Teoremas con demostración para los finales

Teoremas con demostración para los finales
(1)
(1er parcial)Teorema
(2)
(1er parcial)Corolario
(3)
(1er parcial)Teorema
Geometrı́a I
2015, FaMAF - UNC
4: Si un punto p no pertenece a una recta A, entonces una
semirrecta con origen en A que pasa por p está contenida en el semiplano Ap .
5: Los semiplanos son convexos.
10: (Postulado de Pasch) Si R es una recta que interseca al
triángulo 4abc y no contiene a ninguno de sus vértices, entonces R interseca
exactamente a dos lados del triángulo.
(4) Teorema 11: Toda semirrecta con origen en un punto interior de una región poligonal convexa, interseca al polı́gono en un único punto.
(5) Teorema 16: Sea R una recta, p un punto fuera de R y T una transformación
rı́gida. Entonces T (Rp ) = T (R)T (p) .
(6)
Teorema 20: Sea (A, α) un par semirrecta-semiplano,
A de origen o, y
∨ ∨
T la transformación rı́gida tal que T (A, α) = A , α . Entonces:
(1er parcial)
(a) T es involutiva,
(b) si (B, β) es otro para semirrecta-semiplano
tal que B tiene origen en o,
∨ ∨
entonces T (B, β) = B , β .
(7)
(2do parcial)
Teorema 25: Sea (A, α) un par semirrecta-semiplano,
∨ A de origen o y
sea T la única transformación rı́gida tal que T (A, α) = A , α . Entonces:
(a) T es involutiva,
←
→
(b) T (p) = p para todo p en la recta A ,
∨
←
→
(c) si B es una semirrecta de la recta A , entonces T (B, α) = B, α .
(8)
Teorema 28: Por cada punto del plano pasa una y sólo una perpendicular a una recta dada. I.e., dados p ∈ π y una recta A, existe una única recta B
tal que B ⊥ A y p ∈ B.
(9)
(2do parcial)
(2do parcial)
Teorema 32: Todo ángulo tiene una y solo una bisectriz.
(10) Teorema 34: Si dos ángulos de un triángulo son congruentes los lados opuestos a
tales ángulos también lo son. Recı́procamente, si dos lados de un triángulo son
congruentes los ángulos opuestos a tales lados son congruentes.
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Teoremas con demostración para los finales
(11)
Geometrı́a I
2015, FaMAF - UNC
Teorema 39: En todo triángulo un ángulo exterior es mayor que cada
ángulo interior no adyacente.
(2do parcial)
(12) Teorema 41: En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo y recı́procamente
a mayor ángulo se opone mayor lado.
(13) Teorema 44: En todo triángulo cualquiera de sus lados es menor que la suma de
los otros dos.
(14) Teorema 47: Sean dos triángulos 4abc y 4a0 b0 c0 tales que ab ≡ a0 b0 , ac ≡ a0 c0 y
b
a > ab0 , entonces bc > b0 c0 .
(15)
(2do parcial)
Teoremas 50 al 54: Criterios de congruencia de triángulos.
(16)
(3er parcial)
(17)
(3er parcial)
(18)
(3er parcial)
(19)
(3er parcial)
(20)
Teorema 75: Sean (a, b) y (c, d) vectores no nulos con a 6= d. Entonces
(a, b) ∼ (c, d) si y solo si Sm (b) = c, donde m es el punto medio de ad .
(21)
(3er parcial)
Teorema 60: Demostrar que en un paralelogramo, las diagonales se
cortan en sus puntos medios, los lados opuestos son congruentes y los ángulos
opuestos también son congruentes entre sı́.
Teorema 63: Si los pares de lados opuestos de un cuadrilátero convexo
son congruentes, el cuadrilátero es un paralelogramo. También lo es cuando los
dos pares de ángulos opuestos son congruentes.
Teorema 67: La base media de un trapecio es paralela a las bases e
igual a la mitad de su suma.
Teorema 70: Dados un segmento y un número natural n, dividir el
segmento en n partes congruentes.
(3er parcial)
Teorema 80: T(a,b) (c) = d si y solo si (a, b) ∼ (c, d).
(22) Teorema 83: La composición de dos traslaciones es una traslación. Más aún esta
−1
operación es conmutativa y T(a,b)
= T(b,a) .
(23) Teorema 85: Demostrar que la composición de dos simetrı́as axiales de ejes paralelos y distintos es una traslación.
(24) Teorema 87: Sean B una recta y (a, b) un vector no nulo.
(a) Si (a, b)⊥B, entonces T(a,b) ◦SB y SB ◦T(a,b) son simetrı́as axiales de eje paralelo
a B.
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Teoremas con demostración para los finales
Geometrı́a I
2015, FaMAF - UNC
(b) Si (a, b) no es perpendicular a B, entonces T(a,b) ◦SB y SB ◦T(a,b) son reflexiones
deslizantes de vector paralelo a B.
(25) Teorema 92: Sean el ángulo orientado θ = ]AA0 de vértice o, C una semirrecta
de origen o, C 0 = Rθ (C) y el ángulo orientado ϕ = ]CC 0 . Entonces θ ≡ ϕ como
ángulos orientados.
(26) Teorema 96: La composición de dos rotaciones de centro o es otra rotación de
−1
centro o, esta operación es conmutativa y R∠AA
0 = R∠A0 A .
(27) Teorema 97: Teorema de clasificación de las transformaciones rı́gidas del plano.
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