CÁLCULO D E L A ESPERANZA D E V I D A A C T I V A DE U N TRABAJADOR: N O T A METODOLÓGICA* J U A N CARLOS LERDA"" Centro Latinoamericano de Demografía I . INTRODUCCIÓN 1 1. E n una tabla de vida activa ( T V A ) , se definen corrientemente dos funciones relacionadas con la d u r a c i ó n media de los a ñ o s que u n individuo pasa en actividad: a) la esperanza de vida "potencialmente" activa a la edad x: b) la esperanza de vida activa de un trabajador a la edad x: (ea) x ea x 2. E n la primera, se distribuye el tiempo vivido en actividad —desde x hasta el final de la vida— por los integrantes de una cohorte hipot é t i c a entre el total de los sobrevivientes a dicha edad, sin distinguir su c o n d i c i ó n de activo o inactivo. De manera similar, en la segunda, se distribuye el mismo tiempo vivido entre los que llegan con vida a x en calidad de activos. E n consecuencia, cabe esperar se verifique: (ea) <ea x (1) x 3. Si se simboliza c o n : l = sobrevivientes a la edad exacta x, de una cohorte inicial de l personas, y a = p r o p o r c i ó n de personas activas a la edad exacta x, x 0 x entonces: f = l •a x x (2) x representa el n ú m e r o de "sobrevivientes activos" a la edad exacta x. w Así: T: = ¡f dx x (3) * Preparado para las I I I Jornadas de Matemática Aplicada a la Economía, organizadas por el Instituto de Matemática y Estadística de la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional de Córdoba, Argentina. Se reproduce con la autorización de CELADE y de la universidad citada. ** Agradezco a los profesores J . C. Elizaga, A. N. Ortega, J . Somoza y A. M. Conning de CELADE sus comentarios y sugerencias al presente trabajo. Sin embargo, cualquier error debe acreditarse a la responsabilidad del autor. E n este artículo se hará referencia exclusiva a una TVA para hombres. 1 304 LERDA: ESPERANZA DE VIDA ACTIVA 305 Indica el tiempo vivido en actividad por los sobrevivientes a l a edad exacta x hasta el final de la vida (x — w ) . 4. Con los elementos anteriores quedan definidas las esperanzas de vida mencionadas : (ea) x (5) (4) ; 5. A l parecer, la relación (5) es de una validez tan general como la (4), o como la m á s conocida: T o K = — .^ 1 - (6) esperanza de vida a la edad x, definida en una tabla de m o r t a l i d a d convencional. 6. Sin embargo, el hecho de que la f u n c i ó n : a presente u n m á x i m o en x = m, introduce un elemento e x t r a ñ o en el planteo general e n que se apoyan las expresiones (4) y ( 6 ) , el que quizá p o d r í a sintetizarse por la idea: relacionar mediante cociente dos funciones m o n ó t o n a s decrecientes. 7. E n efecto, en el caso de la esperanza de vida activa de u n trabajador, la idea anterior sólo tiene vigencia en u n determinado tramo x de edades activas, puesto que la f u n c i ó n : t extremo en las proximidades de x — m. x> t a m b i é n presenta u n valor Ti 8. Así puede decirse que la r e l a c i ó n , sólo es adecuada para el cálculo de la vida media activa de u n trabajador con edad x ^ ra. 9. Por el contrario, el uso de la expresión (5) conduce invariablemente a una sobrestimación del verdadero nivel de l a : ea , si la edad a que se refiere e s t á comprendida entre el límite izquierdo del p e r í o d o de vida activa (x = A) y aquella en que la función-actividad a , alcanza su m á x i m o absoluto (x = m). 10. E l objeto de este a r t í c u l o es precisamente: x x a) Explicar el origen del sesgo, e ilustrarlo con un ejemplo sencillo. b) presentar una deducción de la f ó r m u l a corregida para calcular: ea , cuando : A< x <m. c) intentar un estudio analítico que permita identificar la relación existente entre la f ó r m u l a sesgada y la corregida, a f i n de descomponer el error de manera conveniente para el análisis. w 11. Finalmente, cabe destacar que el problema central a q u í considerado no es nuevo en el campo demográfico o actuarial. Tal vez por ello, ha pasado a formar parte de una corte de temas que pueden ser tratados sin dificultad, cuando se dispone