Proyecto 1 - Departamento de Matemática

Universidad de San Carlos de Guatemala
Facultad de Ingeniería
Departamento de matemática
Matemática intermedia 1
Proyecto 1
Fecha de entrega: miércoles 19 de septiembre de 2012
Introducción:
El desarrollo de proyectos de grupo, es importante para la formación del estudiante ya que le permite
interactuar con sus compañeros en la solución de problemas, los cuales requieren el uso de recursos
tecnológicos para su solución.
Para resolver los problemas, el grupo de estudiantes debe realizar un análisis matemático y
realizar cálculos utilizando el software que consideren conveniente. Entre los programas que puede
utilizar están: Scientific Notebbok, Mathematica, Maple, derive, Mathlab, etc.
El informe debe ser presentado utilizando un procesador de textos, en cuyo caso deben
importarse los resultados del programa matemático o bien editando completamente el informe con el
editor que incluyen algunos programas como Scientific Notebook, Mathematica y Maple.
Problema 1: Criptografía
Muchas veces en el mundo de la informática, se necesita enviar mensajes encriptados que sean
difíciles de desencriptar por personas a las que no se les quiere dar la información, pero que si lo sea
por las personas que lo deben recibir. Si bien es cierto que hay muchas formas de encriptar, en la
mayoría de los casos se usa el álgebra de matrices para hacerlo. Se dará a continuación un ejemplo
muy eficaz que se trabajará utilizando una matriz código cuadrada y pequeña cuando los mensajes son
muy grandes.
Se escoge un matriz M que tenga inversa, la cual solo debe ser conocida por las personas que lo envían
y las personas a las que envían el mensaje.
Ejemplo: Si queremos encriptar el mensaje “La vida es la suma de todas sus elecciones. ”
reemplazamos cada letra del mensaje por el numero que le corresponde en el abecedario
A=1
H=8
Ñ=15
U=22
B=2
I=9
O=16
V=23
C=3
J=10
P=17
X=24
D=4
K=11
Q=18
Y=25
E=5
L=12
R=19
Z=26
F=6
M=13
S=20
G=7
N=14
T=21
Dándole al espacio en blanco el cero (0), al punto el 27, a la coma el 28, y a las comillas 29
En este caso tenemos: 12, 1, 0, 23, 9, 4, 1, 0, 5, 20, 0, 12, 1, 20, 22, 13, 1, 0, 4, 5, 0, 21, 16, 4, 1, 20, 0,
20, 22, 20, 0, 1, 3, 3, 9, 16, 14, 5, 20, 27, 0.
La lista de números obtenida debe ser ordenada como una matriz de dos filas y las columnas que sean,
colocando los números en mismo orden (nótese que se van formando las columnas), así:
12 0 9 1 5 0 1 20 13 0 5 21 4 20 20 20 1 3 16 5 27 


 1 23 4 0 20 12 0 22 1 4 0 16 1 0 22 0 3 9 14 20 0 
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Matemática intermedia 1
La matriz anterior será multiplicada por la izquierda por M en este caso
 0 2
 por lo que el
M = 
 3 4
producto a realizar es:
12 0 9 1 5 0 1 20 13 0 5 21 4 20 20 20 1 3 16 5 27 

M • 
 1 23 4 0 20 12 0 22 1 4 0 16 1 0 22 0 3 9 14 20 0 
Al realizar el producto nos queda el mensaje encriptado que es el producto de matrices resultante
 2 46 8 0 40 24 0 44 2 8 0 32 2 0 44 0 6 18 28 40 0 


 40 92 43 3 95 48 3 148 43 16 15 127 16 60 148 60 15 45 104 95 81
La cual será enviada como un simple listado de números sin ninguna relación aparente.
2, 40, 46, 92, 8, 43, 0, 3, 40, 95, 24, 48, 0, 3, 44, 148, 2, 43, 8, 16, 0, 15, 32, 127, 2, 16, 0, 60, 44,
148, 0, 60, 6, 15, 18, 45, 28, 104, 40, 95, 0, 81.
Para desencriptar el mensaje, quien lo recibe debe armar la matriz de donde lo sacamos y multiplicarla
por M −1 siempre por la izquierda donde
M −1 =
1  4 − 2


