical, para poder sumar (obteniéndose radicales semejantes): 3 2 2 50 32 3 2 10 2 4 2 9 2 MULTIPLICACION DE RADICALES. Si los radicales son homogéneos se multiplicará los coeficientes y los radicandos. an b cn d a c n b d Ejemplos: 1) Multiplicar: 23 5 33 2 43 7 23 5 33 2 43 7 2 3 4 3 5 2 7 243 70 2) Multiplicar: 35 3 4 5 3 5 7 35 3 3 3 9 4 5 3 5 4 3 5 12 5 7 5 7 35 DIVISIÓN DE RADICALES. Si los radicales son homogéneos se dividen los coeficientes y los radicandos. an b cn d a c .n b d Ejemplos: 1) Dividir: 12 6 3 3 2) Dividir: 243 72 723 36 12 6 3 3 12 3 6 3 4 2 243 72 24 3 72 1 3 2 36 3 723 36 72 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 160 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 6.3.6. RACIONALIZACIÓN DE RADICALES. Cuando se tienen fracciones con radicales en el denominador conviene obtener fracciones equivalentes pero que no tengan radicales en el denominador. A este proceso es a lo que se llama racionalización de radicales de los denominadores. Según el tipo de radical o la forma de la expresión que aparece en el denominador, el proceso es diferente. Se pueden dar varios casos: CASO I: Si el denominador contiene un solo término formado por una sola raíz cuadrada. En este caso basta multiplicar numerador y denominador por la misma raíz cuadrada. Por ejemplo, si se quiere racionalizar el denominador de la fracción multiplicará numerador y denominador por 5 , se 2 2 5 5 2 5 2 5 2 2 2 2 2 22 2 3 18 Si antes de racionalizar se extraen los factores que se puedan en el radical del denominador, se tiene: Otro ejemplo. Racionalizar 2 3 2 3 2 3 18 2.32 3 2 Ahora basta multiplicar numerador y denominador por denominador: 2 para eliminar la raíz del 2 3 2 3 2 2 6 6 3 3 2 3 2 2 3 2 También se puede directamente multiplicar numerador y denominador por 18 2 3 2 3. 18 2 54 54 18 9 18 18. 18 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 161 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 Y ahora se extraen factores de la raíz del numerador y se simplifica. 54 9 2 33 3 2 3 6 , como se ve da el mismo resultado. 9 9 3 CASO II: Si el denominador de la fracción contiene dos términos en uno de los cuales o en los dos hay una raíz cuadrada, se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. O sea si es una suma se multiplica por la resta, y viceversa. 7 , multiplicar numerador y denominador por 5 3 Por ejemplo 7 7 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 En el denominador siempre va a aparecer un producto de una suma por una diferencia, o sea una expresión del tipo a ba b a b 2 7 5 3 7 5 3 5 3 Otro ejemplo: 5 3 5 3 7 5 3 2 2 7 5 3 53 2 7 5 3 2 2 , ahora multiplicar numerador y denominador por 3 7 3 7 2 3 7 2 3 7 2 3 7 2 3 7 97 2 3 7 3 7 3 7 CASO III: Si el denominador sólo tiene un término con una raíz de índice cualquiera, “n”, se multiplica numerador y denominador por otra raíz de índice “n” que complete una potencia de exponente “n”. Por ejemplo: 3 1 25 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 162 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 Se factoriza el radicando del denominador: multiplicar numerador y denominador por 1 1 3 25 3 52 Otro ejemplo: 4 3 3 3 1 1 y como 3 53 5 , se va a 2 3 25 5 5 para completar la potencia de 5: 3 5 52 3 5 3 3 5 53 3 5 5 2 , 2 Para que se elimine la raíz cuarta, la potencia tiene que estar elevada a 4, luego basta multiplicar por 4 23 2 2 4 23 2 4 23 2 4 23 4 4 4 2 2 2 4 23 24 4 23 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 163 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 EJERCICIOS NIVEL I 1. Extraer la raíz de: a) 2916 b) 45796 c) 2401 d) 63,845 e) 0,8436 2. Valor de potencias: a) (-3)2 = b) (-2)2 + 24 = c) (-4)2 - (-3)2 = d) (-4)3 -2(-4)3 = 3. Suma y resta de potencias: a) 2. 