2. Calcula las coordenad

REPA S O D E G EO METRÍA MÉ TRIC A PL A N A
1.
H al l ar e l s i m é tri co de l pu n to A (3 , - 2 ) re s pe cto de M(- 2 , 5 ).
2.
Calcula las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices: A(-1, -2), B(4, -1), C(5, 2)
y D; sea un paralelogramo.
3.
Dados los vectores =(2, k) y
a. Perpendiculares.
= (3, - 2), calcula k para que los vectores
y
sean:
b. Paralelos.
c. 3 Formen un ángulo de 60°.
No válida
4.
Si M1(2, 1), M2(3, 3) y M3(6, 2) son los puntos medios de los lados de un triángulo, ¿cuáles
son las coordenadas de los vértices del triángulo?
x1 = 7 y1 = 4
x2 = 5 y2 = 0
x3 = −1 y3 = 2
A (7 , 4 )
B (5 , 0 )
C(− 1 , 2 )
5.
Probar que los puntos: A(1, 7), B(4,6) y C(1, -3) pertenecen a una circunferencia de centro
(1, 2).
S i O e s el ce n tro de l a ci rcu n f e re nci a l as di s tan ci as de O a A , B , C y D
de be n s e r i gu al e s
6.
Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(4, -3), B(3, 0) y C(0, 1).
Re cu e rda qu e s e cu m pl e :
En e s te cas o s e cu m pl e :
7.
Hallar k si el ángulo que forma
a. 90°
= (3, k) con
= (2, -1) vale:
b. 0°
c. 45°
L as dos s ol u ci on e s s on v ál i das
8.
Calcular los ángulos del triángulo de vértices: A(6,0), B(3,5), C(-1,-1).
9.
Calcula x para que el vector u = (1 2, x ) sea unitario
2
1
3
3
1
u =   + x2 = 1 → + x2 = 1 → x2 = → x = ±
4
4
2
2
10. ¿Qué ángulo forman los
s = (3, − 1) y w = (− 1, − 5) ?
vectores
u ⋅v
cos (u , v ) = =
u ⋅v
(las dos soluciones son válidas)
u = (− 3, 1) y v = (4, − 3) ?
− 3 ⋅ 4 + 1 ⋅ (− 3)
(− 3)2 + 12 ⋅
42 + (− 3)
2
¿Y
=
los
vectores
− 15
−3
=
10 ⋅ 5
10
3
→ α = 18º 26´ 5,82´´→
10
(u, v ) = 180º −18º 26´ 5,82´´= 161º 33´ 54,1´´
cos α =
3 ⋅ (−1) + (−1) ⋅ (− 5)
s ⋅w
2
2
1
cos β = =
=
=
=
s⋅w
10 ⋅ 26
260
65
32 + (−1) 2 ⋅ (−1) 2 + 52
cos β =
1
→ β = 82º 52´ 29,94´´→
65
(s, w ) = 360º−82 º 52´ 29,94´´= 277 º 7´30,06´´
11. Calcula el producto escalar de u = (3, 4) y v , sabiendo que v = 4 y el ángulo que forman
es de 30º
u = (3, 4 )→ u = 32 + 4 2 = 5
3
→ u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ cos 30º = 5 ⋅ 4 ⋅
= 10 3
2
12. Calcula un vector ortogonal a u = (6, 8) y que sea unitario.
Buscamos w (x, y ) que cumple : w ⊥ u → (x, y )⋅ (6, 8) = 0 → 6 x + 8 y = 0 → 3x + 4 y = 0
w = 1 → x2 + y 2 = 1
2
3x + 4 y = 0  y = − 3 x 
25 2
4
3
 3 
2
1
1
x
x
x
x
y
∓
→
→
+
−
=
→
=
→
=
±
→
=
4




