Desarrollo de un modelo de reactor

Apuntes de Dinámica y Control de Procesos
Modelo para un Reactor Continuo tipo Tanque Agitado (CSTR)
CA1, T1, F1, ρ1.
•
Reactante
Reacción Exotérmica:
A→B
Fc, Tc
Refrigerante
Producto.
Fc, Tco
CA2, T2, F2, ρ2.
V: Volumen de la
mezcla en el tanque
• Balance de Materia Total:
Vamos a realizar el balance en base molar. Entonces, los moles NO SE CONSERVAN, debido a la
reacción química.
Principio de conservación:
Acumulación
de moles en el
sistema
=
Entrada de moles
al sistema en las
corrientes
-
Salida de moles
al sistema en las
corrientes
±
Consumo o
producción de moles
por la reacción
Para éste caso:
δρV
δt
= ρ1F1 − ρ2 F2 ± {cero}
El número de moles
totales es el mismo por
la estequiometría 1 a 1
•
Balance de Materia por Componente:
Para la especie A se aplica el principio de conservación y se toma en cuenta la estequiometría:
Moles de A
acumulados
=
Entrada de A por
las corrientes
-
Salida de A por
las corrientes
±
Consumo de A por
la reacción
Para éste caso:
δC V
A = C F − C F − rV
A 1
A 2
1
2
δt
r: Velocidad de reacción por unidad de volumen
⎛
⎜
⎝
mol ⎞⎟⎠
⎛
⎜
⎝
tiempo ⋅ Volumen ⎞⎟⎠
Considerando volumen constante (F1 = F2 ) y tanque perfectamente agitado:
Apuntes de Dinámica y Control de Procesos
d CA
2 = F ⎛⎜ C − C ⎞⎟ − rV
V
A ⎟
1⎜ A
2⎠
⎝ 1
dt
•
Balance de Energía:
Suponemos que la reacción sucede en fase líquida, entonces, U ≈ H
La entalpía deberá considerarse con estado de referencia de energías de formación estándar a T y
Pref, a la composición de la mezcla para que sea aplicable a sistemas reaccionantes.
h = ∆h f + ∫
D
T
Tref
Cp dT
Entalpía de formación
estándar a T y Pref.
Entonces, para este caso, siendo el sistema el volumen de mezcla reaccionante en el reactor:
dH sis
= ρ1 F1 h1 − ρ 2 F2 h2 − Q
dt
Ahora bien, el cambio en la entalpía del sistema se debe a tres causas: cambio en la temperatura,
cambio en las moles de A y cambio en las moles de B.
Entonces:
H sis = H (T,N A ,N B )
Calculando la diferencial total por la regla de la cadena:
dH sis
dt
⎛ ∂H
sis
=⎜
⎜
⎝ ∂T
⎛
⎞
dT ⎜ ∂H sis
⎟
+⎜
⎟
⎠ N A ,N B dt ⎜⎝ ∂N A
Luego:
T
∂H sis
∂T
=
∂ρV ∫ CpdT
Tref
= ρVCp
∂T
⎛
⎜ ∂H sis
⎜
⎜ ∂N
A
⎝
⎞
__
⎟
=
H
A
⎟
⎟
⎠ N B ,T
“Entalpía molar parcial de A”
⎛
⎜ ∂H sis
⎜
⎜ ∂N
B
⎝
⎞
__
⎟
=H B
⎟
⎟
⎠ N A ,T
“Entalpía molar parcial de B”
Además del balance de materia por componente:
dC A2
dN A
=V
= C A1 F1 − C A 2 F2 − rV
dt
dt
⎞
⎛
dN A ⎜ ∂H sis
⎟
+⎜
⎟
⎟
⎜ ∂N
B
⎠ N B ,T dt
⎝
⎞
dN B
⎟
⎟
⎟
⎠ N A ,T dt
Apuntes de Dinámica y Control de Procesos
dN B
=V
dC B2
0
= C B1 F1 − C B 2 F2 + rV
dt
dt
Ojo: El signo (+) es
porque la especie aparece
Se hace cero por que NO
HAY B en la alimentación
Entonces, substituyendo en la expansión:
__
dH sis
dT __
= ρVCp
+ H A C A1 F1 − C A2 F2 − rV + H B − C B2 F2 + rV
dt
dt
]
Igualando esta expansión con la ecuación de balance de energía:
__
dH sis
dT __
= ρVCp
+ H A C A1 F1 − C A2 F2 − rV + H B − C B2 F2 + rV
dt
dt
]
[
]
[
[
]
[
= ρ1 F1 h1 − ρ 2 F2 h2 − Q
Reconociendo que:
__
__
D
H A ≡ ∆h f A y H B ≡ ∆h f B
D
Y que:
C A = χ A ρ y CB = χ B ρ
Donde χi = fracción mol de i
Entonces:
D
F1 ρ1 h1 = F1 ρ1 ∆h f 1 + ρ1Cp1 (T1 − T )
[
]
Como χA = 1; ρ1 ≡ C A1
__
⎡
⎤
= F1 ⎢C A1 H A 1 + ρ1Cp1 (T1 − T )⎥
⎣
⎦
F2 ρ 2 h2 = F2 [ρ 2 ( χ A H A + χ B H B ) + ρ 2 Cp 2 (T2 − T )]
Haciendo T ≡ T2 para simplificar la expresión:
__
__
⎡
⎤
F2 ρ 2 h2 = F2 ⎢ ρ 2 χ A H A + ρ 2 χ B H B ⎥
⎣
⎦
__
__
⎡
⎤
F2 ρ 2 h2 = F2 ⎢C A 2 H A + C B 2 H B ⎥
⎣
⎦
Substituyendo estas identidades en la ecuación de energía; y resolviendo para T2:
ρVCp
dT
__
__
__
__
__
__
= − H A C A1 F1 + H A C A 2 F2 + H A rV + H B C B1 F2 − H B rV + H A C A1 F1
dt
__
__
+ F1 ρ1Cp1 (T1 − T2 ) − H A C A 2 F2 − H B C B 2 F2 − Q
Además definiendo:
Apuntes de Dinámica y Control de Procesos
(Calor de
__
⎛ __
⎞
Re acción a T2 ) = ⎜ H A − H B ⎟ = − ∆H r
⎝
⎠
Así como ρ ≡ ρ1 (despreciando el cambio de densidad) y Cp ≡ Cp1 (despreciando el cambio en la
capacidad calorífica)
Resulta:
V
dT2
= F1 (T1 − T2 ) +
(− ∆Hr )rV
−
Q
dt
ρCp
ρCp
Considerando que la cinética de la reacción sea de primer orden:
r = κ0e
−
∆G
RT
CA
Donde:
∆G: Energía de Gibas de reacción a T2.