32 + 4.32 = b) 4.33 – 2.33 = c) 2. (-4)2 - 52 = d) (-4)3 +33 -2(-4)3 = 4. Multiplicación de potencias con bases iguales: a) 2. 22 .22.2 2 = b) 3.33 . 3.33 = c) 4. 42 . 42 = d) 2b.23 .2 3 .2b3 = 5. Multiplicación de potencias con exponentes iguales: a) 42 .32.5 2 = b) 23. (0,3)3 = c) 2. 33. 43 = d) 2b3.3b3 .5b 3 = 6. Potencias con exponentes negativos: a) 5 -2 = b) 2-3. 3-2= c) 2-3. 3-2. 4-3 = d) -2-3 +( -3)-3 = 7. División de potencias con bases iguales: a) 25 :22 = b) 33 : 31 = c) 46 : 42 = d) 6n4x5 : 2n4 x3 8. División de potencias con exponentes iguales: a) 45 :25 = b) 63 : 33 = c) 166 : 46 = d) 6n5x3 : 2n5 x3 9. Multiplicación y división de potencias: a) 2.42.5 2.3.5 10. b) (3-4)-2 c) 2b5 .3b.5b 3b.4b3.6b d) 80b.7b.6d 16.5b2 .9d c) (-2-3)-2 d) (2-2.2-4.32.5-3)-2 Potencia de sumas: a) (2+3).(2+3) 12. 4.6.5 22.3.5 Potencia de potencias: a) 23.5 11. b) b) (1+6).(1+6) c) (3a-1)2 = d) (3-2b).(3+2b) = Conversión en factores de potencias: a) 4-4a+a2 b) 25 + 30b +9b2 c) x2 +8x + 15 d) (25-c2)/ (5+c) ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 164 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 EXTRACCIÓN DE RAÍCES PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I-A 1. Extraer la raíz de: a) b) c) d) e) 2916 45796 8,2944 4,53 2401 f) g) h) i) j) 88,36 6,3504 7,569 63,845 0,8436 2. Un pivote excéntrico se ha de forjar con un corte transversal cuadrado de 15,9 cm2 ¿Qué longitud tienen los lados? 3. La sección transversal normalizada de un eslabón de cadena es de 15,9 cm2. Calcular el diámetro de la cadena. 4. La sección transversal de un vástago de émbolo se tiene que agrandar en un 12,7%, es decir 360 mm2 ¿Qué longitud tendrá el diámetro del vástago de émbolo? 5. La sección transversal interior de una instalación de transporte es de 45,6 cm2. ¿Qué longitud tiene el diámetro interior del tubo? ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 165 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 PROBLEMAS DE RAÍZ CUADRADA NIVEL I-A Problema 1.- VER FIGURA Un punzón perforador con corte transversal cuadrado tiene 2025 mm2 superficie. Calcular la longitud de los lados a) 45 mm b) 17 mm c) 15 mm d) 24 mm de e) 35 mm Problema 2.- VER FIGURA La sección transversal normalizada de un eslabón de cadena es de 176,715mm2 Calcular el diámetro de la cadena. a) 5 mm b) 7 mm c) 15 mm d) 12 mm e) 13 mm Problema 3.VER FIGURA La sección transversal de una costura de garganta (cordón de soldadura) de 45o es de 16 mm2. Calcular la longitud de los catetos. a) 5,65 mm b) 7,1 mm c) 1,5 mm d) 1,25 mm ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO e) 1,36 mm 166 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II 1. Determinar la suma de cifras del menor número tal que al agregarle sus tres cuartas partes se obtenga un cubo perfecto. a) 1 b) 16 c) 8 c) 27 d) 9 e) 25 2. ¿Cuántos números cuadrados perfectos hay entre 1521 y 15878? a) 10 b) 87 c) 98 c) 27 d) 39 e) 55 3. Un terreno cuadrado se divide en pequeños lotes cuadrados todos iguales. Si se desea colocar un árbol en cada vértice de los cuadrados; se emplea 261 árboles más cuando los cuadrados son 2 m de lado, que cuando son de 4 m. ¿Hallar el lado del terreno? a) 36 b) 17 c) 48 c) 27 d) 39 e) 35 4. En el centro de un terreno que tiene la forma de un cuadrado, se ha construido un almacén cuyas esquinas forman una superficie de 49 m 2 con las esquinas de los límites de la propiedad. Si el almacén ocupa una extensión de 361 m2. ¿Cuál es el área de toda la propiedad? a) 1089 m2 b) 1024 m2 c) 2420 m2 d) 1280 m2 e) 1325 m2 5. Un terreno esta sembrado con árboles equidistantes entre sí. Se sabe que en el interior hay 476 árboles más que en el perímetro, ¿Cuántos árboles hay en total? a) 625 b) 676 c) 576 d) 729 e) 616 6. Hallar el residuo de extraer la raíz cuadrada de 13,5742 a) 318 7. Reducir: a) 12 b) 0,1 c) 0,318 d) 0,0318 e) 4,5742 2 50 3 8 32 98 18 3 2 b) 6/7 c) 12/7 d) 5/7 e) 6 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 167 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 8. Señale el valor de verdad (V) o falsedad (F) de cada una de las proposiciones: x n 2 .x 2 n 1; x 0 I. II. - 22 5 . 8 15 III. 2n IV. x 2n 1 9 3 n.27 n 2n x a) VVFV b) FVVF 9. Efectuar: E 5 4 3 a) 5 b) 3 10. Efectuar: a) 9/7 a) 16 108 a) 10 c) VVVV 3 1.5 4 3 c) 3 5 c) 1 2 3 2 3 b) 64 2 3 27 d) 2/7 c) 8 b) b) 37 14. Simplificar : d) 128 e) 256 c) –2 33 3 c) 12 7 5 13 648 d) 784 d) , es a b 6 2 27 e) 4 108 hallar a + b : e) 1 2412.125.6 7 1610.54 5.108 3 b) 2 c) 3 15. Efectuar: 16 a) 256 b) 216 3 e) 8 6 13. El Factor racionalizante de : a) 1 e) -1 equiv ale a : 19 3 1 3 a) 17 e) FFFV 3 1 d) 1 9 d) VFVV 3 1 3 2 2 7 2 7 2 7 b) 7 11. Efectuar: 12. 2 3 54 3 250 c) 212 d) 4 e) 5 3 d) 144 e) 128 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 168 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 E 32 320,8 320,6 320, 4 16. Efectuar: a) 4 b) 16 c) 20 d) 32 .2,5 e) 64 PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL III 1. El cuadrado de la raíz cúbica de: 0,296296... es: a)0,1 b)0,2 c)0,3 d )0,4 e)0,5 2. ¿A que es igual la diferencia de 2 números consecutivos elevados al cubo? a) 3n+1 b) 3n² + 1 c) 3n² + 3n d) 3n(n+1 )+ 1 e) 3 3. Al multiplicar un número por 3, 5 y 7 se obtienen tres números cuyo producto es 230 685. Calcular dicho número. a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) 19 4. ¿Cuál de las expresiones es Mayor? a) 0,027 b) 4 5 0,16 c) 1 3 d) 5. Resolver la siguiente expresión: 6. Resolver: a)15 b)25 7. Resolver: a) 5 13 3 10 e) ( 0,1 )3 (0,2 0,05)² (0,2 0,05)² 458.7511.2257 315.518 c)125 d )250 e)225 3 2 2 3 3 2 2 3 b) 3 c) 2 d )1 e)2 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 169 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 3 2 8. 2 2 1 2 b)5 c)6 a) 2 9. ( 10 a)1,5 d )7 1 1 1 )( 2 )( 5 ) 10 2 5 b)2,7 c)3,6 10. 20 80 245 ( a)10 5 b)8 3 c) 11. P 0.0063 a)P 2Q e)1 e)4,5 3 96 ) 2 19,2 15 2 5 d) 7 2 3 e)3 6 Q 0,0082 0,006 2 b)P Q c)Q P 12. A 9 2 d )4 d)P Q e)Q 5P B 5 2. Hallar A2 .B 2 a)810 b)270 c)8100 d )2700 e)450 13. (1 a)1 2 14. 1 1 ) (2 ) 2 2 b)2 3 2 3 . 