16
5
5
x 2 + y 2 = 1
 4 
x 2 + y 2 = 1
 4 3  4 3
Soluciones :  ,−   − , 
 5 5  5 5
13. Calcula x para que los vectores u = (3, 4) y v = (1, x ) sean:
a. Ortogonales
3
u ⋅ v = 0 → (3, 4 ) ⋅ (1, x ) = 3 + 4 x = 0 → x = −
4
b. Paralelos
3 4
4
u y v son proporcionales → = → x =
1 x
3
c. Formen un ángulo de 60º
cos 60º =
3 + 4x
=
1
→ 2 ⋅ (3 + 4x) = 5 ⋅ 1 + x2
2
32 + 42 ⋅ 12 + x2
4 ⋅ 9 + 24x + 16x2 = 25 ⋅ 1 + x2
(
)
(
)
→ 36 + 96x + 64x2 = 25 + 25x2
39x2 + 96x + 11 = 0 →
x1 = −0,12 válida
x2 = −2,34 no válida
3 − 0,48
5 ⋅ 1 + (− 0,12)
2
3 − 9,36
5. 1 + (− 2,34)
2
=
1
2
≠
1
2
14. Dados los puntos A (2, 1); B (6,3); C(7,1) y D(3, -1) Demuestra que el polígono ABCD es un
rectángulo y calcula su perímetro y su área.
Si es un rectángulo los lados opuestos deben ser paralelos dos a dos
y los lados concurrentes perpendiculares → AB = DC ; AD = BC ; AD ⊥ DC; AB ⊥ BC
AB = (4, 2) = DC ; AD = (1, − 2) = BC ;
(1, − 2) ⋅ (4, 2) = 4 − 4 = 0 → AD ⊥ DC
(4, 2) ⋅ (1, − 2) = 4 − 4 = 0 → AB ⊥ BC
Área = base ⋅ altura = d ( A, B) ⋅ d (( A, D ) =
AB ⋅ CD = 42 + 22 ⋅ 12 + (− 2) = 20 ⋅ 5 = 100 = 10 u 2
2
15. Los puntos A (-1, -2); B (1,1); C(4,0) son tres coordenadas de un paralelogramo, calcula las
coordenadas del cuarto vértice.
Si llamamos D al cuarto vértice hay que considerar tres posibliidades: paralelogramo ABCD;
paralelogramo ABDC; paralelogramo ACBD
a) ABCD sea paralelogramo.
D (a, b)
AB = DC
(2, 3)=(4-a, -b)
A
B
D (2, -3)
a=2; b=-3
C
D
b) ABDC sea paralelogramo
D (a, b)
A
B
AB = CD
(2, 3)=(a-4, b)
a=6; b=3
D (6, 3)
(5, 2)=(1-a, 1-b)
a=-4; b=-1
D (-4, -1)
D
C
c) ACBD sea paralelogramo
A
D
C
D (a, b)
AC = DB
B
16. Halla las coordenadas de los puntos medios y del baricentro del triángulo de vértices
A (0, 0); B (3,1); C(1,5).
 0 + 3 0 + 1  3 1 
M
,
= , 
2  2 2
 2
 3 +1 1+ 5
N
,
 = (2, 3)
2 
 2
 0 +1 0 + 5   1 5 
P
,
= , 
2  2 2
 2
 0 + 3 +1 0 +1+ 5   4 
,
G
 =  , 2
3
3  3 

17. Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 2)
y B(-2, 5).
18. De un paralelogramo ABCD conocemos A(1, 3), B(5, 1), C(-2, 0). Halla las coordenadas del
vértice D.
19. Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(6, 0), B(3, 0) y C(6, 3).
20. Hallar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 3x + 2y - 7 = 0.
21. Hallar la ecuación de la recta r que pasa por A(1,5) y es paralela a la recta s: 2x + y + 2 =0.
22. Los puntos A(-1, 3) y B(3, -3), son vértices de un triángulo isósceles ABC que tiene su vértice
C en la recta 2 x - 4 y + 3 = 0 siendo AC y BC los lados iguales. Calcular las coordenadas del
vértice C.
23. La recta r ≡ 3x + ny - 7 = 0
pasa
s ≡ mx + 2y - 13 = 0. Calcula m y n.
por el punto A(3,2)
y es paralela a la recta
24. Dado el triángulo ABC, de coordenadas A(0, 0), B(4, 0) y C(4, 4); calcula la ecuación de la
mediana que pasa por el vértice C.
25. Calcular la ecuación de la recta perpendicular a r : 8x - y - 1 = 0 y pasa por el punto
P(-3,2).
26. Halla el punto simétrico A', del punto A (3, 2), respecto de la recta r : 2 x + y - 12 =0
27. Una recta de ecuación r : x + 2y - 9 = 0 es mediatriz de un segmento AB cuyo extremo A
tiene por coordenadas (2,1). Hallar las coordenadas del otro extremo.
28. Una recta es paralela a la que tiene por ecuación r : 5x + 8y - 12 = 0, y dista 6 unidades del
origen. ¿Cuál es su ecuación?
29. Calcular las bisectrices de los ángulos determinados por la rectas:
30. Hallar el ángulo que forman las rectas que tienen por ecuaciones:
a.
b.
c.
d.
31. Se tiene el paralelogramo ABCD cuyos vértices son A(3, 0), B(1, 4), C(-3, 2) y D(-1, -2).
Calcular su área.
32. Dadas las rectas r ≡ 3x + y - 1 = 0 y s ≡ 2x + my -8 = 0, determinar m para que formen un
ángulo de 45°.
válidas
33. Dado el triángulo A(-1, -1), B(7, 5), C(2, 7); calcular las ecuaciones de las alturas y
determinar el ortocentro del triángulo.
34. Una recta es perpendicular a la que tiene por ecuación r : 5x - 7y + 12 = 0 y dista 4
unidades del origen. ¿Cuál es su ecuación?
35. De la recta r se sabe que pasa por el punto A(2,1) y un vector director es (-2, 4). Determina
la ecuación de la recta en todas las formas que conozcas.
Vectorial → OX = (2,1) + t (− 2, 4 )
Paramétric as →
x = 2 − 2t 
x − 2 y −1
=
 → Vectorial
y = 1 + 4t 
−2
4
4( x − 2 ) = −2( y − 1) → 4 x − 8 = −2 y + 2 → General 4 x + 2 y − 10 = 0
x − 2 y −1
=
4
−2
4
(x − 2 ) → Punto Pendiente y − 1 = −2( x − 2 ) → Explícita y = −2 x + 5
y −1 =
−2
36. Dada la recta 2x-3y+1=0 escríbela en forma vectorial, paramétrica, contínua y punto
pendiente.
vector direcciona l u = (3, 2 )
2x − 3y + 1 = 0 →
Punto A → le damos a x el valor 1 x = 1 → 2 − 3 y + 1 = 0 → y = 1 → A(1, 1)
Vectorial → OX = (1,1) + t (3, 2 )
Paramétric as →
x = 1 + 3t 
x −1 y −1
=
 → Vectorial
y = 1 + 2t 
3
2
x −1 y −1
2
2
2
2
1
=
→ y − 1 = ( x − 1) → Punto Pendiente y − 1 = x − → Explícita y = x +
3
2
3
3
3
3
3
37. Dadas las rectas 2x-3y+1=0 ax+(a-1)y-2(a+2)=0, calcual el valor de a para que sean:
a. paralelas
2
−3
1
2
=
≠
→ 2(a − 1) = −3a → 2a − 2 + 3a = 0 → a =
a a − 1 − 2(a + 2)
5
2
1
≠
2
2

