Respuesta a Tarea 3.

Soluciones Tarea 3: Sección 1.4
Matemáticas Discretas
5
a) ¿De cuántas maneras es posible seleccionar cinco monedas de una
colección de 10, formada por una moneda de 1 centavo, una moneda
de 5 centavos, una de 10 centavos, una de 25 centavos, una de 50
centavos y cinco dólares (idénticos)?
Como tenemos 2 tipos de moneda, una de ellas con 5 opciones, se
trata de 25 formas.
b) ¿De cuántas formas podemos seleccionar n objetos de una colección
que consta de n objetos distintos y n objetos idénticos?
Por cada n objetos distintos hay dos opciones distintas. Si un objeto
no es selecciones uno de los n objetos se utliza en la expresión 2n .
7 Determine el número de soluciones enteras no negativas de
x1 + x2 + x3 + x4 = 32,
en donde
a) xi ≥ 0, i ≤ i ≤ 4.
Por hipótesis, las xi son mayores que cero. Son combinaciones con
repetición: podemos repetir los conjuntos de 4 xi , aunque en cada
problema, los conjuntos de estos elementos pueden ser distintos. Por
lo tanto se trata de:
32 + 4 − 1
32
= 6, 545.
b) xi > 0, 1 ≤ i ≤ 4.
Tenemos 4 elementos ahora que tienen condiciones (en la hipótesis).
Para la solución, como en el inciso anterior, podemos repetir las 4
distintas xi . Tenemos 32 posibilidades para las xi , por lo tanto 32-4
= 28 . Por lo tanto, el número pedido es
28 + 4 − 1
= 4, 495.
28
c) x1 , x2 ≥ 5, x3 , x4 ≥ 7.
Empezamos tomando las dos primeras variables que tienen por hipótesis que ser mayores que 5, es decir, las dos mayores que 10. Las dos
variables restantes tienen que ser mayores que 7, es decir, las dos
valen 14. Estamos contando que el resto de las soluciones sumen
1
32 − 10 − 14 = 8, tenemos 4 elementos. La combinación con repetición que buscamos es:
8+4−1
= 165.
8
d) x ≥ 8, 1 ≤ i ≤ 4.
Por un razonamiento similar al del inciso anterior, ahora las cuatro
variables son mayores que 8, es decir me restan 32 − 4 · 8 = 0. Por lo
tanto se trata una sola porque:
C(k, 0) = 1 para cualquier k.
e) xi ≥ −2, 1 ≤ i ≤ 4.
Se trata de 4 variables, cuyos valores son mayores que -8. Debo restar
esta cantidad a 32 (valor de la suma de todas). Se trata por lo tanto
de 32 - (-8) = 40, en cuatro variables. De nuevo combinaciones con
repetición,
C(40 + 4 − 1, 40) = 12, 341.
f) x1 , x2 , x3 > 0, 0 < x4 ≤ 25.
Por un razonamiento similar a la de los dos incisos anteriores, tenemos
ahora 3 soluciones mayores que cero, una menor a 25, o sea a lo más,
25 una de ellas, mas las otras 3 = 28. Tenemos por lo tanto, para
cuatro variables:
C(28 + 4 − 1, 28) = C(31, 28) = 4, 495.
Le resto las combinaciones de las tres variables mayores o iguales a
cero, de un total de 4 variables, con repetición:
C(4 + 3 − 1, 3) = C(6, 3) = 20.
El resultado total es 4, 475.
12 Determine el número de soluciones enteras de x1 + x2 + x3 + x4 + x5 < 40,
donde
a) xi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ 5.
Como la suma de las variables debe sumar a lo más cuarenta, podemos tomar una variable y1 de manera que tengamos la igualdad:
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + y1 = 40,
xi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ 5, y1 > 0. (1)
El número de soluciones de 1 es el mismo que el número de soluciones
enteras no negativas de
z1 + z2 + z3 + z4 + z5 + z6 = 39,
donde zi = xi para 1 ≤ i ≤ 5 y z6 = y1 − 1, es decir,
C(6 + 39 − 1, 39) = C(44, 39) = 1, 086, 008.
2
b) xi ≥ −3, 1 ≤ i ≤ 5.
Tomando en cuenta las hipótesis, tenemos la condición:
5
X
xi ≥ −15.
i=1
El valor de la suma de las 6 variables es a lo más -14. Se lo resto a la
suma total de variables dada por la ecuación 1, 39: obtengo 54.
Calculo C(54 + 6 − 1, 54) = 5, 006, 386.
16 ¿Para qué entero positivo n se cumple que las ecuaciones:
(1) x1 + x2 + x3 + . . . + x19
(2) y1 + y2 + y3 + . . . + y64
=n
=n
y
tengan el mismo número de soluciones enteras positivas?
El número de soluciones enteras de la Ecuación (1) está dado por:
C(19 + n − 1, n).
El número de soluciones de la Ecuación (2) está dado por:
C(64 + n − 1, n).
La ecuación que buscamos solucionar para n es:
(18 + n)!
(63 + n)!
=
.
18! · n!
63! · n!
24 Utilice el resultado:
C(n + 2, 3) =
n
X
C(i + 1, 2)
i=1
para deducir la fórmula
12 + 22 + 32 + . . . + n2 =
n
X
i=1
3
i2 .