Símbolos de potencia residual cuárticos y ócticos y aplicaciones

Símbolos de potencia residual cuárticos y ócticos y aplicaciones
Pedro Berrizbeitia, José G. Fernandes∗
En [1] Berrizbeitia, Luca y Melham demostraron el siguiente Teorema:
Teorema 1 Si p ∈ Z es un número primo, Np := Φp (−2) (donde Φp denota
el polinomio ciclotómico de orden p) y Rk es la sucesión definida por R0 = 4 y
k
Rk+1 = Rk2 − 22 +1 para k ≥ 0, entonces:
Np primo ⇒ Rp−1 ≡ 8
(mód Np ).
La demostración de este teorema se basa en relacionar el problema con el cálculo
√ Np2 −1
de (2 + 2) 4 (mód Np ), el cual se obtuvo de la siguiente ecuación:
2 −1
Np
2 −1
Np
2 −1
Np
γ(τ (γ)) 4 = (γσ(γ)) 4 (τ (γ)2 ) 4 .
√
√
√
donde γ := 1 + i + 2, σ(γ) := 1 + i − 2 y τ (γ) := 1 − i + 2.
En nuestra ponencia mostraremos cómo dicha ecuación puede ser vista como un
caso particular de un hecho más general que es el siguiente:
√
Teorema 2 Si P es un ideal primo en L := Q(i, d) (d libre de cuadrados)
que yace sobre un número primo q ∈ Z, q ≡ 3 (mód 4) y tal que:
√
q+1
i d≡d 4
(mód P),
entonces ∀α ∈ L se tiene que:
NL/K (α)
NL/H (α)
NL/E (σ(α))
=
,
q
q
P ∩ OE
4,H
4,K
2,E
√
√
donde H, K y E denotan los campos Q( d), Q(i) y Q(i d) respectivamente,
( ·· )m,F denota el símbolo de potencia residual m−ésimo1 definido sobre el campo
F y NA/B denota la norma relativa del campo A sobre el campo B.
√ 3
Como aplicación a dicho teorema calcularemos 1+
√ , donde Mp deMp
4,Q(i, 3)
nota el p−ésimo número primo de Mersenne.
1 en
a
q 2 −1
4
el caso F = H el símbolo ( aq ) se define como it donde t es el único entero tal que
√ q−1 t
≡
d 2
(mód q)
Además expondremos un método alternativo
√ para calcular símbolos de potencia
residual cuárticos sobre elementos de Fq ( d) (q es un número primo tal que
q ≡ 3 (mód 4)) basado en relacionar este símbolo con el símbolo de potencia
residual
cuártico usual en Q(i). Como aplicación a este método calcularemos:
√
2+ 2
Np
√ .
4,FNp ( 2)
Usando el método alternativo
con el método derivado del Teo
conjuntamente
Mp +1
p+1
= (−1) 2 i.
rema ?? probaremos que: 1+3Mp4 i
4,Q(i)
Finalmente enunciaremos un teorema análogo al Teorema ?? para símbolos de
potencia residual ócticos sobre el campo Q(ζ24 ) (donde ζ24 es una raíz primitiva
de la unidad de orden 24) y algunos de sus subcampos.
Bibliografía
[1] P. Berrizbeitia, F. Luca, R. Melham. On compositness test for
2p + 1
3
. Journal on integer
sequences, Vol. 13 (2010).
[2] K. Ireland, M. Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer-Verlag,
1998.
[3] F. Lemmermeyer, Reciprocity Laws. Springer Monographs in Mathematics, Springer- Verlag, Berlin, 2000.
[4] R. S. Melham, Probable prime test for generalized Mersenne Numbers, Bol. Soc. Mat.
Mexicana 14 (2008), 7-14.
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