− 2 + 2 
5
5

b. perpendiculares
A ⋅ A´+ B ⋅ B´= 0 → 2 ⋅ a + (− 3) ⋅ (a − 1) = 0 → 2a − 3a + 3 = 0 → −a + 3 = 0 → a = 3
38. Determina el valor de m para que las rectas mx+y=12, 4x-3y=m+1 sean paralelas. Después
halla su distancia.
m
1
12
4
1
12
=
≠
→ −3m = 4 → m = −
Se cumple →
≠
4 − 3 m +1
3
− 3 − 4 +1
3
Para Calcular su dis tan cia se elige un punto de una de elas y se calcual su dis tan cia a la otra :
4
r ≡ − x + y = 12 → −4 x + 3 y − 36 = 0 → si x = −3 → y = 8 → A(− 3, 8)
3
4
1
s ≡ 4 x − 3 y = − + 1 → 4 x − 3 y = − → s ≡ 12 x − 9 y + 1 = 0
3
3
d (r , s ) = d ( A, s ) =
12 ⋅ (− 3) − 9 ⋅ (8) + 1
2
12 + 9
2
=
107
u
15
39. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento determinado por los puntos A(1,-2) y B(3,0).
Hallar también el ángulo que forma esta mediatriz con el eje de abscisas.
 1+ 3 − 2 + 0 
,
 = (2 , − 1 )
M 
2

m ≡   2
→ m ≡ 2 x + 2 y + C = 0 → 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ (− 1 ) + C = 0 → C = − 2

 AB = (2 , 2 ) es vector normal
→ m ≡ 2x + 2y − 2 = 0 → m ≡ x + y −1 = 0
La Pendiente
de x + y − 1 = 0 es − 1 → tg α = − 1 → α = 135 º → ángulo 45 º
40. Halla el área del paralelogramo ABCD sabiendo que la ecuación del lado AB es x-2y=0, la
ecuación del lado AD es 3x+y=0 y las coordenadas del punto C son (3,5)
El punto A es la intersecci ón de las rectas
A
B
 x − 2 y = 0
A ≡
→ x = 2 y → 6 x + x = 0 → x = 0 → y = 0 → A (0 , 0 )
 3 x + y = 0
El lado DC es paralelo a AB y pasa por C →
D
C
DC ≡ x − 2 y + K = 0 → 3 − 10 + K = 0 → K = 7 → DC ≡ x − 2 y + 7 = 0
El punto D es la irte sec ción de los lados AD y DC →
y = −3 x

→
x − 2 y + 7 = 0 
x + 6x + 7 =
3x + y = 0

 → x = − 1 → y = 3 → D (− 1, 3 )
0 
Área = base ⋅ altura = d ( D , C ) ⋅ d ( A , lado DC ) =
(3 + 1)2 + (5 − 3 )2
⋅
0 − 2⋅0 + 7
1 + (− 2 )
2
2
=
20 ⋅
7
=
2 5 ⋅7
5
= 14 u 2
5
41. Calcula las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto P(2,3) y forman un ángulo de
45º con la recta 3x-4y+7=0
P (2, 3) La recta pedida p la escribimos en forma punto pendiente p ≡ y − 3 = m.( x − 2)
3
4
Las dos rectas forman un ángulo de 45º → sus pendientes cumplen :
La pendiente de la recta t ≡ 3x − 4 y + 7 = 0 es m′ =
m − m′
tg 45º =
→1 =
1 + m ⋅ m′
3
3
4m − 3
m−
4 →1 = ±
4 → 1 = ± 4 → 1 = ± 4m − 3 →
3m
4 + 3m
3
4 + 3m
1+
1+ m ⋅ 
4
4
4
m−
4m − 3
→ 4 + 3m = 4m − 3 → −m = −7 → m = 7 → p ≡ y − 3 = 7( x − 2)
4 + 3m
→
4m − 3
1
1
→ 4 + 3m = −4m + 3 → 7m = −1 → m = − → p′ ≡ y − 3 = − ⋅ ( x − 2)
1= −
4 + 3m
7
7
 −1

= −1
Las dos rectas solución son perpendiclares → el producto de sus pendientes es − 1  7 ⋅
 7

1=
42. Dados los puntos A(4,-2) y B(10,0) hallar el punto de la bisectriz del 2º y 4º cuadrante que
equidista de ambos puntos
Un punto de la bi sec triz del 2º y 4º cuadrante es de la forma P (t , − t )
Buscamos los puntos P que equidis tan de A y B → d (P, A) = d (P, B )
→
(4 − t )2 + (− 2 + t )2
=
(10 − t )2 + (t )2
→
→ 16 − 8t + t 2 + 4 − 4t + t 2 = 100 − 20t + t 2 + t 2 → 8t = 80 → t = 10 → P (10, − 10 )
43. Dados los puntos A(2,1), B(-3,5) y C(4,m), calcular el valor de m para que el triángulo ABC
tenga de área 6 unidades cuadradas
C(4,m)
1
Área = 6 = base ⋅ altura
2
base = d ( A, B ) =
(− 3 − 2 )2 + (5 − 1)2
= 41 u
h
altura h = d (C , lado AB )
A(2,1)
B(-3,5)
 A(2,1)
AB ≡ 
→ AB ≡ 4 x + 5 y + K = 0 → 4 ⋅ 2 + 5 + K = 0 → K = −13
 AB = (− 5, 4 ) es direcciona l
Lado AB ≡ 4 x + 5 y − 13 = 0 → h =
4 ⋅ 4 + 5 ⋅ m − 13
2
4 +5
2
=
5m + 3
41
9
 9
5m + 3 = 12 → m = → C  4, 
1
5m + 3
41 ⋅
= 6 → 5m + 3 = 12 → 5m + 3 = ±12 →
5
 5
2
41
5m + 3 = −12 → m = −3 → C (4, − 3)
44. Halla las ecuaciones de las rectas que pasando por el punto A(1,-2) distan dos unidades del
punto B(3,1)
Escribemos la recta en forma punto pendiente → y + 2 = m( x − 1) → r : mx − y − m − 2 = 0
3m − 1 − m − 2
d ( B, r ) = 2 → 2 =
→2=
2m − 3
2
(
2 m − 3)
→4=
m2 + 1
m2 + 1
5
4m 2 + 4 = 4m 2 − 12m + 9 → −5 = −12m → m =
solución válida
12
5
5
5
29
r: x− y− −2 = 0→ r: x− y−
= 0 → 5 x − 12 y − 29 = 0
12
12
12
12
m2 + 1
→
45. Halla los puntos de la recta 7x-y-28=0 que distan 5 unidades de la recta 3x-4y-12=0
r : 7 x − y − 28 = 0 → y = 7 x − 28 → un punto cualquiera de r es P( x, 7 x − 28)
d ( P, s ) = 5 → 5 =
3 x − 4(7 x − 28) − 12
2
3 +4
5 = ±(− 5 x + 20 ) →
2
→5=
− 25 x + 100
→ 5 = − 5 x + 20 →
5
5 = −5 x + 20 → x = 3 → P(3, − 7 )
5 = 5 x − 20 → x = 5 → P(5, 7 )
46. Calcula las coordenadas del punto P situado en la recta x+y-15=0 que equidiste de las rectas
y-2=0, 3y=4x-6
r : x + y − 15 = 0 → y = 15 − x → un punto cualquiera de r es P(x, 15 − x )
s : y − 2 = 0 t : 4x − 3 y − 6 = 0
d ( P, s ) = d ( P , t ) →
15 − x − 2
0 2 + 12
65 − 5 x = ±(7 x − 51) →
=
4 x − 3(15 − x ) − 6
4 2 + 32
→ 13 − x =
65 − 5 x = 7 x − 51 → 12 x = 116 → x =
7 x − 51
→ 65 − 5 x = 7 x − 51
5
116 29
 29 16 
=
→ P , 
12
3
 3 3
65 − 5 x = −7 x + 51 → 2 x = −14 → x = −7 → P(− 7, 22)
47. Las rectas r:3x+4y-5=0 y s:ax+7y+2=0 forman un ángulo cuyo seno vale 3/5. Calcula a
2
sen α =
4
=
5
3
4
3
→ cos α = 1 −   =
5
5
5
(3, 4) ⋅ (a, 7 )
9 + 16 ⋅ a 2 + 49
→
4
3a + 28
3a + 28
9a 2 + 168a + 784
=
→4=
→ 16 =
→
5 5 a 2 + 49
a 2 + 49
a 2 + 49
16a 2 + 784 = 9a 2 + 168a + 784 → 7 a 2 − 168a = 0 →
a=0 →4=
7 a ⋅ (a − 24 ) = 0 →
a = 24 → 4 =
28
SÍ → SOLUCIÓN VÁLIDA
49
72 + 28
100
;4=
SÍ → SOLUCIÓN VÁLIDA
25
576 + 49
48. Calcula el área del triángulo que tiene sus vértices en los puntos A(1,4) B(-3,4) y C(-1,0).
C(-1,0)
Área =
1
base ⋅ altura
2
base = d ( A, B ) =
h
(− 3 − 1)2 + (4 − 4 )2
=4u
altura h = d (C , lado AB )
A(1,4)
B(-3,4)
 A(1,4 )
AB ≡ 
→ AB ≡ −4 x + K = 0 → −4 + K = 0 → K = 4
 AB = (− 4,0 )es direcciona l
Lado AB ≡ −4 x + 4 = 0 → lado AB ≡ x − 1 = 0 → h =
Área =
−1−1
12 + 0 2
=2
1
⋅ 4 ⋅ 2 = 4 u2
2
49. Un hexágono regular tiene su centro en el origen de coordenadas y uno de sus lados sobre
la recta x+y+5=0. Halla su área.
C(0,0)
r
a
s: x+y+5=0
apotema a = d ((0,0 ), s ) =
0+0+5
=
5
2
2
En el hexágono regular el lado es igual al radio de la circunfere ncia circunscri ta →
el radio , la mitad del radio y la apotema forman un triángulo rectángulo →
2
2
r 2 25
3r 2 25
 5  r
2
r =
=
→
=
→
 +  → r −
4
2
4
2
 2  2
2
r2 =
100 50
=
→r=
6
3
Área =
50
→ lado =
3
Perímetro ⋅ apotema
=
2
6⋅
50
3
50 5
⋅
3
2 = 15 50 = 15 25 = 75 3 = 25 3 u 2
2
6
3
3
50. Determinar las coordenadas de los vértices B y C de un cuadrado que tiene por diagonal AC
donde A(1,2) y C(9,6).
Por ser cuadrado → d ( A, B) = d (C , B) →
D
C
(x − 1)2 + ( y − 2)2 = (x − 9)2 + ( y − 6)2
x 2 − 2 x + 1 + y 2 − 4 y + 4 = x 2 − 18x + 81 + y 2 − 12 y + 36
16 x + 8 y − 112 = 0 → 2 x + y − 14 = 0
La longitud de la diagonal es la
2
2
hipotenusa de un triángulo rectángulo
2
d ( A, C ) = d ( A, B) + d (C , B) →
82 + 4 2 = x 2 − 2 x + 1 + y 2 − 4 y + 4 + x 2 − 18x + 81 + y 2 − 12 y + 36
A
B
80 = 2 x 2 − 20 x + 2 y 2 − 16 y + 122 →
2 x 2 − 20 x + 2 y 2 − 16 y + 42 = 0 → x 2 − 10 x + y 2 − 8 y + 21 = 0
Re solviendo el sistema que forman las dos ecuaciones :

