Cálculo de la dirección de la salida del Sol - UAM-I

C¶alculo de la D irecci¶on de la Salida del Sol
R o g e lio Fe r n a¶ n d e z A lo n s o Go n z ¶a le z
D e p a r t a m e n t o d e Ma t e m a¶ t ic a s , CB I, U A M-I.
En este trabajo se encuentra una f¶ormula para determinar la direcci¶on de salida (y como consecuencia la
de puesta) del Sol, desde cualquier punto sobre la super¯cie terrestre y en cualquier fecha del a~
no. Para efectos pr¶acticos puede suponerse que la super¯cie terrestre es una esfera de radio uno, y que la
orbita de la Tierra es un c¶³rculo con el Sol en su cen¶
tro. Se asociar¶a la fecha del a~
no con el ¶
angulo µ
que forma la l¶³nea que une la Tierra al Sol en la posici¶
on dada, medido a partir de la posici¶on correspondiente al equinoccio de primavera en el hemisferio Norte (aproximadamente el 21 de marzo); en este caso µ = 0± . As¶³ µ = 90± en el solsticio de verano, µ = 180± en el equinoccio de oto~
no y µ = 270±
en el solsticio de invierno. En la Figura 1 dichas posiciones est¶
an marcadas con las letras P, V, O e I.
el ¶
angulo ±1 , medido desde nuestro punto de observaci¶
on, sobre el plano del horizonte, a partir de la direcci¶
on Este (en cuyo caso ±1 = 0± ), hacia la direcci¶
on de salida del Sol. Se demostrar¶
a que dicho
angulo es igual al ¶
¶
angulo ±2 medido a partir de la direcci¶
on Oeste (±2 = 0± ) hacia la direcci¶
on de la puesta del Sol.
Es sabido que el eje de rotaci¶
on de la Tierra tiene una posici¶
on (que podemos considerar ¯ja para
efectos pr¶
acticos) que forma un ¶
angulo de 23.5± respecto a una l¶³nea perpendicular al plano de la ¶orbita
terrestre (ecl¶³ptica). Este es el hecho que implica
que los rayos solares no lleguen de la misma manera a un punto determinado sobre la super¯cie terrestre en distintas fechas del a~
no.
En vez de considerar un sistema de referencia como el de la Figura 3, donde la Tierra se mueve alrededor del Sol y el eje de rotaci¶
on est¶
a ¯jo, se considerar¶
a un sistema tridimensional de coordenadas cartesianas, cuyo origen est¶
a situado en el centro de la
Tierra. Los ejes x; y; z se nombran de la manera convencional. El Sol est¶
a ¯jo en un punto lejano sobre la
parte positiva del eje y, de tal forma que los rayos solares son siempre paralelos al plano xy, el cual representar¶
a el plano de la ecl¶³ptica. El plano xz representar¶
a la divisi¶
on entre el d¶³a y la noche sobre la super¯cie terrestre. Ya que la rotaci¶
on terrestre se realiza de Oeste a Este, en los puntos de la Tierra que
se encuentren sobre el plano xz estar¶
a en ese momento amaneciendo o atardeciendo, seg¶
un su coordenada x sea positiva o negativa, respectivamente.
F ig ura 1 .
Si d es el n¶
umero de d¶³as transcurridos a partir del
u
¶ltimo equinoccio de primavera en el hemisferio norte, µ puede obtenerse en grados por la f¶ormula
µ=
El movimiento circular de la ¶
orbita terrestre est¶a representado en el nuevo sistema de referencia por un
movimiento circular del eje de rotaci¶
on terrestre alrededor del eje x, de tal forma que el ¶
angulo entre ambos ejes es el ¶
angulo ¯jo Á0 . El ¶
angulo µ es justamente el ¶
angulo que forma la proyecci¶
on del eje de rotaci¶
on sobre el plano xy, medido a partir del eje x, con
la direcci¶
on positiva convencional (de hecho, para corresponder a esta convenci¶
on se consider¶
o µ en el sentido negativo en la Figura 1). En la Figura 5 se muestran las cuatro posiciones en el nuevo sistema de referencia que corresponden a los dos equinoccios y a
los dos solsticios. Obs¶ervese c¶
omo el eje de rota-
360 d
:
365:25
Denotemos por ¸ la latitud a la que se encuentra
nuestro punto de observaci¶on (PO) en la super¯cie
terrestre. En vez de considerar latitud Norte y latitud Sur, se medir¶a ¸ como positivo o negativo, respectivamente. Se llegar¶a entonces a una f¶
ormula
donde se obtenga, en t¶erminos de los ¶angulos µ y ¸,
17
18
ContactoS 32, 17{25 (1999)
F ig ura 2 .
Figura 3.
Figura 4.
C¶
alculo de la Direcci¶on de Salida del Sol. Rogelio Fern¶
andez Alonso Gonz¶
alez.
F ig ura 5 .
19
20
ContactoS 32, 17{25 (1999)
ci¶
on se encuentra sobre el plano xz en los equinoccios y sobre el plano yz en los solsticios.
El ¶
angulo ±1 que buscamos es el ¶angulo entre el vector unitario j = h0; 1; 0i (que apunta en la direcci¶
on del Sol) y un vector e1 que apunta en la direcci¶
on Este a partir del punto de observaci¶on en el
amanecer (P1 en la Figura 4), sobre el plano del horizonte, es decir, sobre el plano tangente a la esfera terrestre en el punto P1 . Para encontrar dicho ¶
angulo ±1 necesitamos las coordenadas del vector e1 , el cual se encuentra tanto sobre el plano PP
que atraviesa la Tierra en el paralelo correspondiente a la latitud ¸, como sobre el plano del Horizonte P H. As¶³ pues, el vector e1 ser¶a ortogonal a un vector normal al plano P P (es decir, un vector paralelo al eje de rotaci¶on) y tambi¶en ser¶a ortogonal a un
vector normal al plano P H. Por lo tanto e1 puede obtenerse como el producto cruz de ambos vectores normales. Dichos vectores pueden ser aquellos cuyas coordenadas son los puntos PN (el Polo Norte) y P1 (el punto de observaci¶on al amanecer), respectivamente. A estos vectores les llamaremos pn y p1 .
Las coordenadas esf¶ericas del Polo Norte son
(1; Á0 ; ±) en una fecha correspondiente al ¶
angulo
µ.
Sus coordenadas cartesianas, que pueden obtenerse mediante las f¶ormulas de conversi¶
on a partir de las coordenadas esf¶ericas,
son (sin µ0 cos µ; sin ¼0 sin µ; cos ¼0 ), a las que llamaremos simplemente (a, b, c). Podemos encontrar la ecuaci¶on de un plano en el espacio a partir de un vector normal a dicho plano y de un punto sobre el plano. Como el vector es normal al plano PP, s¶olo necesitamos un punto sobre este plano para encontrar su ecuaci¶
on. Un punto con esta caracter¶³stica es el centro del c¶³rculo paralelo correspondiente a la latitud ¸, nombrado C en la Figura 6. Esta ¯gura muestra la secci¶on transversal de la esfera terrestre sobre el plano que contiene al eje de rotaci¶
on y al eje z.
El punto C tiene coordenadas esf¶ericas (sin ¸; ¼0 ; µ).
Por lo tanto, sus coordenadas cartesianas son
(sin ¸¼0 cosµ; sin ¸ sin ¼0 sin µ; sin ¸ cos ¼0 ), es decir, (a sin ¸; b sin ¸; c sin ¸). La ecuaci¶on del plano PP resulta entonces:
ax + by + cz = sin ¸:
Cuando consideramos la intersecci¶on entre el plano PP, el plano xz y la esfera terrestre, se obtienen en general dos puntos. Uno de ellos es el punto P1 (el punto de observaci¶on al amanecer), y el otro
es el punto P2 (que puede considerarse como el mismo punto de observaci¶
on al atardecer). Las coordenadas de ambos puntos pueden obtenerse como
las soluciones del sistema de tres ecuaciones con tres
inc¶
ognitas:
8
< ax + by + cz
y
: 2
x + y2 + z2
= sin ¸
=
0
=
1
que se reduce al sistema de dos ecuaciones con dos
inc¶
ognitas:
½
ax + cz
x2 + z 2
= sin ¸
(¤)
=
1
Las dos soluciones obtenidas son:
p
a sin ¸ § c a2 + c2 ¡ sin2 ¸
x=
a2 + c2
p
c sin ¸ ¨ a a2 + c2 ¡ sin2 ¸
z=
a2 + c2
Ya que seg¶
un nuestro sistema de referencia el punto
P1 tiene una coordenada x mayor que el punto P2 ,
las coordenadas de ambos puntos son P1 (®1 ; 0; °1 ) y
P2 (®2 ; 0; °2 ), donde :
p
a sin ¸ + c a2 + c2 ¡ sin2 ¸
®1 =
a2 + c2
p
c sin ¸ ¡ a a2 + c2 ¡ sin2 ¸
°1 =
a2 + c2
p
a sin ¸ ¡ c a2 + c2 ¡ sin2 ¸
®2 =
a2 + c2
p
c sin ¸ + a a2 + c2 ¡ sin2 ¸
°2 =
a2 + c2
Efectivamente resulta que ®1 ¸ ®2 , puesto que
c = cos ¼0 > 0. Obs¶ervese que el sistema (*) no tiene soluci¶
on si y s¶
olo si a2 + c2 < sin2 ¸. Esta situaci¶
on corresponde a los puntos sobre la Tierra,
muy cercanos a los polos, donde en una fecha determinada siempre es de d¶³a o de noche (as¶³ que
en dichos puntos no tiene sentido preguntarse por
d¶
onde amanece o atardece). Cuando se da la igualdad a2 + c2 = sin2 ¸, el sistema (*) tiene soluci¶on
u
¶nica:
C¶
alculo de la Direcci¶on de Salida del Sol. Rogelio Fern¶
andez Alonso Gonz¶
alez.
21
Figura 6.
a
® = sin
¸
¸ = sinc ¸
En este caso, el punto P(®; 0; °) representar¶³a un lugar sobre la Tierra donde en una determinada fecha el Sol apenas toca el horizonte, para seguir siendo de d¶³a, o de noche.
Por lo tanto, el ¶
angulo ±1 que buscamos, entre los
vectores e1 y j, es tal que:
cos ±1
=
Si analizamos m¶as detenidamente la desigualdad
a2 + c2 · sin2 ¸, descubrimos que en realidad se necesita estar muy cerca de los polos para observar estas situaciones tan extra~
nas para la mayor¶³a de los
habitantes del planeta. De hecho:
a2 + c2 · sin2 ¸ ,
sin2 Á0 cos2 µ + cos2 Á0 · sin2 ¸ ,
cos2 µ ¸
sin2 ¸ ¡ cos2 Á0
sin2 Á0
Esto s¶
olo puede tener sentido cuando sin2 ¸ ¸
2
cos Á0 , es decir, cuando j ¸ j¸ 66:5± . Por lo tanto, en la mayor parte del planeta, para latitudes menores de 66.5± se tienen dos soluciones para el sistema (*).
Como hab¶³amos dicho anteriormente, el vector e1
es el vector tangente al c¶³rculo del paralelo sobre el
plano PP en el punto P1 , y representa la direcci¶
on
Este desde P1 . Este vector puede obtenerse como el
siguiente producto cruz:
e1
= ¯pn £ p1
¯
¯ i j k ¯
¯
¯
= ¯¯ a b c ¯¯
¯ ®1 0 ° 1 ¯
= hb°1 ; ®1 c ¡ a°1 ; ¡®1 bi
=
=
e1 ¢ j
ke1 k
®1 c ¡ a°1
q
2
b + (®1 c ¡ a°1 )2
r
a2 + c2 ¡ sin2 ¸
1 ¡ sin2 ¸
La primera igualdad es la f¶
ormula del ¶
angulo entre
dos vectores utilizando el producto punto de ellos.
La segunda igualdad se obtiene considerando que
alpha1 2 + °1 2 = 1 se obtiene sustituyendo los valores obtenidos de ®1 y de °1 , y simpli¯cando la expresi¶
on.
