Si se extraen muestra aleatorias simples de tamaño n, a

El peso en kg de los estudiantes universitarios de una gran ciudad se
supone aproximado por una distribución normal con media 60kg y
desviación típica 8kg. Se toman 100 muestras aleatorias simples de 64
estudiantes cada una. Se pide:
a) la media y la desviación típica de la distribución de la media
muestral
b) ¿En cuántas de las 100 muestras cabe esperar una media entre
59 y 61 kg?
N (60,8)
n= 100 muestras de 64 estudiantes
χ y σ´ de la media muestral
σ
8
8
χ = 60 σ´ = ------- = -------- = ----- = 0´8
√n
√100
10
Tipificar
b)
P (59 ≤ χ ≤ 61) = P (χ ≤ 61) - P (χ ≤ 59) =
61- 60
59- 60
= P (Z ≤ ---------) - P (Z ≤ ----------) = P (Z ≤ 1´25) – P (Z ≤ -1´25)=
0´8
0´8
P (Z ≤ 1´25) – [P (Z ≥ 1´25)] = P (Z ≤ 1´25) – [1- P (Z ≤ 1´25)] =
= 0´8944 – 1 + 0´8944 = 0´7888
para 1 muestra
Pase 100 muestras habrá 78´8  78 estudiantes
El tiempo de vida de una clase de depuradoras de agua utilizadas en
una planta industrial se distribuye normalmente, con una desviación
típica de 2.000 horas. En un ensayo realizado con una muestra
aleatoria de 9 depuradoras, se obtuvieron los siguientes tiempos de
vida en miles de horas.
9,5 10 7,5 10,5 16,5 10 12 32 18
(a) Hállese un intervalo de confianza al 99% para la vida media de las
depurado-ras.
(b) Calcúlese el tamaño mínimo que debería tener la muestra, en el
caso de admitir un error máximo de 500 horas, con un grado de
confianza del 95%.
(a)
N(
, 2000)
n = 9 / 9,5 10 7,5 10,5 16,5 10 12 32 18
=
El intervalo de confianza es:(
Para 99% ;
–
=0,01
=
=
.
,
= 14000
+
= 0,005 ; 1–
)
0,9949
2,57
0,9951
2,58
= 0,995
= 2,575
(14000 – 2,575 ·
(
,
(b)
n?
= (14000 –
, 14000 + 2,575 ·
(
500 h.
,
= 0,05
, 1400 +
)=
)
= 0,025
1–
= 0,975
=
1,96
.
< 500 ; 1,96 .
< 500 ;
784 ;
n>
> 61,46

