Gráfico de Controle por Atributos

AULA:
Gráfico de Controle por Atributos
Víctor Hugo Lachos Dávila
Campinas
2007
Gráfico de controle para a fração não-conforme (p)
Para construir um gráfico p, toma-se m (da ordem de 20 a 25)
amostras do produto, registrando-se para cada amostra o número de
itens não-conforme (defeituoso). Sejam n e Di (i=1,...,m) o tamanho
da amostra e número observado de itens não conformes. Uma
estimativa da fração não conforme é :
m
p=
∑D
i =1
i
mn
Os limites de controle para fração não conforme:
LSC = p + 3
p (1 − p )
n
LM = p
LSC = p − 3
p (1 − p )
n
2
Exemplo 1: Em uma fabrica de meias, 200 pares são analisados
diariamente. Nos 25 dias úteis de um mês obtiveram-se os seguinte
número de pares de defeituosos:
13, 8, 10, 15, 12, 9, 6, 4, 7, 11, 14, 10, 7, 9, 12, 13, 8, 11, 9, 12, 15, 11,
8, 6, 16.
24
p=
∑D
i =1
i
25 × 200
=
250
= 0,05
5000
p (1 − p )
= 0 , 05 + 3
n
LM = p = 0 , 05
0 , 05 × 0 , 95
= 0 , 096
25
p (1 − p )
= 0 , 05 − 3
n
0 , 05 × 0 , 95
= 0 , 004
25
LSC = p + 3
LSC = p − 3
3
Gráfico de controle para a proporção de pares de meias
não conforme em um mês de produção.
Proportion
0.10
3.0SL=0.09623
0.05
P=0.05000
-3.0SL=0.003767
0.00
0
5
10
15
20
25
Sample Number
4
Gráfico de controle para o número de itens não conformes (np)
Os parâmetros desse gráfico são a seguinte
LSC = np + 3
np (1 − p )
LM = np
LSC = n p + 3
n p (1 − p )
LM = n p
LSC = np − 3
np (1 − p )
LSC = n p − 3
n p (1 − p )
Exemplo 2. Considere os dados do exemplo anterior.
n = 200, p = 0,05 ⇒ np = 10
LSC = n p + 3
n p (1 − p ) = 10 + 3
200 × 0 , 05 × 0 , 95 = 19 , 25
LM = n p = 10 , 0
LSC = n p − 3
n p (1 − p ) = 10 − 3
200 × 0 , 05 × 0 , 95 = 0 , 7534
5
Gráfico de controle para número de pares de meias
não conformes durante um mês de produção.
Sample Count
20
3.0SL=19.25
10
NP=10.00
-3.0SL=0.7534
0
0
5
10
15
20
25
Sample Number
6
Gráfico de controle para a fração não-conforme (p) com tamanho
de amostras variáveis
Os limites de controle para fração não conforme:
LSC = p + 3
p (1 − p )
ni
LM = p
LIC = p − 3
p (1 − p )
ni
m
onde p =
∑D
i =1
m
∑n
i =1
i
i
7
Exemplo: Considere os dados de 25 amostras
8
Gráfico de controle para a proporção de defitousos
com tamanho de amostra variável
Proportion
0.2
0.1
P=0.09551
0.0
0
5
10
15
20
25
Sample Number
9
Limites de Controle Com Base num Tamanho Médio da Amostra
Para os dados do exemplo anterior, o tamanho médio da amostra é:
m
n=
∑n
i =1
m
i
=
2450
= 98
25
p (1 − p )
= 0 , 096 + 3
n
LM = p = 0 , 096
0 , 096 × 0 , 904
= 0 ,185
98
p (1 − p )
= 0 , 096 + 3
n
0 , 096 × 0 , 904
= 0 , 007
98
LSC = p + 3
LIC = p − 3
10
Fra ão amostral não conforme
Gráfico de controle para fração não conforme
com base o tamanho médio da amostra
0.2
LSC=0,185
0.1
LM=0,096
0.0
LIC=0,007
0
5
10
15
20
25
Número de amostras
11
Gráfico de Controle Padronizado
Zi =
pˆ i − p
p (1 − p)
ni
onde p (ou , p se não for dado ) é fração não conforme
Os limites de controle são:
LSC = 3
LM = 0
LSC = −3
12
13
Gráfico de controle padronizado para
fração não conforme
4
1
3
LSC=3.000
2
1
LM=0.000
0
Z
-1
-2
LIC=-3.000
-3
-4
0
5
10
15
20
25
Número de
amostras
14
Gráfico para o número total de defeitos por unidade (gráfico de c)
Em muitas situações, além de classificar o produto como perfeito ou
não conforme, podemos também contar o número de defeitos por
unidade inspecionada. Por exemplo, ao analisar chapas de aço de
mesmo tamanho, devemos contar o número de defeitos por chapa e
usar o gráfico de controle para o número total de defeitos por
unidade, denominados gráfico c.
O número de defeitos por unidade tem distribuição de Poisson
Vimos E ( X ) = Var ( X ) = μ > 0.
Os limites de controle são:
e −μ μ c
f (c ) =
, c = 0,1,2,...
c!
LSC = μ + 3
μ
LM = μ
LSC = μ − 3
μ
15
Se μ não conhecida pode ser estimado a partir de m amostras
preliminares do processo, cada uma consistindo de uma ou de n
unidades de inspeção. Se ci representa o número de defeitos na i –
ésima amostra, então o parâmetro da v.a. c pode ser estimado por:
1 m
c = ∑ ci
m i =1
Os limites de controle são:
LSC = c + 3 c
LM = c
LSC = c − 3 c
16
Exemplo: Apresenta-se o número de defeitos observado em 26
amostras sucessivas de 100 placas de circuito impresso. (observe que
a unidade de inspeção é 100 placas):
21, 24, 16, 12, 15, 5, 28, 20, 31, 25, 20, 24, 16, 19, 10, 17, 13, 22, 18,
39, 30, 24, 16, 19, 17,15.
As 26 amostras contêm um total de 516 não conformidades e c é
estimado por:
c=
516
= 19,85
26
LSC = c + 3 c
LSC = 19 , 85 + 3 19 , 85 = 33 , 22
LM = c
LM = 19 , 85
LSC = c − 3 c
LSC = 19 , 85 − 3 19 , 85 = 6 , 48
17
Gráfico de controle para não-conformidade
1
Número de não-conformidade
40
Controle da
temperatura
3.0SL=33.21
30
20
C=19.85
10
-3.0SL=6.481
1
0
0
Erro de inspeção
10
20
Número da amostra
18
Excluindo a amostra 6 e 20, os limites de controle são:
c=
472
= 19,67
24
LSC = c + 3 c
LSC = 19 , 67 + 3 19 , 67 = 32 , 97
LM = c
LM = 19 , 67
LSC = c − 3 c
LSC = 19 , 67 − 3 19 , 67 = 6 , 37
Suponha que vinte novas amostras, cada uma consistindo em uma
unidade de inspeção (100 placas), são coletados: 16, 18, 12, 15, 24,
21,28, 20, 25, 19, 18, 21, 16, 22, 19, 12, 14, 9, 16, 21.
19
Número de não-conformidade
Gráfico de controle para não-conformidade
35
3.0SL=32.98
25
C=19.67
15
-3.0SL=6.365
5
0
10
20
Número da amostra
20
Gráfico para o número médio de defeitos por unidade (gráfico de u)
Se encontramos um total de c não-conformes em uma amostra de
unidades de inspeção, então o número médio de não conformidade por
unidade de inspeção é:
c
u=
n
Observe que C é uma variável aleatória de Poisson. Daí tem-se os
parâmetros do gráfico de controle.
LSC = u + 3
u
n
LM = u
LSC = u − 3
u
n
onde u o número médio observado de não − conformida de
por unidade .