R: Constante de los gases.
κ0: Factor pre exponencial cinético.
También se tomará la ecuación constitutiva:
Q = UAt (T2 − TC )
Suponiendo TE = TCo = TC
Entonces resulta que el modelo del reactor es:
•
Balance de Materia de A:
V
dC A 2
= F1 (C A1 − C A 2 ) − κ 0 e
−
∆G
RT2
C A2
dt
•
Balance de Energía:
V
dT2
= F1 (T1 − T2
) + (− ∆Hr )V κ
dt
ρCp
−
0
e
∆G
RT2
C A2 −
UA
(T2 − TC )
ρCp
Tomando variables de desviación y considerando que F1 no cambia en el tiempo se tiene que:
V dC ′A 2
F1
dt
∆G
−
⎤
⎡ − ∆G
RT2 S
RT2
⎢
C A2 − e
C A2 s ⎥
= C ′A1 − C ′A 2 − κ 0 e
⎥
⎢
⎥⎦
⎢⎣
Término no lineal
V dT2′
F1 dt
= T1′ − T2′ +
(− ∆Hr )Vκ 0 ⎡⎢
pCpF1
⎢
⎣⎢
−
e
Linealizando el término no-lineal:
∆G
RT2
−
C A2 − e
∆G
RT2 S
⎤
UAt
(T2′ − TC′ )
C A2 s ⎥ −
⎥
⎦⎥ ρCp
Apuntes de Dinámica y Control de Procesos
− ∆G
− ∆G
∆G
−
⎤
⎡ − ∆G
∆G
RT
RT
RT
RT
⎢e 2 C − e 2 S C ⎥ =
e 2 S C A 2 S*T2′ + e 2 S C ′A 2
A2 s
A2
⎥
⎢
2
⎦⎥ RT2 S
⎣⎢
(Queda al lector la oportunidad de demostrar ésta ecuación)
Entonces el modelo que resulta es el siguiente:
dC ′A 2
τ pa
+ C ′A 2 = Κ pa − Κ pb T2′
dt
τ pb
dT2′
+ T2′ = Κ pc T1′ + Κ pd C ′A 2 + Κ peTC′
dt
Donde:
τ pa =
V
−
⎛
⎜
F1 ⎜1 + κ 0 e RT2
⎜
⎝
∆G
κ0
Κ pb =
∆G
−
e
1 + κ0e
∆G
RT2 S
∆G
RT
1 + κ0e
−
RT2 S
2
2s
−
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
1
; Κ pa =
∆G
; Κ pc =
1
⎛
⎜ (− ∆Hr )Vκ 0
−⎜
1+
ρCp ⎜⎝ ρCpF1
UA
RT2 S
Κ pd
⎛
⎞ − ∆G
⎜ (− ∆Hr )Vκ 0 ⎟ RT2 S
⎜
⎟e
⎜ ρCpF ⎟
1
⎝
⎠
=
∆G
⎛
⎞⎛
−
UA ⎜ (− ∆Hr )Vκ 0 ⎟⎜ ∆GC A 2 S RT2 S
−⎜
1+
e
⎟⎜
2
⎜
⎟
⎜
ρCp ⎝ ρCpF1 ⎠⎝ RT2 s
Κ pe
⎛
⎞
⎜ UA ⎟
⎜
⎟
⎜ ρCp ⎟
⎝
⎠
=
∆G
⎞⎛
⎛
−
UA ⎜ (− ∆Hr )Vκ 0 ⎟⎜ ∆GC A 2 S RT2 S
1+
e
−⎜
⎟⎜
2
⎟
⎜
⎜
ρCp ⎝ ρCpF1 ⎠⎝ RT 2 s
τ pb =
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
V
⎡
⎛
UA ⎜ (− ∆Hr )Vκ 0
⎢
−⎜
F1 1 +
⎢
⎢⎣ ρCp ⎜⎝ ρCpF1
∆G
⎞⎛
−
⎟⎜ ∆GC A 2 S RT2 S
e
⎟⎜
⎟⎜ RT 2
2s
⎠⎝
⎞⎤
⎟⎥
⎟⎥
⎟⎥
⎠⎦
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
∆G
⎞⎛
−
⎟⎜ ∆GC A 2 S RT2 S
e
⎟⎜
⎟⎜ RT 2
2s
⎠⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