2 3 c) 3 2 d)3 2 e) 2 2 3 2 3 a)1 b)4 c)6 d )8 e)10 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 170 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 3 15. ( 2 a) 2 a)1 / 8 2 3 1 b) 3 16. Hallar ) ( x : b)1 1 2 ) 1 c) 6 813 c)2 3 d ) 6 1 e)1 2x 27 4 d )1 / 2 2x e)3 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 171 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 UNIDAD 07 TRIGONOMETRÍA BÁSICA ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 172 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 7.1. SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES. Los diferentes sistemas de medidas angulares, usan como unidad de medida alguna fracción del ángulo de una vuelta. Principales sistema de medidas angulares: * Sistema Sexagesimal (inglés) : Sº * Sistema Centesimal (francés) : Cg * Sistema Radial o Circular R rad 7.1.1. : SISTEMA SEXAGESIMAL ( S ). La UNIDAD de medida es el Grado Sexagesimal (1º) que es la 360 ava. Parte del ángulo de una vuelta. El ángulo de una vuelta mide 360º Los submúltiplos del Grado Sexagesimal son el Minuto Sexagesimal (1) y el Segundo Sexagesimal (1), donde: 180 1º equivale a 60 1 equivale a 60 1º equivale a (60x60) ó 3600 90 7.1.2. SISTEMA CENTESIMAL ( C ). La UNIDAD de medida es el Grado Centesimal (1g) que es la 400 ava. Parte del ángulo de una vuelta. El ángulo de una vuelta mide 400g Los submúltiplos del Grado Centesimal son el Minuto Centesimal (1m) y el Segundo Centesimal (1s), donde: ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 173 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 200g 100g 7.1.3. 1g equivale a 100m 1m equivale a 100s 1g equivale a (100x100)s ó 10000s SISTEMA RADIAL O CIRCULAR ( R ). La UNIDAD de medida es el Radián (rad.) El radián es la unidad de medida de un ángulo central en un círculo cuya longitud del radio (R) es igual a la longitud del arco de la circunferencia (L) que subtiende dicho ángulo. L R “Si L R entonces la medida del , es igual a un radián o simplemente 1 rad.” El ángulo de una vuelta mide 2 rad. rad rad 2 7.1.4. RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS. Sea un angulo donde: S representa la medida de en grados Sexagesimales. C representa la medida de en grados Centesimales. R representa la medida de en Radianes. Donde la fórmula de Conversión es: S C R 180 200 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 174 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 Observaciones: S, C y R no representan submúltiplos (minutos ni segundos). Para convertir grados sexagesimales a centesimales o viceversa se emplea S C S C sólo: ; simplificando se obtiene: 180 200 9 10 Donde: S 9.C 10 C 10.S 9 Otras equivalencias importantes: 9 = 10g 27 = 50m 180 = rad 200g = rad 81 = 250s Ejemplos: 1) Convertir 45 a grados centesimales. Como S = 45, remplazar en la siguiente fórmula: C 10.S 9 C 10.45º 50g 9 2) Convertir 125g a radianes. Como C = 125g, remplazar en la siguiente fórmula: R C 200 3) Convertir R 125 5 R rad 200 8 3 radianes a grados sexagesimales. 