de una dosis razonable de DEMOGRAFÍA Y ECONOMÍA V :3, 1971 306 i n t u i c i ó n y experiencia. Esta nota ha sido escrita en el sincero convencimiento de que no es éste el caso m á s habitual, cuando el interesado es alguien que tiene su p r i m e r contacto con la TVA O similares. A ellos e s t á destinada. I I . O R I G E N DEL SESGO 12. Aceptando que a es una función continua y derivable hasta de segundo orden por lo menos en el d o m i n i o : D(A, L) existe suficiente evidencia e m p í r i c a como para suponer que se verifican las siguientes relaciones:• 2 x a dx dx da„ dx : ' > 0 P x a r a ^ < x < ra (7) x = ra (8) a' — 0 para x • a' < 0 para ra < x < L (9) donde A y L representan las edades límite izquierda y derecha del per í o d o de la vida en que generalmente se da la p a r t i c i p a c i ó n en la fuerza de trabajo. 3 13. Por otra parte, mientras la función l puede considerarse u n modelo de variación conjunta de mortalidad y actividad s e g ú n edad, la función a constituye u n modelo descriptivo de la v a r i a c i ó n en los niveles de p a r t i c i p a c i ó n e c o n ó m i c a exclusivamente. De esta manera, las relaciones ( 7 ) y (9) indican la existencia de ingresos a la actividad y retiros profesionales, respectivamente. 14. Es precisamente el hecho de que la p a r t i c i p a c i ó n no alcanza su m á x i m o nivel en A, sino que varía gradualmente — i n c r e m e n t á n d o s e — desde a = 0 hasta que en ra llega a su valor extremo {a ), lo que, unido al procedimiento de cálculo, hace que los resultados obtenidos a p a r t i r de (5) resultan sobrestimados, cuando: A < x < ra. x x> A m 15. Como se ha visto antes, la función T resulta de acumular el tiempo vivido en actividad por los sobrevivientes de la cohorte inicial, desde la edad x hasta el final de la vida (supuesto que L = w ) . Ocurre entonces que para una edad cualquiera A < x < ra, al hacer el cociente: x (5) 2 E n el Censo General de Población argentino, en 1960, el valor investigado de A fue de 14 años; m resultó de aproximadamente 35 años y L no se definió. E n el año de 1970, la PEA fue definida a partir de A = 10, no habiéndose dado instrucción respecto a L. No se dispone aún de información para estimar m. Fuerza de trabajo, población económicamente activa (PEA) y mano de obra, se usan aquí como sinónimos. 3 LERDA : ESPERANZA DE VIDA ACTIVA 307 encontramos en el numerador no sólo el tiempo vivido desde x en adelante p o r quienes ya son activos a tal edad, sino t a m b i é n los a ñ o s - h o m bre pasados en la PEA por aquellos que se incorporan a la fuerza de trabajo en edades comprendidas entre x y m. 16. L o s e ñ a l a d o en la ú l t i m a parte del p á r r a f o anterior, constituye justamente la clave de la e x p l i c a c i ó n : en la o p e r a c i ó n (5) se e s t á distribuyendo u n tiempo vivido en actividad, superior al que constituye la experiencia real de los supervivientes activos en x. La consecuencia inmediata es la anticipada sobr'estimación del verdadero n i v e l de la o ea . x 17. A l parecer, la manera m á s simple de ilustrar las consideraciones que anteceden consiste en colocarse en el supuesto de ausencia de mortalidad, para el estudio de la experiencia de p a r t i c i p a c i ó n en la actividad de un individuo en D(A,L). E n tal caso: L o ea = T x x — x l L l a x dx x x = a dx x (10) = ¿x v Q-x &x lo que conviene descomponer en dos sumandos: m L C j a dx f ^ j a dx x x y al aplicar el teorema del valor medio en el cálculo integral : L a n i m (m-x)+ a dx x (12) donde: * < v < r a . 