− 6  − 3 0 
 2 46 8 0 40 24 0 44 2 8 0 32 2 0 44 0 6 18 28 40 0 

M −1 • 
 40 92 43 3 95 48 3 148 43 16 15 127 16 60 148 60 15 45 104 95 81
dicho producto le dará como resultado, el mensaje:
12 0 9 1 5 0 1 20 13 0 5 21 4 20 20 20 1 3 16 5 27 


 1 23 4 0 20 12 0 22 1 4 0 16 1 0 22 0 3 9 14 20 0 
Problema 1.a
Desencriptar el siguiente mensaje usando el procedimiento del ejemplo pero en este caso ingrese los
datos formando columnas:
30, 18, 23, 19, 16, -13, 26, 25, -19, 18, -5, 37, 8, 7, -2, 20, 15, -10, 14, 5, 4, 35, 34, -19, 5, 5, -4,
17, 17, -12, 16, -4, 40, 22, 3, 17, 30, 10, 19, 30, 10, y 11.
La matriz código a utilizar es:
1 0 1 


M =  1 −1 1 
 0 2 − 1


Como se puede observar, la matriz anterior es de tres filas y tres columnas, por lo que el mensaje
encriptado deberá ordenarse en una matriz de 3 filas y el número de columnas necesario para ordenar
todos los datos.
Problema 1.b
Un curioso logra obtener el siguiente listado:
11, 34, 18, 22, 18, 12, 37, 28, 24, 86, 63, 42, 28, 72, 1, 4, 64, 116, 1, 4, 50, 110, 7, 18, 51, 34, 58, 42, 1,
4, 52, 38, 34, 86, 26, 64, 62, 58, 3, 2, 69, 46, 78, 82, 66, y 74 el cual sabe es un mensaje encriptado
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con una matriz de dos por dos, como en el ejemplo, además sabe que la primera palabra del mensaje
es: Hace, dado que usted es amigo del curioso y además es estudiante de ingeniería que cursa la
Matemática Intermedia 1, ayude a su amigo a desencriptar dicho mensaje, usando el procedimiento del
ejemplo, formando columnas al ingresar los datos del mensaje.
a.
b.
Encuentre la matriz inversa de M en términos de a, b c y d.
a b 
M =

c d 
Multiplique la inversa encontrada, por una matriz de 2x2 obtenida según el dato que se da en el
enunciado del problema.
a b 
M =
 determinando primero los valores de a, b y c.
c d 
c.
Diga cuál es la matriz código
d.
Ayude a su amigo a desencriptar el mensaje. (recuerde que al ir llenando debe formar columnas).
Problema 2:
Efectúa lo indicado en los siguientes incisos:
a.
Dada
f ( x) = e − x
1.
2.
2
Trace la gráfica.
Plantee la integral necesaria para calcular el área acotada por la curva de la función, y
el eje x en el intervalo
[0 ,10].
3.
Evalúe las con usando el método de:
i.
Trapecio.
ii.
Simpson.
iii.
Punto Medio.
con n=10, 20 y 100 para cada uno de los casos, Determine el error en cada uno de los métodos,
comente sobre cualquier discrepancia.
b.
Encuentre la descomposición en fracciones parciales de
1.
2.
x2
f ( x) = 4
x − 16
Trace la gráfica.
Plantee la o las integrales necesarias para calcular el área acotada por la curva de la
función y el eje x en el intervalo de
(− ∞ , ∞) .
3.
Evalúe las integrales planteadas en el inciso anterior (recuerde que las integrales son
impropias y que debe calcular el resultado usando límites).
Referencias
a. Castillo Miguel.
Instructivo para el uso de los Programas Scientific Notebook, Matemática y
Mathcad
b. Álgebra Lineal una introducción moderna. David Poole. CENGAGE Learning, segunda edición.
c. Cálculo De una variable. James Stewardt. CENGAGE Learning, sexta edición.
d. Cálculo Con Geometría Analítica, EDWARDAS Y PENNEY, PRENTICE HALL, cuarta edición.