5 3 rad, remplazar en la siguiente fórmula: 5 3 S R 1803 S 5 S S 108º 180 180 5 Como R = ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 175 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 OTRA FORMA: Multiplicar la medida dada por un FACTOR DE CONVERSIÓN que está conformado por una fracción equivalente a la unidad. En el denominador de tal fracción se escribe la unidad a eliminar y en el numerador la unidad que se busca. Por ejemplo para convertir 3 rad a grados sexagesimales se hará de la siguiente 5 manera: 3.rad 3.rad 180º 1 5 5 .rad Se ha reemplazado la unidad por la fracción (FACTOR DE CONVERSION) sabiendo que: 180 = rad. Luego : 3 3.rad 180º 3 180º rad 108º 5 5 .rad 5 4) Convertir 0,621 a segundos centesimales. Solución: Se va a emplear en una sola línea tres FACTORES DE CONVERSIÓN. No olvidar que: 9=10g 1g=100m 1m=100s 10g 100 m 100s 0,621º 0,621º g m 6900s 9º 1 1 5) Convertir 7500s a minutos sexagesimales. Recordar que: 81" 1´ 7500 7500 40,5´ 250s 60" s s ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 81” = 250s 1´ = 60” 176 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 EJERCICIOS 1. Completar el siguiente cuadro en el sistema de medidas angulares pedido: N SEXAGESIMAL ( Sº ) 1 30º 2 60º 3 90º 4 45º 5 27º 6 53º 7 16º 8 74º 9 8º CENTESIMAL ( Cg ) 10 91 1/9g 11 16 2/3g 12 83 1/3g 13 25g 14 75g 15 20 5/9g 16 79 4/9g 17 29 4/9g RADIAL ( R rad ) 18 19 20 21 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 127 360 2 3 5 4 27 36 177 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 1. SOLUCIÓN DE LAS APLICACIONES N SEXAGESIMAL ( Sº ) CENTESIMAL ( Cg ) 1 30º 33 1/3g 2 60º 66 2/3g 3 90º 100g 4 45º 50g 5 27º 41 219g 6 53º 58 8/9g 7 16º 17 7/9g 8 74º 82 2/9g 9 8º 8 8/9g 10 82º 91 1/9g 11 15º 16 2/3g 12 75º 83 1/3g 13 22,5º 25g 14 67,5º 75g 15 18,5º 20 5/9g 16 71,5º 79 4/9g 17 26,5º 29 4/9g 18 63,5º 70 5/9g 19 120º 133 1/3g 20 225º 250g 21 135º 150g RADIAL ( R rad ) 1 rad 6 1 rad 3 1 rad 2 1 rad 4 37 rad 180 53 rad 180 4 rad 45 37 rad 90 2 rad 45 41 rad 90 1 rad 12 5 rad 12 1 rad 8 3 rad 8 37 rad 360 143 rad 360 53 rad 360 127 rad 360 2 rad 3 5 rad 4 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 3 rad 4 178 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 7.2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS. Son las fracciones que se forman con las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo respecto a un ángulo agudo. En el triángulo rectángulo que se muestra, los catetos son los lados a y b; la hipotenusa es c, además: c a b Cateto opuesto de es “a” Cateto adyacente de es “b” Cateto opuesto de es “b” Cateto adyacente de es “a” Las razones trigonométricas que se pueden formar respecto al ángulo “” serian: Seno a Cateto opuesto c Hipotenusa Cotangente b Cateto adyacente c Hipotenusa Coseno Tangente Secante a Cateto opuesto b Cateto adyacente b Cateto adyacente a Cateto opuesto c Hipotenusa b Cateto adyacente Cosecante c Hipotenusa a Cateto opuesto TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES. 60º 2k 53º 5k 25k 74º 10k 7k 8º 16º 24k k 4k k 3 7 2k k 45º 37º 30º 45º k 2 3k k 82º 4k k 2 75º ( 6 2 )k 15º ( 6 2 )k ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 179 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 5k 10 k k k k 53º 2 37º 2 15 3k 75 4k 2k TABLA DE VALORES DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES F.T. 8º 15º 16º Sen 2 10 6 2 4 7 25 Cos 7 2 10 6 2 4 24 25 Tng 1 7 6 2 6 2 Ctg 7 1 Sec Csc 7.3. 