Lección 2. Puntos, vectores y variedades lineales.

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Lección 2. Puntos, vectores y variedades
lineales.
Objectivos. En esta lecci ón se repasan las nociones de punto y vector, y se
identifican, via coordenadas, con los pares (ternas,...) de números reales. Esta
identificación permite posteriormente representar entidades geométricas
(variedades) mediante ecuaciones.
n
n
n
n
n
n
n
Puntos y vectores.
Reprentación de puntos y vectores via coordenadas
Nociones métricas vía coordenadas.
Representación param étrica de variedades lineales y afines.
Dimensión y base de una variedad lineal.
Representación implícita de variedades lineales y afines.
Problemas de paralelismo e incidencia.
2.1 Puntos y vectores.
Puntos. La geometría considera el plano (recta, espacio,...) formado per
puntos.
Los puntos representan posiciones.
El punto es un ente ideal, elemental e indivisible, sobre el que se fundamenta el
lenguage geométrico.
La noción de punto no es real en sentido empírico, sino que es un producto de
la abstracción humana.
Los puntos se agrupan para formar variedades (rectas, esferas...) y otros
objetos geométricos (figuras, sólidos...) que representan formas y delimitan
espacios.
Los problemas clásicos de la geometría proponen cuestiones sobre puntos,
varietadades y figuras, pero no proporcionan una forma de representarlos más
allá de la pròpia imaginación o del dibujo.
Vectores. Los vectores son pares ordenados de puntos, y representan
direcciones.
n
Dos vectores son equivalentes
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si tienen la misma dirección, el
mismo sentdido y la misma
longitud.
n
En muchos casos, dos vectores
hacen funciones equivalentes
(aportan la misma información
para un problema determinado)
si tienen la misma dirección,
prescindiendo de la longitud y/o
del sentido.
Operaciones gráficas con vectores. Los vectores se pueden sumar y
multiplicar por escalares
El conjunto de
todos los vectores
del plano
(recta,espaci0,...)
con origen
común, dotado de
las dos
operaciones
anteriores tiene
estructura
deespacio
vectorial més
informació?
2.2 Representación de puntos y vectores via coordenadas.
Las coordenadas cartesianas introducen una via de representación de puntos y
vectores que va más lejos de la imaginación o el dibujo.
El procedimiento básico para asignar coordenadas se basa en la projección
sobre unos ejes, en los que previamente se han introducido un origen, una
unidad de medida y un sentido.
De esta manera, cada punto
del plano (espacio...) se
identifica de forma única
con un par (terna,...)
ordenado de valores
numéricos, y viceversa.
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Las variedades (rectas,...) se pueden representar mediante ecuaciones, y los problemas
geométricos se transforman en problemas algebraicos con ecuaciones.
Coordenadas de un vector. Las coordenadas de un vector anclado en el
origen son las del punto extremo del mismo.
En general, las coordenadas de un vector se obtienen restando las de sus
puntos extremos. (extremo menos origen).
Así, si un vector se obtiene como suma de otros dos, sus coordenadas también,
y si se obtiene multiplicando un vector por un escalar, sus coordenadas
también.
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El conjunto de todos los pares de coordenadas (x1, x2 ) es también un espacio
vectorial, que designamos por R2 (R 3 si se trata de ternas, ...)
2.3 Producto escalar, norma y distancia. Las nociones de distancia y
ángulo derivan de las de producto escalar y la norma (módulo) vectoriales
cuando hacemos geometría con coordenadas. La orientación de los ángulos se
relaciona con el producto vectorial.
Producto escalar. El producto escalar de dos vectores se calcula
multiplicando coordenada a coordenada y sumando.
para vectores de dos componentes, y en general:
Ejemplo 1
Para poder efectuar el product0 escalar las dimensiones de los vectores han de
coincidir.
El producto escalar es conmutativo, es decir
El producto escalar es definido positivo, es decir
Ejemplo 2
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Norma (módulo). La norma (o módulo) de un vector se obtiene a partir de
sus coordenadas de acuerdo con:
Distancia. La longitud de un vector es su norma (módulo). Por tanto, la
distancia entre dos puntos A y B es la norma del vector
.
Ejemplo 3
Ángulo. El ángulo se relaciona con la norma y el producto escalar mediante la
fórmula:
Ejemplo 4
El ángulo de dosvetores
se obtiene haciendo:
Producto vectorial. Se define para dos vectores de R3, y el resultado es un
tercer vector, de dirección perpendicular al plano que determinan los dos
primeros. El sentido se determina seg ún la regla de la mano derecha, haciendo
girar el primero sobre el segundo.
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determinantes?