18. E l examen de la relación ( 1 1 ) nos indica que estamos frente a una suma de dos esperanzas de vida activa: una, temporaria e inmediata p o r (¡m — x) a ñ o s y la otra, diferida por igual p e r í o d o , en ambos casos, a p a r t i r de x. 19. A l transformar la relación anterior en la ( 1 2 ) , surge claramente que la esperanza temporaria, tal como se expresa, representa una sobr estimación del n ú m e r o m á x i m o de a ñ o s que u n individuo puede v i v i r en el intervalo (x,m). E n efecto, al usar el teorema del valor medio en circunstancias en que a es creciente, se verifica: x > 1 (13) 20. Sin embargo, mientras el componente temporario refleja a simple vista el sesgo mencionado, no es tan evidente lo que ocurre con el DEMOGRAFÍA Y ECONOMÍA V:3, 1971 308 componente diferido. medio, resulta: Reiterando la aplicación del teorema del valor L - ( - x ) m + — (L-m) (14) donde: m < 5 < L. 21. Puede notarse que a es invariante respecto a i , y depende exclusivamente de la forma analítica de la función-actividad en el intervalo (m, L). Además, a p a r t i r de lo indicado en ( 9 ) , se deduce que: s a m >a >a 8 L = 0 (15) 22. Atendiendo a lo s e ñ a l a d o en el p á r r a f o 12, siempre es posible identificar en un punto x = r, comprendido entre A y ra para el que se verifica: a =a r (16) s y a p a r t i r del cual surgen tres casos en que conviene analizar la relación ( 1 4 ) : i) A < x < r implica: >i;—— >i de lo cual se infiere que ambos componentes resulten sobrestimados puesto que al colocarnos en el supuesto de ausencia de mortalidad — b i o l ó g i c a m e n t e — lo m á x i m o que se puede esperar que viva una persona es (ra — x) y (L — ra), respectivamente. En este caso y en los que resta considerar, debe tenerse presente que para la función a e s t á n vigentes las c a r a c t e r í s t i c a s enunciadas en el p á r r a f o 12, es decir, que el tiempo vivido en actividad es inferior al tiempo vivido en cualquier c o n d i c i ó n : activo o inactivo. Una excepción a esto ú l t i m o se daría en el caso de que a p a r t i r de una cierta edad, la función-actividad fuera constante e igual a la unidad. x ii) x — r implica: — > 1 ; — — = 1 de donde t a m b i é n se deduce que los dos componentes se encuentran sobrestimados. Puesto que entre x y ra, el n ú m e r o m á x i m o de años que se puede v i v i r en (m —x), el hecho de encontrarse amplificado por u n coeficiente superior a la unidad muestra claramente la existencia de un sesgo. Respecto al segundo t é r m i n o de la relación (14), admite una reflexión semejante, aunque no del todo evidente, por el LERDA: ESPERANZA DE VIDA ACTIVA 309 hecho de que el coeficiente aja es igual a la unidad. Sin embargo, surge la evidencia del sesgo al recordar que en el intervalo (m,L), se verifica a' < 0, l o cual equivale a decir que la p a r t i c i p a c i ó n n o es del 100 % y, en consecuencia, el tiempo vivido en actividad es inferior a l tiempo total vivido. x x iii) r < x < ra i m p l i c a : > i; <i puesto que el coeficiente del intervalo correspondiente a la vida media activa temporaria es, una vez m á s , superior a la unidad, no queda lugar a dudas acerca de la existencia de sobr estimación pero a simple vista no p o d r í a decirse que ocurre lo mismo con el componente diferido, dado que para é s t e figura u n factor menor que la unidad. Para estudiar este caso, conviene tener presente la relación que liga la esperanza de vida a la edad x, temporaria por n a ñ o s , la probabilidad de supervivencia entre x y x+n con la esperanza a la edad x-{-n, en una tabla de m o r t a l i d a d convencional: .o o ^x — nPx ni ' ^X + 11 y extenderla al campo de la TVA : x /ea = m-xPx x • eom ( 1 7 ) lo que es lícito hacer en vista de que el tramo de edades considerado es aquel en que a! < 0. E n r a z ó n de que el examen precedente se apoya en el supuesto de que - p = 1 para cualquier valor de x en D(A,L), se deduce que: m x x L io -Jea m x m x Ó* a o - ea x - a s , r x = — (L — ni) De lo anterior se desprende que el nivel correcto del componente diferido se alcanza sólo cuando en el planteo de la relación ( 1 4 ) la variable edad toma su límite ra. 23. A f i n de ilustrar n u m é r i c a m e n t e las condiciones anteriores se presenta un ejemplo cuyos supuestos de trabajo s e r á n discutidos una vez expuestos. Ellos son: a) m o r t a l i d a d y retiros profesionales nulos, en D(A, L). x —A b) función-actividad a = a ; en D(A, ra). m —A x m 24. A l interpretar la f u n c i ó n : l x de una TVA como un modelo des- DEMOGRAFÍA Y ECONOMÍA V:3, 1971 310 criptivo del nivel y estructura de la p a r t i c i p a c i ó n en la actividad económica, según edad, se está indicando i m p l í c i t a m e n t e la existencia de tres factores "determinantes": nivel y d i s t r i b u c i ó n por edad de la mortalidad, ingreso a la actividad y retiros profesionales. 