21
Exemplo. Um fabricante de microcomputadoras deseja estabelecer um
gráfico de controle para não-conformidades por unidades na linha de
montagem final. O tamanho da amostra é escolhido como
5
computadores.
22
20
u=
∑u
i =1
20
i
20
=
∑c
i =1
i
5 × 20
LSC = u + 3
=
u
n
LSC = 1 , 93 + 3
1, 93
= 3 , 79
5
LM = 1, 93
LM = u
LSC = u − 3
193
= 1,93
100
u
n
1 , 93
LSC = u − 3
= 0 , 07
5
23
Número médio de
não-conformidade por unidade
Gráfico de controle para não-conformidade
por unidade
4
3.0SL=3.794
3
2
U=1.930
1
-3.0SL=0.06613
0
0
10
20
Número da amostra
24
Gráfico para o número médio de defeitos por unidade (gráfico de u)
com tamanho variável de amostra
Os gráficos de controle para não-conformidade são ocasionalmente
formados usando inspeção 100% do produto. Nesse caso, o número de
unidades de inspeção é diferente. Por exemplo, chapas de aço de
vários tamanhos são produzidos, um número variável de unidades é
produzido a cada dia. Não podemos nesta situação, por falta de
comparabilidade dos totais, trabalhar com o gráfico c. Neste caso o
gráfico correto é um gráfico de controle para o número médio de
não-conformidade por unidade (ou seja o gráfico u)
Os parâmetros do gráfico de controle.
LSC = u + 3
u
ni
LM = u
LSC = u − 3
u
ni
m
onde u =
∑c
i =1
m
i
∑n
i =1
i
25
Exemplo. Em uma fabrica de acabamento de tecido, pano tingido é
inspecionado procurando-se a ocorrência de defeitos por 50 metros
quadrados.
Número de Número de
Rolo
m2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
500
400
650
500
475
500
600
525
600
625
No. de
unidades
(ni)
10,0
8,0
13,0
10,0
9,5
10,0
12,0
10,5
12,5
12,5
107,50
No. Total No. médio
de defeitos de defeitos
(ci )
pó unidade
(ui =ci/ni)
14
1,40
12
1,50
20
1,54
11
1,10
7
0,74
10
1,00
21
1,75
16
1,52
19
1,58
23
1,84
153
26
A linha média do gráfico de controle deve ser o número médio de
defeituosos por 50 metros quadrados.
m
u=
∑c
i =1
m
i
∑n
i =1
=
153
= 1,42
107,5
i
27
Número de
Rolo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
No. de
unidades
(ni)
10,0
8,0
13,0
10,0
9,5
10,0
12,0
10,5
12,5
12,5
3
u
ni
1,13178
1,26537
0,99264
1,13178
1,16118
1,13178
1,03317
1,10451
1,03317
1,01230
u +3
u
ni
2,55
2,68
2,41
2,55
2,58
2,55
2,45
2,52
2,45
2,43
u −3
u
ni
0,29
0,16
0,43
0,29
0,26
0,29
0,39
0,32
0,39
0,41
28
Gráfico de controle para não-conformidade
por unidade com tamanho variável da amostra
3
Sample Count
3.0SL=2.436
2
U=1.423
1
-3.0SL=0.4110
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Número de rolo
29
Outra abordagem
1.
Use os limites de controle com base em um tamanho médio da
amostra.
m
n=
∑n
i =1
i
m
LSC = u + 3
u
n
LM = u
LSC = u − 3
u
n
30
2. Use um gráfico de controle padronizado. A qual envolve a plotagem
da estatística:
Zi =
LSC
LM
LSC
ui − u
u
ni
= 3
= 0
= −3
31
Gráfico de controle padronizado para
fração não conforme por unidade
3.0SL=3.000
3
Escore de Z
2
1
0
0.000
-1
-2
-3
-3.0SL=-3.000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
número de rolo
32