maqueta MAPA Herramienta Didáctica – 14

DOCUMENTO DE TRABAJO Nº.14
ASIGNATURA
CÓDIGO
REQUISITO(S)
OBLIGATORIA/LECTIVA
ANUAL/SEMESTRAL
DIURNA/VESPERTINA
TEÓRICO-PRÁCTICA/PRÁCTICA
CARÁCTER
PLAN DE ESTUDIO
HORAS SEMANALES
II. Aprendizajes Esperados:
Definir la inferencia estadística.
Definir e Identificar los tipos de muestreos
Definir identificar elementos de una distribución muestral de media.
Cálculo e interpretación de la media y la varianza de la distribución muestral de media
III. Síntesis esquemática de Contenidos
1. Introducción a la inferencia estadística.
2. Definir distribuciones en el muestreo
3. Clasificación de los muestreo
4. Definir la distribución muestral de media
5. Cálculo del valor esperado y varianza de la distribución de media, ejemplos.
IV. Actividades ( individuales o grupales)
1) Una población se compone de 3 datos 2,4,5 considerar todas las muestras posibles de tamaño
2 que puedan extraerse con reemplazamiento de esta población. Se pide encontrar:
a) La media de la población
b) La desviación típica de la población
2) La media de edad del consumo de leche en litros es de 28,1 litros, y la desviación típica 0,8
años. Se elige, al azar, una muestra de 200. Determine la probabilidad que:
a) La media del consumo de leche de la muestra esté comprendida entre 10,9 y 14,2 litros.
b) Sea mayor que 30 litros
c) Sea menor que 27 litros
3) Una urna contiene 80 bolas de las que 60% son rojas y 40% blancas. De un total de 50 muestras
de 20 bolas cada una, sacadas de la urna con reemplazo, ¿en cuántas cabe esperar
a) Igual número de bolas rojas y blancas?
b) 12 bolas rojas y 8 blancas?
c) 8 bolas rojas y 12 blancas?
d) 10 ó mas bolas blancas?
V. Evaluación de la actividades
VI. Síntesis de los contenidos :
Introducción a la infercncia estadística: Es la parte de la estadística matemática que se encarga
del estudio de los métodos para la obtención del modelo de probabilidad (forma funcional y
parámetros que determinan la función de distribución) que sigue una variable aleatoria de una
determinada población, a través de una muestra (parte de la población) obtenida de la misma.
Los dos problemas fundamentales que estudia la inferencia estadística son el "Problema de la
estimación" y el "Problema del contraste de hipótesis"
Teoría del Muestreo:
Consideremos la población compuesta por los niños de todo Chile al nacer. Una
característica medible de los individuos de esta población es su peso; esta característica depende
de múltiples factores y se puede considerar una variable aleatoria. La distribución que sigue esta
variable aleatoria es normal, pero, ¿cuál es su media? y ¿cuál es su desviación típica?.
Como es imposible estudiar el peso de todos los niños recién nacidos, tenemos que
recurrir a la toma de muestras
La teoría de muestreo estudia las técnicas y procedimientos que debemos emplear para
que las muestras sean representativas de la población que pretendemos estudiar, de forma que
los errores en la determinación de los parámetros de la población objeto de estudio sean mínimos.
Para conseguirlo, la muestra tiene que ser representativa de la población. Para que la
extracción de la muestra sea representativa se deben cumplir dos principios básicos:
a) Independencia en la selección de los individuos que forman la muestra
b) Todos los individuos tengan la misma probabilidad de ser incluidos en la muestra
Para conseguir estos objetivos se emplean distintas técnicas de muestreo. Vamos a describir dos
de las más utilizadas:
Clasificación de Muestreo:
Muestreo Aleatorio Simple: Para efectuar este tipo de muestreo en una población con N
individuos:
Numeramos de 1 a N los N individuos de la población.
Mediante un programa de ordenador o una tabla de generación de números aleatorios,
seleccionamos a los n individuos que formarán la muestra. Después de cada extracción el
individuo seleccionado se devuelve a la población para que pueda volver a ser elegido.
Muestreo Aleatorio Estratificado: Cuando la población no es homogenea respecto a la variable
aleatoria objeto de estudio, para mejorar las estimaciones, conviene distinguir en ella, clases o
estratos, y proceder a lo que se llama un muestreo aleatorio estratificado.
En este tipo de muestreo los estratos se deben elegir de manera que sean lo más homogéneos
posible respecto a la variable aleatoria a estudiar y que entre ellos exista la mayor diferencia
posible.
Afijación: Es el reparto del tamaño de la muestra entre los diferentes estratos en que hemos
dividido la población.
Afijación Uniforne : Consiste en tomar para la muestra el mismo número de individuos por cada
estrato.
Afijación Proporcional : Consiste en distribuir los individuos que forman la muestra
proporcionalmente al número de individuos de cada estrato.
Una vez determinado el número de individuos que deben pertenecer a cada estrato, se
procede a la selección de individuos de cada estrato por muestreo aleatorio simple.
Ejemplo.
1) En un instituto de enseñanza secundaria en que se ofertan los siguientes tipos de enseñanza :
Ciclos de grado superior : 110 alumnos.
Bachillerato : 162 alumnos.
Ciclos de grado medio : 210 alumnos
2º ciclo de enseñanza secundaria obligatoria : 338 alumnos.
Se pretende valorar las faltas de ortografía que cometen los alumnos del centro mediante
una prueba-dictado de un texto de 20 líneas; la prueba se pasará a una muestra de 50 alumnos,
para minimizar el costo en tiempo y medios.
En esta situación parece conveniente utilizar para la extracción de la muestra el muestreo
aleatorio estratificado con afijación proporcional.
Dividimos la población en cuatro estratos : ciclos de grado superior, ciclos de grado medio,
bachillerato y 2º ciclo de enseñanza secundaria obligatoria.
Como el número total de alumnos son 820 y la muestra debe estar formada por 50
alumnos, el cálculo del número de alumnos que se han de tomar de cada estrato es:
Ciclos de grado superior :
Bachillerato :
Ciclos de grado medio :
2º ciclo de Enseñanza Secundaria Obligatoria
Recuerdo de conceptos importantes:
Muestra: es parte de una población de objetos, personas, empresas o cosas que es representativa
del total de elementos que conforma el universo.
Población: es la totalidad de las posibles observaciones o medidas que se estén considerando en
alguna investigación de cuyo conjunto, se toma una muestra.
Parámetro: es una medida que describe alguna característica de la población.
Estadístico: es una medida que describe alguna característica de la muestra.
Símbolos más usuales
Población Parámetro
Muestra Estadistico
Tamaño de la muestra
N
n
Media aritmética