25. Según el esquema anterior, dada una composición p o r edades de la p a r t i c i p a c i ó n , su nivel se ve disminuido por efectos del p r i m e r y tercer factor, mientras que el segundo tiende a incrementarlo, al menos, en un cierto tramo de edades (A,m). 26. Puesto que de acuerdo con lo s e ñ a l a d o en el p á r r a f o 15, la s o b r e s t i m a c i ó n se origina en la inclusión en el numerador de ( 5 ) del tiempo vivido en actividad por quienes se incorporan a la PEA con posterioridad a la edad x a que se refiere la e s t i m a c i ó n y antes de cumplir ra años, la consideración de que la mortalidad y los retiros son nulos no afecta la corrección del razonamiento sino en el sentido de exagerar la importancia del sesgo. 27. E n relación a la hipótesis b), puede decirse que si bien no corresponde perfectamente a la experiencia corriente, tampoco modifica el sentido de la p r o p o s i c i ó n a verificar. 28. E n caso de que se quisiera tener una mejor a p r o x i m a c i ó n , si no a la forma real del f e n ó m e n o , cuando menos a la que "se suele suponer que tiene", p o d r í a hacerse una de las siguientes h i p ó t e s i s alternativas: i) a' > 0; a" < 0 x i cC ii) a' > 0; \ > o a" < 0 para A < x < m para A < x < b para b < x < m donde: x = b representa el punto en el que a cambia de curvatura. 29. Si lo real fuera i ) , con el supuesto aquí adoptado, se estaría subestimando la verdadera importancia del sesgo. E n el caso de que ii) represente la situación correcta, no es fácil adelantar el resultado. Sin embargo, existe alguna evidencia e m p í r i c a en el sentido de que la edad a la que se produce el punto de inflexión conserva con m una relación del t i p o : x ra + h < A —r~ en cuyo caso —aunque a n a l í t i c a m e n t e no constituye condición suficiente— p o d r í a esperarse que el efecto promedio, en D(A,m), sería del tipo indicado en i). 30. De lo anterior se desprende que la i n t r o d u c c i ó n de los supuestos mencionados no representa ninguna r e s t r i c c i ó n y, por el contrario, su extrema sencillez contribuye a facilitar el tratamiento así como a destacar la dirección del sesgo. 31. Si se identifican los p a r á m e t r o s del supuesto b) — p á r r a f o 23— L E R D A : ESPERANZA D E VIDA 311 ACTIVA con valores corrientes, se puede dar forma n u m é r i c a al modelo propuesto, o b t e n i é n d o s e el cuadro 1. Cuadro 1 ESTIMACIÓN DE LA ESPERANZA DE VIDA ACTIVA DE U N TRABAJADOR MEDIANTE LA RELACIÓN (5) X 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 4 a x ix *x L 5 x ! 0.00 0.00 5.0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0.25 0.50 0.25 0.50 0.75 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.75 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 1 1.00 1.00 1.00 45 40 35 30 25 20 42.500 45 40 35 30 25 20 45.000 44.375 42.500 39.375 35.000 30.000 25.000 20.000 15 15.000 10,000 5.000 3.125 50 5.000 5.000 39.375 35.000 30.000 25.000 20.000 10 5 5.000 - - E n dicho p á r r a f o : A = 15; ra = 35 ; L = w = 70; 50 •a x 55 55 4.375 5.000 5.000 5.000 5.000 (•a)x 45.000 44.375 0.625 1.875 - •x _ 177.5 85.0 52.5 35.0 30.0 25.0 20.0 15 15.000 15.0 10 10.000 5 5.000 10.0 5.0 - LOO. 32. Un examen r á p i d o de los valores tabulados —en p a r t i c u l a r los de la ú l t i m a columna— permite concluir que la hipótesis que se viene dicutiendo queda ampliamente verificada. Así, al usar T^/ll para edaedades inferiores a los 35 años, se encuentran niveles de la e s t i m a c i ó n que son, incluso, superiores a las correspondientes esperanzas de vida biológicas. Tal es el caso de ea , para x = 20, 25, 30, sin contar x = 15, en que un análisis continuo d e t e r m i n a r í a u n límite infinito positivo. 