Septiembre 2012

Procesos Estocásticos – Septiembre 2012
A la puerta de una discoteca llegan chicos según un proceso de Poisson de intensidad λ = 2 por
unidad de tiempo (u.t.) y, de manera independiente, llegan chicas según un proceso de Poisson de
intensidad µ = 1 por u.t. Si un chico y una chica se encuentran en la puerta de la discoteca, entonces
entran juntos. Las personas que no se pueden emparejar de esta manera se quedan esperando en la
puerta. Se supone que, inicialmente, no hay nadie en la puerta de la discoteca.
(a) Definir un proceso de Markov {Xt }t≥0 que describa la composición de la cola de la puerta de la
discoteca, y determinar su matriz infinitesimal.
(b) Sea T el instante en el que entra la primera pareja en la discoteca. Calcular la función de
distribución y la esperanza de T .
(c) Calcular la probabilidad de que se vacı́e la cola de la puerta antes de que llegue a haber cuatro
personas esperando.
(d) Si inicialmente hay un chico en la cola, calcular la probabilidad que la cola llegue a estar vacı́a
en algún momento.
(e) Adicionalmente, suponemos ahora que si una chica llega a la puerta de la discoteca y en ese
momento no hay ningún chico en la cola, entonces se marcha. Calcular el número esperado de
parejas que han entrado en la discoteca antes de que llegue a haber 10 personas esperando en
la puerta (supuesto que, inicialmente, la cola está vacı́a)
(a) En la cola de la discoteca no puede haber simultáneamente chicos y chicas. Ası́, definiremos un
proceso {Xt }t≥0 cuyo valor será: Xt = 0 si no hay nadie en la cola; Xt = i > 0 si hay i chicos en la
cola; Xt = −j < 0 si hay j chicas en la cola. Se trata, pues, de un proceso con valores en Z cuya
matriz infinitesimal verifica, para cada i ∈ Z,
qi,i−1 = 1,
qi,i+1 = 2 y qii = −3.
El proceso {Yt }t≥0 que cuenta el número de personas que hay en la puerta de la discoteca (con valores
en 0, 1, 2, . . .) no es una formulación válida. En efecto, si Yt = 1 entonces la siguiente transición se
hará al estado 2 con probabilidad distinta según esa persona que está en la cola sea chico o chica. Es
decir, Yt no contiene la información suficiente sobre la “historia” del proceso de llegadas.
(b) Para que haya entrado alguna pareja antes del instante t, basta que haya llegado algún chico y
alguna chica. Es decir
P{T ≤ t}) = (1 − e−2t )(1 − e−t ) = 1 − e−t − e−2t + e−3t .
Además, se obtiene
∫
∞
1 1
7
− = .
2 3
6
0
El mismo resultado se obtiene considerando la cadena en tiempo continuo con matriz infinitésimal


−3 2
2

−1
1 

P ′ (0) = 

−2 2 
0
E[T ] =
P{T > t}dt = 1 +
En la que los estados representan: la situación inicial con la cola vacı́a, la presencia de algún chico,
la presencia de alguna chica y la entrada de la primera pareja.
(c) Sea pi , para i = 1, 2, 3, la probabilidad de que, habiendo i chicos en la cola inicialmente, esta se
vacı́e antes de que haya cuatro chicos. Se cumplen las ecuaciones
p1 =
1 2
+ p2 ,
3 3
1
2
p2 = p1 + p3 ,
3
3
1
p3 = p2 ,
3
de donde p1 = 7/15. Análogamente, sea qi , para i = 1, 2, 3, la probabilidad de que, habiendo i chicas
en la cola inicialmente, esta se vacı́e antes de que haya cuatro chicas. Se cumplen las ecuaciones
1
2
q1 = q2 + ,
3
3
1
2
q2 = q3 + q1 ,
3
3
2
q3 = q2 ,
3
de donde q1 = 14/15. Finalmente, la probabilidad pedida es
1
2
28
q1 + p 1 = .
3
3
45
(d) La cadena de saltos (en tiempo discreto) que describe el número de chicos que hay esperando
en la discoteca es un camino aleatorio simple sobre {0, 1, 2, . . .} siendo pn,n−1 = 1/3 y pn,n+1 = 2/3
para n ≥ 1, donde ponemos una barrera absorbente en 0. Los estados {1, 2, . . .} de esta cadena de
Markov son transitorios.
Sea zn , para n ≥ 1, la probabilidad de que partiendo del estado n la cadena llegue al estado 0. Se
cumple
2
1
zn = zn−1 + zn+1 para n ≥ 1,
3
3
donde convenimos que z0 = 1. Las soluciones de esta ecuación recurrente son de la forma α + β(1/2)n
para n ≥ 0 para algunos α, β ∈ R. Sabiendo que α + β = 1, observando que debe ser z2 = z12 y que
z1 < 1, resulta que la solución buscada es zn = (1/2)n para n ≥ 0. Ası́, la probabilidad de que la cola
se vacı́e en algún momento es igual a 1/2.
(e) Sea mi el número esperado de parejas que entran en la discoteca antes de que haya diez chicos
esperando cuando hay inicialmente i chicos en la cola (siendo i = 0, 1, . . . , 9). Se tiene que
1
2
mn = (1 + mn−1 ) + mn+1
3
3
para n = 1, . . . , 9,
siendo m0 = m1 y m10 = 0. Las soluciones de la ecuación en diferencias anterior son de la forma
mn = −n + α + β(1/2)n
para algunos α, β ∈ IR. Con las condiciones de contorno, resulta que la cantidad pedida es
m0 = α + β = 8 + (1/2)9 .