x
Varianza
²
V(x)
Desviación estándar

s
Proporción
P
p
Errores en datos estadísticos.
La precisión de los datos estadísticos es un requisito importante para su uso efectivo en el
análisis de los problemas de negocios y económicos. Se pueden distinguir 2 tipos de errores en los
datos provenientes de una encuesta.
Error de muestreo: es la diferencia obtenida entre los resultados de una encuesta por muestreo y
los que se hubiesen obtenido de un censo de la población, conducido bajos los mismos
procedimientos.
17 Promed=142.4 / 17 = 8.4
5 Promed= 40.8 / 5 = 8.1
Cuando se hace una investigación en lugar de encuestar a todo el universo o la población,
se toma una muestra que sea representativa del universo.
Se supone que la distribución de la población puede aproximarse de manera
considerable siempre y cuando la muestra sea lo suficiente grande, siendo por lo tanto la
distribución de frecuencias de la muestra satisfactoriamente representativa de la población
muestreada.
Con respecto a la teoría de muestreo se conocen 2 teoremas para 2 casos diferentes de la
distribución de la media muestral.
Distribución de la media muestral para una población normal: Si X posee una distribución normal
cuya media es  y cuya desviación estándar es 2, entonces la media de la muestra X basado en
muestras aleatorias en n poseerá también una distribución normal cuya media será  y cuya
desviación estándar será:
x 

n
Distribución de la media al muestrear una población que no es normal: si X posee una
distribución con media  y desviación estándar, entonces la media de la muestra basada en un
muestreo de tamaño n tendrá una distribución que se aproximará a la distribución de una variable
normal cada media  y desviación estándar .