 y = 14 − 2 x
→ 2
→
2
x − 10 x + y − 8 y + 21 = 0 x − 10 x + (14 − 2 x ) − 8(14 − 2 x ) + 21 = 0
2 x + y − 14 = 0
2
2
x 2 + 196 − 56 x + 4 x 2 − 10 x − 1121+ 16 x + 21 = 0
x = 7 → y = 0 → B(7, 0)
5 x 2 − 50 x + 105 = 0 → x 2 − 10 x + 21 = 0 →
x = 3 → y = 8 → D(3, 8)
51. Las coordenadas de los vértices del cuadrilátero ABCD son A(0,0), B(7,3), C(8,12) y D(3,16).
a. Averigua de forma razonada y sin recurrir a un dibujo si se trata o no de un
paralelogramo.
b. Calcula las coordenadas de los puntos medios de los cuatro lados.
c. Averigua si el cuadrilátero cuyos vértices son los puntos medios anteriores es o no
un paralelogramo.
a) Si fuera un paralelogramo, los vectores AB y DC tendrían la misma dirección y el mismo
módulo. Por lo tanto, tenemos dos maneras de comprobar si es un paralelogramo: AB = (7,3) –
(0,0) = (7,3) y DC = (8,12) – (3,16) = (5,-4). Si tuvieran la misma dirección serían
proporcionales, es decir (7,3) = t (5,-4), por lo que t debería valer simultáneamente 7/5 y –3/4.
Como es obvio que estas cantidades no son iguales, estos vectores no son proporcionales
(linealmente dependientes) por lo que no son paralelos. La otra forma de comprobarlo es
determinando sus módulos. Si fuera un paralelogramo d(A,B) = d(D,C).
d ( A, B ) = (7 − 0 ) + (3 − 0 ) = 58 ; d ( D, C ) = (8 − 3) + (12 − 16 ) = 41
Como las distancias no coinciden no es un paralelogramo.
b) El punto medio de un segmento se obtiene hallando la media aritmética de las coordenadas de
sus extremos:
2
2
2
2
(7,3) + (8,12 ) =  15 , 15 ;