37/2º 53/2º 30º 37º 45º 53º 60º 1 5 1 2 3 5 1 2 4 5 3 2 3 10 2 5 3 2 4 5 1 2 3 5 1 2 7 24 1 3 1 2 1 3 3 4 1 1 4 3 3 1 6 2 6 2 24 7 3 1 2 1 3 1 4 3 1 1 3 4 1 3 10 7 2 4 6 2 25 24 10 3 5 2 2 3 5 4 2 1 5 3 2 1 10 2 4 6 2 25 7 10 1 5 1 2 1 5 3 2 1 5 4 2 3 1 10 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES. Si un ángulo en posición normal hace coincidir su lado final con alguno de los semiejes del sistema de coordenadas, tal ángulo se llama CUADRANTAL. Estos ángulos en una primera vuelta son 0º; 90º; 180º; 270º; 360º. Las razones trigonométricas de estos ángulos cuadrantales se muestran en la siguiente 90 tabla: sen cos tg cotg sec cosec 0º ó 360º 0 1 0 ND 1 ND 90º 1 0 ND 0 ND 1 180º 0 -1 0 ND -1 ND 270º -1 0 ND 0 ND -1 0 180 ND: “No definido” ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 360 180 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 Ejemplos de aplicación: Calcular el valor numérico de las siguientes expresiones: 2 2 cos 45º 6 cos16º cos 53º 2 1. 2. 3 5ctg 2 3 sec 2 6 3 24 1 2 6 25 2 = 3 5 12 17 1 5 5 = = = 3 3 5 5 = 3 5ctg 2 30º 3 sec 2 60º = 3 5 3 3 4 = 3 7.4. 144 1 2 25 2 = 3 5 17 3 = 3 5 = 3 27 3 2 3 2 2 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS. Resolver un triángulo rectángulo es hallar la medida de sus lados y ángulos a partir de dos datos, uno de los cuales debe ser lado. Para resolver triángulos rectángulos se pueden presentar dos casos: I. Los datos conocidos son: dos lados. II. Los dos datos conocidos son: un lado y un ángulo agudo. Ejemplos: 1. Resolver el triángulo que se muestra continuación: Solución: 35 m Como datos se tienen la medida de dos lados, “este problema corresponde al caso I.” β a Para hallar el tercer lado “a”, se aplica el Teorema de Pitágoras. ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 28 m 181 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 a 2 28 2 35 2 a 2 35 2 28 2 a 2 441 a 441 a 21 El ángulo se halla estableciendo una razón trigonométrica que relacione lados conocidos. Cosα 28 4 ; 35 5 Pero el Cos53o 4 ; 5 α 53º Entonces : " " es el complemento de " " , por lo tanto : 90º - 53º β 37º 2. Resolver el triángulo que se muestra continuación: Solución: 50cm β a Como datos se tienen la medida de un ángulo agudo y un lado, “este problema corresponde al caso II.” 16 b Hallando β, que es el complemento de 16 β = 90 - 16 β = 74 Se calcula “a”: tomando una razón trigonométrica de 16, que relacione el dato con la incógnita. Lado desconocido RT () Lado conocido Razón Trigonométrica de a sen16º 50 cm 50cm a 7 50 cm 25 β a 16 b a 14 cm Se calcula “b” en forma similar que el caso anterior, pero esta vez conviene trabajar con la razón trigonométrica coseno de 16. ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 182 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 b Cos 16º 50 cm β 50cm a a 24 50 cm 25 16 b a 48 cm 7.5. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUOS – LEY DE SENOS. “En todo triángulo, las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos” a b a b c Sen Sen Sen β c Ejemplo: 1. Resolver el triángulo que se muestra continuación: Solución: 37º L Resolver el triángulo consiste en hallar la medida de sus lados y sus ángulos internos. Se tiene que hallar las medidas de “L”, “β” y “”. 