n = 62
<
; 784 <
;
>
El tiempo de espera en minutos de una ventanilla se supone
aproximado me-diante una distribución N(,) con igual a 3 minutos.
Se lleva a cabo un muestreo aleatorio simple de 10 individuos y se
obtiene que la media muestral del tiempo de espera es de 5 minutos.
Determinar un intervalo de confianza del 95% para .
De los datos podemos asegurar que la distribución es : N(,)
donde =3 min
En numero de individuos de la muestra es n=10 y la media muestral es: X=5 min
Mientras no me digan lo contrario, la media de la población µ la podemos considerar
_
como la X
_
_
El intervalo de confianza es ( X – Zα  ·   n , X + Zα  ·   n)
Donde la Zα  al 95% se obtiene calculando P(Z  Zα) = (1 + 0,95) / 2 = 0,975
Buscamos en los números centrales de la tabla, el valor mas aproximado a 0,975 y al
ser exacto, le buscamos la Z que le corresponde
Z α = 1,96
y el intervalo de confianza es (5 – 1,96 · 3 / 10 , 5 + 1,96 · 3 / 10)
En cierta población humana, la media muestral χ de una
característica se distribuye mediante una distribución normal. La
probabilidad de que χ sea menor o igual que 75 es 0,58 y la de que χ sea
mayor que 80 es 0,04.
Hallar la media y la desviación típica de χ. (Tamaño muestral n=100).
N (χ, σ)
P (χ ≤ 75) = 0,58
P (χ ≥ 80) = 0,04
Z= (X – χ ) / σ
P(Z ≤ (75 – χ) / σ ) = 0,58
P(Z ≥ (80 – χ) / σ) = 0,04
(75 – χ) / σ = 0,2
P(Z ≤ (80 – χ) / σ) = 0,96
75 – χ = 0,2 · σ
 5 = 1,55 · σ
(80 – χ) / σ = 1,75
80 – χ = 1,75 · σ
σ = 5 / 1,55 = 3,226
75 – χ = 0,2 · 3,226
χ = 75 – 0,645 = 74,355
En una encuesta se pregunta a 10.000 personas cuántos libros leen
al año, obteniéndose una media de 5 libros. Se sabe que la población
tiene una distri-bución normal con desviación típica 2.
a) Hallar un intervalo de confianza al 80% para la media
poblacional.
b) Para garantizar un error de estimación de la media poblacional no
superior a 0,25 con un nivel de confianza del 95%, ¿a cuántas
personas como mínimo sería necesario entrevistar?
n = 10.000
μ=5
a)
σ=2
80%
→ 0,7995 → 0,84
P(z < z α/2) = 0,8
→ 0,845
→ 0,8023 → 0,85
z α/2 = 0,845
σ
σ
2
2
( 5 - z α/2 · --- , 5 + z α/2 · --- ) = ( 5 – 0,845 · −−−−− , 5 + 0,845 · −−−−− ) =
√n
√n
√10000
√10000
( 5 – 0,0169 , 5 + 0,0169 ) = ( 4,9831 , 5,0169 )
b) 95%
P(z < z α/2) = 0,95 → z α/2
σ
Е = z α/2 · --- ;
√n
→ 0,9495 → 1,64
→ 1,645
→ 0,9505 → 1,65
2
0,25 ≥ 1,645 · --√n
;
3,29
√n ≥ −−− ;
0,25
n ≥ 12,53 → n = 13
En una muestra aleatoria de 256 individuos se ha obtenido una edad
media de 17,4 años. Se sabe que a desviación típica de la población
normal de la que procede esa muestra es de 2 años.
a) Obtenga un intervalo de confianza al 95% para la edad media de la
población. b) ¿Cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para
que el correspondiente intervalo de confianza, al 90%, tenga de
amplitud a lo sumo 0,5?
(PAU JUNIO 2007)
a) El intervalo de confianza para la media de la población es:
σ
χ - Zά/2 ∙ —— ,
√n
σ
χ + Zά/2 ∙ ——
√n
1 + 0,95
Para un nivel de confianza del 95% , P(Zά/2 ) = ----------- = 0,975  Zά/2 =1,96.
2
Sustituyendo todos los datos en el intervalo tenemos que el intervalo de confianza para
la media es:
2
2
17,4 – 1,96 ∙ −−−− ; 17,4 +1,96 ∙ −−−− = (17,155; 17,645)
√256
√256
b) La relación entre el nivel de confianza, el error admisible y el tamaño de la muestra
es:
σ
E = Zά/2 ∙ −−
√n
Como la amplitud tiene que ser 0,5; el error admisible tiene que ser 0,25. Sustituimos
los valores y despejamos:
2
_
1,645 ∙ 2