 Q = M BC =


2
2
2 2
 2 2
(8,12 ) + (3,16 ) =  11 ,14 ; S = M = (3,16 ) + (0,0) =  3 ,8 
R = M CD =




DA
2
2
2

2 
c) Aplicamos el primer razonamiento empleado en el apartado a):
P = M AB =
(0,0) + (7,3) =  7 , 3 ;
 15 15   7 3 
PQ =  ,  −  ,  = (4,6 );
 2 2  2 2
 11   3 
SR =  ,14  −  ,8  = (4,6 )
2
 2 
Resulta que PQ = SR, luego además de ser paralelos
son iguales, por lo que QR y PS también deben ser
iguales. Es decir, se trata de un paralelogramo.
52. La recta r tiene como ecuación implícita 3x+2y+10=0 y la recta s tiene como ecuaciones
 x = 5 − 3t
paramétricas 
. Escribe las ecuaciones de r en formas explícita, punto-pendiente,
 y = 6+t
continua y paramétricas y las ecuaciones de s en forma continua, implícita, explícita y puntopendiente.
Empecemos con la recta r. Para pasar a forma explícita basta con despejar la y, por lo que queda:
3
Forma explícita: y = − x − 5
2
De esta ecuación deducimos que la pendiente m=-3/2. Para hallar la ecuación en la forma puntopendiente necesitamos las coordenadas de un punto. Si en la ecuación anterior le damos a x el
valor 2, resulta y=-8, luego la recta pasa por el punto P(2,-8) y por lo tanto:
3
Forma punto-pendiente: y + 8 = − (x − 2 )
2
El vector director de r se obtiene a partir de los coeficientes de x y de y en la ecuación implícita: u
= (2,-3). Como conocemos las coordenadas de un punto de la recta, tenemos
x−2 y+8
Forma continua:
=
2
−3
 x = 2 + 2t
Para concluir ponemos la forma paramétrica: 
 y = −8 − 3t
Vamos ahora con la recta s. Si en las ecuaciones paramétricas despejamos el parámetro e
x−5 y−6
igualamos, obtenemos la forma continua: t =
=
−3
1
Quitando denominadores y pasando todo a un miembro tenemos la ecuación implícita:
x − 5 = −3 y + 18 ⇒ x + 3 y − 23 = 0
1
23
Despejando la y obtenemos la forma explícita:
y =− x+
3
3
1
y − 6 = − (x − 5)
3
A partir de la forma continua deducimos la forma punto-pendiente:
53. Halla las coordenadas del simétrico del punto P(0,6) respecto de la recta r: y=2x-3.
El proceso que vamos a seguir es el siguiente:
a) Hallamos la perpendicular a r que pasa por P. Como r está en forma explícita tenemos su
pendiente m=2. Cualquier recta perpendicular a r tendrá de pendiente –1/2, luego la ecuación del
1
haz de rectas perpendiculares a r es y = − x + n . Como queremos que pase por el punto P, la
2
ecuación anterior debe ser cierta para x=0 e y=6, por lo tanto: 6=0+n, n=6 y la recta buscada es
1
y = − x + 6.
2
b) Ahora hallamos el punto de corte entre esta recta y r:
 y = 2x − 3
1
18
9
21

 18 21 
⇒y = − +6 =
⇒ Q , 
 y = − 1 x + 6 ⇒ 2 x − 3 = − x + 6 ⇒ 4 x − 6 = − x + 12 ⇒ 5 x = 18 ⇒ x =
2
5
5
5
5 5

2
c) Ahora calculamos el punto P’, pedido por el problema, teniendo en cuenta que Q debe ser el
punto medio del segmento PP’:
P’=(x,y), luego
18 x
36

= ⇒ x=

18
21
(
0
,
6
)
+
(
x
,
y
)


 36 12 
5 2
5
⇒ P'  , 
⇒
 , =
21 6 + y
42
12
2
5 5
 5 5
 =
⇒ 6+ y =
⇒ y=
2
5
5
5
54. Un rombo tiene la diagonal menor de la misma longitud que sus lados y sus extremos son
los puntos A(3,1) y C(7,7). Contesta a las siguientes cuestiones razonando las respuestas:
a. ¿Cuánto valen los ángulos del rombo?
b. ¿Cuánto vale el perímetro del rombo?
c. ¿Cuánto mide la diagonal mayor?
d. Calcula las coordenadas de los otros dos vértices.
a) Si la diagonal menor es igual a los lados del rombo, esta diagonal divide al rombo en dos
triángulos equiláteros, por lo que el ángulo menor del rombo será de 60º y el mayor de 120º.
b) El perímetro es la suma de las longitudes de los cuatro lados. Si los lados miden lo mismo que
la diagonal menor, bastará con hallar la longitud de esta diagonal y multiplicar el resultado por 4:
diagonal = d ( A, C ) =
(7 − 3)2 + (7 − 1)2
= 16 + 36 = 52
perímetro = 4 52
c) La diagonal mayor es el doble de la altura de un triángulo equilátero de lado
52 . Por el
l 3
teorema de Pitágoras sabemos que la altura de cualquier triángulo equilátero es h =
, siendo l
2
el lado del triángulo, así pues como la diagonal mayor es el doble de esa altura, tenemos:
52 3
156
156
h=
=
⇒ diagonal mayor = 2
= 156
2
2
2
d) Hay varias maneras de resolver la última parte. Nosotros vamos a seguir el siguiente
procedimiento:
En primer lugar hallamos la ecuación de la diagonal mayor, porque los puntos buscados deben
estar en esa recta. Esa diagonal no es otra que la mediatriz del segmento AC. La mediatriz
también se puede calcular de varias maneras. Nosotros usaremos la propiedad d(P,A) = d(P,C):
(x − 3)2 + ( y − 1)2
=
( x − 7 )2 + ( y − 7 )2
x 2 − 6 x + 9 + y 2 − 2 y + 1 = x 2 − 14 x + 49 + y 2 − 14 y + 49
8 x + 12 y − 88 = 0 ⇔ 2 x + 3 y − 22 = 0
(3,1) + (7,7 ) = (5,4 )
En segundo lugar hallamos las coordenadas del punto medio, M, de M =
AC:
2
En tercer lugar hallamos la ecuación de la circunferencia de centro M y la altura del triángulo
equilátero mitad del rombo:
2
 156 
2
2

