MATEMÁTICA MÓDULO 4 Eje temático: Estadística y

MATEMÁTICA
MÓDULO 4
Eje temático: Estadística y Probabilidades
Empezaremos este breve estudio de estadística correspondiente al cuarto año
de Enseñanza Media revisando los diferentes tipos de gráficos.
1. GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
Histograma
En el eje horizontal se ubica el intervalo o dato en cuestión y en el eje vertical
anotamos la frecuencia o frecuencia relativa.
Ejemplo:
Edades de los alumnos de un colegio:
Observa que en este histograma en particular se presentan dificultades para
distinguir las frecuencias de cada intervalo. Para resolver lo anterior, algunas
veces se anota la frecuencia respectiva sobre la columna.
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Gráficos de líneas
Este tipo de gráficos frecuentemente aparece en diarios y revistas, ya que
ilustra con mucha claridad las variaciones que tiene alguna variable en estudio.
Ejemplo:
Fluctuación del precio de la gasolina durante un mes:
Gráfico de barras
Es un gráfico en el cual el dato en estudio (o intervalo) es puesto en el eje
horizontal y se utilizan rectángulos cuyo alto, indicado en el eje y, señala el
valor del dato en el estudio.
Ejemplo:
Número de salas de cine en el país:
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Gráfico Circular
En el gráfico circular cada sector circular (por ende cada ángulo central), es
proporcional al valor que corresponde a cada dato.
Ejemplo:
Una encuesta practicada a 180 adultos, para determinar si estos fumaban o
no, se resume en el siguiente gráfico circular:
Ahora, determina la cantidad de personas que nunca han fumado y cuántos no
contestaron la encuesta.
Las preguntas se pueden contestar aplicando los principios de proporcionalidad
directa (ver módulo 1, eje temático “Números y Proporcionalidad”).
El total de personas es 180 y le corresponden 360°, por lo tanto:
180
x
=
⇒ x = 10 , es decir: 10 personas nunca habían fumado.
360° 20°
Por otro lado, a las personas que no contestaron la encuesta les corresponde
un ángulo de: 360°-(90°+120°+20°+80°) = 50°, por lo que planteamos la
proporción:
180
x
=
⇒ x = 25 , de modo que 25 personas no contestaron la encuesta.
360° 50°
Los problemas acerca de gráficos de sectores circulares pueden plantearse al
revés, es decir, determinar los ángulos centrales si se conoce la cantidad (o
porcentaje) de cada rubro.
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Pictograma
Es un gráfico donde se ocupa una figura o ícono que representa el dato que se
está estudiando.
Ejemplo:
Número de líneas instaladas en una determinada ciudad durante 3 años
consecutivos.
2. ESTADÍGRAFOS DE TENDENCIA CENTRAL
Los estadígrafos de tendencia central que estudiaremos son la media, la
mediana y la moda.
Estos estadígrafos nos dan alguna idea de los datos que estamos estudiando.
2.1. Media aritmética
La media aritmética también se llama “media” o “promedio aritmético” y es lo
que siempre has ocupado para calcular el promedio de notas.
La media aritmética se calcula dependiendo de cómo vengan los datos, pero en
general es la suma de los datos dividida por el número de datos.
Media aritmética de datos no agrupados
La media x de n datos corresponde al resultado de la expresión:
n
x=
∑x
i =1
i
n
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Ejemplo:
Pedrito ha obtenido las siguientes notas en Ciencias:
6,0 – 5,8 – 7 – 6,8 – 5,6
Su media aritmética o promedio es:
x=
6 + 5, 8 + 7 + 6, 8 + 5, 6 31,2
=
= 6,24 , lo que se redondea al décimo
5
5
como 6,2.
Media de datos dados en una tabla de frecuencia
En este caso se debe multiplicar cada dato con su respectiva frecuencia, sumar
todos estos productos, y el resultado dividirlo por la suma de los datos, esto
es:
n
x=
∑x
i =1
i
⋅ fi
n
Ejemplo:
Se ha lanzado un dado 40 veces obteniéndose los siguientes resultados:
Por lo tanto su media es: x =
1⋅5 + 2⋅6 + 3⋅7 + 4⋅8 + 5⋅5 + 6 ⋅9
= 3,725
40
5
Media de datos agrupados en intervalos
Se define la marca de clase de un intervalo como la media aritmética entre los
extremos de él.
Si llamamos a la marca de clase de un intervalo: xi , entonces la media de un
n
∑x
i
conjunto de datos agrupados en intervalos es: x =
i =1
⋅ fi
n
Ejemplo:
La distribución de edades de un conjunto de 50 personas está representada en
el siguiente gráfico:
La media de este conjunto de datos es:
x=
15 ⋅ 14 + 25 ⋅ 16 + 35 ⋅ 12 + 45 ⋅ 20 + 55 ⋅ 8
= 30, 86 años,
70
aproximadamente.