0,25 = 1,645 ∙ −− → √n = −−−−−−− → n = (13,16)² = 173,1856
√n
0,25
El tamaño mínimo tiene que ser de 174.
En un servicio de atención al cliente, el tiempo de espera hasta
recibir atención es una variable normal de media 10 minutos y
desviación típica 2 minutos. Se toman muestras aleatorias del tiempo
de espera de los clientes que llegan un día concreto.
Se pide:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de espera de una
muestra de 25 clientes no supere los 9 minutos?
b) ¿Cuál es la distribución de la media muestral, si se toman muestras
aleatorias de 64 clientes? Especificar sus parámetros.
a) las muestras de tamaño n obtenidas en una población de media µ y desviación
típica σ, N (µ, σ), se distribuye según una normal N (µ, σ / √n )
Con esto,
9 – 10
P (x < 9) = P (Z < ---------- ) = P(Z < -2,5) = 1 – P( Z < 2,5) = 1 – 0,9938 = 0,0062
2/5
b) Como hemos indicado anteriormente, la distribución de medias maestrales de tamaño
64 se distribuye según la normal N (10, 2 / √64 ) → N (10, 0,25)
Esto es, una normal de media 10 y desviación típica 0,25.
La edad a la que contraen matrimonio los hombres de la Isla Barataria es una variable aleatoria que se puede aproximar por una distribución normal de media 35 años y desviación típica de 5 años. Se elige
aleatoriamente una muestra de 100 hombres de dicha isla. Sea χ la media muestral de la edad de casamiento.
(a) ¿Cuáles son la media y la varianza de χ?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que la edad media de casamiento de la
muestra esté comprendida entre 36 y 37 años?
(PAU Junio 2007)
N(35,5) n = 100
χ = 35
σ
5
σ´ = —— = —— = 0´5
√n
10
_
36 - 35 _ 37 – 35
_
_
_
P(36 ≤ X ≤ 37) = P ——— ≤ Z ≤ ——— = P(2 ≤ Z ≤ 4) = P(Z ≤ 4) – P(Z ≤ 2) =
0´5
0´5
= 1- 0´9772 = 0´0228
La duración de las rosas conservadas en agua en un jarrón es una
variable aleatoria que se puede aproximar por una distribución normal con una desviación típica de 10 horas. Se toma una muestra aleatoria simple de 10 rosas y se obtienen las siguientes duraciones (en horas)
: 57, 49, 70, 40, 45, 44, 49, 32, 55, 45. Hallar un intervalo de confianza
al 95% para la duración media de las rosas.
N(µ,10)
486
χ = ——— = 48´6
10
n= 10
57, 49, 70, 40, 45, 44, 49, 32, 55, 45
1 + 0´95
1´95
P(Z < Zά/2) = ———— = ——— = 0´975
2
2
σ
σ
El intervalo de confianza es ( χ - Zά/2 ∙ —— , χ + Zά/2 ∙ —— ) =
√n
√n
10
10
= (48´6 – 1´96 —— , 48´6 + 1´96 —— ) = (42´4 , 54´8)
√10
√10
95%
Zά/2 = 1´96
La duración de la batería de cierto modelo de teléfono móvil se puede aproximar por una distribución normal con una desviación típica
de 5 meses. Se toma una muestra aleatoria simple de 10 baterías y se
obtienen las siguientes duraciones (en meses): 33, 34, 26, 37, 30, 39,
26, 31, 36, 19. Hallar un intervalo de confianza al 95% para la
duración media de este modelo de batería.
N (µ, 5)
n = 10 baterías
Duración en meses 33, 34, 26, 37, 30, 39, 26, 31, 36, 19
∑ Xi
311
χ = ------ = ------- = 31
10
10
El intervalo de confianza es
σ
σ
( χ – Zα/2 ∙ ------ , χ + Zα/2 ∙ ------ )
√ 10
√ 10
Donde Zα/2 al 95% se calcula
1+0´95 1´95
P (Z ≤ Zα/2) = --------- = -------- = 0´975
2
2
Se busca 0´975 en la tabla y corresponde a Zα/2 = 1´96
5
5
(3´11 – 1´96 ∙ ------, 3´11 + 1´96 ∙ ------ ) = (
,
)
√ 10
√ 10
La duración de las llamadas de teléfono, en una oficina comercial,
sigue una distribución normal con desviación típica 10 segundos. Se
hace una encuesta entre 50 llamadas y a media de duración obtenida