70 m β 84 m Primero hallar el valor de “” aplicando la ley de senos: 84m 70m Sen 37º Sen θ Sen 70 Sen 37º 84 3 70 5 Sen 84 1 Sen ; Entonces : 2 37º L 70 m 30º 113 30 84 m ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 183 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 Ahora hallar el valor de “β”: 37º + 30º + β = 180º β = 113º Aplicando la Ley de senos para calcular el valor de “L”: L 70m Sen 113º Sen 30º L 70 m Sen 113º Sen 30º Pero : Sen 113º Sen67º (Reducción I Cuadrante) 70 m Sen 67º 70 m 0,9205 ; 1 Sen 30º 2 Entonces : L 128,87 m L 7.6. Sen 67º 0,9205 (Por Tablas) RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUOS – LEY DE COSENOS. “En un triángulo cualquiera, el cuadrado de la longitud de uno de sus lados es igual a la suma de los cuadrado de las longitudes de los otros dos lados, menos el doble producto de ellos, multiplicado por el coseno del ángulo comprendido entre ellos”. c 2 a 2 b 2 2ab.Cosθ c a b Ejemplo: 1. Hallar la medida del lado “x” Solución: x 2 122 202 21220cos37º 4 x 2 144 400 480 5 2 x 544 384 x 160 4 10 m. x ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 20 m 37º 12 m 184 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I 1. Sobre un cuerpo actúa una fuerza vertical de 10 N hacia arriba, una fuerza hacia la izquierda de 15 N. ¿Qué ángulo forma la resultante con la horizontal? a) 18,1° b) 33,7° c) 25° d) 27,5° e) 20,8° 2. Un cuerpo que pesa 100kg fuerza, sube un plano inclinado de 37° ¿Hallar la normal en N? a) 298 b) 537 c) 706 d) 593 e) 785 3. Convertir 5° a radiantes. a) b) c) d) e) 8 7 6 3 36 4. Convertir 0.5 radiantes a grados sexagesimales: a) 35° b) 44,1° c) 50° d) 28,64° e) 39° 5. Hallar el valor de 2 radiantes en grados: a) 77° 47´ 45 ´´ b) 57° 37´ 45 ´´ c) 27° 17´ 25 ´´ d) 114° 35´ 29 ´´ e) 58° 17´ 45 ´´ 6. Encontrar el valor del cos , si el sen 0.5 a) 0.78 b) 0.86 c) 0.5 d) 0.63 e) 0.83 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 185 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 7. Hallar el valor de la tan , si la sec 4 . a) 0.31 b) 0.20 c) 0,25 d) 0.34 e) 0.60 8. Se observa un árbol a una distancia de 25m, con una ángulo de elevación de 53° ¿Cuál es la altura del árbol? a) 85m b) 33m c) 125m d) 37m e) 29m 9. Se observa desde lo alto de un edificio de altura 20m a un auto, con un ángulo de depresión de 37°. Si el auto de aleja del edificio a una velocidad de 15m/seg ¿A qué distancia del edificio se encontrará el auto en 2 segundos? a) 75m b) 57m c) 115m d) 50m e) 250m 10. ¿A qué es equivalente a) b) c) d) e) 4 rad? 5 130° 124° 136° 124° 164° 11. Expresar 150° en radianes. a) b) c) d) e) 4 5 rad 5 4 rad 4 3 rad 5 6 rad 6 rad 12. En un triangulo rectángulo, el perímetro es 90 cm y el coseno de uno de los ángulos agudos es 12/13. Hallar la longitud de su hipotenusa. a) 13 b) 26 c) 39 d) 52 e) 65 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 186 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 13. En un triangulo rectángulo la hipotenusa mide el triple del cateto menor. Calcular la tangente del mayor ángulo agudo de dicho triángulo a) b) c) d) e) 2 2 2 3 2 2 4 14. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se cumple que: 5 cot A .CalcularM senA.SenC 12 a) 3/13 b) 5/13 c) 7/13 d) 9/13 e) 11/13 15. Si Tg a) 2 2 . Hallar. Sen b) 3 2 2 c) 2 4 ( d) 2 8 Es un ángulo agudo) e) 2 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 187 MATEMÁTICA P.T. PARTE 01 PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II 1. Hallar “ x” a) 4 b) 4 2 c) 4 3 d) 4 6 e) 6 2. Hallar AF si AM= 2 5 3.873 7.746 5 c) 5 d) 3 10 e) a) b) 2 5 3. Hallar (X + Y): a) b) c) d) e) 35 30 40 20 25 4. Hallar R: a) b) c) d) e) 11 12 13 14 15 5. Hallar R: a) b) c) d) e) 70,0 43,6 28,2 35,0 90,0 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 188
