TEMA 4 ALGEBRA DE BOOLE

ALGEBRA DE BOOLE
TEMA 4
(Teorema de dualidad)
Herramienta matemática que utilizaremos
en el análisis y síntesis de circuitos digitales
Tabla de verdad de la operación + , • y ´
Proporciona el valor de una
expresión para cada una de
las combinaciones posibles de
los valores de sus variables
Es todo producto o suma de literales en el que aparecen todas las
variables de la función, afirmadas o negadas.
TERMINO CANÓNICO
Proporciona un método para pasar de la tabla
de verdad a una expresión algebraica
Este proceso se puede repetir para todas las variables
Æ forma canónica de la función
0
r
0
r
• Para obtener la expresión canónica en suma de
productos se suman todos los términos mi
(minitérminos) para los que la función (ai) toma el
valor 1 (“tomando unos” o “por unos”).
FORMA CANÓNICA EN SUMA DE PRODUCTOS
• Para obtener la expresión canónica en producto
de sumas se multiplican todos los términos Mr-i
(maxitérminos) para los que la función (ai) toma el
valor 0 (“tomando ceros” o “por ceros”).
0
FORMA CANÓNICA EN PRODUCTO DE SUMAS
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
X
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
Y
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
Z
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
W
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
F
F(x,y,z,w) = (x+y+z+w) • (x+y+z´+w´) •
(x+y´+z+w´) • (x+y´+z´+w) • (x´+y
+z+w´) • (x´+y+z´+w) • (x´+y´+z+w) •
(x´+y´+z´+w´) =
= Π4 (15 , 12 , 10 , 9 , 6 , 5 , 3 , 0)
PRODUCTO DE SUMAS
F(x,y,z,w) = (x´y´z´w) + (x´y´zw´) +
(x´yz´w´) + (x´yzw) + (xy´z´w´) +
(xy´zw) + (xyz´w) + (xyzw´) =
= Σ4 (1 , 2 , 4 , 7 , 8 , 11 , 13 , 14)
SUMA DE PRODUCTOS
EJEMPLO
G(x,y,z) = (xy + z)(x´y´+ z) = xyx´y´+ xyz + zx´y´+ zz
= 0 + xyz + x´y´z + z = xyz + x´y´z + z
• En la normalización deberemos aplicar la propiedad
distributiva para desarrollar los paréntesis y las demás
propiedades para simplificar los términos resultantes.
• En una expresión algebraica normalizada, no pueden
coexistir términos suma y términos producto:
Si : F(x,y,z) = xy + x´yz´
No : G(x,y,z) = (xy + z)(x´y´+ z)
• Las expresiones algebraicas en suma de productos o
productos de sumas en las que no todos los términos son
canónicos reciben el nombre de normalizadas.
EXPRESIONES NORMALIZADAS
•Las formas normalizadas son una simplificación de las
formas canónicas
•Ejemplo :
F(x,y,z) = xy + x´y z´ = xy(z+z´) + x´y z´=
= (distributiva de · sobre +) = xyz + xyz´+x´yz´
•A partir de la forma normalizada, obtendremos la expresión
en minitérminos de la función multiplicando cada término no
canónico por la suma de la/las variables que le falten en su
forma directa y complementada (x + x´ = 1) y aplicando la
propiedad distributiva del producto sobre la suma.
•Si la función está normalizada en productos de sumas,
sumaremos a cada término el producto de la variable que falta
por ella misma negada (x • x´ = 0). Después aplicaremos la
propiedad distributiva de la suma con respecto del producto.
EXPRESIONES NORMALIZADAS
FORMA CANÓNICA EN
SUMA DE PRODUCTOS
PUERTAS LÓGICAS BÁSICAS
PUERTAS LÓGICAS BÁSICAS
[+,•,´]
[+,´]
[•,´]
NAND
NOR
x • y = ( x´ + y´ )´
x + y = ( x´ • y´ )´
Æ
Æ
• Aquel que permite expresar cualquier función
lógica mediante operadores de este conjunto:
CONJUNTO FUNCIONALMENTE COMPLETO
NAND
NOR
CONJUNTOS FUNCIONALMENTE COMPLETOS
NAND
NOR
CONJUNTOS FUNCIONALMENTE COMPLETOS
Al ser las operaciones + y • conmutativas y asociativas, pueden
expandirse a mas de dos entradas fácilmente
Es posible implementar con puertas lógicas cualquier función booleana
IMPLEMENTACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS