analisis paso a paso no-holonomico de estructuras planas

Revista internacional de mktodos numdricos para cálculo y diseño en ingenieria, Vol. 2,4,389-415 (1986)
ANALISIS PASO A PASO NO-HOLONOMICO
DE ESTRUCTURAS PLANAS SOMETIDAS
A CARGAS REPARTIDAS
R. PICON
Y
J. CARAS
Cátedra de Elasticidad y Resistencia de Materiales
E. T.S. Ingenieros Industriales
Avda. Reina Mercedes, s/n. Sevilla
RESUMEN
Se presenta en este trabajo, en primer lugar, una técnica sistemática para la generación automática
de las ecuaciones de equilibrio que relacionan los momentos flectores en los extremos de las barras de
una estructura; esta forma de las ecuaciones de equilibrio es útil para el caso en que las deformaciones
debidas al esfuerzo axil no son consideradas. Posteriormente se generaliza (modificándolo en algunos
aspectos) un método paso a paso de análisis elastoplástico de estructuras planas ya existente para tener en cuenta la existencia de cargas distribuidas. La ley de comportamiento admitida es no-holonómica (irreversible) lo que permite detectar las descargas locales que se produzcan. Se presenta la resolución detallada de un ejemplo.
SUMMARY
A systematic technique for the automatic generation of the equilibrium equations which relate the
bending moments at the ends of an element of a structure, is presented in this work. In this way,
the case where the axiol strains are not considered, can be easily formulated. A previously developed
step by step elastoplastic method, is modificated to take into acount the existence of distributed
loads. A non-holonomic behavior is assumed. This makes possible to detect the local unloading that
migth appear. Finally the solution of an example is presented.
INTRODUCCION
Como es bien sabido, el comportamiento plástico d e u n material es irreversible y,
dado u n programa d e cargas externas, cabe la posibilidad d e q u e se produzcan descargas en determinados puntos pasando a comportarse elásticamente zonas que estaban
plastificadas. Dicho fenómeno se da, en general, sea cual sea la ley d e variación d e las
cargas, incluso e n el caso d e que éstas crezcan proporcionalmente. Teóricamente, por
tanto, cualquier evolución elastoplástica de u n sólido debe analizarse mediante u n mét o d o paso a paso q u e contemple la plastificación progresiva d e éste.
En el caso d e carga proporcional tal fenómeno d e descarga es poco frecuente y,
cuando se dá, su influencia en el valor final d e las deformaciones y desplazamientos
Recibido: Abril 86
QUniversitat Politecnica de Catalunya (España)
ISSN 0213-1315
390
R. PICON y J. CARAS
suele ser pequeño. Aun así, los verdaderos resultados (por ejemplo, de las deformaciones plásticas) pueden ser mayores que los obtenidos suponiendo que no existen descargas1, lo que, en teoría, abre la posibilidad de que queden encubiertas deformaciones
inadmisibles para el material. En todo caso el análisis paso a paso proporciona una útil
información de la evolución de la estructura y permite el estudio de ésta a cualquier nivel de carga. Por último, los programas reales de carga no siempre son proporcionales y
en este caso el análisis paso a paso es la única posibilidad.
En cuanto a las cargas a que está sometida una estructura, frecuentemente son de tipo distribuido. Un método directo de análisis que tiene en cuenta este tipo de cargas
fue presentado previamente2; las aplicaciones realizadas pusieron de manifiesto que
pueden obtenerse sensibles diferencias entre la carga de colapso (hasta de un 10% del
lado de la inseguridad) y los desplazamientos y deformaciones (hasta de un 30%) obtenidos con las cargas uniformes y los obtenidos con sustituciones estáticamente equivalentes que no aumenten el número de secciones; asimismo, el ajuste de las rótulas plásticas a sus verdaderas posiciones provoca variaciones en los resultados que pueden llegar
a ser del orden del 25%. Por todo ello, parece interesante que el método de análisis pueda manejar directamente las cargas repartidas.
En este trabajo se plantea un método para el análisis paso a paso de estructuras planas sometidas a cargas repartidas. Previamente, se plantea un método eficiente para la
generación automática de ecuaciones de equilibrio entre momentos; este método sintetiza las ideas presentadas en forma más heurística en!
Las hipótesis de partida se presentan a continuación
a) Los cambios geométricos no alteran las ecuaciones básicas (teoría de primer orden).
b) El momento flector es el único esfuerzo activo en cuanto a deformaciones y plastificación de las secciones de las barras.
c) El factor de forma de las secciones se considera la unidad, lo que implica que las deformaciones plásticas se concentran en determinadas secciones críticas de la estructura.
d) El programa de carga de la estructura se discretiza en una serie de tramos de carga
proporcional. Las cargas pueden ser concentradas o aplicarse uniformemente repartidas sobre las barras.
e) La ley de comportamiento del material se supone elastoplástica ideal irreversible
(no-holonómica). El límite de fluencia se supone igual para tracción y compresión,
como es usual para el acero.
El algoritmo básico que se ha utilizado es el descrito en3, modificado convenientemente para incluir la existencia de cargas repartidas. Adicionalmente, y respecto a dicho algoritmo: 1) las descargas se han detectado de una forma más simple; y 2) las
nuevas matrices a utilizar en el caso de descargas se han establecido de forma que no se
requieren nuevas inversiones matriciales.
Teniendo en cuenta la hipótesis b), el método se plantea ventajosamente a partir de
las ecuaciones de equilibrio de momentos, que deducimos a continuación.
39 1
ANALISIS PASO A PASO NO-HOLONOMICO
ECUACIONES DE EQUILIBRIO ENTRE MOMENTOS
*\
Figura 1. Barra Cargada.
El tipo de barra cargada que se va a manejar es el indicado en la Fig. la, en la que h
indica el factor de proporcionalidad. Los nudos extremos m y p (Fig. 1b) son fijos, así
como las secciones extremas de las barras, i y 1. El nudo intermedio, n, es un nudo variable, situado a una distancia w del origen i, que da lugar a dos nuevas secciones variables j y k. El valor w es inicialmente L/2; si aparece una rótula plástica en algun punto
de la barra cargada, el nudo variable pasa a ocupar dicha posición, redefiniéndose convenientemente las magnitudes que dependen de w. Las ecuaciones de equilibrio globales de la estructura, que relacionan los esfuerzos internos en los extremos de las barras
con las cargas aplicadas, pueden establecerse (fijados unos valores de las variables w) a
partir de las ecuaciones de equilibrio de una barra, relacionando los esfuerzos en los dos
sistemas de ejes global y local de la Fig. 2a y 2b. Dichas ecuaciones son
R. PICON y J. CARAS
392
siendo c= cosY y
S=
sen3. E1,superfndice e indica relativo al elemento.
Figura 2. Sistema global y local.
ANALISIS PASO A PASO NO-HOLONOMICO
393
Recorriendo todos los grados de libertad no coaccionados de la estructura (primero
los traslacionales y después los rotacionales) y expresando el equilibrio entre las cargas
externas y la parte correspondiente de las matrices Se de las barras que concurran al
nudo se obtendrian las ecuaciones de equilibrio de cada nudo; por cada barra cargada
que concurra en él habria que sumar, a las cargas externas concentradas, las filas 1,2 y
5 (3,4 y 6) del vector S:, si la sección de la barra que concurre al nudo es una sección
origen (extremo). Asi obtendriamos un vector de cargas equivalentes en nudos que
añadido a las cargas concentradas, da las cargas totales cuyos valores se agrupan en el
vector KF. Sea F, genericamente, un vector de variables asociadas a las cargas externas.
Las ecuaciones de equilibrio serian
o bien
siendo QT = (MT NT) un vector de 3b componentes (b = nP de barras) que agrupa,
en primer lugar, los momentos flectores en las c secciones criticas de la estructura, que
suponemos son los extremos de las barras (c=2b), y después los esfuerzos axiles en el
vector N, de b componentes El simbolo 1, indica una matriz unidad de axa; los vectores F, y. F, son las fuerzas según los grados de libertad traslacionales y rotacionales
Se han indicado en la Ec. 2b el número de filas y columnas de cada matriz; t ( r ) es el
número de grados de libertad traslacionales (rotacionales); el número total de grados
de libertad es g=t+r.
La forma más inmediata de obtener las ecuaciones de equilibrio entre momentos
es realizar un proceso de triangulación en la matriz C para transformar CNt en una
matriz unidad de b x b con una matriz de ceros debajo, de dimensión (t-b)x b (obsérvese
que las ecuaciones rotacionales están ya desacopladas y la triangulación sólo ha de
realizarse sobre t filas y 3b+t columnas). Asi se obtiene
b
t-b
r
Respecto a las Ecs. 2b se ha hecho Cr = CM, y U,T = Ir, simplemente por mantener
.: son vectores reducidos
la uniformidad de la formulación; los vectores F,, F t y F
de carga, obtenidos mediante combinaciones lineales de F, y Fr. Las b filas superiores
de las Ecs. 2c permiten calcular los esfuerzos axiles a partir de los momentos flectores;
las t-b+ r filas inferiores son las ecuaciones de equilibrio entre momentos (ecuaciones
que están asociadas a los denominados mecanismos independientes de la estructura)
R.PICON y J. CAÑAS
394
o bien, en forma compacta
El número de mecanismos independientes es m=t-b+ r=g-b. Denominando n al
número de nudos, x al número de reacciones y h al grado de hiperestaticidad de la
estructura se tiene g=3n-x, h=3b-3n+'x, con lo que g=3b-h, y se obtiene la forma
usual que da los mecanismos independientes, m=2b-h.
En determinadas situaciones excepcionales el número de mecanismos independientes
n o viene dado por 2b-h (asf, en el caso de una viga biempotrada cargada en el centro,
se obtiene m= 1). Ello se traduce en que el rango de CNt es menor que b. El número
correcto de mecanismos independientes es g-rango (CNt).
El metodo descrito requiere realizar b pivotamientos sobre una matriz de txf3b+t).
Un metodo más eficiente de calcular las matrices que aparecen en las Ecs. 3b se presenta
a continuaci6n.
Apliquemos el Principio de Contragrediencia a las Ecs. 2b.
Los vectores q~ y qN representan las deformaciones debidas al momento flector y
al esfuerzo axil. u, y u, son las traslaciones y rotaciones de los nudos de la estructura.
Consideremos las b últimas ecuaciones de las Ecs. 4
La matriz CNt se forma directamente, sin necesidad de disponer de la matriz C completa.
En efecto, el Principio de Contragrediencia aplicado a las Ecs. la (considerando el
vector S: como acciones externas equivalentes en el extremo de la barra), dá la deformaci6n axil de una barra en función de las traslaciones de sus nudos extremos
ANALISIS PASO A PASO NO-HOLONOMICO
395
Aplicando una ecuación como la 5b para cada barra se obtiene directamente la matriz
CNt.Pongamos ahora el vector q, de las Ecs. 5a como l b q, ;las Ecs. 5a quedan
Vamos a convertir la matriz c:, en otra que contenga una matriz unidad desordenada.
El procedimiento consiste en buscar, en cada fila de c:, (empezando por la primera),
el mayor elemento (pivote), dividir la fila por el y crear ceros en el resto de la columna
del pivote mediante operaciones entre filas; las mismas operaciones se realizan en .,1
Cuando el proceso se ha realizado para todas las filas, la m a t h c:, se ha convertido
en otra matriz
que contiene b columnas pivotadas y t-b columnas sin pivotar,
y la matriz l b se ha convertido en la matriz
(que ya no es una matriz unidad).
Siguiendo la terminologia de la Programación Lineal denominamos variables básicas
(no básicas) a las asociadas a las columnas pivotadas (no pivotadas). Evidentemente,
las variables básicas están asociadas a un conjunto de columnas independientes de
c:t.
Las variables básicas (que van multiplicadas por una matriz unidad) pueden ser
expresadas directamente en función de las no básicas, que denominamos u,, y del
vector q, . Añadiendo identidades entre las variables no básicas se llega a la descomposición.
r,
Este tipo de descomposición es análoga a la habitualmente utilizada en el metodo de
las fuerzas para la elección automática de incognitas hiperestáticas (ver, por ejemplo? 5,
Si en el proceso descrito aparece una fila de ceros (esto habrá que chequearse con'
una determinada tolerancia, debido a errbres numericos), ello indica que el rango de
c:, es menor que b y que u,, contendrá más de t-b componentes (una más por cada
fila de ceros que aparezca). Por lo demás, basta ignorar las filas de ceros, no eligiendo
en ellas ninguna variable básica. Procediendo así, al final del proceso se obtendrá el
número correcto de traslaciones independientes, que viene dado por t-rango (c;,).
~
Sustituyendo las Ecs. 6 en las Ecs. 5a se encuentra que
Premultiplicando ahora las t primeras filas de las Ecs. 2b por x:,
despues, obtenemos
primero y por
x:,
Comparando con las t primera filas de las Ecs. 2c vemos que
U,
=
X,
,,
U,
=
X,
(9a),(9b)
Para efectuar los productos matriciales de las Ecs. 9c y 9d, no es preciso almacenar
CM,. En efecto, observando las Ecs. 4 vemos que premultiplicando un vector de traslaciones por
obtenemos las deformaciones de flexión qM. Como cada fila de
y
X: representa un vector de traslaciones, al posmultiplicar por CM, obtenemos filas
que contienen las deformaciones de flexión provocadas por dichas traslaciones. Estas
deformaciones se obtienen sin más que aplicar el Principio de Contragrediencia, nuevamente, a las Ecs. 1a
CM,
XN
Aplicando la Ec. 10 para cada barra, primero con cada columna del vector X, y luego
con cada columna de X, , obtenemos las matrices Cl y Ck . Observese que el proceso
realizado no es más que una aplicación del Principio de los Trabajos Virtuales (del que
es consecuencia el Principio de Contragrediencia) entre los esfuerzos internos y fuerzas
reales, por un lado, y las deformaciones y desplazamientos v.irtuales asociado a cada
columna de X, y X, , por otro.
El método propuesto es ventajoso respecto al anterior en cuanto a requerimientos
de memoria y volumen de operaciones, pues requiere (para pasar de las Ecs. 5a a las
Ecs. 6 la realización de b pivotamientos sobre una matriz de b x ( t +b) elementos.
Si el estado de carga es proporcional tenemos
El cálculo automático de las ecuaciones de equilibrio entre momentos ha sido objeto
de algunos trabajos relativamente recientes6*' ; el método propuesto en6 es notablemente complicado frente al que aqui se propone, que se desarrolló (aunque de forma
más heurfstica), en8; la tecnica descrita es, en algunos aspectos, similar a la expuesta en?
ANALISIS PASO A PASO NO-HOLONOMICO
397
ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD
Aplicando el Principio de Contragrediencia a las dos parejas de Ecs. 2c, denominando u,, u: y U: a los desplazamientos asociados (energéticamente) a los vectores de
carga F,, F t y FF respectivamente, se obtiene
Como las deformaciones axiles se consideran nulas (q,
las ecuaciones de compatibilidad quedan
q,
=
U =
=
(cm)T
U~
Uum
O) las Ecs. 14a dan u,
=
Oy
(a4 4
( 14d)
habiendose hecho
LEY DE COMPORTAMIENTO
La ley de comportamiento elastoplástica ideal no holonómica viene definida por las
siguientes ecuaciones (ver, por ejemplog)
(/Mil - M,,)
fii
= O,
i=1,2b
( 16 ~ )
398
R.PICON y J. CARAS
La Ec. 16a dá las deformaciones como suma de las provocadas por los momentos
flectores (A es la matriz de flexibilidad desacoplada de la estructura), más las deformaciones plásticas, más las debidas a las cargas uniformes; estas últimas, para una barra
cargada ij, como la de la Fig. 2, vienen dadas por
Aplicando la Ec 16f para cada barra se obtiene el vector q,. Las Ecs. 16b-16e caracteriz'an el comportamiento elastoplástico ideal irreversible de la estructura; la Ec. 16b
fuerza a que los momentos flectores no sobrepasen el correspondiente valor del
momento plástico de cada sección, agrupados en el vector M, ; las Ecs. 16c obligan a
que la deformación plástica se produzca sólo si se ha alcanzado el momento plástico
(el simbolo Ci indica derivada respecto al tiempo); las Ecs. 16d permiten la deformación
plástica si el momento no varia, y viceversa; por último, las Ecs. 16e fuerzan a que el
trabajo plástico sea de disipación.
CONDENSACION DE LAS ECUACIONES
Vamos a sintetizar las Ecs. 3b, 14c y 16a en un solo grupo. Para ello pongamos las
Ecs. 3b en la forma
y efectuemos sobre ellas una descomposición como la realizada sobre las Ecs. 5c para
pasar a las Ecs. 6
Las Ecs. 17 expresan los momentos flectores en función de un conjunto posible de
incognitas hiperestáticas, M,, y de las cargas externas. Por razones que se justificarán
más tarde, el conjunto M, va a estar asociado sólo a secciones fijas; ello siempre puede
conseguirse pues los nudos variables podrian verse como nudos auxiliares, que no son
esenciales para el análisis de la estructura. En cuanto a la implementación práctica,
basta con que el algoritmo de triangulación (que convierte las Ecs. 17a en las Ecs. 17b)
escoja como variable básica una sección variable, siempre que ello sea posible; este
procedimiento dá como resultado final el que todas las variables no-básicas (columnas
no pivotadas) estén asociadas a nudos fijos. Sustituyendo las Ecs. 17b en las Ecs. 17a
se encuentra
ANALISIS PASO A PASO NO-HOLONOMICO
Sustituyendo las Ecs. 14c en las Ecs. 16a y premultiplicando por b:
teniendo en cuenta las Ecs. 18a y las Ecs. 17b
O
=
+ bi
b: A b, M,
A b,
+
Fm
b:
p
+
b: q, X
obtenemos,
( 19a)
Haciendo
Y
=
-(bH A b,
( 19b)
)-l
y poniendo Fm = Km X obtenemos
que sustituida en las Ecs. 17a d i
M
=
((b, Y b; Ab,
+
b,)
Km
+
b, Y b: q,) A
+
b, Y b i p (19d)
Haciendo
Z = b, Y bH
Y
obtenemos finalmente
Las Ecs. 19f representan una resolución explicita de la estructura; el vector b,
representa la solución elástica en equilibrio con las cargas externas y la matriz Z
transforma las deformaciones plásticas (consideradas impuestas a la estructura como
dislocaciones) en un conjunto de esfuerzos internos autoequilibrados; la matriz Z es
simC trica a la vista de su definición.
Por otra parte, las Ecs. 18b permiten calcular los desplazamientos reducidos um
a partir de las deformaciones qM. Asf, premultiplicando las Ecs. 14c por bm obtenemos
Sabido um , las Ecs. 14d dan los desplazamientos reales, u.
Las Ecs. 19f, junto con las Ecs. 16b-16e definen ahora el problema.
ALGORITMO INCREMENTAL
El hecho de admitir leyes elastoplásticas lineales por tramos, junto con la concentración en detenninadas secciones criticas de las deformaciones plásticas, permite plantear
el problema en forma incremental. Asi, las Ecs. 19f, 16b-16e quedan
( l M, I - M,,) Ap, = O
, i= 1,2b
(20~)
ii
Las Ecs. 20c,d y e se derivan de las correspondientes Ecs. 16 sustituyendo Miy por
M,y Ap,, y poniendo el momento flector como Mi +AMi; en las Ecs. 20c y e se han
,eliminado los productos AM; Ap,, haciendo uso de la Ec. 20d.
El problema a resolver en cada etapa sería
Max AA 1 Ecs. 20a
-
20e
(2of)
indicando el simbolo I "sujeto a".
La resolución paso a paso del problema elastoplástico propuesto se va a hacer
suponiendo, en principio, que las secciones plastificadas no varían a lo largo de una
etapa, entendikndose por etapa el intervalo transcurrido entre la formación de dos
rótulas plásticas. Así, admitamos que los valores M que aparecen en las Ecs. 20 corresponden a valores al final de la etapa 1-1 y que los incrementos que aparecen son los
qhe sufren las variables durante la etapa j; dicha etapa, por otra parte, estará dentro de
un t o m o de carga K, en el que b, tendrá una expresión determinada. Denominemos
por M el conjunto de valores de M que están en la cota superior o inferior al final de
la etapa 1-1; sólo el vector &l(asociado a M ) puede ser en principio distinto de cero
el resto de los momentos y AP(=O) el vector asociado. Bajo
durante la etapa j. Sea
estas suposiciones, las Ecs. 20 quedan, particionando las matrices convenientemente
m
ANALISIS PASO A PASO NO-HOLONOMICO
401
siendo s un fndice que recorre las secciones donde M, = + M,,. La Ec. 21e impone'
que no se sobrepase el multiplicador que define el tramo de carga K. Nuestro problema
seria
1
Max Ah
Ecs. 21
(22)
El problema propuesto se va a resolver mediante el algoritmo descrito en 3. Los pasos
a dar se indican a continuación.
1) Cálculo de las rotaciones plásticas.
Despejemos Ap de las Ecs. 2 1a
AF,
=
-2-1
!;i
AA = i A A
Si 2 no es sFgular no estamos en el colapso ni ha aparecido un pseudomecanismo;
,seguir en 2). Si Z es singular, seguir en 6).
2) Chequeo de descargas
Si M, X., 2 O (lo que implica M, A;, 2 O) para todo S, no hay descargas (ver Ecs.
2 Id); seguir en 3). Si no es asf, hay descargas y es necesario investigar, del conjunto de
secciones plastificadas, cuales se descargan; seguir en 7).
3) Cálculo de
A, M, p.
Sustituyendo las Ecs. 23 en las Ecs. 2 1b Cstas quedan
Sea e un fndice que recorre las secciones asociadas a
Ah máximo permitido se obtiene de
(tMpe
AA
=
-
M (en número;).
Entonces el
Me)
min
tomándose el signo más o el menos según que De sea positivo o negativo. El valor
obtenido de la Ec. 24b, sin embargo sólo pieve la formación de una nueva rótula en las
actuales secciones criticas; no obstante, puede ser que la nueva rótula aparezca en algún
punto dentro de una barra cargada. El valor del momento máximo en una barra cargada
como la de la Fig. 1, sometida en sus extremos a unos momentosMi + Mi y M I + A M I ,
y sobre la que actúa una carga distribuida h + AA, es
402
R. PICON y J. CARAS
Poniendo A Mi = Di A h si Mi pertenece al conjunto M (A M=O si pertenece al M ),
haciendo lo mismo con A M1, e igualando el M
,
,
al momento plástico de la barra
obtenemos de la Ec. 24c una ecuación cuadrática que da dos valores de A h. Igualando
M
,
,
, al momento plástico de la barra cambiado de signo se obtienen otros dos valores;
del total de cuatro valores se toma el menor positivo. Hecho esto para todas las barras
cargadas y obtenido un A h para cada una, el mínimo de todos ellos es el A h adoptado
si es menor que el valor obtenido de la Ec. 24b y si el momento máximo se produce
dentro de la barra, es decir O<w'<L, siendo w' la posición de momento máximo
Si el punto de máximo momento está fuera de la barra, se adopta como A A el que
resulta de la Ec. 24b.
Un punto importante para el algoritmo de inversión que luego describiremos es que
se supone que las rótulas plásticas aparecen de una en una; si, realmente, varias rótulas
se forman simultáneamente para el mismo A (es decir si se obtiene el A h mfnimo
para varias secciones) se adopta uno cualquiera arbitrariamente. Ello significa que en
una siguiente etapa se formaran nuevas rótulas para un Ah = O; un valor de Ah = O es,
pog tanto, perfectamente admisible siempre que d6 lugar a la aparición de una nueva
sección plastificada.
Si el A h así obtenido no satisface la Ec. 21e deberá tomarse Ah = AAK. Sabido Ah,
las Ecs. 24a y 23 permiten obtener los incrementos de momentos y deformaciones
plásticas y en consecuencia, los valores totales de estas magnitudes al final de la etapa i .
Si la rótula formada es variable, en ella se hará el momento igual a más (o menos) el
momento plástico.
Si no se ha forma20 una nueva rótula, habría ahora que actualizar KF , Km y q d ,
lo que dá el nuevo valor de b~ (Ec. 19e) en el siguiente tramo de carga; seguir en 1).
Si ha aparecido una nueva rótula y no es variable, seguir en 5); si la rótula formada es
variable, seguir en 4).
4) Actualización de magnitudes dependientes de las posiciones de las rótulas variables.
En primer lugar, la Ec. 24d permite redefinir las nuevas longitudes de las dos barras
(ij y kl, ver Fig. 1b) que concurren al nudo variable. Sabiendo éstas, la Ec. 16f permite
construir el nuevo vector qd y la nueva matriz A (Ecs. 16a); asimismo, habrán de
redefinirse las cargas equivalentes a cargas repartidas lo que da un nuevo vector KF.
ANALISIS PASO A PASO NO-HOLONOMICO
403 -
Figura 3. Equilibrio de cortantes en un nudo variable.
Ahora debería usarse la Ec. 13 para calcular K m . En este sentido es importante
observar que la matriz U no depende de las posiciones de las rótulasvariables; en efecto,
la matriz U, es una matriz identidad y la matriz CNt(de la que deriva U,; ver Ecs. 5 y
6) no depende de w, según observamos en la Ec. 5b. Asf pues, U no varia y la Ec. 13 da
el nuevo Km.
Asimismo, necesitamos actualizar las matrices bH y b, . Ello se realiza calculando la
nueva matriz Cm (ec. 17a) que si depende de las posiciones de las rótulas variables
(pues en las Ecs. 10 interviene la longitud de las barras) y realizando nuevamente la
descomposición indicada en las Ecs. 17b.
Ahora deberiamos aplicar las Ecs. 19b, 19d y 19e para actualizar las matrices Z y
bF. Una observación crucial en cuanto a la eficiencia computacional del método es
que la matriz Y no depende de la posición de las rótulas variables. En efecto, cada
columna de b i es, a la vista de las Ecs. 17, un vector de esfuerzos internos obtenido
haciendo igual a uno una incognita hiperestática y cero todas las demás, y anulando las
fuerzas externas. Sea (M,), una columna genérica i de bH . Un término genérico ij de
b: A bH está formado por (Mv): ( q ~ , ) ~siendo
,
(qM )j = A (M, jj las deformaciones
virtuales provocadas por (@)j. Los productos (&)iI(qMvjj.representan un trabajo
a lo largo de la
virtual que depende solamente de las leyes de esfuerzos
y
estructura, y dichas leyes vienen definidas por las incognitas hiperestáticas. Como éstas
no estan asociadas a nudos variables, las leyes de esfuerzos virtuales no dependen de
donde esten las rótulas variables, y por tanto bz A b, no depende de dichas posiciones.
La Fig. 4b ilustra el caso en que una sección variable es adoptada como incognita
hiperestática en una viga empotrada-apoyada (Fig. 4 a); obviamente la ley obtenida
depende de donde se encuentre la sección variable, cosa que no sucede en el caso de la
Fig. 4 c, en el que la incognita hiperestática está asociada a un nudo fijo.
Asi pues, para actualizar Z basta aplicar la Ec. 19d con la matriz bH actualizada.
La Ec. 19e da el nuevo vector bF.
Conviene mencionar por último que la actualización de bH puede ser realizada de
una forma más simple a partir de la ecuación que liga los mo,mentos en los extremos
404
R.PICON y J. CARAS
de una barra cargada con el momento M j (=-Mk) en la sección variable. Asi, realizando
el equilibrio de esfuerzos cortantes en el nudo variable n (Fig. 3) se obtiene
de donde
En general, en la Ec. 25b aparecerian, además, unos términos debidos a las cargas
equivalentes en el nudo n ; estos términos no alteran la matriz b, .
Figura 4. Leyes de esfuerzos virtuales.
405
ANALISIS PASO A PASO NO-HOLONOMICO
Ahora considérese la matriz bH que se obtuvo con los nudos variables en una posición dada (la mitad de las barras); despejemos Mi y M1 de las Ecs. 17b. La Ec. 25b
queda
)y
indica la fila i de la
más términos dependientes de las cargas externas. El simbolo (
matriz ( ). La Ec. 25c permite actualizar la fila j de la matriz bH ; la fila k es igual y
cambiada de signo. ObsCrvese que la Ec. 25c requiere, para ser válida, que NJH no
contenga secciones variables; obsérvese, asimismo, que, debido a este hecho las filas de
bH asociadas a secciones fijas son invariantes y no necesitan ser actualizadas.
Usando la Ec. 25c para actualizar b H , sólo b, requiere ser actualizada mediante el
algoritmo de triangulación; sabidas, de una primera triangulación, las columnas básicas
elegidas en C m , basta con manejar sólo esas columnas actualizadas para calcular b,
(pues las columnas de b, asociadas a variables n o básicas sólo contienen ceros).
5 ) Cálculo de los desplazamientos
Las Ecs. 16a permiten obtener los valores totales de q~ y la aplicación de las Ecs.
19g da los desplazamientos reducidos de la estructura; las Ecs. 14d, a partir de ellos,
dan los desplazamientos reales. Obsérvese que si se ha formado una rótula variable se
obtienen los desplazamientos en la nueva posición del nudo.
6) Cálculo de la nueva matriz (2)-'
Sea "n" la sección en que ha aparecido la nueva rótula. El vector AM de la Ec. 2 l a
debe ampliarse para incluir A M, (y el vector A M dejaría de incluir a la sección n).
Las Ecs. 2 1a se convertirian en
De la etapa anterior conocemos ( 2 ')-' ; ahora necesitamos calcular la inversa de la
nueva matriz 2"' de la Ec. 26. Un algoritmo para realizar dicha inversión se presentó
en 3):
R.PICON y J . CARAS
406
siendo
d,
=
1/H con H = Z,,
-
Z:
(Z')-l
Z,
(27b),(27c)
Mediante las Ecs. 27 la nueva matriz inversa para la etapa j+l es calculada sin necesidad
de invertir nuevamente una matriz. Obsérvese que si H=O, la matriz Z
es singular;
el chequeo mencionado en el paso 1) se hace mediante el valor de H.
-j+l -1
Una vez calculada ( 2 ) y redefinidos M y M el proceso sigue en el paso 1).
'+'
6) Detección del colapso o de la existencia de pseudomecanismos.
Se ha encontrado que 2
'+' es singular; el vector A 6
no puede ser despejado de las
(&$
Ecs. 26. La estructura no puede soportar incrementos de carga. Haciendo AA = O y
prescindiendo de la última fila de las Ecs. 26 obtenemos
La Ec. 28a define el supuesto modo de colapso de la estructura, en el que una de las
rotaciones plásticas puede tomar un valor arbitrario. Demosle a Ap, un valor arbitrario
unidad; obtenemos asi un supuesto vector de rotaciones de colapso
Si se cumple
ó
ello significa que las rotaciones plásticas son acordes con el signo de los momentos y se
ha llegado al colapso. El modo de colapso, pc, viene definido por &, 6 -4, según
que se cumpla la Ec. 28c o la Ec. 28d.
Si no se satisfacen las Ecs. 28c 6 28d, ello significa que ha aparecido un pseudomecanismo; tal situación se da cuando se ha alcanzado el momento plástico en un número
suficiente de secciones como para convertir a la estructura en un mecanismo, pero las
rotaciones que se producirían, en las distintas secciones, al moverse la estructura como
un mecanismo no son. acordes con el signo de los momentos que actúan en ellas.
rV
-
407
ANALISIS PASO A PASO NOHOLONOMICO
Se deduce que en el instante mismo de empezar a moverse la estructura como mecanismo se producirfa una descarga y la estructura recuperarfa su capacidad portante.
Por tanto hay que investigar que rótulas se descargan de entre el conjunto de las que
definen el pseudomecanismo; seguir en 7).
7) Detección de las secciones que sufren descarga
Sea ahora A un conjunto de secciones plastificadas de entre las que debemos
investigar cuales se descargan; dicha situación puede aparecer en una etapa normal del
programa (paso 2)) o cuando se de un pseudomecanismo (paso 6))
En cualquier caso las rótulas que se descargan se obtienen de la solución del siguiente
problema
,
AM =
AM,
AP,
bp + i a;
=
O
(294
(294
en el que el superfndice + (-) está asociado a las componentes de M y p que están en
la cota superior (inferior). Obsérvese que se ha hecho AA = 1 ; en efecto, buscamos la
solución de las Ecs. 29 para un A X positivo arbitrario, que se ha tomado la unidad.
El problema definido por las Ecs. 29 es un Problema Lineal Complementario que,
alternativamente, puede formularse como un probjema equivalente de Programación
Cuadráticalo En el método que proponemos aquf, la descarga se ha detectado en
la forma que se describe a continuación.
Si se trata de un pseudomecanismo, calculamos el trabajo plástico de deformación;
admitimos que los signos correctos de*$, (Ec. 29b) son aquellos que dan un trabajo
plástico positivo. Asf pues evaluamos M (e,; si es positivo, los$, permanecen como
están, y si es negativo, hacemos$, = -4,. Ahora, las secciones que se suponen sufren
descargas son aquellas en las que el signo del momento no es acorde con el de 4,. Si
v es un índice que recorre las secciones descargadas, será
Si se trata de una descarga en una etapa normal (paso 2)) admitimos que se descargan las secciones en las cuales el momento y los incrementos de rotaciones n o sean
concordantes en signo, es decir
Esta forma de detectar las descargas ha funcionado correctamente en todos los casos
resueltos.
Si las rótulas descargadas corresponden todas a secciones fijas, seguir en 9);si alguna
es variable seguir en 8).
408
R.PICON y J. CARAS
8) Plastificaciones no coincidentes en secciones variables.
Sometida una estructura a un programa de carga no proporcional es posible que una
sección variable plastifique, se descarge y vuelva luego a producirse plastificación
en una posición diferente a la inicial. Como la idea del algoritmo propuesto es disponer
secciones en los puntos plastificados, se hace necesario tratar una barra que contenga
una deformación plástica en alguna sección intermedia. Asi. considkrese la barra de la
Fig. 5a, sometida a una carga repartida, en la que inicialmente se produce la plastificación de las secciones variables, que distan w, del nudo i. Definamos la deformación
plástica total en el nudo variable como
(de hecho, el algoritmo descrito sólo asignará rotaciones plásticas en una de las dos
secciones); admitamos ahora que esa sección plastificada se descarga y, en una etapa
posterior, vuelve a producirse una plastificación en la posición definida por w, (Fig. 5b).
Las ecuaciones de equilibrio, compatibilidad y comportamiento incrementales siguen
siendo válidas en la barra ij, pues las secciones g y h pasan a comportarse como elásticas
a partir del instante de la descarga. La ley de comportamiento que da los valores totales
de q, (Ecs. 16a), sin embargo, debe ser corregida para tener en cuenta el efecto de la
deformación plástica intermedia p,. Para estudiar este efecto, consideremos la barra ij
de la Fig. 5b, sometida únicamente a una discontinuidad de rotación plásticap,, a una
distancia w, del nudo i, como se muestra en la Fig. 6. Evidentemente las deformaciones
producidas por la deformación plástica intermedia valen
Figura 5. Secciones variables no coincidentes.
ANALISIS PASO A PASO NO-HOLONOMICO
409
Figura 6. Deformación Plástica intermedia.
Este termino deberá ser añadido a los del segundo miembro de las Ecs. 16a para
corregir la ley de comportamiento. Las deformaciones q, así obtenidas permiten
obtener el valor correcto de los desplazamientos del nudo n (Fig. 5b) mediante las
Ecs. 19g. Así pues, si se descarga una rótula variable, se guardarán los valores w, y
p, para el caso en que suceda una plastificación en una sección diferente. El proceso
sigue en el paso 9).
9) Algoritmo de descargas.
Admitamos que el conjunto de secciones v, dadas por la Ec. 30a o la Ec. 30b, sufren
descarga; evidentemente, debemos ahora calcular la matriz inversa de una matriz
deducida de la última matriz Z de que disponíamos, pero eliminándole las filas y
columnas asociadas al conjunto v, cuyas variables deben pasar a forma parte del
conjunto M. El metodo que aquí proponemos para calcular esa nueva matriz inversa
está basado en la aplicación inversa del algoritmo descrito en las Ecs. 27. Así, consideremos una sección genérica v del conjunJo de secciones que se descargan y escribamos
las relaciones entre las matrices 2''l y Z1
R.PICON y J. CARAS
410
Observemos ahora que de la Ec. 27e puede obtenerse la inversa de la etapa anterior
; en efecto
a partir de la inversa actual (2'")-'
Cambiando en (z'+')-'
la fila v por la-n (Últjma en formarse), y luego la columna v
por la n se obtendrian, como vectores p y M , los vectores asociados a las secciones
l..n..v, en vez de los asociados a las secciones l..v..n. Las matrices de las Ec. 33b se
convertirian en otras matrices diferentes. Si ahora aplicamos la Ec. 33c con dichas
nuevas matrices y vectores, obtendriamos la inversa de una matriz derivada de la matriz
2''' cambiando en esta las filas y columnas v y n y eliminando la última fila y columna, asociada a la sección v. El proceso descrito se aplica sucesivamente para todas las
secciones del conjunto v. Con este algoritmo evitamos la inversión de nuevas matrices.
Una vez agotado el conjunto v el proceso continúa en el paso 1).
Un diagrama de bloques aclaratorio del proceso descrito se muestra en la Fig. 7
1
LECTURA DE DATOS
¡
LAS ROTULAS VARIABLES
se SITUAN EN LA [ I ~ T A D
CALCULO DE bo,
d:,
Pseudomecanismo
CALCULO DE
81)
DE CARGA?
DETECCION DE ROTULAS
1
GADA E S V A R I A D L C ?
SI
GUARDAR w
---
--
11
a. Pa
f
CONJUNTO v COWLETO?
7TOPAR EL S I G U I E N T E
1IXSULTAM)S DE
>:\ CTAPA
J
Figura 7. Diagrama de bloques del proceso incremental.
ANALISIS PASO A PASO NO-HOLONOMICO
41 1
EJEMPLO
1.2X
C
1
:
1
1
Figura 8. Ejemplo. Geometría y Cargas.
MATRIZ
;:
DE
LIBERTAD
u,
v,
u,
v,
0
0
1
0
0
1
O
0
O
0
1
0
1
v,
0
-1
rNt
GRADOS
u,
a,
a,
IgQ DE
FILAS.
I
b
o
0 - 1
o
1
0
0
0
0
0
a,
I
I
0
0
0
1
0
0
~
1
0
1
0
1
0
~
t-b
I
I
I
-uT
uT
-r
m
1
0
0
1 0
1
O
1 0
o
1
O.
O.
I
O -.6
O
42
1 -.6
O.
1
Tabla 1. Magnitudes asociadas a los nudos.
r
1
4 12
R.PICON y J . CARAS
Considerese la estructura de la Fig. 8, de geometria y cargas las mostradas, y en la
que E = I = M,, = 1 para todas las barras. Aplicando la Ec. 5b para todas las barras
se obtiene la matriz c:,, que se muestra en la Tabla 1. La descomposición indicada por
las Ecs. 6 da la matriz U: y la U:, de las cuales la primera se muestra en la Tabla 1;
añadiendo la matriz U: tenemos la matriz U (obsérvese que U, es una matriz identidad,
que no necesita ser almacenada).
Aplicando la Ec. 10 a las columnas de U, y U, obtenemos la matriz Cm que se
muestra en la Tabla 2. (Ver Ecs. 17a). Triangulando Cm obtenemos la matriz t m ,
convirtiendose la matriz 1, en la i m ; observese cómo las secciones variables (4 y 6)
son básicas. A partir de ahf, es inmediato calcular b, y bm(Ecs. 17b). Nótese que bm
tiene ceros en las columnas no básicas por lo que para obtenerla nuevamente si cambia
Cm basta manejar las columnas básicas de ésta.
Tabla 2. Magnitudes asociadas a las barras.
ANALISIS PASO A PASO NO-HOLONOMICO
413
El vector equivalente de cargas concentradas KF, se muestra en la última fila de la
Tabla 1. Usando la Ec. 13 obtendrfamos Km y las Ecs. 19b, 19d y 19e dan bF (que se
muestra al final de la Tabla 2) y Z. Obsérvese que no es necesario almacenar Z completa
para formar b,; formando la fila i de Z mediante la Ec. 19d, la Ec. 19c permite
obtener el termino i de bF; posteriormente en elAalgoritmoincremental, sólo se irán
necesitando las filas de Z asociadas al conjunto M ; dichas filas pueden irse construyendo a medida que se necesiten.