n
En cuanto a n tienda a infinito.
Ejemplo:
1) Una población se compone de 5 números: 2,3,6,8 y 11 considerar todas las muestras posibles
de tamaño 2 que puedan extraerse con reemplazamiento de esta población. Se pide encontrar:
la media de la población
x
2  3  6  8  11 30

6
5
5
la desviación típica de la población
 
2
( x   ) 2 (2  6) 2  (3  6) 2 (6  6) 2 (8  6) 2 (11  6) 2

n
5
16  9  0  4  25
54

 10.8
5
5
  3.2

la media de la distribución de medias.
(2,2) (2,3)
(2,6)
(2,8) (2,11)
(3,2) (3,3)
(3,6)
(3,8) (3,11)
(6,2)
(6,3) (6,6)
(6,8) (6,11)
(8,2)
(8,3) (8,6)
(8,8) (8,11)
(11,2) (11,3) (11,6) (11,8) (11,11)
2
2.5
4
5
6.5
2.5
3
4.5
5.5
7
4
4.5
6
7
8.5
5
5.5
7
8
9.5
6.5
7
8.5
9.5
11
= 20
22.5
30
35
42.5
150 / 25 = 6
Desviación típica de la distribución muestral de medias ( error típico de medias).
(2  6) 2  (2.5  6) 2  (4  6) 2  (5  6) 2  (6.5  6) 2  (2.5  6) 2  (3  6) 2  (4.5  6) 2 
(55
.  6) 2  (7  6) 2  (4  6) 2  (4.5  6) 2  (6  6) 2  (7  6) 2  (8.5  6) 2  (5  6) 2 
(55
.  6) 2  (7  6) 2  (8  6) 2  (9.5  6) 2  (6.5  6) 2  (7  6) 2  (8.5  6) 2  (9.5  6) 2 
(11  6) 2
25
16  12.25  4  1  0.25  12.25  9  2.25  0.25  1  4  2.25  6  1  6.25  1  0.25 
1  4  12.25  0.25  1  6.25  12.25  25

25
135

 5.4
25
  2.32
3) Consideremos el universo de dígitos pares, {0, 2, 4, 6, 8}, y todas las muestras posibles de
tamaño 2; además, se tomara en cuenta dos distribuciones muéstrales diferentes que pueden
formarse con: 1) las medias y 2) los rangos muéstrales
Primero, se requiere enumerar todas las muestras posibles de tamaño 2; hay 25 muestras
posibles:
{0, 0}
{2, 0}
{4, 0}
{6, 0}
{8, 0}
{0, 2}
{2, 2}
{4, 2}
{6, 2}
{8, 2}
{0, 4}
{2, 4}
{4, 4}
{6, 4}
{8, 4}
{0, 6}
{2, 6}
{4, 6}
{6, 6}
{8, 6}
{0, 8}
{2, 8}
{4, 8}
{6, 8}
{8, 8}
Cada una de las muestras tiene una media x. Estas medias son, respectivamente:
0
1
2
3
4
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
Cada una de las muestras es igualmente probable, por lo que cada una de las 25 medias
muéstrales se le puede asignar una probabilidad de 1/25 = 0.004. La distribución muestral de las
medias muéstrales se presenta en la tabla 7.1 como una distribución de probabilidad y en la figura
7.1, como un histograma.
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS MUESTRALES
x
p( x )
0
0.04
1
0.08
2
0.12
3
0.16
4
0.20
5
0.16
6
0.12
7
0.08
8
0.04
3) La media de edad de los alumnos que se presentan a pruebas de acceso a la Universidad es de
18,1 años, y la desviación típica 0,6 años. Se elige, al azar, una muestra de 100. ¿ Cuál es la
probabilidad de que la media de la edad de la muestra esté comprendida entre 17,9 y 18,2 años?.
Se tienen lo siguientes parámetros:
 x  18,1
x 
0,6
 0,06
100
Se pide que
P(17,9  X  18,2)  P( X  18,2)  P( X  17,9)
 P(
X  x
x