(x − 5) + ( y − 4 ) = 

2


En cuarto lugar hallamos los puntos de corte de esta circunferencia
con la mediatriz (que es la diagonal mayor). Las soluciones serán las coordenadas de los puntos
2
buscados:

 156 
2
2
2
22 − 3 y

( x − 5) + ( y − 4) = 
 22 − 3 y

2
 2  ⇒ x=
⇒
− 5  + ( y − 4) = 39 ⇒



2
 2


2 x + 3 y − 22 = 0

2
144 − 72 y + 9 y 2
 12 − 3 y 
2
+ y 2 − 8 x − 23 = 0 ⇒

 + y − 8 x + 16 = 39 ⇒
2
4


144 − 72 y + 9 y 2 + 4 y 2 − 32 y − 92 = 0 ⇒ 13 y 2 − 104 y + 52 = 0 ⇒ y 2 − 8 y + 4 = 0 ⇒

22 − 12 − 6 3
= 5−3 3
4 + 2 3 ⇒ x =
2
y = 4 ± 16 − 4 = 
 4 − 2 3 ⇒ x = 22 − 12 + 6 3 = 5 + 3 3

2
Por lo tanto, las soluciones son:
(
B = 5 − 3 3 ,4 + 2 3
)
(
D = 5 + 3 3 ,4 − 2 3
)
55. Con los datos del problema 53, halla la ecuación de la circunferencia que pasa por P y es
tangente a la recta r, de forma que el segmento que une P con el punto de tangencia es un
diámetro. Razona la respuesta.
Podemos aprovechar los datos del problema anterior. El centro de la
circunferencia será el punto medio de los puntos P y Q del problema anterior,
es decir:
(0,6) +  18 , 21 
C=
5
2
5   9 51 
= , 
 5 10 
El radio de la circunferencia será la mitad de de la distancia de P a r. Si
ponemos r en forma implícita, tenemos: 2x-y-3=0 y por tanto:
d ( P, r ) 2 ⋅ 0 − 6 − 3
9
2
2
rad =
=
=
La ecuación de la circunferencia
9 
51 
81

2
2
2
2 5
x−  +y−  =
2 2 +1
5 
10 
20

56. Calcula el área del triángulo de vértices A(2,-1), B(-5,1) y C(0,3). Calcula también las
coordenadas del baricentro del triángulo. Razona las respuestas.
El área de un triángulo es igual a la base por la altura dividido entre 2. Si llamamos r a la recta
que pasa por A y B, la base es la distancia entre A y B y la altura es la distancia entre C y r. Así
pues:
base = d ( A, B ) = (− 5 − 2 ) + (1 + 1) = 49 + 4 = 53
La recta que pasa por A y B tiene como vector director AB = (-5-2,1+1) = (-7,2) y como vector
normal n = (2,7). Por lo tanto, el haz de rectas paralelas a r es: 2x + 7y + C = 0. Como
queremos que pase por A tenemos 4 – 7 + C = 0 de donde C = 3. Es decir, r tiene como
ecuación 2x + 7y + 3 = 0.
2
altura = d (C , r ) =
2
2⋅0 + 7⋅3+ 3
2
2 +7
2
=
24
53
53
área =
2
24
53
= 12
Por su parte, el baricentro de un triángulo (punto de corte de las medianas) se obtiene como la
media aritmética de las coordenadas de los vértices:
 2 + (− 5) + 0 − 1 + 1 + 3 
G =
,
 = (− 1,1)
3
3


