Multiplicar con rectas

 Revista Digital:
Reflexiones y Experiencias Innovadoras en el Aula.
ISSN 1989-2152
DEP. LEGAL: GR 2327/2008 Nº-34 – SEPTIEMBRE DE 2011
“Multiplicar con rectas”
AUTORIA
INMACULADA GIL LEÓN Y JUAN PORTERO BELLIDO
TEMÁTICA
MATEMÁTICAS
ETAPA
ESO
Resumen
Multiplicar con rectas consiste en una novedosa e intuitiva técnica, que animamos a los
profesores a utilizar, para enseñar a nuestros alumnos a realizar productos de números
naturales de forma rápida y divertida, sin usar las tablas de multiplicar.
Consiste en un método gráfico que utiliza para realizar multiplicaciones únicamente rectas
paralelas y perpendiculares, y sus intersecciones.
Palabras clave
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Matemáticas.
Números Naturales.
Multiplicación / Producto.
Rectas / Líneas / Rayas.
Paralelas.
Perpendiculares.
Puntos.
Intersección.
Técnica.
Novedad.
Mayas.
Cifras.
Gráfica.
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1. UN POCO DE HISTORIA:
Esta novedosa técnica para realizar multiplicaciones de números naturales mediante el uso de rectas que
explicaremos a continuación, está basado en “El principio Tzeltal” de las antiguas matemáticas mayas.
Los mayas fueron un pueblo sedentario que se ubicaba geográficamente en el territorio del sureste de México,
Guatemala, y otras zonas de Mesoamérica. Desarrollaron una cultura notable, donde construyeron grandes templos y
ciudades, así como sus monumentos más importantes: las pirámides.
Hicieron observaciones astronómicas muy precisas. Sus diagramas de los movimientos de la Luna y los planetas
son iguales o superiores a los de cualquier otra civilización coetánea.
Los mayas idearon un sistema de numeración vigesimal (de base 20),
como un instrumento para medir el tiempo y no para hacer cálculos
matemáticos. Por ello, los números mayas tienen que ver con los días, meses y
años, y con la manera en que organizaban el calendario.
Esta civilización tenía tres modalidades para representar gráficamente
los números, del 1 al 19, así como del cero: un sistema numérico de puntos y
rayas; una numeración cefalomorfa; y una numeración antropomorfa, mediante
figuras completas.
Los tres símbolos básicos eran el punto, cuyo valor es uno; la raya, cuyo
valor es cinco; y el caracol, cuyo valor es cero. Los mayas idearon un sistema de
base 20, con el 5 como base auxiliar. La unidad se representa por un punto.
Dos, tres, y cuatro puntos sirven para 2, 3 y 4. El 5 era una raya horizontal, a la
que se añaden los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se
usaban dos rayas, y de la misma forma se continúa hasta el 20, con cuatro
rayas (véase la figura). Los números pueden escribirse tanto de manera
horizontal como de manera vertical.
Como es fácil de suponer, este sistema de numeración es aditivo, pues se suman los valores de los símbolos para
conocer el número representado.
2. MULTIPLICACIÓN CON RECTA DE NÚMEROS NATURALES:
I.
DEMOSTRACIÓN TEÓRICA:
El método de la multiplicación con rectas consiste en la colocación de rectas paralelas y perpendiculares, donde
cada dígito indica el número de rectas representadas, de la siguiente forma:
Tomamos el multiplicando, colocamos las rectas de izquierda a derecha, de forma oblicua; si tenemos un 1 una
recta, para un 2 dos rectas, y así sucesivamente. Realizamos la misma operación con el multiplicador, pero colocando las
rectas perpendiculares a las anteriores.
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Posteriormente, dibujamos unas líneas de puntos, que llamaremos líneas de separación, cuya función es la de
separar cada dígito del número resultante, en unidades, decenas, centenas, etc.
Finalmente contamos los puntos de intersección de cada región, sumándolos por columnas y dando lugar al
resultado requerido.
Nos podemos ayudar de un ejemplo para entenderlo mejor: 32 x 21.
Utilizando nuestro sistema tradicional, calcularíamos el producto 32 x 21 de la siguiente forma:
Ahora lo calculamos con el sistema de la multiplicación por rectas, que detallaremos paso a paso:
Paso 1: Para el primer número, colocamos las rectas de izquierda a derecha, de forma oblicua como muestra la
siguiente figura:
Paso 2: Actuamos de forma similar con el segundo número:
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Paso 3: Si superponemos las rectas anteriores da lugar al siguiente conjunto de rectas paralelas y perpendiculares:
Importante:
 La distancia entre los grupos de rectas debe ser la misma.
 Las rectas (de distinto número) deben ser perpendiculares.
Paso 4: Contamos los puntos de intersección formados entre las rectas:
El resultado de la multiplicación por rectas de 32 x 21 = 672 (el resultado puede comprobarse con la calculadora).
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Comparando ambos métodos, el clásico y la multiplicación con rectas, nos damos cuenta de que en realidad es lo
mismo; pues al contar el número de puntos que nos dan como resultado las centenas, da igual que al resolver el producto 3
x 2=6. De forma análoga, ocurre en el caso del número de puntos que ocupan las cifras de las decenas y las unidades,
correspondientes a 3 x 1 + 2 x 2 = 7 (decenas), y 2 x 1 = 2 (unidades).
II.
EJEMPLOS:
Vamos a estudiar algunos ejemplos, más complicados, para conseguir un mayor entendimiento.
a) 2 1 x 1 1 3 (dos cifras por tres cifras)
Como podemos observar, el resultado de la multiplicación es: 2 1 x 1 1 3 = 2 3 7 3.