en esa muestra es 35 segundos. Calcular el intervalo de confianza al
99% para la duración media de las llamadas.
σ
σ
Aquí el intervalo de confianza es ( χ – Zα/2 [ ― ], χ + Zα/2 [ ― ] )
√n
√n
0,99 + 1
Donde n = 50, σ = 10,
α = 0.01, P( Z ≤ Zα/2) = ---------- = 0,995 ==> Zα/2 = 2’58
2
Llevando estos valores a la fórmula del intervalo de confianza:
2’58 · 10
2’58 · 10
( 35 - ------------ , 35 + ------------- )
√50
√50
El intervalo de confianza es (31’35 , 38’65)
La edad a la que contraen matrimonio los hombres de la Isla
Barataria es una variable aleatoria que se puede aproximar por una
distribución normal de media 35 años y desviación tipica de 5 años. Se
elige aleatoriamente una muestra de 100 hombres de dicha isla . Sea X
la media muestral de la edad de casamiento.
(a) ¿Cuáles son la media y la varianza de X?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que la edad media de casamiento de
la muestra este comprendida entre 36 y 37 años?
N ( 35, 5) n=100
_
σ
5
X = 35
σ´ = —— = —— = 0,5
√n
10
36 - 35
37 - 35
P (36 ≤ X ≤ 37) = P ——— ≤ Z ≤ ——— = P (2 ≤ Z ≤ 4)
0,5
0,5
=P (Z ≤ 4) – P (Z ≤ 2) = 1 – 0,9772 = 0,228
Se sabe que la renta anual de los individuos de una localidad sigue
una distribu-ción normal de media desconocida y de desviación típica
0,24 millones. Se ha ob-servado la renta anual de 16 individuos de esa
localidad escogidos al azar, y se ha obtenido un valor medio de 1,6
millones de pesetas. Contrástese, a un nivel de sig-nificación del 5%, si
la media de la distribución es de 1,45 millones de pesetas.
a) ¿Cuáles son las hipótesis nula y la alternativa del contraste?
b) Determínese la forma de la región crítica.
c) ¿Se acepta la hipótesis nula, con el nivel de significación
indicado?
a) Hipótesis nula
Ho : µ = 1,45
En la hipótesis alternativa pueden considerarse dos opciones:
[2] Hi : µ ≠ 1,45 (en sentido genérico)
[2´] Hi : µ > 1,45 (es lo que sugiere que χ = 1,6)
b) Para [2], la región crítica la constituyen las dos colas: χ < µ - Z α/2 · σ/ √n, por la
izquierda, y χ > µ + Z α/2 · σ/ √n, por la derecha.
En nuestro caso: χ < 1,45 – 1,96 · 0,24 / 4 y χ > 1,45 + 1,96· 0,24 / 4 
χ ε (1,3324 , 1,5676)
Para [2´], la región crítica la constituye la cola derecha: χ > µ+ Zα/2· σ/ √n
0,9495 → Zα/2 = 1,64
P (Z≤ Zα/2 )
Zα/2 = 1, 645
0,9505 → Zα/2 = 1,65
En nuestro caso: χ > 1,45 + 1,645 · 0,24 / 4 χ > 1,5487.  χ ε (1,5487, ∞)
c) Tanto en [2] como en [2´] hay que rechazar la hipótesis nula, pues 1`6, que ha sido
la media obtenida en el muestreo, es mayor que 1`5487, respectivamente. En los dos
casos la media muestral cae dentro de la región crítica y no dentro del intervalo de
confianza.
Se supone que la recaudación diaria de los comercios de un barrio
determinada es una variable aleatoria que se puede aproximar por una
distribución normal de desviación típica 328€. Se ha extraído una
muestra de 100 comercios de dicho barrio, obteniéndose que la recaudación diaria media asciende a 1248, Calcular:
a) El intervalo de confianza para la recaudación diaria media con un
nivel de confianza del 99%
b) El tamaño muestral mínimo necesario para conseguir, con un nivel
de confianza del 95%, un error en la estimación de la recaudación diaria media menor del 127€. (PAU Septiembre 2007)
n  100; X  1248; N (,328) , y a una confianza del 99% le corresponde un valor critico
Za
 2,58.
2
0,005
0,005
0,99
Z
2
0,995
El intervalo de confianza para la media será:
Za 
Za  