Media ponderada de datos
En algunas oportunidades los datos no tienen la misma importancia, de modo
que cada dato se multiplica por un factor, el cual indica el grado de
importancia que tiene en la muestra; en este caso la media se calcula con la
expresión:
n
x=
∑x
i
i =1
⋅ pi
n
∑p
i =1
i
donde pi es un factor del dato xi, el cual viene dado en la situación planteada
en el problema.
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Ejemplo:
Un alumno tiene nota 5,0 como promedio de controles que vale un 80% de la
nota final y obtiene un 6,0 en el examen. ¿Cuál es su promedio final?
En este caso el dato 5,0 tiene un factor de 0,8 (80%) y el dato 6,0 tiene un
factor de 0,2 (20%), por lo tanto su media es:
x=
5, 0 ⋅ 0, 8 + 6, 0 ⋅ 0,2
= 5,2
0, 8 + 0,2
Propiedades de la media
Sean los n datos: x1, x2, x3, x4,...xn, con media x . Entonces se cumplen las
siguientes propiedades:
1. La suma de los datos corresponde al producto: n ⋅ x . Es decir, la suma
de los datos se puede determinar multiplicando la media con el número
de datos.
2. Si a cada uno de los datos se le suma (o resta) una cantidad “a”, la
media aritmética será x ± a
3. Si a cada uno de los datos se le multiplica por una cantidad “a”, la media
aritmética será x ⋅ a .
Ejemplo:
Un colegio tiene tres cuartos medios que en el último ensayo de Lenguaje
obtuvieron los siguientes puntajes promedio:
Ocupando la propiedad 1: la suma de los puntajes del 4° A es la multiplicación
del promedio con el número de alumnos, esto es:
Suma = 20 . 650 = 13.000
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Por lo tanto, la suma de todos los puntajes de los alumnos es:
20 . 650 + 30 . 600 + 25 . 580 = 45.500
Así, la media aritmética de los tres cursos es:
45.500
= 606, 6
75
Ejemplo:
La media aritmética de las edades de tres hermanos es 25 años. ¿Cuál será su
media en tres años?
Dada la propiedad 2, la media aritmética será 28 años.
2.2. Mediana
Si los datos se ordenan en sentido creciente o decreciente, la mediana indica el
dato que se ubica al centro de ellos.
Si el número de datos “n” es un número impar, entonces la mediana es el
dato: x n +1
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Si el número de datos “n” es un número par, entonces la mediana es la media
aritmética entre los datos: x n y x n .
2
2
+1
Las fórmulas anteriores las puedes obviar si tienes en cuenta que la mediana
es el término central en el caso que este sea uno, o bien la media de los
términos centrales en el caso que sean dos.
Ejemplo 1:
Las alturas de 6 integrantes de un equipo de básquetbol (en cm) son las
siguientes: 182 – 175 – 181 – 182 – 178 – 183. ¿Cuál es la mediana?
Primero ordenemos los datos de menor a mayor (o al revés):
175 – 178 – 181 – 182 – 182 – 183.
Como hay dos datos centrales, se calcula la media de ambos datos:
Me =
181 + 182
= 181,5
2
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Ejemplo 2:
Se ha consultado la edad a treinta trabajadores de una empresa, obteniendo
los siguientes resultados:
La suma de las frecuencias es 30, por lo tanto, es un número par de datos; la
mediana es la media entre el dato de lugar 15 y el de lugar 16; el dato de
lugar 15 es 23 y el de lugar 16 es 27, por lo tanto:
Me =
23 + 27
= 25
2
2.3. Moda
La moda es el dato que más se repite, es decir, el que tiene mayor frecuencia.
Volviendo al ejemplo 1:
Las alturas eran: 182 – 175 – 181 – 182 – 178 – 183; por lo tanto la moda es
182, ya que es el dato que más se repite.
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En el ejemplo 2:
La moda es 23, ya que tiene mayor frecuencia.
Hay veces que los datos no tienen moda. Por ejemplo, si los datos fueran:
185 – 188 – 183 – 178 – 177, no hay un dato que tenga mayor frecuencia que
los otros.
Hay otras distribuciones que pueden tener más de una moda:
Por ejemplo:
La moda es 16 y 20; y en este caso se habla de una distribución bimodal.
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Sitios sugeridos
http://www.pntic.mec.es/Descartes/Estadistica/Estadistica_descriptiva/Frecuen
cias.htm#centrales
http://sapiens.ya.com/matagus/unidad2.htm
http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Estadistica/Estadistica_descriptiva/Diagr
amas.htm
http://www.liccom.edu.uy/bedelia/cursos/metodos/material/estadistica/med_p
os.html
http://www.bioestadistica.uma.es/libro/node18.htm
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/53-1-upunt151.html
http://www.southlink.com.ar/vap/MEDIDAS.htm
http://www.unavarra.es/estadistica/I.T.T.Imagen/descriptiva.pdf
http://endrino.cnice.mecd.es/~jhem0027/estadistica/estadistica02.htm
Ejercicios de media, mediana y moda:
http://www.pupr.edu/cpu/pdf/Matematicas/Math102/23.Media%20Moda%20y
%20Mediana.pdf
Presentación Power Point
http://www.educarchile.cl/ntg/mediateca/1605/article-93095.html
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