Ejercicios resueltos de continuidad de funciones

Ejercicios resueltos de continuidad de funciones
1
E s tu d ia r la con t in u id ad de las s ig u ie n tes fu n cio nes :
1
L a fu n ció n e s co n t inua en t odo s lo s p u nt os de s u d o min io .
D = R− { −2 ,2 }
L a fu n ció n t ie ne dos pu nto s de disco nti nui dad e n x = −2 y x = 2 .
2
L a fu n ció n e s co nt in ua e n to da R men os en los va lo res que se a n u la e l den o mina do r, si
ig u a la mos és te a ce ro y res o lve mos la e cu a ció n ob te nd re mos lo s p un to s d e d is co n t inu ida d .
x = −3 ; y re s o lvien do la e cua ción de 2 º g rad o o bte ne mos t a mb ié n : x=2 −√3 y x =2 +√3
L a fu n ció n t ie ne tres pun tos de di scon ti nui dad e n x= −3 , x=2 −√3 y x=2 + √3
3
L a funció n es c on tin ua en to da
4
|−1 − ( −3 ) | = 2
L a fu n ció n e s discontin ua i nevita ble de sal to 2 en x = 0 .
5
En x = 1 hay u na dis con tin ui dad de salto fini to.
6
L a fu n ció n e s discontin ua i nevita ble de sal to 2 /3 en x = 0 .
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2
E s tu d ia la con t inu ida d de f(x) e n x = 0 .
f( 0 ) =0
En x = 0 hay u na dis con tin ui dad ese ncial.
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3
E s tu d ia , e n e l in te rva lo (0 ,3 ), la co n t in u id ad de la fun ció n :
Só lo h a y du da de la con t in u id ad de la fu n ción e n los p un t os x = 1 y x = 2 , e n los q ue ca mb ia la
fo rma de la fu n ción .
En x = 1 tiene una disco n tin uida d de sal to 1 .
En x = 2 tiene una disco n tin uida d de sal to 1 .
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4
¿ So n co n t inua s la s s ig u ie nte s fun cio nes en x = 0 ?
1
L a funció n es c on tin ua en x = 0 .
2
En x = 0 hay u na dis con tin ui dad de salto infi ni to.
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5
Da da la fu n ció n :
1
De mos t ra r q ue f(x) n o es con t inu a e n x = 5 .
f( 5 ) = 0 .
Re so lve mos la inde te rmin a ció n :
f( x) no es con tin ua e n x = 5 p o rq ue :
2 ¿ E xis te
u na fu n ció n con t in ua que co in cida co n f(x) p a ra to dos los va lo res x ≠ 5 ? E n ca so
a firma t ivo da r su e xp res ió n .
Si
la fu n ció n se ría con t inu a , lue go la fun ció n re de fin ida e s :
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6
E s tu d ia r la con t in u id ad de la fun ció n :
L a fu n ció n f(x) e s con t in ua pa ra x ≠ 0 . Va mo s a e st ud ia r la con t inu ida d e n x = 0 .
L a fu n ció n no es con tin ua en x = 0 , p o rq ue no es tá de fin ida e n e se p u nt o .
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7
E s tu d ia r la con t in u id ad de la fun ció n f(x) = x · s g n x.
L a fu n ció n e s co n t inua en t oda
.
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8
E s tu d ia r la con t in u id ad e n x = 0 d e la fun ció n :
L a fu n ció n
e s tá a cot ada
. p o r ta n to se ve rifica :
, ya q ue cu a lq u ie r n ú me ro mu lt ip lica do po r ce ro da ce ro .
Al s e r f( 0) = 0 .
L a fu n ció n e s co n t inua .
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9
C a lcu la r e l va lo r de a pa ra que la fu n ció n s ig u ie n te se a co n t inua :
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10
L a fu n ció n de fin ida po r:
es co n t in ua en [0 , ∞).
Ha lla r e l va lo r de a qu e h a ce qu e es ta a firma ción sea cie rta .