Tabla 3. Resultados de las iteraciones.
En la Tabla 3 se describen las distintas etapas. La primera corresponde a la resolución
elástica de la estructura; a la vista de bF, la primera rótula se forma en la sección 5
(el A A que forma una rótula variable, obtenido de la Ec. 24c, A A, es 3.39). En la
etapa 2 sólo desarrolla rotación la sección 5. La columna 5 de la matriz Z es(traspuesta)
414
R. PICON v J . CARAS
luego 2, valdrá -31140. La Ec. 27c da H (igual a Z, en este caso) y la Ec. 27a da la
nueva inversa. No existe descarga, como se puede ver comparando X I (Ecs. 23) con
M,. Aplicando las Ecs. 24b se obtiene AA = .117 (AAd = 0.798), formándose la nueva
rótula en la sección 7. En la tercera etapa desarrollan rotaciones las secciones 5 y 7,
que forman el conjunto S; la estructura no es un mecanis-mo (H # O) y la nueva inversa
se obtiene nuevamente mediante las Ecs. 27 a partir de (Z2)-1 y de la columna 7 de Z,
que se genera mediante la Ec. 19d; dicha columna es
Ahora, el menor AA que provoca el momento plástico en una sección fija vale
AA = 0.6 1, en la sección 4 (supuesta fija); sin embargo, de la Ec. 24c se obtiene
AA = 0.5746 para una distancia w = w' = 0'881 1 (Ec. 24d). Por tanto se forma una
rótula variable y hay que actualizar las matrices de cálculo. La Ec. 25c con w = 0.88 11,
i = 3, p = 5, permite actualizar (bH)4 = (-.55945 .44055.0); además, (b, )S =
-(bH)4 con lo que podemos ya calcular la nueva fila 4 de Z, que es
En cuanto a la nueva matriz b,, para su cálculo sólo se requiere actualizar Cm ;
esto se traduce en que la primera fila de Cm se convierte en
(O. O. -1.135 -1.135 0.8937 0.8937 O O)
Usando las columnas 1, 2, 4, 6 y 8 de Cm y realizando la triangulación (Ecs. 17a y
17b) obtenemos la nueva matriz bm , cuyas filas 4 y 6 son, respectivamente
(-0.493
O. O. 0.4405 O.)
( 0.493 O. O. 0.5595 O.)
Podemos plantear ya la cuarta etapa, calculando la matriz z asociada a las secciones
5, 7 y 4; nuevamente, se encuentra que la estructura no es un mecanismo (H # O) y
que no hay descarga. Al plantear la etapa cinco, se encuentra que H = O (dentro de
una cierta tolerancia); como se cumple la Ec. 28c el vector dado por la Ec. 28b representa el mecanismo de colapso, que se muestra en la última fila de la Tabla 3.
Conviene hacer notar, por último, que cuando en etapas intermedias del proceso se
forma una rótula variable la ley final de momentos obtenida es, estrictamente hablando,
insegura. Ello es debido a que la superposición de dos funciones cuadráticas, una con
el máximo en una determinada sección (ley de momentos en una barra cargada en
el instante de formarse una rótula variable) y la otra con un cero en la misma sección
(incrementos de momentos en 'la etapa siguiente) desplaza levemente el punto de
máximo. Sin embargo, tal efecto es siempre despreciable. Asi, la solución final del
ejemplo propuesto da el momento máximo para un valor de w = 0.89086 y el valor
ANALISIS PASO A PASO NO-HOLONOMICO
415
del momento máximo es 1.0001547. Ello hace que las soluciones de un mismo
problema por un método paso a paso y por un metodo directo puedan no ser exactamente coincidentes. Asi, la resolución del ejemplo propuesto por un metodo directo!
dá un valor de la carga de colapso de 2.70967, siendo la posición de la rótula w =
0'89087.
REFERENCIAS
1. M.Z. Cohn y A. Franchi, "STRUPL: 'A Computer System for Structural Plasticity". Engineering
Plasticity by Mathematical Programming. Proc. of the NATO Advanced Institute, (1977).
2. J. Cañas y R. Picón, "Análisis Límite de Estructuras Planas Sometidas a Cargas Repartidas".
Anales de Ingeniería Mecánica, Año 1, n? 1, (1 983).
3. A. Franchi y M.Z. Cohn, "Computer Analysis of Elastic-Plastic Structures". Computer Methods
in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 21, (1980).
4. R.K. Livesley, "The Selection of Redundant Forces in Structures, with an Application to the
Collapse Analysis of Framewords". Proc. Roy. Soc. A. Vol. 301, (1967).
5 . R.K. Livesley, "Matrix Methods of Structural Analysis". Pergamon Press, 2nd Ed., (1975).
6. V.B. Watwood, "Mechanism Generation for Limit Analysis of Frames". Journal of the Structural
División (ASCE), Vol. 109, ST1, (1979).
7. D.H.Nguyen, "CEPAO-an Automatic Program for Rigid-Plastic and Elastic-Plastic Analysis and
Optimization of Frame Structures". Engineering Structures, Vol. 6 , n? 1, (1 984).
8. R. Picón, J. Cañas y F. Medina, "Cálculo Plástico de Estructuras Planas Mediante Ordenador".
Anales dezngenieria Mecánica, Año O , n? 2, (1982).
9. 0 . De Donato, "Fundamentals of Elastic-Plastic Analysis" Proc. of the NATO Advanced Institute,
(1977).
10. R.W. Cottle, ''Fundamentals of Quadratic Programming and Linear Complementarity". Engineering Plasticity by Mathematical Programming. Proc. of the NATO Advanced Institute, (1977).