Ahora consideremos el vector e2 , tangente al c¶³rculo
del paralelo sobre el plano PP en el punto P2 , y
que representa la direcci¶
on Este desde el punto P2
(por lo tanto el vector ¡e2 representar¶³a la direcci¶on
Oeste desde P2 ). Dicho vector se obtiene mediante
el producto cruz:
e2
= pn
¯ £ pi
¯
¯ i j k ¯
¯
¯
= ¯¯ a b c ¯¯
¯ ®2 0 ° 2 ¯
= hb°2 ; ®2 c ¡ a°2 ; ¡®2 bi
22
ContactoS 32, 17{25 (1999)
El ¶
angulo ±2 , entre los vectores ¡e2 y j es tal que:
cos ±2
=
=
=
¡e2 ¢ j
ke2 k
q ¡®2 c + a°2
b2 + (®2 c ¡ a°2 )2
r
a2 + c2 ¡ sin2 ¸
1 ¡ sin2 ¸
Esto signi¯ca que ±1 = ±2 . A dicho ¶angulo le llamaremos simplemente ± (ver Figura 2). Sustituyendo los
valores de a y c, obtenemos la siguiente f¶ormula para ±:
±
= arccos
= arccos
r
r
a2 + c2 ¡ sin2 ¸
1 ¡ sin2 ¸
sin2 ¼0 cos2 µ + cos2 ¼0 ¡ sin2 ¸
1 ¡ sin2 ¸
Recordemos que esta f¶ormula s¶olo tiene sentido para latitudes menores o iguales a los 66.5± , debido a
que siempre da valores positivos para ±, al aplicarla debemos recordar las convenciones mostradas en
la tabla 1.
En las Tablas 2 y 3 se ha calculado el ¶angulo ± mediante la f¶
ormula obtenida, para diversos valores de
µ correspondientes a diversas ¶epocas del a~
no, y para diversas latitudes, en intervalos de 10± .
En Gr¶
a¯cas 1 se observa una gr¶
a¯ca por cada latitud ¸ especi¯cada en las tablas anteriores. Las Tablas 4 y 5 muestran la misma informaci¶
on que las
tablas anteriores para algunas ciudades importantes del mundo que se encuentran en diversas latitudes. En Gr¶
a¯cas 2 se observa una gr¶
a¯ca por cada una de las ciudades consideradas. En ambos grupos de gr¶
a¯cas cada curva representa el ¶
angulo delta
como funci¶
on de la ¶epoca del a~
no, dada por theta.
Se considera delta como positivo si se mide en direcci¶
on Noreste, y negativo si se mide en direcci¶
on Sureste.
Bibliograf¶³a
1. Thomas, George B., y Finney, Ross L., Calculus
and Analytic Geometry. 8± Edici¶
on, AddisonWesley, USA, 1992.
2. Goth, George, The Magnitudes of Physics, The Physics Teacher.
December
1996 American Association of Physics Teachers, USA.
http://giseis.alaska.edu/Seis/Input/
lahr/magphys.html#top
3. Look-Up Latitude and Longitude
http://www.bcca.org/misc/qiblih/latlong.html
cs
C¶
alculo de la Direcci¶on de Salida del Sol. Rogelio Fern¶
andez Alonso Gonz¶
alez.
23
Tabla 1. Convenciones para la medici¶
on de ±.
Epoca del a~
no (hemisferio Norte) Direcci¶
on de salida del sol Direcci¶
on de puesta del sol
Del equinoccio de primavera
al equinoccio de oto~
no:
± se mide hacia el Sureste
±se mide hacia el Suroeste
(0± < µ < 180± )
Del equinoccio de oto~
no
al equinoccio de primavera:
± se mide hacia el Noreste
± se mide hacia el Noroeste
(180± < µ < 360± )
Tabla 2. Direcciones de salida del sol para diversas latitudes en diversas ¶epocas del a~
no
(del equinoccio de primavera al equinoccio de oto~
no).
µ=
0±
30±
45±
60±
90±
120±
135±
150± 180±
Latitud
Direcci¶
on sureste
0±
0± 11.5± 16.3± 20.2± 23.5± 20.2± 16.3± 11.5±
0±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
10
0
11.7
16.6
20.5
23.8
20.5
16.6
11.7
0±
20±
0± 12.2± 17.4± 21.5± 25.1± 21.5± 17.4± 12.2±
0±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
30
0
13.3
19.0
23.5
27.4
23.5
19.0
13.3
0±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
40
0
15.0
21.5
16.7
31.3
16.7
21.5
15.0
0±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
50
0
18.0
26.0
32.4
38.3
32.4
26.0
18.0
0±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
60
0
23.5
34.3
43.6
52.7
43.6
34.3
23.5
0±
Tabla 3. Direcciones de salida del sol para diversas latitudes en diversas ¶epocas del a~
no
(del equinoccio de oto~
no al equinoccio de primavera).