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b) 2 2 1 x 1 1 2 (tres cifras por tres cifras)
Como podemos observar, el resultado de la multiplicación es: 2 2 1 x 1 1 2 = 2 4 7 5 2
c) 2 3 x 1 3 2
Con este ejemplo se pretende explicar que ocurre cuando el número de puntos supera las nueve unidades.
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¿Qué hacemos con este número?
En caso de que al sumar los puntos de intersección nos salga un número mayor a 9, el primer dígito se suma
directamente al número de su izquierda como prosigue:
Luego el resultado de la multiplicación es: 2 3 x 1 3 2 = 3 0 3 6
Con este método, ¿podemos calcular el producto de cualquier par de números? ¿Cuál sería el resultado de 201 x 3?
¿Y el resultado de 120 x 11? ¿Cuánto valdría 103 x 201? ¿Hay algún problema?
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III.
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CASOS PARTICULARES:
Cuando trabajamos con números en los que en algunos de sus dígitos hay "ceros", surge un problema, no sabemos
cómo representar ese "cero".
Para solucionar este problema, creamos líneas imaginarias (discontinuas), que no obtienen puntos de intersección
con las rectas, pero si generan un dígito en su posición, el "0".
Vamos a realizar algunos ejemplos, en los que situaremos el "0" en distintas posiciones:
a) El cero ocupando lugar de las unidades: 120 x 11
Debemos tener en cuenta, que cuando una recta discontinua corte con otra recta, no se produce punto de intersección,
luego le asignamos el valor 0.
Observamos, el resultado de la multiplicación es: 120 x 11 = 1 3 2 0
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b) El cero ocupando una posición interior en uno de los multiplicandos: 201 x 3
Deducimos que el resultado de la multiplicación es: 201 x 3 = 6 0 3
c) El dígito cero en ambos multiplicandos: 103 x 201
Luego el resultado de la multiplicación es: 103 x 201 = 2 0 7 0 3
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¿Y qué ocurriría si los números tuvieran dígitos muy grandes?
IV.
DÍGITOS MUY GRANDES:
La representación y el cálculo se hace complejo cuando tomamos números con dígitos muy grandes, pues debemos
realizar un gran número de rectas, que generan una multitud de puntos no tan fáciles de recontar como en el caso de los
dígitos menores.
Véase el siguiente ejemplo: 7 8 x 9 3
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Una forma de solucionarlo sería descomponiendo los números con dígitos grandes en números con dígitos más
pequeños, para que sea más fácil trabajar con ellos; por ejemplo:
78 x 93 = (34 + 44) x 93 = (34 x 93) + (44 x 93) = 7254
Una vez hecha la descomposición, calcularíamos las dos multiplicaciones por el método de las rectas y sumaríamos
los números resultantes.
3. MULTIPLICACIÓN CON RECTA DE NÚMEROS ENTEROS Y DECIMALES:
El método de la multiplicación con rectas es ampliable al producto de números enteros y decimales exactos.
I.
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS:
La multiplicación de números enteros no es más que una extensión de la de los números naturales, con la salvedad de
que debemos hacer uso de la regla de los signos.
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II.
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MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES EXACTOS:
Para multiplicar con rectas números decimales exactos, actuamos de forma análoga a la clásica; tomando los
números decimales como enteros y al número resultante se le traslada la coma, tantos dígitos como decimales tienen los
dos números iniciales.
Por ejemplo: 2´3 x 1´32
 2´3 x 1´32 tiene tres cifras decimales
 Realizamos el producto de números enteros con el método de las rectas, obteniendo: 23 x 132 = 3036
 Finalmente añadimos la coma: 2´3 x 1´32 = 3´036
4. CONCLUSIÓN:
Con este artículo pretendemos alentar a los profesores a enseñar éste método de multiplicar números con rectas a los
alumnos en el aula, ya que es intuitivo y novedoso.
El sistema es sorprendente, vistoso y sencillo, además al ser un método gráfico que ayuda a nuestro cerebro a entender
mejor la operación que si usamos nuestro sistema tradicional, mucho más abstracto. Otra ventaja es que no hay que
conocer las tablas de multiplicar, basta con saber contar los puntos de intersección entre las rectas.
También podemos destacar que para los cursos más avanzados de la ESO, podemos enseñar este método de forma
interactiva con el programa informático de software libre GEOGEBRA, para fomentar el uso de los recursos TIC.
Como hemos observado tiene algunas desventajas, pues al utilizar números con cifras altas debemos utilizar muchas
líneas, pero como también hemos visto, basta con descomponer el número en otros con cifras menores.
No debemos de olvidar que si las matemáticas son divertidas nunca se olvidan.
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5. BIBLIOGRAFÍA:
 Morley, Sylvanus G., .LA CIVILIZACION MAYA., México, Fondo de cultura Económica, 1968.
 DICCIONARIO ESENCIAL MATEMATICAS, LAROUSSE
6. REFERENCIAS WEB Y RECURSOS VISUALES:
 Wikipedia: «http://es.wikipedia.org/wiki/Numeraci%C3%B3n_maya»
 http://www.sectormatematica.cl/historia/maya.htm
 http://masalladelaultimafrontera.wordpress.com
 Video “El Principio Tzeltal”: http://www.youtube.com/watch?v=9hfpJgOBn4Q
Autoría
· Nombre y Apellidos: Inmaculada Gil León y Juan Portero Bellido.
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