Ejemplo 5
producto vectorial de los vectores
El producto vectorial de dos vectores se relaciona con sus normas y con el
ángulo que forman:
2.4 Representación paramétrica de variedades lineales y afines.
La representación param étrica se basa en la noción de combinación lineal de
vectores.
Combinación lineal de vectores. Se dice que
un conjunto de vectores
escalares
si
es combinación lineal de
para algunos
Las coordenadas de
se
obtienen efectuando las
operaciones indicadas para los
vectores coordenada a
coordenada
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Ejemplo 2
Subespacio generado por un conjunto de vectores. El conjunto F
de todas las posibles combinaciones lineales de una familia de vectores S
se llama el subespacio generado por S.
Los valores
reciben el nombre de parámetros y las ecuaciones
ecuaciones paramétricas.
Las ecuaciones paramétricas proporcionan una representación mediante
coordenadas explícita: para cada valor particular que asignemos a los
parámetros se obtiene algun punto de la variedad.
Algunos ejemplos importantes:
n
n
el subespacio generado por un solo vector es una recta que pasa por el
origen.
el subespacio generado por dos vectores es (siempre?) un plano que pasa
por el origen
Ejemplo Las ecuaciones paramétricas del plano F que tiene
como vectores directores
son:
o també:
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Si la recta, plano,... no pasa por el origen , no se habla de subespacios
sino de variedades afines .
La representación param étrica de una variedad afín A se obtiene sumando
(suma de vectores) a un punto de paso P un subespacio director F.
A=P+F
Ejemplo Las ecuaciones paramétricas del plano F que tiene
como vectores directores
y pasa
por el punto P=(1,0,1) son:
o también:
2.5 Dimensión y base.
Un mismo subespacio admite muchos generadores diferentes y, por tanto,
muchas ecuaciones paramétricas distintas.
Ejemplo 6 El plano F de R3 de ecuación x = 0 se puede
obtener como
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Interesa hallar representaciones con el menor número posible de
parámetros, o lo que es equivalente, familias de generadores con el
mínimo número de vectores.
Ejemplo Para hallar una familia generadora con el mínimo
número posible de vectores de
, observamos en primer lugar
que
.
Esto nos indica que cualquier vector que se pueda obtener
como combinación lineal de
también ser á combinación lineal de los dos últimos.
Por ejemplo,
, pero
también
.
Por tanto, se puede prescindir de (1,1,-1), y resulta
ejercicio 1
problema 2.1
Un conjunto de vectores tal que ninguno de ellos se puede escribir como
combinación lineal de los otros se llama un conjunto linealmente
independiente de vectores.
El ejemplo anterior nos muestra que si
equivalentes:
1. La familia de generadores
posible de elementos.
2. La familia de generadores
, son
tiene el m ínimo número
es linealmente
independiente.
En la práctica, para obtener una familia generadora con el mínimo número
posible de elementos, se utiliza el cálculo de rangos.
Un conjunto de vectores que
1. genera un subespacio F
2. es linealmente independiente
se llama una base de F.
Todas las bases de un mismo subespacio F tienen el mismo n úmero de
vectores (Teorema de Steinitz). més informació?
Este n úmero común es la dimensión de F.
ejercicio 2
problema 2.2
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2.6 Representación implícita de variedades lineales y
afines. La solución de un sistema de ecuaciones lineales es una variedad
afín (p. ej. una recta, un plano ...)
Tiene la forma x = P + F , donde P es un punto de paso y F un subespacio
vectorial que determina la dirección.
Los vectores que generan F se llaman vectores directores de la variedad
(recta, plano, ...)
F se llama subespacio director de la variedad.
La dimensión de la variedad afín A coincide con la del subespacio director
F.
F es la solución del sistema homogéneo asociado, es decir, un sistema
con la misma matriz de coeficientes, pero con el vector de términos
independientes nulo.
Ejemplo:
Solución en función del parámetro
x:
.
Por tanto, una terna (x,y,z) es solución si:
para cualquier valor de x, O lo que es equivalente,
Observamos que el subespacio director
es la solución del sistema
homogéneo asociado
Dos sistemas de ecuaciones (compatibles) con la misma matriz de
coeficientes, pero con téerminos independientes diferentes, representan
dos variedades paralelas (igual subespacio director).
El número de parámetros en la solución es la dimensión de la variedad
representada por el sistema.
Solución en función del par ámetro x:
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Ejemplo:
.
Por tanto, una terna (x,y,z) es solución si:
para cualquier valor de x y z, O lo que es equivalente,
Fijémonos en que la solución depende de 2 parámetros, valor
que coincide con la dimensión del subespacio director.
ejercicio 1problema 2.4 d.