µ=
180± 210±
225±
240±
270±
300±
315±
330± 360±
Latitud
Direcci¶
on Noreste
0±
0±
11.5± 16.3± 20.2± 23.5± 20.2± 16.3± 11.5±
0±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
10
0
11.7
16.6
20.5
23.8
20.5
16.6
11.7
0±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
20
0
12.2
17.4
21.5
25.1
21.5
17.4
12.2
0±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
30
0
13.3
19.0
23.5
27.4
23.5
19.0
13.3
0±
40±
0±
15.0± 21.5± 16.7± 31.3± 16.7± 21.5± 15.0±
0±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
50
0
18.0
26.0
32.4
38.3
32.4
26.0
18.0
0±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
60
0
23.5
34.3
43.6
52.7
43.6
34.3
23.5
0±
24
ContactoS 32, 17{25 (1999)
Gr¶a¯cas 1. ± como funci¶on de µ, para diversos valores espec¶³¯cos de ±.
Tabla 4. Direcciones de salida del sol para diversas ciudades del mundo en diversas ¶epocas
(del equinoccio de primavera al equinoccio de oto~
no).
±
±
±
±
±
±
0
30
45
60
90
120
135±
150±
Ciudad
Direcci¶
on Sureste
Bogot¶
a (4.6± N)
0± 11.5± 16.4± 20.2± 23.5± 20.2± 16.4± 11.5±
Helsinki (60.2± N)
0± 23.6± 34.5± 43.9± 53.2± 43.9± 34.5± 23.6±
±
M¶
exico (19.4 N)
0± 12.2± 17.4± 21.4± 25.0± 21.4± 17.4± 12.2±
±
N. York (40.8 N)
0± 15.2± 21.8± 27.1± 31.7± 27.1± 21.8± 15.2±
±
Par¶³s (48.8 N)
0± 17.6± 25.3± 31.6± 37.2± 31.6± 25.3± 17.6±
±
Punta Arenas (53.2 S) 0± 19.4± 28.0± 35.1± 41.6± 35.1± 21.0± 19.4±
Sidney (33.9± S)
0± 13.9± 19.8± 24.5± 28.7± 24.5± 19.8± 13.9±
±
Tokio (35.7 N)
0± 14.2± 20.3± 25.1± 29.3± 25.1± 20.3± 14.2±
del a~
no
180±
0±
0±
0±
0±
0±
0±
0±
0±
C¶
alculo de la Direcci¶on de Salida del Sol. Rogelio Fern¶
andez Alonso Gonz¶
alez.
Tabla 5. Direcciones de salida del sol para diversas ciudades del mundo en diversas ¶epocas del a~
no
(del equinoccio de oto~
no al equinoccio de primavera).
180± 210±
225±
240±
270±
300±
315±
330± 360±
Ciudad
Direcci¶
on Noroeste
Bogot¶a (4.6± N)
0±
11.5± 16.4± 20.2± 23.5± 20.2± 16.4± 11.5±
0±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
Helsinki (60.2 N)
0
23.6
34.5
43.9
53.2
43.9
34.5
23.6
0±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
M¶exico (19.4 N)
0
12.2
17.4
21.4
25.0
21.4
17.4
12.2
0±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
N. York (40.8 N)
0
15.2
21.8
27.1
31.7
27.1
21.8
15.2
0±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
Par¶³s (48.8 N)
0
17.6
25.3
31.6
37.2
31.6
25.3
17.6
0±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
Punta Arenas (53.2 S)
0
19.4
28.0
35.1
41.6
35.1
21.0
19.4
0±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
Sidney (33.9 S)
0
13.9
19.8
24.5
28.7
24.5
19.8
13.9
0±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
Tokio (35.7 N)
0
14.2
20.3
25.1
29.3
25.1
20.3
14.2
0±
Gr¶a¯cas 2. ± como funci¶
on de µ, para diversas ciudades del mundo.
25