33. La o b s e r v a c i ó n del cuadro mencionado permite comprobar, en el contexto de los supuestos elegidos, que la relación (5) es correcta cuando x ra. La verificación de este hecho es independiente de las h i p ó t e s i s del presente ejemplo y tiene s u s t e n t a c i ó n teórica en lo señalado en el p á r r a f o 6. 34. Puede agregarse a los anteriores comentarios que la función x L ha sido tabulada bajo el supuesto de una variación lineal de la función-actividad. E n v i r t u d de los supuestos del modelo la f ó r m u l a de i n t e g r a c i ó n n u m é r i c a utilizada: ñ x L 5 X = 2.5 (l + x t +§) x arroja los mismos resultados que los que se pueden obtener con una expresión ligeramente m á s refinada: L 5 X = 0.5 ( L 5 X + L 5 X • a + 2.5) x 35. Finalmente, cabe reiterar que la i n t r o d u c c i ó n en el análisis de valores positivos de mortalidad y retiros se t r a d u c i r í a en una disminución de la importancia del sesgo; sin embargo, el sentido de éste se m a n t e n d r í a invariable, por las razones adelantadas en el p á r r a f o 14. 312 D E M O G R A F I A Y E C O N O M I A V : 3 , 1971 36. Una vez explicado e ilustrado el origen y dirección d e l sesgo, se d e d i c a r á la sección siguiente a presentar una d e d u c c i ó n de la f ó r m u l a corregida. I I I . FÓRMULA CORREGIDA 37. Como se indicó en la i n t r o d u c c i ó n , el reconocimiento de la necesidad de introducir una c o r r e c c i ó n en la relación (5) para A < x < m no es nueva. Diversos autores recogen esta idea en sus trabajos, aunque, t a l vez por aquello de que se trata de u n problema obvio, no presentan al usuario una d e d u c c i ó n que la justifique. 38. Siguiendo las ideas presentadas en la relación (11) y p o r analogía con la definición de e de una tabla de mortalidad convencional, en la que se verifica: 4 Xf 0 , 0 In^x = o + Jtx (18) donde: x-\-n $ , 0 I n^x X / /ir l W, X T /V X " = X — T X + fl , * n\ ( > 1 = 1 7 *•& 9 '-x (esperanza de vida a la edad x, temporaria por n a ñ o s ) w f J n/^x 1 /ir = T = (20) ^x ^x (esperanza de vida a la edad x, diferida por n a ñ o s ) es posible escribir: <M* = Im-x^x + m-xIeO-x ( 2 1 ) en que, de manera similar: m a § 1 /i / -*ea m x = T a a T = lx (22) ^X (esperanza de vida activa de u n trabajador a la edad x, temporaria por (ra — x) a ñ o s ) L dx« 11 CP. —/ea, % = TZ = (23 ) (esperanza de vida activa de u n trabajador a la edad x, diferida por (ra — x) a ñ o s ) 4 E n este sentido puede consultarse, entre otros, a S. L . Wolfbein, "The Length of Working Life", Poputation Studies, diciembre de 1949, p. 291, y Naciones Unidas, ST/SOA/Serie A/43, Cap. I , p. 24. LERDA: ESPERANZA DE VIDA ACTIVA 313 39. La expresión (21) resulta conveniente con fines de a n á l i s i s y fa­ cilita la derivación de la f ó r m u l a corregida. 40. Respecto al p r i m e r sumando (/ -. ea ): en razón de que uno de los supuestos básicos que corrientemente se hacen para la c o n s t r u c c i ó n de una TVA es el de que no existe mortalidad diferencial por edad entre activos e inactivos, resulta compatible con ello decir que la esperanza de vida activa temporaria —en u n tramo de edades en el que la ú n i c a fuente de eliminación la constituye la mortalidad biológica— debe ser igual a la esperanza de vida temporaria, en el mismo intervalo, de un elemento genérico de la población. Es decir, que debe verificarse: m 1 m—x&Q-x — x x / m — x^x (24) 41. Respecto al segundo sumando { - /ea ): puesto que este indi­ cador se encuentra referido a u n intervalo de edades para el que se supone que no existen ingresos y en el que sólo se producen salidas de la actividad ( p o r muerte o retiro profesional), no existe r e s t r i c c i ó n a que el mismo sea tratado como una esperanza de vida diferida, co­ rrespondiente a una tabla de mortalidad convencional. De lo anterior y por analogía con la relación (17), se puede escribir: m x m—x/^x — x m—xPx ' a &m (25) 42. Reuniendo los elementos anteriores, puede escribirse la relación (21) como: - Im-xK + m-xPx ' <^m (26) o t a m b i é n , en su forma operacional: T ^ = — —T l — a 1 + " 1 7 T ' ~T ( 2 7 ) 43. Es de observar que en la deducción anterior no se ha hecho intervenir e x p l í c i t a m e n t e n i n g ú n elemento que vincule los ingresos a la actividad con la solución del problema. E n lo que resta de esta sección se procura ligar ambos aspectos. 