57. Halla las ecuaciones de los lados, las coordenadas de los vértices y las coordenadas del
baricentro de un triángulo cuyos lados son paralelos a los lados del triángulo del ejercicio
anterior y pasan por sus vértices (ver figura adjunta). Razona las respuestas.
En este ejercicio hemos de calcular las ecuaciones de los lados del triángulo del ejercicio anterior.
La ecuación del lado AB ya la hemos calculado, así que tendremos que calcular las ecuaciones de
los lados AC y BC. Después habrá que calcular las ecuaciones de las paralelas a esas tres rectas
que pasen por los puntos C, B y A respectivamente. Después habrá que calcular los puntos de
corte de estas tres nuevas rectas y tendremos los vértices A’, B’ y C’ del nuevo triángulo. Por
último hallaremos las coordenadas del baricentro del nuevo triángulo y comprobaremos que son
las mismas que las del baricentro del triángulo ABC.
La ecuación de la recta AB es 2x + 7y + 3 = 0.
Calculamos ahora la ecuación de la recta AC:
El vector director de esta recta es AC = (-2,4), por lo que el vector normal es n = (4,2). La
ecuación del haz de rectas paralelas a AC es 4x + 2y + C = 0. Imponiendo la condición de que
pase por el punto C resulta: 6 + C = 0, de donde C = -6 y la recta buscada es 4x + 2y – 6 = 0,
que simplificando queda: 2x + y – 3 = 0.
Hallamos ahora la recta BC:
Vector director: BC = (5,2); vector normal
(2,-5). Haz de rectas paralelas a BC: 2x – 5y
+ C = 0 e imponiendo que pase por C resulta
–15 + C = 0, de donde C = 15 y la recta
buscada es 2x – 5y + 15 = 0.
Recta paralela a AB que pasa por C: (r)
2x + 7y + C = 0, imponiendo que pase por C
tenemos: 21 + C = 0, de donde C = -21 y la
recta buscada es 2x + 7y – 21 = 0.
Recta paralela a AC que pasa por B: (s)
2x + y + C = 0, imponiendo que pase por B tenemos: -10 + 1 + C = 0, de donde C = 9 y la
recta buscada es 2x + y + 9 = 0.
Recta paralela a BC que pasa por A: (t)
2x – 5y + C =0, imponiendo que pase por A tenemos: 4 + 5 + C = 0, de donde C = -9 y la recta
buscada es 2x – 5y – 9 = 0.
Para hallar los vértices del nuevo triángulo tenemos que resolver tres sistemas de ecuaciones
eligiendo las ecuaciones anteriores dedos en dos:
Hallamos el vértice A’: para ello usamos las rectas r y s:
2 x + 7 y = 21
⇒ 6 y = 30 ⇒ y = 5 ⇒ 2 x = −14 ⇒ x = −7 Así pues: A’ = (-7,5)

 2 x + y = −9
Hallamos el vértice B’: para ello usamos las rectas r y t:
2 x + 7 y = 21
⇒ 12 y = 12 ⇒ y = 1 ⇒ 2 x = 14 ⇒ x = 7 Así pues: B’ = (7,1)

 2x − 5 y = 9
Hallamos el vértice C’: para ello usamos las rectas s y t:
 2 x + y = −9
⇒ 6 y = −18 ⇒ y = −3 ⇒ 2 x = −6 ⇒ x = −3 Así pues: C’ = (-3,-3)

2x − 5 y = 9
Por último, hallamos el baricentro del triángulo A’B’C’:
 − 7 + 7 − 3 5 +1− 3
G' = 
,
 = (− 1,1)
3
3


que, como podemos ver, coincide con el baricentro del triángulo ABC.
58. Halla la ecuación de la bisectriz interior correspondiente al vértice A del triángulo del ejercicio
4. Razona la respuesta. Explica a continuación qué cálculos sería necesario hacer para hallar
la ecuación de la circunferencia inscrita a ese triángulo.
Tenemos que hallar las bisectrices de los ángulos formados por las rectas AB y AC del ejercicio
anterior y elegir la interna. Para saber cuál de las dos es basta con fijarse en el dibujo.
Necesitamos la que tenga pendiente negativa. La bisectriz es el lugar geométrico de los puntos
del plano que equidistan de dos rectas, así pues:
d ( P , s ) = d ( P, t ) ⇔
2x + 7 y + 3
=
2x + y − 3
4 + 49
4 +1
Al quitar los valores absolutos obtendremos las dos bisectrices:
2x + 7 y + 3
b1:
53
=
(
2x + y − 3
5
⇔ 5 (2 x + 7 y + 3) = 53 (2 x + y − 3) ⇔
) (
) (
)
⇔ 2 5 − 2 53 x + 7 5 − 53 y + 3 5 + 3 53 = 0
b2:
2x + 7 y + 3
2x + y − 3
=−
⇔ 5 (2 x + 7 y + 3) = − 53 (2 x + y − 3) ⇔
53
5
(
) (
) (
)
⇔ 2 5 + 2 53 x + 7 5 + 53 y + 3 5 − 3 53 = 0
(
)
El vector director de la primera bisectriz es 53 − 7 5 ,2 5 − 2 53 ≈ (− 8'37,−10'09 ) . La pendiente
de una recta se obtiene dividiendo la segunda coordenada del vector director por la primera.
Como en este caso las dos son negativas resulta que la pendiente es positiva, por lo que no es
ésta la bisectriz que estamos buscando, sino la segunda cuya ecuación es
2 5 + 2 53 x + 7 5 + 53 y + 3 5 − 3 53 = 0
(
) (
) (
)
Para finalizar, explicaremos brevemente qué
cálculos serían necesarios para hallar la
ecuación de la circunferencia inscrita en el
triángulo ABC:
Para hallar la ecuación de una circunferencia
se necesitan las coordenadas del centro y el
radio.
El centro de la circunferencia inscrita (o
incentro) es el punto en el que se cortan las
bisectrices. Ya hemos calculado una de ellas,
por lo que tendríamos que repetir el proceso
anterior en el vértice B o en el C (basta con
hacerlo en uno de ellos). Una vez que tengamos dos bisectrices, resolvemos el sistema de
ecuaciones que determinan y la solución nos da las coordenadas del incentro.
Para hallar el radio tenemos en cuenta que el incentro equidista de los tres lados del triángulo,
luego basta con calcular la distancia del incentro a cualquiera de los tres lados del triángulo.
Con las coordenadas del incentro y el radio podemos escribir ya la ecuación de la circunferencia
inscrita en el mismo.