;X  .
X  2 .

2
n
n  = 1248  2,58. 328 ;1248  2,58. 328  = (1163,37

100
100 

; 1332,62)
b)
El nivel de confianza es 1-α = 0,95 y el valor crítico obtenido en ka tabla de distribución
Z
 1, 96
normal es:
2
El error máximo es:
E
Z 
328
.
 1,96.
 127
2
n
n
0,025
0,025
0,95
2
 1,96.328 
n
  25,62
 127 
0,005
Z
2
0,975
Por tanto, el tamaño de la muestra mínimo debe ser, al menos, de 26 comercios.
Un fabricante de electrodomésticos sabe que la media de estos sigue
una distribución normal con media  = 100 meses y desviación típica
 = 12 meses. Determínese el mínimo tamaño muestral que garantiza,
con una probabilidad del 0,98, que la vida media de los electrodomésticos en dicha muestra se encuentra entre 90 y 110 meses.
Como el intervalo 90,100 = 100 10,100 10 , se esta dispuesto a admitir un error
máximo de 10 (   10 ) con una confianza del 98%.

siendo  la desviación típica poblacional,  / 2 el valor
n
correspondiente en la tabla normal para una confianza de 1 -  y n el tamaño muestral.
En nuestro caso para el 98% de confianza (  = 0,02),  / 2 = 2,33
Luego se tiene:
Como     / 2
10 > 2’33 .
12
 n > 7’81. La muestra debe contener un mínimo de 8 elementos.
n
Un investigador afirma que las horas de vuelo de cierto tipo de aviones comerciales se distribuyen normalmente, con una media de 200.000
horas y una desviación típica de 20.000 horas. Para comprobar la veracidad de su hipótesis, obtuvo una muestra aleatoria de 4 aviones de distintas compañías aéreas, fuera ya de ser-vicio, y anotó el número de
horas de vuelo de cada uno, resultando los siguientes datos (en miles de
horas): 150 320 270 140
(a) Plantéense cuáles son las hipótesis nula y alternativa del contraste. b) Realícese el contraste con un nivel de significación del 5 %.
N (200000, 20000)
N(
,
muestra: 150
)
320
270
= 220000 horas
140
=
n=4
La hipótesis nula
/ = µo si
ε (a, b)
La hipótesis de contraste
/ µ ≠ µo si
(a, b)
= 5%
= 0,05;
nivel de confianza 95%
= 0,025 P [Z <
;
1,96
El intervalo de confianza será:
(µ –
·
, µ+
·
) = (200 – 1,96·
(200 – 19,6 , 200 + 19,6) = (180,4 , 219,6)
, 200 + 1,96 ·
)=
=
= 200
(180,4 , 219,6) luego hay hipótesis de contraste
/ µ ≠ 200000 horas.
Una variable aleatoria tiene una distribución normal de media  y
desviación típica . Si se extraen muestra aleatorias simples de tamaño
n, a) ¿Qué distribu-ción tiene la variable aleatoria media muestral  ?
b) Si se toman muestras de tamaño n=4 de una variable aleatoria X
con distribución N ( 165,12 ), calcúlese P ( > 173´7 )
N (  ,  ) n muestra . La  tiene una distribución normal
a) N (  , n ) con la misma  y n muestras ´ = n
b) n=4
N ( 165 , 12 )  N (  , 124 ) = N (  , 6 )
P (  > 173,7 )  tipificar Z =  – X  ´ = (165 – 173,7) / 6 = - 8,7  
= - 1,45
P ( Z > -1,45 ) = P ( Z < 1,45 ) = 0,9265
Una variable tiene una distribución normal de media  y desviación
tipica  . Si se extraen muestras aleatorias simples de tamaño n:
a) ¿ que distribución tiene la variable aleatoria media muestral X ?
b) Si se toman muestras de tamaño n = 4 de una variable aleatoria
X con distribución N(165, 12),Calcúlese P( X > 173,7)
a) La variable aleatoria muestral X m obtenida de una N(  ,  ) se distribuye como
  

una normal N   ,
n

b) Para N(165,12) la distribución de las medias muestrales de tamaño 4 se
comportan como una normal N(165,6)

173,7  165
P( X >173,7) = P  Z 
 = P(Z > 1,45) = 1 – 0,9265 = 0,0735
6