44. Anteriormente — p á r r a f o s 14 y 15— se ha destacado el hecho de que la relación ( 5 ) constituye una s o b r e s t i m a c i ó n del verdadero nivel de la ea , cuando A<x<m, en razón de que con tal o p e r a c i ó n se dis­ tribuye u n tiempo vivido en actividad, superior a la experiencia real de p a r t i c i p a c i ó n , por parte de quienes son sobrevivientes activos a la edad x. Dicho de manera muy general: no existe correspondencia x entre numerador ( 7 ^ ) y denominador (f ). 45. La eliminación del sesgo v e n d r á entonces —siguiendo este ca­ mino— a p a r t i r de alguna t r a n s f o r m a c i ó n que haga compatible la relación entre ambos elementos. 46. U n procedimiento general de resolución consistiría en calcular x 314 DEMOGRAFÍA Y ECONOMÍA V:3, 1971 el tiempo vivido en actividad a lo largo del intervalo (x, m), supo­ niendo la vigencia de una tasa constante, a, que por la naturaleza del problema debe cumplir con: 0 < a ^ 1. 47. De acuerdo con lo anterior, el tiempo vivido en actividad que ahora resulta s e r á : m Tx — m—x^x Tm — L x & ' ^x &X + l x d.X (28) el que corresponde d i s t r i b u i r entre los sobrevivientes activos "espe­ rados" en x: f x ^ C L ' l x (29) 48. Haciendo el cociente entre las relaciones (28) y (29) se obtiene la forma general: rj-> O la. = — rji m = r; * rj-i 1 T® + - ^ L . __üí_ . JLÜL a h l m (30) f m 49. A l comparar la expresión anterior con la relación (17), se puede observar que sólo coincide en caso de que se haya elegido: a = a ; en caso contrario, se e s t a r í a introduciendo u n sesgo en el componente d i ­ ferido — y por extensión en la e s t i m a c i ó n de ea — que sería p o r defec­ to o p o r exceso, según fuesen los valores particulares de a y a . 50. De l o anterior se deduce que la tasa constante a elegir no puede ser arbitraria como se supone al principio, sino que debe ser la corres­ pondiente al punto para el que la función-actividad presenta su m á ­ ximo. 51. E n cuanto a la idea de incorporar una tasa de actividad cons­ tante, puede interpretarse en el sentido de que en cada edad A < ^ < m , ya se encuentran incorporados a la actividad todos aquellos que alguna vez lo h a r á n y llegan con vida a ra. Su f u n d a m e n t a c i ó n proviene de la mencionada necesidad de compatibilizar numerador y denominador, p u d i é n d o s e formalizar a p a r t i r de la relación (24) la que puede es­ cribirse como: m x m m m S l • a dx x f l dx x w - = X (24 b i s ) ^X ' &x ^x y usando el teorema del valor medio en el cálculo integral se llega a a -— m m x $l dx a = Sl d* 9 (31) donde a fue definido anteriormente. 52. De lo visto se desprende que la verificación de la r e l a c i ó n (24) —supuesto b á s i c o en la c o n s t r u c c i ó n de la TVA mientras no se conozca vt 315 LERDA: ESPERANZA DE VIDA ACTIVA realmente el p a t r ó n de mortalidad de los activos— e s t á sujeto a l a condición : a v — =1 (32) y, en consecuencia, a que la función-actividad se comporte como una constante en el intervalo de edades (A,m), independientemente de la forma analítica d e l : l . 53. ¿ Q u é ocurre si - q = 0? E n tal caso, la relación (27) se reduce a: x m x x rl °ea — ( r a - x) H x — (33) t lo que permite ver su mecanismo lógico: los (ra — x) a ñ o s del p r i m e r sumando resultan del supuesto adoptado y en v i r t u d del mismo, u n sobreviviente activo a la edad x se hace "acreedor" al 100 % de l o que corresponde a los trabajadores que llegan con vida a ra. Como puede observarse, bajo condiciones reales de mortalidad, t a l " c r é d i t o " , varía en p r o p o r c i ó n directa a la probabilidad de sobrevivencia en el p e r í o d o . 