X   x 17,9  18,1
18,2  18,1
)  P(

)
0,06
x
0,06
 P( Z  1,666)  P( Z  3,33)  0,9525 0,0004 0,9521
Distribución muestral de proporción: Existen ocasiones en las cuales no estamos interesados en la
media de la muestra, sino que queremos investigar la proporción o parte de un total de sucesos en
un experimento. La distribución muestral de proporciones es la adecuada para dar respuesta a
estas situaciones. Esta distribución se genera de igual manera que la distribución muestral de
medias, a excepción de que al extraer las muestras de la población se calcula el estadístico
proporción (p=x/n en donde "x" es el número de éxitos u observaciones de interés y "n" el tamaño
de la muestra) en lugar del estadístico media.
Una población binomial está estrechamente relacionada con la distribución muestral de
proporciones; una población binomial es una colección de éxitos y fracasos, mientras que una
distribución muestral de proporciones contiene las posibilidades o proporciones de todos los
números posibles de éxitos en un experimento binomial, y como consecuencia de esta relación, las
afirmaciones probabilísticas referentes a la proporción muestral pueden evaluarse usando la
aproximación
n(1-p)
normal
a
la
binomial,
siempre
que
np 5
y
5. Cualquier evento se puede convertir en una proporción si se divide el número obtenido
entre el número de intentos. Al parámetro que estima el valor real o poblacional de la proporción

lo llamaremos p
Luego deberemos estandarizar a través de :

Z
p p
p
Donde

p : el valor estimado de la proporción

p 


p q
: Desviación estándar de la distribución de proporción
n

q  1  p : probabilidad proporción de fracaso
n : tamaño de muestra
Ejemplo:
1) Se ha determinado que 60% de los estudiantes de una universidad grande fuman
cigarrillos. Se toma una muestra aleatoria de 800 estudiantes. Calcule la probabilidad de
que la proporción de la muestra de la gente que fuma cigarrillos sea menor que 0.55.
Datos:
n=800 estudiantes

p =0.60
p= 0.55
P(p< 0.55) = ?

P( p  0,55)  P(
p p
p

0,55  0,6
)  P( Z  2,2887)  0,0017
0,6  (1  0,6)
800
Buscando en la tabla de "z" nos da la probabilidad de 0.0017. La interpretación en esta solución,
estaría enfocada a la proporción de la muestra, por lo que diríamos que la probabilidad de que al
extraer una muestra de 800 estudiantes de esa universidad, la proporción de estudiantes que
fuman cigarrillos sea menor al 55% es del 0.17%.
2) Un medicamento para malestar estomacal tiene la advertencia de que algunos usuarios pueden
presentar una reacción adversa a él, más aún, se piensa que alrededor del 3% de los usuarios
tienen tal reacción. Si una muestra aleatoria de 150 personas con malestar estomacal usa el
medicamento, encuentre la probabilidad de que la proporción de la muestra de los usuarios que
realmente presentan una reacción adversa, exceda el 4%.
Datos:
n=150 personas

p =0.03
p= 0.04
P(p>0.04) = ?

P( p  0,04)  P(
p p
p

0,04  0,03
)  P( Z  0,718)  0,1685
0,03 (1  0,03)
150
Existe una probabilidad del 17% de que al tomar una muestra de 150 personas se tenga
una proporción mayor de 0.04 presentando una reacción adversa.
3) Se sabe que la verdadera proporción de los componentes defectuosos fabricadas por una firma
es de 4%, y encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de tamaño 60 tenga:
a) Menos del 3% de los componentes defectuosos.
b) Más del 1% pero menos del 5% de partes defectuosas.
a)
Datos:
n= 60 artículos

p =0.04
p= 0.03
p(p<0.03) = ?

P( p  0,03)  P(
p p
p

0,03  0,04
)  P( Z  0,395)  0,2327
0,04  (1  0,04)
60
La probabilidad de que en una muestra de 60 artículos exista una proporción menor de
0.03 artículos defectuosos es de 0.2327.
b)
Datos:
n= 60 artículos

p =0.04
p= 0.01 y 0.05
p(0.01<p<0.05) = ?
P(0,01  p  0,05)  P( p  0,05)  P( p  0,01) 

 P(
p p
p


0,05  0,04
p p
)  P(

p
0,04(1  0,4)
60
 0,329
VII. Glosario
Links de interés
0,01 0,04
)  P( z  0,395)  P( Z  1,186)
0,04  (1  0,04)
60