TEMA 4. DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICA. 4.1

TEMA 4.
DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN
NUMÉRICA.
4.1 Introducción.
4.2 Expresión de E´x mediante diferencias
divididas.
4.3 Fórmulas usuales de derivación numérica.
4.4 Derivadas de orden superior.
4.5 Integración numérica.
4.5.1 Fórmula del trapecio.
4.5.2 Fórmula de Simpson.
4.5.3 Fórmula compuesta del trapecio
4.5.4 Fórmula compuesta de Simpson.
DIFERENCIA DIVIDIDA PARA PUNTOS
NO NECESARIAMENTE DISTINTOS.
Definición: Sea f  C n a, b y
x 0 , x 1 , . . . x n  a, b
a) Si x 0  x 1  x 2 . . . . . . . .  x n ,
definimos
fx 0 , . . , x n  
fx 0 , . . , x n1   fx 1 , . . , x n 
x0  xn
x0  xn
f n x 0 
x0  xn
n!
b) Si x 0 , . . , x n no están ordenados, los
ordenamos y procedemos como en el
apartado a)
Teorema: Supongamos que
f  C n2 a, b, podemos definir
gx  fx 0 , x 1 , . . , x n , x. Entonces g es
derivable y g´x  fx 0 , x 1 , . . , x n , x, x
EXPRESIÓN DE E´(X) MEDIANTE
DIFERENCIAS DIVIDIDAS.
Recordemos que:
n
Ex  fx 0 , . . . , x n , x
 x  x k  
k0
fx 0 , . . . , x n , xx  x 0 x  x 1 . . . x  x n .
E´x  fx 0 , . , x n , x, xx  x 0 x  x 1 . . . x 
fx 0 , . , x n , xx  x 1 . . x  x n   x  x 0 x 
..x  x n  . . . x  x 0 . . . . . . x  x n  
n
fx 0 , . , x n , x, x
 x  x k  
k0
n
fx 0 , . , x n , x
  x  x j  
k0
jk
n2 
f
1

n  2!
n

k0
n1 
f
2
x  x k  
n  1!
n
 x
k0 jk
Luego la expresión del error
paracualquier punto c será:
n
n2  
f
1
E´c 
 c  x k  
n  2!
k0

n1 
f
2
n  1!
n
  c  x j 
k0
jk
Habitualmente se toma c  x k , quedando
n
f n1 
E´c
c  x j 

n  1! j0
jk
El error para la derivada segunda sería:
f´´c  P´´c  E´´c
f n3  1 
E´´c
n  3!
f n1  3 

n  1!

f n2  2 
 c  2
n  2!
 ´´ c.
n
donde   c  x  x j 
j0
´
DERIVACIÓN NUMÉRICA.
DERIVADAS DE ORDEN UNO.
A) Fórmulas de tres puntos: x 0  x 1  x 2
h 2 f 3 
3f 0  4f 1  f 2
f´x 0  

3
2h
h 2 f 3 
f 0  f 2
f´x 1  

6
2h
h 2 f 3 
f 0  4f 1  3f 2
f´x 2  

3
2h
B)Fórmulas de cinco puntos:x 0  x 1  x 2  x 3  x 4
h 4 f v 
25f 0  48f 1  36f 2  16f 3  3f 4
f´x 0  

5
12h
h 4 f v 
3f 0  10f 1  18f 2  6f 3  f 4
f´x 1  

20
12h
h 4 f v 
f 0  8f 1  8f 3  f 4
f´x 2  

30
12h
h 4 f v 
f 0  6f 1  18f 2  10f 3  3f 4
f´x 3  

20
12h
h 4 f v 
3f 0  16f 1  36f 2  48f 3  25f 4
f´x 4  

5
12h
DERIVADAS DE ORDEN DOS.
A) Fórmula de tres puntos: x 0  x 1  x 2
h 2 f 4 
f 0  2f 1  f 2

1 
2
12
h
B)Fórmula de cinco puntos: x 0  x 1  x 2  x 3  x 4
f  x
4 vi
h
f 
f

16f

30f

16f

f
0
1
2
3
4

f x 2  

2
90
12h