54. Finalmente, vinculando la f ó r m u l a corregida —relación (27)— con el ejemplo presentado en la primera sección, es claro que en virt u d de los supuestos elegidos aquélla se reduce a: ea = 70-x (34) x p u d i é n d o s e ahora comparar los resultados de la e s t i m a c i ó n sesgada y la corregida. (Véase el cuadro 2.) Cuadro 2 ESPERANZA DE VIDA ACTIVA DE U N TRABAJADOR, PARA: 15 < x ^ 35, ESTIMACIÓN SESGADA Y CORREGIDA, ERRORES ABSOLUTOS Y RELATIVOS Edad 20 25 30 25 , E s t i m a c i ó n sesgada r e l a c i ó n (5) E s t i m a c i ó n c o r r e ;j i d a r e l a c i ó n (27) 6 I[34) 177.5 50.0 45.0 40.0 35.0 85.0 52.5 , 35-o Absoluto 127.5 40.0 12.5 Error Relativo(%) 155.00 88.90 31.25 55. Observando el cuadro 2, pueden hacerse por lo menos dos breves comentarios de i n t e r é s . E n p r i m e r lugar, que la relación (27) describe correctamente las c a r a c t e r í s t i c a s del modelo examinado. E n segundo lugar, cabe hacer resaltar que la s o b r e s t i m a c i ó n provocada por el uso de la relación (5) es s i s t e m á t i c a para toda edad inferior a los 35 a ñ o s , pero que decrece con la edad —al parecer— de acuerdo con una ley hiperbólica. DEMOGRAFÍA Y ECONOMÍA V : 3 , 1971 316 I V . R E L A C I Ó N ENTRE LA FÓRMULA CIÓN DEL ERROR SESGADA Y LA CORREGIDA. DESCOMPOSI- 56. A f i n de generalizar las ideas que condujeron a la r e l a c i ó n (14), es posible escribir: S Cdx ÍCdx = = ^x l x íltdx + (35) L% y aplicando el teorema del valor medio en el cálculo integral a la vez que se hacen algunas transformaciones, se arriba a una forma general de la f ó r m u l a sesgada: Tai f x Q>v Ta* T CL m m -j a l x a x x l T m . —. l m . m _ f (36) m donde a ha sido definido antes. 57. Comparando la e x p r e s i ó n anterior con la relación (27), queda claro que aquélla contiene a é s t a como u n caso particular. Tal circunstancia se verifica cuando: v CL X — d ¡££y m lo que puede interpretarse en el sentido, ya adelantado, de que la participación m á x i m a se presenta desde el inicio del p e r í o d o de la vida activa. Este artificio algebraico, necesario para resolver el sesgo y que fuera aceptado al comentar la relación (30), implica suponer que l a i n c o r p o r a c i ó n a la actividad no es u n proceso m á s o menos gradual entre A y m sino u n f e n ó m e n o que se da s i m u l t á n e a y totalmente en A. 58. Llamando "factores de d i s t o r s i ó n " a: f f(x) = ; g(x) = se verifica: lím f(x) = + OC ; x-> A l í m f(x) = 1 x -> m lím g(x) = + OO ; l í m g(x) = 1 x-> A x -> m de donde se concluye que, efectivamente, el sesgo v a r í a hiperbólicamente en el intervalo (A, m), según se anticipara en los comentarios a l cuadro 2. 59. Puesto que en realidad: a <a <a se verifica que f(x) <g(x), de donde se infiere que la d i s t o r s i ó n total puede ser descompuesta en dos partes, cuya importancia absoluta y relativa difieren. x v mt LERDA : ESPERANZA DE VIDA ACTIVA 317 60. E n relación con el error vinculado al componente temporario, puede decirse que es de menor peso relativo que el asociado con el exponente diferido. E n cuanto al valor absoluto, cabe esperar u n a relación del mismo t i p o que la mencionada, si los límites de l a vida activa se fijan en 15 y 70 años, respectivamente, variando ra alrededor de los 35 a ñ o s . 61. Con los elementos de análisis presentados, es posible intentar u n sencillo ejemplo n u m é r i c o , con el objeto de medir la importancia de f(x) y g(x). Para tal f i n , se ha considerado la información provista por el cuadro 1. 