Guía 4 - FaMAF

Mecánica Cuántica II
Guı́a 4 – Octubre de 2014
Información útil
A es un operador escalar si
[A, J ] = 0,
V es un operador vectorial si,
[Jj , Vk ] = i~εjkℓ Vℓ
(k)
y finalmente un tensor esférico irreducible Tq de rango k cumple,
E
h
i X
D (k)
J · n̂, Tq(k) =
Tq′ kq ′ S [k] · n̂ kq ,
q′
para todo vector n̂ de módulo 1. Aquı́ {|kqi : q ∈ Mk } es una base estandard para el par
[k]
((S [k] )2 , Sz ). Equivalentemente
h
i
Jz , Tq(k) = ~q Tq(k) (n̂ = ẑ)
h
i
p
x̂ ± iŷ
(k)
J± , Tq(k) = ~ (k ∓ q)(k ± q + 1) Tq±1 (n̂ = √ )
2
Teorema de Wigner-Eckart
Problema 1.
E
D
D ′ ′ (k) E
′ ′
′
′ ′ (k) α j T α j
α ; j m Tq α; j m = hjk; mq | jk; j m
Considere N partı́culas con espı́n s = 1/2 cuya interacción espı́n-espı́n es isotrópica:
H = −J
X
(x)
(x)
(y)
(y)
(z)
(z)
(Sj Sk + Sj Sk + Sj Sk )
1≤j<k≤N
a) ¿Es el Hamiltoniano un operador escalar respecto al espı́n total del sistema?
b) Discuta el espectro de S 2 inclusive multiplicidades para N = 2, 3, 4, 5.
P
P
2
c) Con la relación S 2 = N
1≤j<k≤N Sj · Sk obtenga el espectro del Hamiltoniano
j=1 Sj + 2
inclusive multiplicidades para los valores de N del item anterior.
d) Para N = 2, escriba una base otonormal de autovectores de H como combinación lineal de
la base producto directo o desacoplada.
e) [Para un dı́a de ocio constructivo] Regrese al item b) y muestre que para N arbitrario mayor
o igual a 1 se tiene la descomposición en irreducibles
S=
N
M
k=0
µ(k/2, N ) S [k/2]
donde las multiplicidades µ(k/2, N ) del momento irreducible de magnitud k/2 son las soluciones
del siguiente sistema recursivo:
µ(0, 1) = 0 , µ(1/2, 1) = 1 ;
µ(k/2, N ) = 0; , si k < 0 o k > N ,
k−1
k+1
µ(k/2, N + 1) = µ
,N + µ
,N , 0 ≤ k ≤ N .
2
2
Problema 2. Considere un partı́cula en un potencial central y sean Ψn,ℓ,m (r) = fn,ℓ (r)Yℓm (θ, φ)
autofunciones del Hamiltoniano (con fn,ℓ autofunciones del problema radial asociado con el autoespacio de magnitud ℓ de L2 ; y Yℓm el m-ésimo armónico esférico de orden ℓ). Analice las
llamadas transiciones dipolares
hΨn,ℓ′ ,m′ , rbΨn′ ,ℓ,m i .
Problema 3.
(k )
Sean Mq 1 , q = −k1 , −k1 + 1, · · · , k1 las componentes esféricas de un operador tensorial ir(k )
reducible de rango k1 y Np 2 , p = −k2 , −k2 + 1, · · · , k2 aquellas de un operador tensorial
irreducible de rango k2 actuando sobre el mismo espacio y con respecto al mismo momento
angular J , entonces para cada k ∈ {k1 + k2 , k1 + k2 − 1, · · · , |k1 − k2 |} los 2k + 1 operadores
Tr(k)
=
k1
X
k2
X
q=−k1 p=−k2
hk1 , q; k2 , p|kriMq(k1 ) Nq(k2 ) , r = −k, −k + 1, · · · , k ,
son las componentes esféricas de un operador tensorial irreducible de rango k con respecto a J .
a) Construya un tensor esférico irreducible de rango 1 a partir de dos vectores diferentes U =
(1)
(Ux , Uy , Uz ) y V = (Vx , Vy , Vz ). Explicite a Tm en términos de las componentes de U y V .
b) Construya el tensor esféricoirreducible de rango 2 a partir de dos vectores distintos U y V .
Dé la expresión de sus cinco componentes en función de las componentes de los vectores.
Problema 4. Factores de Landé.
Considere el momento angular total J = J1 + J2 , suma de dos momentos angulares J1 y
J2 irreducibles de magnitud j1 y j2 respectivamente. Sea {| α, j, m; ℓ, si} la base ortonormal
asociada con el par (J 2 , Jz ) donde el ı́ndice α enumera otros grados de libertad no asociados
con J1 y J2 .
a) Demuestre que K = aJ1 + bJ2 es un operador vectorial con respecto a J para cualquier par
de números reales a y b.
b) Demuestre que
hα, j, m; j1 , j2 | K | α, j, m′ ; j1 , j2 i = g(α, j; j1 , j2 ) hα, j, m; j1 , j2 | J | α, j, m′ ; j1 , j2 i
c) Verifique que 2J · J1 = J 2 + J12 − J22 y que 2J · J2 = J 2 + J22 − J12 . Luego demuestre que
J ·K =
a+b 2 a−b 2
J +
J1 − J22
2
2
d) Demuestre que, para j 6= 0 (el caso j = 0 es trivial),
g(α, j; j1 , j2 ) = G(α)
(a + b)j(j + 1) + (a − b)[j1 (j1 + 1) − j2 (j2 + 1)]
2j(j + 1)
e) Obtenga el factor de Landé para el efecto Zeeman de un electrón (a = 2, b = 1, J1 = S y
J2 = L).
Problema 5.
a) Verifique el siguiente coeficiente de Clebsch-Gordan (aquı́ la notación es hj1 j2 m1 m2 |j1 j2 jmi):
s
j
hj1j0|j1jji =
j+1
b) Utilice el teorema de Wigner-Eckart para demostrar que:
p
hαj ′ kJkαji = j(j + 1)~δjj ′