62. Atendiendo en p r i m e r lugar al error asociado con la esperanza de vida activa temporaria de u n trabajador, se obtienen las cifras del cuadro 3. Cuadro 3 ANÁLISIS NUMÉRICO DEL ERROR PROVENIENTE DE F ( X ) , SEGÚN EDAD x,m v 20,35 25,35 30,35 35 = m 27.5 30.0 32.5 35.0 ^ x v 0.625 0.750 0.875 1.000 f(x) 0.25 0.50 0,75 1.00 v 2.500 1.500 1.167 1.000 1 1 1 1 68 Estimación /m-x * ' 1 1 f (corregida) (en años) 20,35 27.5 15 25.35 30.0 10 30,35 32.5 5 15 10 5 „ , , E r r o r respecto a l v a l o r corregígo 1 m "¡ U) 50 45 40 35 Absoluto (en años) Relativo ( f ( x ) - 1 ) • 100 22,500 150.0 5.000 50.0 0.835 16.7 (sesgada) (en años) 37.500 ) 15.000 i 5.835 63. De manera similar es posible construir el cuadro 4. Cuadro 4 ANÁLISIS NUMÉRICO DEL ERROR PROVENIENTE DE G(X) a X 0.25 0.50 0.75 1 .00 20,35 25.35 30,35 35 = m g(x) p m-x x 4.000 2.000 1.333 1 .000 1 1 1 1 Estimación m-x/ea* P 20,35 25.35 30,35 e a 0 P a m 1 1 1 1 ea 35 35 35 35 e a x g(x) m-x x . (corregida) (en años) (sesg (en años) 35 35 35 140.000 70,000 6.655 x Absoluto (en años) 105.000 35.000 11.655 a m = T / m ' a lm 35 35 35 35 E r r o r respecto a l v a l o r 0 ro-x x . l corregido Relativo (g(x) - 1) . 1 0 0 300.0 100.0 33.0 64. A l examinar las cifras de los cuadros 3 y 4 es posible reconocer que: DEMOGRAFÍA Y ECONOMÍA V:3, 1971 318 i) al usar T*/ Zapara el cálculo de la &a cuando A < x < ra, se llega invariablemente a una s o b r e s t i m a c i ó n de su verdadero nivel que afecta a sus dos componentes de manera distinta. ti) la importancia del error que se comete en tales circunstancias —tanto en t é r m i n o s absolutos como relativos— es mayor en el componente diferido que en el temporario. iii) la evaluación del sesgo es decreciente con la edad, s e g ú n una ley hiperbólica, para ambos componentes. xi 65. Cabe observar, como control, que la suma de los valores co­ rrespondientes a los errores absolutos, en los cuadros 3 y 4, coincide con las cifras relacionadas a la e s t i m a c i ó n sesgada que figura en los cuadros 1 y 2. 66. Finalmente, una ú l t i m a o b s e r v a c i ó n en relación con los errores relativos por edad originados en los "factores de d i s t o r s i ó n " f(x) y g(x). S i s t e m á t i c a m e n t e se encuentra que este ú l t i m o es el doble del primero. Ello es consecuencia del supuesto combinado de linealidad en la variación de la función-actividad y de constancia en l l o que p e r m i t i ó usar en forma exacta: xt a = 0.5 (a + a ) v w m y que reemplazando oportunamente, verifica: g(x) - 1 _ a -a a a _ V. R E S U M E N Y . 1. E n una tabla de vida activa (TVA), se tabulan corrientemente los valores correspondientes a la función b i o e c o n ó m i c a "esperanza de vida activa de u n trabajador". 2. Definiendo los límites de edad dentro de los cuales se da la p a r t i c i p a c i ó n en la p o b l a c i ó n e c o n ó m i c a m e n t e activa (PEA), como A y L , existe un punto ra para el cual las tasas de actividad por edad presentan un m á x i m o . 3. La existencia de u n valor extremo como el indicado puede in­ terpretarse en el sentido de que antes de tal edad no se ha comple­ tado a ú n el proceso de i n c o r p o r a c i ó n a la fuerza de trabajo por parte de los integrantes de la generación h i p o t é t i c a que se representan en la TVA. Por tal motivo, al estimar el nivel de: ea , para: A < ; c < r a , me­ diante la r e l a c i ó n : x en el numerador se encuentra, por una parte, el tiempo vivido en actividad desde x en adelante, por quienes son sobrevivientes activos LERDA: ESPERANZA DE VIDA ACTIVA 319 a t a l edad y, a d e m á s el correspondiente a todo individuo que se in­ corpora a la PEA entre x y m. 4. E n v i r t u d de que este ú l t i m o nada tiene que ver con l a expe­ riencia de p a r t i c i p a c i ó n en la fuerza de trabajo de quienes f o r m a n el conjunto f , se presenta una falta de correspondencia entre numera­ dor y denominador cuyo resultado es provocar una s o b r e s t i m a c i ó n del verdadero nivel del indicador. 5. E n consecuencia, para tabular la función esperanza de vida activa de u n trabajador, d e b e r á n utilizarse dos f ó r m u l a s distintas s e g ú n el tramo de edades que se considere: x Si A<ix<jn\ ea Si ea — ra<[*<L: x x +